第五章 追梦基础训练卷(二)(二元一次方程(组)与一次函数、三元一次方程组)-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（北师大版）

第五章追梦基础训练卷(二) 二元一次方程(组)与一次函数、三元一次方程组 测试时间:120 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分:　 　 　 　 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 如果二元一次方程组 ax-y= 2 bx-y= 1{ 无解,则直线 y = ax-2 与 y = bx-1 的位置关系为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 重合 2. 解三元一次方程组 x-y+z= -3,① x+2y-z= 1,② x+y= 0,③ ì î í ï ï ï ï 要使解法较为简便,首先应进 行的变形为(　 　 ) A. ①+② B. ①-② C. ①+③ D. ②-③ 3. 根据下表中一次函数的自变量 x 与函数 y 的对应值,可得 p 的 值为(　 　 ) x -2 0 1 y 3 p 0 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图,一次函数 y = 2x 和 y = ax+4 的图象相交于点 A(m,3),则 关于 x,y 的方程组 y= 2x y=ax+4{ 的解为(　 　 ) A. x= 3 2 y= 3 ì î í ï ï ï ï B. x= 3 y= 3 2 ì î í ï ï ï ï C. x= 3 y= 2{ D. x= 2 y= 3{ 第 4 题图 　 第 8 题图 　 第 10 题图 5. 已知一次函数 y = kx+b( k≠0)的图象经过(2,-1),( -3,4)两 点,则它的图象不经过(　 　 ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 直线 y = kx+ b 与直线 y = - 2x+ 2 024 平行,且与 y 轴交于点 P(0,-3),则其函数解析式是(　 　 ) A. y= 2x+2 024 B. y= -2x-3 C. y= 2x+3 D. y= -2x-2024 7. 已知二元一次方程组 x-y= -5 x+2y= -2{ 的解为 x= -4 y= 1{ ,则在同一平面直 角坐标系中,函数 y = x+ 5 与 y = - 1 2 x- 1 的图象的交点坐标 为(　 　 ) A. ( -4,1) B. (1,-4) C. (4,-1) D. ( -1,4) 8. 实践小组观察记录了莴笋的成长过程,如图表示一种莴笋的高 度 y(cm)与观察时间 x(天)之间的函数图象. 由图象可知,这种 莴笋可能达到的最大高度是(　 　 ) A. 25 cm B. 32 cm C. 35 cm D. 40 cm 9. 已知一次函数 y= kx+b 的图象经过第一、二、四象限,且当 2≤x ≤4 时,4≤y≤6,则 b+k 的值是(　 　 ) A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 10. 如图,一次函数 y = kx+2 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B, 与正比例函数 y= 1 3 x 交于点 C,点 C 的横坐标为 2,下列结论: ①关于 x 的方程 kx+2 = 0 的解为 x= 3;②对于直线 y= kx+2,当 x<3 时,y>0;③对于直线 y = kx+ 2,当 x> 0 时,y> 2;④方程组 3y-x= 0 y-kx= 2{ 的解为 x= 2 y= 2 3 ì î í ï ï ï ï ,其中正确的是(　 　 ) A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 若以关于 x,y 的二元一次方程 x- 2y+b = 0 的解为坐标的点 (x,y)都在直线 y= 1 2 x+b-1 上,则常数 b 的值为　 　 　 　 . 12. 文化情境·数学文化 中国古代数学专著《九章算术》 “方程”一 章记载用算筹(方阵)表示二元一次方程组的方法,发展到现 代就是用矩阵式 a1 　 b1 a2 　 b2 ( ) xy( ) = c1 c2 ( ) 来表示二元一次方程组 a1x+b1y= c1 a2x+b2y= c2 { ,而该方程组的解就是对应两直线(不平行) a1x+ b1y= c1 与 a2x+b2y = c2 的交点坐标 P( x,y) . 据此,则矩阵式 4　 -1 -3　 1( ) x y( ) = 3 -1( ) 所对应两直线交点坐标是　 　 　 　 . 13. 如图,直线 l1、l2 的交点坐标可以看作方程组　 　 　 　 　 的解. 第 13 题图 　 　 第 14 题图 　 　 第 15 题图 14. 某洗衣机洗涤衣服时,经历了进水,清洗,排水,脱水四个连续 的过程,其中进水,清洗,排水时洗衣机中的水量 y(升)与时间 x(分钟)之间的关系如图所示,已知清洗时间为 11 分钟,排水 时间为 2 分钟, 则排水结束时洗衣机中剩下的水量 为 　 　 　 　 升. 15. 数学思想·分类思想 如图,直线 l1:y= x+1 与 x 轴交于 点 A,与直线 l2:y= 1 2 x+2 交于点 B,点 C 为 x 轴上的一 点. 若△ABC 为直角三角形,则点 C 的横坐标为　 　 　 　 　 . 三、解答题(本大题 8 小题,共 75 分) 16. (8 分)解方程组: (1) 3x+5y= 11 2x-y= 3{ ; (2) 2x+3y-z= 9 x+y+z= 15 5x-4y-z= 0 ì î í ï ï ï ï . 17. (8 分)已知一次函数 y= 2x-3 和 y= 2x+1. (1)在同一坐标系中画出两个函数的图象; (2)根据图象回答,方程组 y-2x= -3 y-2x= 1{ 的解存在吗? ·71· 18. (9 分)如图,直线 y= -x+1 与直线 y = 2x-5 分别交 y 轴于点 A 和点 B,且两直线交于点 P. (1)求交点 P 的坐标; (2)若点 Q 在 x 轴上,且满足 S△ABQ = S△ABP,求点 Q 的坐标. 19. (9 分)如图,一次函数 y=mx+n 的图象经过点 A,与函数 y= -x +6 的图象交于点 B,点 B 的横坐标为 1. (1)方程组 y=mx+n y= -x+6{ 的解是　 　 　 　 ; (2)求出 m、n 的值; (3)求代数式( 1 m - n )· mn的值. 20. 生活情境·蜜柚销售 (10 分)某种优质蜜柚,投入市场销售时, 经调查,该蜜柚每天销售量 y(千克) 与销售单价 x(元 /千克) 之间符合一次函数关系,如图所示. (1)求 y 与 x 的函数关系式; (2)某农户今年共采摘该蜜柚 4 500 千克,其保质期为 30 天, 若以 14 元 /千克销售,问能否在保质期内销售完这批蜜 柚? 请说明理由. 21. (10 分)阅读下列材料,解答提出的问题. 我们知道,二元一次方程 x+y= 1 有无数个解,如果我们把每一 个解用有序数对(x,y)表示,就可以标出一些以方程 x+y= 1 的 解为坐标的点,过这些点中的任意两点可以作一条直线,发现 其他点也都在这条直线上. 反之,在这条直线上任意取一点,发 现这个点的坐标是方程 x+y= 1 的解. 我们把以方程 x+y = 1 的 解为坐标的所有点组成的图形叫做方程 x+y = 1 的图象,记作 直线 l1 . 【初步探究】 (1)下列点中,在方程 x+y= 1 的图象 l1 上的是　 　 　 　 ; A. (1,1)　 　 　 　 　 B. (2,-1)　 　 　 　 　 C. ( -3,2) (2)在所给的直角坐标系中画出方程 x-2y= -3 的图象 l2; 【理解应用】 (3)直线 l1,l2 相交于点 M,求点 M 的坐标. 22. (10 分)如图,直线 l1 的函数表达式为 y = 3x-2,且直线 l1 与 x 轴交于点 D. 直线 l2 与 x 轴交于点 A,且经过点 B(4,1),直线 l1 与 l2 交于点 C(m,3) . (1)求点 D 和点 C 的坐标; (2)求直线 l2 的函数表达式; (3)利用函数图象写出二元一次方程组 y= 3x-2 6x+7y= 31{ 的解. 23. (11 分)小明从 A 地匀速前往 B 地,同时小亮从 B 地匀速前往 A 地,两人离 B 地的路程 y(m)与行驶时间 x(min)之间的函数 图象如图①所示. (1)A 地与 B 地的距离为　 　 　 　 m,小明的速度是　 　 　 　 m / min; (2)求出点 P 的坐标,并解释其实际意义; (3)设两人之间的距离为 s( m),在图②中,画出 s 与 x 的函数 图象(请标出必要的数据). 图① 　 　 　 　 图② ·81· 所以 x+y= 3x-y= 0{ ,解得 x= 3 2 y= 3 2 ì î í ï ï ïï , (9 分) 所以原方程组的解为 x= 3 2 y= 3 2 ì î í ï ï ïï . (10 分) 22. 解:任务 1:设笔记本的单价是 x 元,钢笔的单价是 y 元,根据题意得: 5x+4y= 1056x+2y= 98{ ,解得 x= 13 y= 10{ . 答:笔记本 的单价是 13 元,钢笔的单价是 10 元; (4 分) 任务 2:促销前:设购买 a 本笔记本,b 支钢笔,根据题意 得:13a+10b= 260,∴ a= 20- 10 13 b,又∵ a,b 均为正整数, ∴ a= 10b= 13{ ,∴ 促销前共有 1 种购买方案,购买 10 本笔记 本,13 支钢笔; (7 分) 促销后:设购买 c 本笔记本,d 支钢笔,根据题意得:13c +10d= 260+50,∴ d = 31- 13 10 c,又∵ c,d 均为正整数,∴ c= 10 d= 18{ 或 c= 20 d= 5{ ,∴ 促销后共有 2 种购买方案, (9 分) 方案 1:购买 10 本笔记本,18 支钢笔;方案 2:购买 20 本 笔记本,5 支钢笔. 答:促销前:购买 10 本笔记本,13 支 钢笔;促销后共有 2 种购买方案,方案 1:购买 10 本笔 记本,18 支钢笔;方案 2:购买 20 本笔记本,5 支钢笔. (10 分) 23. 解:(1)由题意,得 x= -5x+6,解得 x= 1,所以“雅系二元 一次方程”y= -5x+6 的“完美值”为 x= 1; (3 分) (2)把 x= 3 代入 x= 3x+m 中,解得 m= -6; (6 分) (3)若“雅系二元一次方程” y = kx+ 1( k≠0,k 是常数) 存在“完美值”,则有 x= kx+1,所以(1-k)x= 1. (7 分) 当 k= 1 时,不存在“完美值”; (9 分) 当 k≠1,k≠0 时,存在“完美值”x= 1 1-k . (11 分) 第五章追梦基础训练卷(二) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A A A A C B A B C B 1. A　 2. A 3. A　 【解析】设一次函数的解析式为 y = kx+b(k≠0),∵ x = -2 时 y= 3,x= 1 时 y= 0,∴ -2k+b= 3k+b= 0{ ,解得 k= -1 b= 1{ ,∴ 一次函数的解析式为 y= -x+1,∴ 当 x= 0 时,y = 1,即 p = 1. 故选 A. 4. A 5. C　 【解析】将(2,-1)、(-3,4)代入一次函数 y = kx+b 中 得 2k+b= -1 -3k+b= 4{ ,解得 k= -1 b= 1{ ,∴ 一次函数解析式为 y = -x+ 1 不经过第三象限. 故选 C. 6. B　 7. A 8. B 　 【解析 】 设 一 次 函 数 解 析 式 为 y = kx + b, 则 15k+b= 18 30k+b= 24{ ,解得 k= 0. 4 b= 12{ ,∴ 一次函数解析式为 y = 0. 4x +12. 当 x= 50 时,y= 0. 4×50+12 = 32,即这种莴笋可能达 到的最大高度是 32cm. 故选 B. 9. C　 【解析】∵ 一次函数 y = kx+b 的图象经过第一、二、四 象限,∴ k<0,∴ 函数 y 随 x 的增大而减小,∵ 当 2≤x≤4 时,4≤y≤6,∴ 当 x = 2 时,y = 6;当 x = 4 时,y = 4,∴ 2k+b= 6 4k+b= 4{ ,解得 k= -1 b= 8{ ,∴ b+k= 7. 故选 C. 10. B　 【解析】因为点 C 的横坐标为 2,所以当 x = 2 时,y = 1 3 x= 2 3 ,所以 C(2, 2 3 ) . 把 C(2, 2 3 )代入 y = kx+2,得 k = - 2 3 ,所以 y= - 2 3 x+2. 当 x = 0 时,y = 2. 当 y = 0 时,x = 3,所以 B(0,2),A(3,0),所以①关于 x 的方程 kx+2 = 0 的解为 x= 3,正确;②对于直线 y= kx+2,当 x<3 时,y>0, 正确;③对于直线 y= kx+2,当 x>0 时,y<2,错误;④因为 C(2, 2 3 ),所以方程组 3y-x= 0y-kx= 2{ 的解为 x= 2 y= 2 3 { ,正确. 故 选 B. 11. 2　 【解析】因为以关于 x、y 的二元一次方程 x-2y+b = 0 的解为坐标的点(x,y)都在直线 y = 1 2 x+b- 1 上,直线 解析式乘以 2 得 2y= x+2b-2,变形为 x-2y+2b-2 = 0,所 以-b+2b-2 = 0,解得 b= 2. 12. (2,5) 13. y= x-3y= -2x+3{ 　 【解析】设直线 l1 的解析式为 y = kx+b. 由 图可 知 直 线 l1 经 过 点 ( 0, - 3) 与 ( 2, - 1), 所 以 b= -3 2k+b= -1{ ,解得 k= 1 b= -3{ ,则直线 l1 的解析式为 y = x-3. 同法可求直线 l2 的解析式为 y = -2x+3. 所以直线 l1、l2 的交点坐标可以看作方程组 y= x-3 y= -2x+3{ 的解. 14. 82 3 15. 2 或 5　 【解析】令 y=x+1 中 y= 0,则 x=-1. 则 A(-1,0). 联立 y= x+1 y= 1 2 x+2{ ,解得 x= 2y= 3{ ,所以 B(2,3) . 因为∠BAC ≠90°,所以若△ABC 为直角三角形,则分两种情况:① ∠ACB= 90°,C 点的横坐标与 B 的横坐标相同,所以 C (2,0);②∠ABC= 90°,则 AC2 =AB2 +BC2 . 设 C(x,0),则 AC2 =(x+1) 2,AB2 =(2+1) 2 +32,BC2 = (2-x) 2 +32,所以 (x+1) 2 =(2+1) 2 +32 +(2-x) 2 +32,解得 x= 5. 所以 C(5, 0),综上,点 C 的横坐标为 2 或 5. 16. 解:(1) 3x+5y= 11①2x-y= 3②{ ,①+②×5,得 13x= 26,解得 x= 2. (2 分) 把 x= 2 代入②,得 y= 1, (3 分) 则方程组的解为 x= 2y= 1{ ; (4 分) (2) 2x+3y-z= 9 ① x+y+z= 15 ② 5x-4y-z= 0 ③{ ,①+②,得 3x+4y= 24 ④. (5 分) ②+③,得 6x-3y= 15,即 2x-y= 5⑤, (6 分) ④+⑤×4,得 11x= 44,解得 x= 4. 把 x= 4 代入④,得 12+ 4y= 24. 解得 y= 3. 把 x= 4,y= 3 代入②,得 z= 8,(7 分) 则方程组的解为 x= 4 y= 3 z= 8{ . (8 分) 17. 解:(1)如图: (4 分) (2)根据图象得到直线 y= 2x-3 与直线 y= 2x+1 平行, (6 分) 所以方程组 y-2x= -3y-2x= 1{ 无解. (8 分) 18. 解:(1)解方程组 y= -x+1y= 2x-5{ ,得 x= 2 y= -1{ ,所以点 P 的坐标 为(2,-1) . (4 分) (2)把 x= 0 代入 y= -x+1 得:y= 1;把 x= 0 代入 y= 2x-5 得:y= -5,所以点 A 的坐标为(0,1),点 B 的坐标为(0, -5) . 所以 AB= 1-(-5)= 6, (6 分) 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBB·数学　 第 8 页 设点 Q(m,0),因为 S△ABQ =S△ABP,所以 1 2 ×6× |m | = 1 2 × 6×2,解得:m= ±2. 所以点 Q 的坐标为(2,0)或(-2,0) . (9 分) 19. 解:(1) x= 1y= 5{ (3 分) (2)把 A(-1,1),B(1,5)代入 y=mx+n 得 -m+n= 1m+n= 5{ ,解 得 m= 2n= 3{ ; (6 分) (3)当 m= 2,n= 3 时,原式= 1 m ·mn - n·mn = n -n m = 3-3 2 . (9 分) 20. 解:(1) 设 y 与 x 的函数关系式为 y = kx+b,将点( 5, 250),(10,200)代入得 5k+b= 25010k+b= 200{ ,解得 k= -10 b= 300{ ,即 y 与 x 的函数关系式为 y= -10x+300; (5 分) (2)能在保质期内销售完这批蜜柚,理由:将 x= 14 代入 y= -10x+300,得 y = -10×14+300 = 160,因为 160×30 = 4 800>4 500,所以能在保质期内销售完这批蜜柚. (10 分) 21. 解:(1)B (2 分) (2)方程 x-2y= -3 的图象 l2 如图所示; (6 分) (3)联立方程组 x+y= 1x-2y= -3{ ,解得 x= - 1 3 y= 4 3 ì î í ï ï ïï ,所以点 M 的 坐标为(- 1 3 , 4 3 ) . (10 分) 22. 解:(1)在 y= 3x-2 中令 y = 0,得 3x-2 = 0,解得 x = 2 3 , 所以 D( 2 3 ,0) . (2 分) 因为点 C(m,3)在直线 y= 3x-2 上,所以 3m-2 = 3. 解得 m= 5 3 ,所以 C( 5 3 ,3); (4 分) (2)设直线 l2 的函数表达式为 y= kx+b(k≠0),由题意, 得 5 3 k+b= 3 4k+b= 1 { ,解得 k= - 6 7 b= 31 7 ì î í ï ï ïï ,所以 y= - 6 7 x+31 7 ; (7 分) (3) 由图可知, 二元一次方程组 y= 3x-26x+7y= 31{ 的解为 x= 5 3 y= 3 { . (10 分) 23. 解:(1)3 600　 120 (2 分) (2) v小亮 = 3 600 60 = 60( m/ min),v小明 = 120m/ min,所以由 y=60x y=3 600-120x{ ,解得 x=20 y=1 200{ ,所以点 P 的坐标为(20, 1 200), (6 分) 点 P 的坐标实际意义为:出发 20 分钟时,两人在离 B 地 1 200 米处相遇; (7 分) (3)当 0≤x<20 时,s= 3 600-60x-120x= 3 600-180x;当 20 ≤x≤30 时,s=60x+120x-3 600 = 180x-3 600;当 30<x≤60 时, s = 60x. 所 以 s 与 x 的 函 数 关 系 式 为 s = 3 600-180x(0≤x<20) 180x-3 600(20≤x≤30) 60x(30<x≤60){ ,图象如图所示. (11 分) 第五章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C C B D D B C B B 1. B　 2. C 3. C　 【解析】 2x+y= 3①x-2y= 5②{ ,①-②得 x+3y = -2,∴ 2(x+3y) = -4,即 2x+6y= -4. 故选 C. 4. B　 【解析】由题意得 -m-n= 6-2m+n= 6{ ,解得 m= -4 n= -2{ ,∴ m+n = -6. 故选 B. 5. D 6. D　 【解析】把 x= 1 代入 x+y = 3 可得 y = 2,由题意得 1+ 2p= 0,解得 p= - 1 2 . 故选 D. 7. B　 8. C 9. B　 【解析】将 x= 1y= 6{ 代入 x+by= 7,得 1+6b= 7,解得 b= 1; 将 x= -1 y= 12{ 代入 ax+y = 10,得-a+12 = 10,解得 a = 2. ∴ 原 方程组为 2x+y= 10 x+y= 7{ ,解得 x= 3 y= 4{ . 故选 B. 10. B　 【解析】设较长铁棒的长度为 xcm,较短铁棒的长度 为 ycm,由题意得 x-y= 20 2 3 x= 3 4 y{ ,解得 x= 180y= 160{ ,∴ 较长铁棒 的长度为 180cm,较短铁棒的长度为 160cm,故②正确; ∴ 两根铁棒的长度和为 180+160 = 340(cm),故①正确, ③不正确;∴ 较长铁棒露出水面的长度为 180× 1 3 = 60 (cm),较短铁棒露出水面的长度为 160× 1 4 = 40(cm), 故④正确,因此正确的结论是①②④,共 3 个. 故选 B. 11. 2x-y= 10x-y= 6{ (答案不唯一) 12. 1　 【解析】把 x= by= 1{ 代入 x+y= 3 2x-ay= 5{ ,得 b+1 = 3 2b-a= 5{ ,解得 a= -1 b= 2{ ,所以 a b =(-1) 2 = 1. 13. 1 14. 81　 【解析】由题意可得 x+y= 1352x= 3y{ ,解得 x= 81 y= 54{ ,即需要 81 米布料做玩偶 A. 15. 8　 【解析】10 公里的时候价钱为 8+1. 9×(10-2)= 23. 2 (元),则设图中 10 公里内线段表达式为 y = kx+b,将(2, 8),(10,23. 2)代入,得 8 = 2k+b23. 2 = 10k+b{ ,解得 k= 1. 9 b= 4. 2{ ,∴ 10 公里内线段表达式为 y= 1. 9x+4. 2(2≤x≤10),当 y = 19. 4 时,x= 8,∴ 小明乘车的路程为 8 公里. 16. 解:(1) 3x-y= 7①5x+2y= 8②{ ,由①得 y = 3x- 7③,把③代入②, 得 5x+6x-14 = 8,解得 x = 2,把 x = 2 代入③,得 y = -1, ∴ 方程组的解为 x= 2y= -1{ . (4 分) (2)方程组整理得 3m+4n= 120①4m-3n= 60②{ ,①×3+②×4,得 25m = 600,解得 m = 24,把 m = 24 代入①,得 n = 12,则方程 组的解为 m= 24n= 12{ . (8 分) 17. 解:(1)甲同学的解题过程有错误. ①-②时未给②中等 号前面的式子添括号致错. 用的加减消元法;乙同学的 解题过程也有错误. 将③代入②时未给③中的式子添 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBB·数学　 第 9 页