第五章 追梦基础训练卷(一)(二元一次方程组的认识、解法及应用)-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（北师大版）

第五章追梦基础训练卷(一) 二元一次方程组的认识、解法及应用 测试时间:120 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分:　 　 　 　 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 下列方程组中,是二元一次方程组的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. x+y= 2 y-z= 1{ B. 1 x + 1 y = 1 x+y= 2 ì î í ï ï ï ï C. xy= 1 2y-x= 3{ D. x+y= 4 3x-y= 5{ 2. 若 x= 2 y= 1{ 是关于 x,y 的二元一次方程 1-ay= 3x 的一组解,则 a 的 值为(　 　 ) A. -5 B. -1 C. 2 D. 7 3. 二元一次方程 x + 3y = 4 有一组解互为相反数, 则 y 的值 是(　 　 ) A. 1 B. -1 C. 0 D. 2 4. 已知二元一次方程组 2x+5y= 13① 3x-7y= -7②{ ,用加减消元法解方程组正 确的是(　 　 ) A. ①×5-②×7 B. ①×2+②×3 C. ①×3-②×2 D. ①×7-②×5 5. 若 x、y 均为非负数,则方程 6x= -7y 的解的情况是(　 　 ) A. 无解 B. 有唯一一个解 C. 有无数多个解 D. 不能确定 6. 学科内融合 已知点 A ( m, n), 且 m、 n 为二元一次方程组 m+n= 1 m-n= 5{ 的解,则点 A 在(　 　 ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 将 8 个一样大小的小长方形进行拼图,可以拼成如图 1 所示的 一个大长方形,或拼成如图 2 所示的大正方形,中间留下了一个 边长为 2 cm 的小正方形,求小长方形的长和宽. 若设小长方形 的长为 x cm,宽为 y cm,则下列所列方程组正确的是(　 　 ) 图 1 　 　 　 　 　 　 图 2 A. 5x= 3y 2x= y+2{ B. 3x= 5y x+2 = 2y{ C. 5x= 3y x+2 = 2y{ D. 3x= 5y 2x= y+2{ 8. 学习情境·墨迹覆盖 小亮解方程组 2x+y= ● 2x-y= 12{ 的解为 x= 5 y= ★{ ,由 于不小心滴上了两滴墨水,刚好遮住了两个数●和★,则两个数 ●与★的值分别为(　 　 ) A. 8,-2 B. 8,2 C. -8,2 D. -8,-2 9. 学习情境·同解问题 如果方程组 ax-by= 13 4x-5y= 41{ 与 ax+by= 3 2x+3y= -7{ 有相 同的解,则 a,b 的值是(　 　 ) A. a= 2 b= 1{ B. a= 2 b= -3{ C. a= 5 2 b= 1 ì î í ï ï ï ï D. a= 4 b= -5{ 10. 生活情境·搭建帐篷 为安置 200 名因暴风雪受灾的灾民,需要 同时搭建可容纳 12 人和 8 人的两种帐篷,则搭建方案共 有(　 　 ) A. 8 种 B. 9 种 C. 16 种 D. 17 种 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 若 5xm-1 + 5yn-3 = - 1 是关于 x,y 的二元一次方程,则 m+n = 　 　 　 　 . 12. 若(a+b-1) 2 + | 2a-b+7 | = 0,则 ab = 　 　 　 　 . 13. 一题多解 若二元一次方程组 x+y= 1 3x-y= 3{ 的解为 x=a y= b{ ,则 a-b = 　 　 　 . 14. 一个两位数,个位上的数字与十位上数字之和是 7,将十位和个 位对调后的新数比原数的 2 倍还大 2,则原两位数是　 　 　 　 . 15. 新定义 对于实数 x,y 我们定义一种新运算 F(x,y)= mx+ny(其 中 m,n 均为非零常数),等式右边是通常的四则运算,由这种运 算得到的数我们称之为线性数.例如 m= 3,n= 1 时,F(2,4)= 3× 2+1 × 4 = 10. 若 F ( 1, - 3) = 6, F ( 2, 5) = 1, 则 F ( 3, - 2) = 　 　 　 　 . 三、解答题(本大题 8 小题,共 75 分) 16. (8 分)解方程组: (1) y= x-4,① 2x+y= 6;②{ 　 　 　 　 　 (2) 2x+3 3 -5y+2 6 = -3,① 3x+8y= 7. ② ì î í ï ï ï ï 17. (8 分)下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程,请认真阅 读并完成相应的问题: 解方程组: 3x-y= 4① 6x-3y= 10②{ , 解:①×2,得 6x-2y= 8. ③…第一步 ②-③,得-y= 2. …第二步 解得 y= -2. …第三步 把 y= -2 代入①,得 3x-(-2)= 4. …第四步 解得 x= 2. …第五步 ∴ x= 2 y= 2{ . (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做　 　 　 　 　 　 法,以 上求解步骤中,马小虎同学从第 　 　 　 　 步开始出现 错误. (2)请写出此题正确的解答过程. 18. (9 分)已知关于 x,y 的方程组 2x+3y=m① x+2y= 2m-4②{ 的解满足 x+y = 5,求 m2 025 +2 的值. ·51· 19. 学习情境·错解问题 ( 9 分 ) 在 解 关 于 x, y 的 方 程 组 ax+by= 2 cx-7y= 8{ 时,老师告诉同学们正确的解是 x= 3 y= -2{ ,小明由于看 错了系数 c,因而得到的解为 x= -2 y= 2{ ,试求 a+b+c 的值. 20. 生产劳动情境·河道整理 (10 分)某县在创建省级卫生文明县 城中,对县城内的河道进行整治. 现有一段长为 180 米的河道 整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成. 甲工程队每天整 治 8 米,乙工程队每天整治 12 米,共用时 20 天. 求整治任务完 成后,甲、乙工程队分别整治河道的长度. (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下: 小明同学:设整治任务完成后,甲工程队整治河道 x 米,乙 工程队整治河道 y 米. 根据题意,得 x+y= (　 　 ) ( 　 　 ) +(　 　 )= 20{ . 小华同学:设整治任务完成后,m 表示 　 , n 表示　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; 得 m+n= 20 (　 　 ) +(　 　 )= (　 　 ){ . 请你补全小明、小华两位同学的解题思路. (2)请从中任选一个方程组求解. (写出完整的解答过程) 21. 数学思想·整体思想 (10 分)请阅读下列材料,解答问题: 材料:解方程组 5(x+y) -3(x-y)= 2 2(x+y) +4(x-y)= 6{ ,若设 x+y = m,x-y = n,则 原方程组可变形为 5m-3n= 2 2m+4n= 6{ ,用加减消元法解得 m= 1 n= 1{ ,所以 x+y= 1 x-y= 1{ ,再解这个方程组得 x= 1 y= 0{ . 由此可以看出,在上述解方 程组过程中,把某个式子看成一个整体,用一个字母去代替它, 我们把这种解方程组的方法叫换元法. 问题:请你用上述方法解方程组 x+y 3 +x-y 2 = 1 2(x+y) -3x+3y= 6 ì î í ï ï ï ï . 22. (10 分)根据下表素材,完成表中的两个任务. 背景 某电商平台“双十一”年终大促销活动中,某数学 兴趣小组想通过此电商平台购买学习用品. 素材 1 电商平台“双十一”年终大促销活动规则如下:单 价不变,所购商品按原总价每满 300 减 50 元. (如: 所购商品原总价为 300 元,可减 50 元,实付款 250 元) . 素材 2 电商平台文具店: 购买 5 本笔记本和 4 支钢笔共花费 105 元; 购买 6 本笔记本和 2 支钢笔共花费 98 元. 问题解决 任务 1 确定单价 求笔 记 本 和 钢 笔 的 单 价 各 多 少元? 任务 2 确定方案 此兴趣小组计划花费 260 元购买 笔记本和钢笔(笔记本和钢笔都 有购买),请你求出促销活动前后 的购买方案. 23. 新定义 (11 分)把形如 y=ax+b(其中 a、b 是常数)这样的方程 称为“雅系二元一次方程” . 当 y= x 时,“雅系二元一次方程”y= ax+b 中 x 的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值” .例如:当 y =x 时,“雅系二元一次方程”y= 3x-4 化为 x= 3x-4,其“完美值” 为 x= 2. (1)求“雅系二元一次方程”y= -5x+6 的“完美值”; (2)x= 3 是“雅系二元一次方程” y = 3x+m 的“完美值”,求 m 的值; (3)“雅系二元一次方程”y= kx+1(k≠0,k 是常数)存在“完美 值”吗? 若存在,请求出其“完美值”,若不存在,请说明 理由. ·61· 23. 解:(1)根据题意,得 5a= 7. 5,解得 a= 1. 5, (2 分) 6×1. 5+(9-6)c= 27,解得 c= 6; (4 分) (2)根据题意,得当 x≤6 时,y= 1. 5x; (6 分) 当 x>6 时,y= 6×1. 5+6(x-6)= 6x-27; (8 分) (3)因为 x= 8>6,所以把 x= 8 代入 y= 6x-27 中,得 y= 6 ×8-27 = 21(元) . 答:该户 11 月份水费是 21 元. (10 分) 24. 解:(1)时间　 路程 (4 分) (2) 由图可知:9 时,10 时,12 时所走的路程分别是 4km,9km,15km; (6 分) (3)根据图象可得,该旅行者休息的时间为:0. 5 小时; (8 分) (4)根据图象得:(15-9) ÷(12-10. 5)= 4(km / h). 即他 从休息后直至到达目的地这段时间的平均速度是 4km / h. (10 分) 25. 解:由题意得 DE=CE. (1 分) 因为 DA⊥AB,CB⊥AB,所以∠A = ∠B = 90°. 所以 AE2 + AD2 =DE2 ,BE2 +BC2 =EC2 ,所以 AE2 +AD2 =BE2 +BC2 . (3 分) 设 AE= xkm,则 BE=AB-AE= (25-x)km. 所以 x2 +152 = (25-x) 2 +102 , (7 分) 解得 x= 10,所以 AE= 10km. (11 分) 所以收购站 E 应建在离 A 点 10km 处. (12 分) 26. 解:(1)因为直线 y = - 2x+ 1 过点 B,点 B 的横坐标为 -1,所以 y= -2×(-1)+1 = 3,所以 B(-1,3) . (1 分) 因为直线 y= kx+4 过点 B,所以 3 = -k+4,解得 k= 1; (3 分) (2)因为 k= 1,所以直线 y= x+4. (4 分) 当 y= 0 时,x+4 = 0,x= -4,所以 D(-4,0) . 又因为点 E 为 y= -2x+1 与 x 轴的交点,当 y= 0 时,-2x +1 = 0,所以 x= 1 2 ,所以 E( 1 2 ,0), (6 分) 所以 DE= 1 2 -(-4)= 9 2 . (7 分) 所以 S△BDE = 1 2 × 9 2 ×3 = 27 4 ; (9 分) (3)对直线 y= -2x+1,当 x=a 时,y= -2a+1. 对直线 y= x+4,当 x=a 时,y=a+4, 所以 G(a,-2a+1),F(a,a+4) . (11 分) 因为 FG= 6,所以 a+4-(-2a+1)= 6,解得 a= 1. (13 分) 第五章追梦基础训练卷(一) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A D C B D B A A A 1. D　 2. A 3. D　 【解析】因为 x、y 互为相反数,所以 x+y= 0①. 又因为 x+3y= 4②,由①②组成方程组 x+y= 0x+3y= 4{ ,解得 y = 2. 故 选 D. 4. C 5. B　 【解析】由题意得 x≥0,y≥0,则方程 6x = -7y 的解的 情况是 x= 0 y= 0{ ,有唯一一个解. 故选 B. 6. D　 7. B 8. A　 【解析】把 x= 5 代入 2x-y= 12 中,得 y= -2,把 x= 5,y = -2 代入 2x+y= 10-2 = 8,则“●”“★”表示的数分别为 8,-2. 故选 A. 9. A　 10. A　 【解析】设 12 人的帐篷有 x 顶,8 人的帐篷有 y 顶, 依题意,有 12x+8y= 200,整理得 y = 25-1. 5x. 因为 x、y 均 为 正 整 数, 所 以 x= 2y= 22{ , x= 4 y= 19{ , x= 6 y= 16{ , x= 8 y= 13{ , x= 10 y= 10{ , x= 12 y= 7{ , x= 14 y= 4{ , x= 16 y= 1{ . 所以共有 8 种搭建方 案. 故选 A. 11. 6 12. - 8 　 【解析】 ∵ ( a + b - 1) 2 + | 2a - b + 7 | = 0, ∴ a+b-1 = 0 2a-b+7 = 0{ ,解得 a= -2 b= 3{ ,∴ a b =(-2) 3 = -8. 13. 1 　 【解析 】 解 法 一: 将 x=ay= b{ 代 入 原 方 程 组, 得 a+b= 1① 3a-b= 3②{ ,②-①,得 2a-2b= 2,所以 a-b= 1. 解法二: x+y= 1① 3x-y= 3②{ ,②+①得 4x = 4,x = 1,把 x = 1 代入①,得 y = 0,∴ x= 1y= 0{ . ∵ x+y= 1 3x-y= 3{ 的解为 x=a y= b{ ,∴ a-b= x-y= 1. 14. 25 15. 11　 【解析】由题意,得 m-3n= 62m+5n= 1{ ,解得 m= 3 n= -1{ ,即 F (x,y)= 3x-y,则 F(3,-2)= 3×3-(-2)= 11. 16. 解:(1)将①代入②,得 2x+x-4 = 6,解得 x= 10 3 . (2 分) 把 x= 10 3 代入①得,y= - 2 3 ,则方程组的解为 x= 10 3 y= - 2 3 ì î í ï ï ïï ; (4 分) (2)由①,得 4x+6-5y-2=-18,即 4x-5y=-22 ③. ②×5+③×8,得 47x= -141,解得 x= -3. (6 分) 把 x= -3 代入②,得-9+8y= 7,解得 y= 2, 则方程组的解为 x= -3y= 2{ . (8 分) 17. 解:(1)加减消元　 五 (4 分) (2)①×2,得 6x-2y= 8③,②-③,得-y = 2,解得 y = -2, 把 y= -2 代入①,得 3x-(-2)= 4,解得 x= 2 3 ,故原方程 组的解为 x= 2 3 y= -2 { . (8 分) 18. 解: 2x+3y=m①x+2y= 2m-4②{ ,①-②,得 x+y= 4-m. (3 分) 由题可知 x+y= 5,所以 4-m= 5,解得 m= -1. (6 分) 所以 m2 025 +2 = (-1) 2 025 +2 = 1. (9 分) 19. 解: 将 x= 3y= -2{ , x= -2 y= 2{ 分 别 代 入 ax + by = 2, 得 3a-2b= 2 -2a+2b= 2{ ,解得 a= 4 b= 5{ , (4 分) 将 x= 3y= -2{ 代入 cx-7y= 8 得:3c+14 = 8,解得 c= -2, (8 分) 则 a+b+c= 7. (9 分) 20. 解:(1)180　 x 8 　 y 12 (3 分) 甲工程队整治河道用的天数　 乙工程队整治河道用的 天数　 8m　 12n　 180 (6 分) (2)选小明同学所列方程组解答如下: x+y=180 ① x 8 + y 12 =20 ②{ , 由②×24,得 3x+2y = 480 ③. 由①×2,得 2x+2y = 360 ④. 由③-④,得 x= 120. 把 x= 120 代入①,得 y= 60,(9 分) 答:甲工程队整治河道 120 米,乙工程队整治河道 60 米. (答案不唯一) (10 分) 21. 解: 设 x + y = m, x - y = n, 则 原 方 程 组 可 变 形 为 m 3 + n 2 = 1 2m-3n= 6 { ,解得 m= 3n= 0{ , (5 分) 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBB·数学　 第 7 页 所以 x+y= 3x-y= 0{ ,解得 x= 3 2 y= 3 2 ì î í ï ï ïï , (9 分) 所以原方程组的解为 x= 3 2 y= 3 2 ì î í ï ï ïï . (10 分) 22. 解:任务 1:设笔记本的单价是 x 元,钢笔的单价是 y 元,根据题意得: 5x+4y= 1056x+2y= 98{ ,解得 x= 13 y= 10{ . 答:笔记本 的单价是 13 元,钢笔的单价是 10 元; (4 分) 任务 2:促销前:设购买 a 本笔记本,b 支钢笔,根据题意 得:13a+10b= 260,∴ a= 20- 10 13 b,又∵ a,b 均为正整数, ∴ a= 10b= 13{ ,∴ 促销前共有 1 种购买方案,购买 10 本笔记 本,13 支钢笔; (7 分) 促销后:设购买 c 本笔记本,d 支钢笔,根据题意得:13c +10d= 260+50,∴ d = 31- 13 10 c,又∵ c,d 均为正整数,∴ c= 10 d= 18{ 或 c= 20 d= 5{ ,∴ 促销后共有 2 种购买方案, (9 分) 方案 1:购买 10 本笔记本,18 支钢笔;方案 2:购买 20 本 笔记本,5 支钢笔. 答:促销前:购买 10 本笔记本,13 支 钢笔;促销后共有 2 种购买方案,方案 1:购买 10 本笔 记本,18 支钢笔;方案 2:购买 20 本笔记本,5 支钢笔. (10 分) 23. 解:(1)由题意,得 x= -5x+6,解得 x= 1,所以“雅系二元 一次方程”y= -5x+6 的“完美值”为 x= 1; (3 分) (2)把 x= 3 代入 x= 3x+m 中,解得 m= -6; (6 分) (3)若“雅系二元一次方程” y = kx+ 1( k≠0,k 是常数) 存在“完美值”,则有 x= kx+1,所以(1-k)x= 1. (7 分) 当 k= 1 时,不存在“完美值”; (9 分) 当 k≠1,k≠0 时,存在“完美值”x= 1 1-k . (11 分) 第五章追梦基础训练卷(二) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A A A A C B A B C B 1. A　 2. A 3. A　 【解析】设一次函数的解析式为 y = kx+b(k≠0),∵ x = -2 时 y= 3,x= 1 时 y= 0,∴ -2k+b= 3k+b= 0{ ,解得 k= -1 b= 1{ ,∴ 一次函数的解析式为 y= -x+1,∴ 当 x= 0 时,y = 1,即 p = 1. 故选 A. 4. A 5. C　 【解析】将(2,-1)、(-3,4)代入一次函数 y = kx+b 中 得 2k+b= -1 -3k+b= 4{ ,解得 k= -1 b= 1{ ,∴ 一次函数解析式为 y = -x+ 1 不经过第三象限. 故选 C. 6. B　 7. A 8. B 　 【解析 】 设 一 次 函 数 解 析 式 为 y = kx + b, 则 15k+b= 18 30k+b= 24{ ,解得 k= 0. 4 b= 12{ ,∴ 一次函数解析式为 y = 0. 4x +12. 当 x= 50 时,y= 0. 4×50+12 = 32,即这种莴笋可能达 到的最大高度是 32cm. 故选 B. 9. C　 【解析】∵ 一次函数 y = kx+b 的图象经过第一、二、四 象限,∴ k<0,∴ 函数 y 随 x 的增大而减小,∵ 当 2≤x≤4 时,4≤y≤6,∴ 当 x = 2 时,y = 6;当 x = 4 时,y = 4,∴ 2k+b= 6 4k+b= 4{ ,解得 k= -1 b= 8{ ,∴ b+k= 7. 故选 C. 10. B　 【解析】因为点 C 的横坐标为 2,所以当 x = 2 时,y = 1 3 x= 2 3 ,所以 C(2, 2 3 ) . 把 C(2, 2 3 )代入 y = kx+2,得 k = - 2 3 ,所以 y= - 2 3 x+2. 当 x = 0 时,y = 2. 当 y = 0 时,x = 3,所以 B(0,2),A(3,0),所以①关于 x 的方程 kx+2 = 0 的解为 x= 3,正确;②对于直线 y= kx+2,当 x<3 时,y>0, 正确;③对于直线 y= kx+2,当 x>0 时,y<2,错误;④因为 C(2, 2 3 ),所以方程组 3y-x= 0y-kx= 2{ 的解为 x= 2 y= 2 3 { ,正确. 故 选 B. 11. 2　 【解析】因为以关于 x、y 的二元一次方程 x-2y+b = 0 的解为坐标的点(x,y)都在直线 y = 1 2 x+b- 1 上,直线 解析式乘以 2 得 2y= x+2b-2,变形为 x-2y+2b-2 = 0,所 以-b+2b-2 = 0,解得 b= 2. 12. (2,5) 13. y= x-3y= -2x+3{ 　 【解析】设直线 l1 的解析式为 y = kx+b. 由 图可 知 直 线 l1 经 过 点 ( 0, - 3) 与 ( 2, - 1), 所 以 b= -3 2k+b= -1{ ,解得 k= 1 b= -3{ ,则直线 l1 的解析式为 y = x-3. 同法可求直线 l2 的解析式为 y = -2x+3. 所以直线 l1、l2 的交点坐标可以看作方程组 y= x-3 y= -2x+3{ 的解. 14. 82 3 15. 2 或 5　 【解析】令 y=x+1 中 y= 0,则 x=-1. 则 A(-1,0). 联立 y= x+1 y= 1 2 x+2{ ,解得 x= 2y= 3{ ,所以 B(2,3) . 因为∠BAC ≠90°,所以若△ABC 为直角三角形,则分两种情况:① ∠ACB= 90°,C 点的横坐标与 B 的横坐标相同,所以 C (2,0);②∠ABC= 90°,则 AC2 =AB2 +BC2 . 设 C(x,0),则 AC2 =(x+1) 2,AB2 =(2+1) 2 +32,BC2 = (2-x) 2 +32,所以 (x+1) 2 =(2+1) 2 +32 +(2-x) 2 +32,解得 x= 5. 所以 C(5, 0),综上,点 C 的横坐标为 2 或 5. 16. 解:(1) 3x+5y= 11①2x-y= 3②{ ,①+②×5,得 13x= 26,解得 x= 2. (2 分) 把 x= 2 代入②,得 y= 1, (3 分) 则方程组的解为 x= 2y= 1{ ; (4 分) (2) 2x+3y-z= 9 ① x+y+z= 15 ② 5x-4y-z= 0 ③{ ,①+②,得 3x+4y= 24 ④. (5 分) ②+③,得 6x-3y= 15,即 2x-y= 5⑤, (6 分) ④+⑤×4,得 11x= 44,解得 x= 4. 把 x= 4 代入④,得 12+ 4y= 24. 解得 y= 3. 把 x= 4,y= 3 代入②,得 z= 8,(7 分) 则方程组的解为 x= 4 y= 3 z= 8{ . (8 分) 17. 解:(1)如图: (4 分) (2)根据图象得到直线 y= 2x-3 与直线 y= 2x+1 平行, (6 分) 所以方程组 y-2x= -3y-2x= 1{ 无解. (8 分) 18. 解:(1)解方程组 y= -x+1y= 2x-5{ ,得 x= 2 y= -1{ ,所以点 P 的坐标 为(2,-1) . (4 分) (2)把 x= 0 代入 y= -x+1 得:y= 1;把 x= 0 代入 y= 2x-5 得:y= -5,所以点 A 的坐标为(0,1),点 B 的坐标为(0, -5) . 所以 AB= 1-(-5)= 6, (6 分) 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBB·数学　 第 8 页