6.1几何图形 　课件　 2024—2025学年人教版数学七年级上册

6.1 几何图形 第六章 几何图形初步 知识点 几何图形与立体图形 知1－讲 1 1. 几何图形 长方体、圆柱、球、长(正)方形、圆、线段、点等，都是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是几何图形. 2. 立体图形 有些几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形. ••• 感悟新知 知1－讲 3. 常见的立体图形 名称 图例 特征 柱 体 圆柱 底面是圆； 侧面是曲面 两个底面互相平行 棱柱 底面是多边形；侧面都是四边形 感悟新知 知1－讲 名称 图例 特征 锥 体 圆锥 底面是圆； 侧面是曲面 只有一个顶 点 棱锥 底面是多边形；侧面都是三角形 各侧面有一 个公共顶点 感悟新知 知1－讲 名称 图例 特征 球 表面是曲面 感悟新知 知1－讲 特别解读 1.从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形.几何图形分为立体图形和平面图形两类. 2.几何研究的内容是物体的形状(如方的、圆的等)、大小(如长度、面积、体积等)和位置关系(如垂直、平行等.) ▲▲ ▲▲ ▲▲ ▲▲ 感悟新知 知1－练 例 1 如图6.1-1，在每个立体图形下面写出其名称. 三棱柱 圆柱 长方体 圆锥 四棱柱 正方体 球 感悟新知 知1－练 解题秘方：根据各类立体图形的外形特征去识别. 方法点拨：识别立体图形的步骤： 感悟新知 知1－练 1-1.[中考· 北京] 下面几何体中，是圆锥的为( ) 1-2. 如图所示的物体是由_______、 _______ 、 _______这三个立体图形组成的. B 圆柱体 三棱 长方体 感悟新知 知2－讲 知识点 平面图形 2 1. 平面图形 有些几何图形(如线段、角、三角形、长方形、圆等)的各部分都在同一平面内，它们是平面图形. •• 感悟新知 知2－讲 2. 平面图形与立体图形的区别与联系 平面图形 立体图形 区别 各部分都在同一平面内 各部分不都在同一平面内 联系 立体图形中的某些部分是平面图形，研究立体图形时，常把它转化为平面图形 感悟新知 知2－讲 3. 常见的平面图形(如图6 .1 -2) 感悟新知 知2－讲 特别提醒 1.一般常用虚线表示立体图形中被遮挡的部分，这也是区别立体图形和平面图形的标准之一. 2.平面图形没有薄厚之分，更没有体积的存在. 感悟新知 知2－练 [母题 教材P152练习T2]找出下列图形中(如图6.1-3)的平面图 形和立体 图形. 例 2 感悟新知 知2－练 解题秘方：紧扣几何图形分为两类：立体图形和平面图形. 解：平面图形：(2)(5)(7). 立体图形：(1)(3)(4)(6)(8). 感悟新知 知2－练 2-1. 如图是交通禁止驶入标志，组成这个标志的几何图形有( ) A. 圆、长方形 B. 圆、正方形 C. 球、长方形 D. 球、正方形 A 感悟新知 知2－练 2-2. 下列各图分别是由哪些平面图形组成的？请你分别写出来. 解：(1)正方形、长方形、三角形、圆； (2)圆、六边形；(3)三角形、五边形． 感悟新知 知3－讲 知识点 从不同方向看立体图形 3 1. 从不同方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形，一般从三个方向看：从前面看，从左面看，从上面看. •••• •••• •••• 感悟新知 知3－讲 2. 常见的立体图形从不同方向看到的平面图形 从前面看 从左面看 从上面看 感悟新知 知3－讲 知识链接 从前面看反映了物体的长和高，从左面看，反映了物体的宽和高，从上面看，反映了物体的长和宽. 感悟新知 知3－练 如图6.1-4 中4 个立体图形，从左面看得到的平面图形是四边形的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 例 3 感悟新知 知3－练 解题秘方：逐一判断各个立体图形从左面看到的平面图形后，进行分辨计数. 解：从左面看图6 .1 -4 ①②④所示的立体图形，得到的平面图形都是四边形；从左面看图6 .1 -4 ③所示的立体图形，得到的平面图形是三角形. 答案：C 感悟新知 知3－练 3-1.[期末·北京昌平区] 下列四个几何体中，从上面看是三角形的是( ) D 感悟新知 知3－练 如图6.1-5 是由5 个完全相同的小正方体组成的立体图形，从前面看到的平面图形是图6.1-6 中的(　 ) 例 4 感悟新知 知3－练 解题秘方：从看到的列数及每一列小正方形的个数进行判断. 解：解：从前面看，一共有两列，从左到右小正方形的个数分别为3，1. 答案：D 感悟新知 知3－练 4-1. 如图，用15 个大小相等的小正方体搭成如图所示的三个几何体，从哪个方向看这三个几何体所得到的平面图形是完全一样的？( ) A. 前面 B. 上面 C. 左面 D. 都不一样 A 感悟新知 知3－练 一个几何体从三个不同的方向看到的平面图形如图 6.1-7，则这个几何体是(　 ) A. 四棱柱 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 球 例 5 感悟新知 知3－练 解题秘方：根据从三个不同的方向看到的平面图形，将立体图形还原即可，或者对四个选项分别加以验证. 答案：B 感悟新知 知3－练 5-1.[中考·湖州] 已知某几何体从三个不同方向看到的平面图形如图所示，则该几何体可能是( ) A 感悟新知 知4－讲 知识点 立体图形的展开图 4 1. 立体图形的展开图 有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当展开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图. 感悟新知 知4－讲 2. 常见立体图形的展开图 名称 正方体 长方体 五棱柱 圆柱 圆锥 立体 图形 展开图 (举例) 感悟新知 知4－讲 特别提醒 1. 同一个立体图形，按不同的方式展开，可能得到不同的平面图形.但展开图中平面图形的个数与立体图形的面数相同. 2.不是所有的立体图形都有展开图，如球就没有展开图. 感悟新知 知4－练 如图6.1-8 所示的平面图形是某些立体图形的展开图，请写出各平面图形所对应的立体图形的名称. 例 6 感悟新知 知4－练 解题秘方：把每一个展开图进行折叠即可判断. 解：(1)正方体；(2)圆柱；(3)三棱柱；(4)圆锥；(5)四棱锥. 感悟新知 知4－练 方法点拨：根据展开图判断立体图形形状的方法 (1)展开图全是长方形或正方形时，要考虑长方体或正方体； (2)展开图中有三角形时，要考虑三棱柱或棱锥； (3)展开图中有长方形(或正方形)和圆时，要考虑圆柱； (4)展开图中有扇形时，要考虑圆锥. 感悟新知 知4－练 6-1.[期末·北京大兴区] 如图是由下列哪个立体图形展开得到的？( ) A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱 B 感悟新知 知4－练 如图6.1-9 所示的11 个图形中，是正方体展开图的是____________ .(填序号) 例 7 感悟新知 知4－练 解题秘方：熟练掌握正方体的11 种展开图的特点是解题的关键. 解：解：如图6.1-9，⑤中有7 个正方形，①③⑩中只有5 个正方形，因此①③⑤⑩不是正方体的展开图； ⑥ k 中带有“田”字，故⑥ k 不是正方体的展开图； ②④折叠后均有1 个面重叠，所以不是正方体的展开图. 所以只有⑦⑧⑨是正方体的展开图. 答案：⑦⑧⑨ 感悟新知 知4－练 方法技巧：如图6.1-10 是正方体的各种展开图. 正方体展开图中不能出现“田、凹、L”三种形状. 感悟新知 知4－练 7-1.[中考· 江西] 如图是4×3 的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有( ) A.1 种 B.2 种 C.3 种 D.4 种 B 感悟新知 知4－练 [立德树人 家国情怀]小红通过学习中国现代史了解到遵义会议是中国共产党成立以来，第一次独立自主地运用马列主义基本原理解决自己的路线、方针和政策问题的会议. 如图6.1-11，她将路线、方针、政策六个字分别填写在正方体的展开图上，折叠成正方体后， 与“路”字相对的面上的字是( ) A. 方 B. 针 C. 政 D. 策 例 8 感悟新知 知4－练 解题秘方：根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“相间、Z 端是相对面”，即可解答. 解：由题意得，与“路”字相对的面上的字是“方”. 答案：A 感悟新知 知4－练 方法点拨：根据正方体的展开图确定相对面的方法 动手操作 画一个与该展开图相同的图形，剪下来， 折成正方体判断 空间想象 想象展开图折成正方体后，与该面相对的面是哪一个 利用特征 相间、“Z”端是相对面，如：A 和B 是相对面 感悟新知 知4－练 8-1.[中考·盐城] 正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是(　　) A. 湿 B. 地 C. 之 D. 都 C 感悟新知 知5－讲 知识点 点、线、面、体 5 1. 点、线、面、体的概念 体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体. 面：包围着体的是面. 面有平的面和曲的面两种. 线：面和面相交的地方形成线. 线有直线和曲线. 点：线和线相交的地方是点. ••• •••• • ••• ••• ••••• •• •• ••••• 感悟新知 知5－讲 2. 点、线、面、体的关系 感悟新知 知5－讲 特别解读 1. 几何中的点只有位置，没有大小；线只有长短，没有粗细；面只有大小，没有薄厚. 2. 一般地，有曲面的几何体都可以由某个平面图形旋转得到，将一个平面图形旋转成立体图形需要明确旋转轴. 感悟新知 知5－练 观察如图6.1-12 所示的立体图形，说出它们的名称，各有几个面，这些面是平面还是曲面？面和面相交的地方形成了几条线？这些线是直的还是曲的？线和线相交的地方形成了几个点？ 例 9 感悟新知 知5－练 解题秘方：根据点、线、面、体的概念分别进行判断. 解： 立体图形 名称 面的个数 面的特征 面与面交线的条数 线与线交点的个数 (1) 正方体 6 平面 12(直的) 8 (2) 三棱锥 4 平面 6(直的) 4 (3) 圆柱 3 两个平面，一个曲面 2(曲的) 0 (4) 圆锥 2 一个平面，一个曲面 1(曲的) 不存在 (5) 球 1 曲面 不存在 不存在 感悟新知 知5－练 9-1.[期中·平顶山汝州市] 下列说法不正确的是(　　) A. 五棱柱有10 个顶点 B. 棱柱侧面的形状可能是一个三角形 C.“流星划过天空留下一道光线”能说明“点动成线” D. 圆锥由两个面围成，这两个面中， 一个面是平的，一个面是曲的 B 感悟新知 知5－练 将如图6 .1 -1 3 的直角三角形绕其一条边所在的直线旋转一周后形成的几何体不可能是图6 .1 -1 4 中的( ) 例 10 感悟新知 知5－练 解题秘方：从旋转轴入手，旋转轴不同，形成的几何体不同. 解：将一个直角三角形绕其一条边所在的直线旋转，旋转轴不同，得到的几何体不同(如图6 .1 -1 5). 答案：C 感悟新知 知5－练 10-1.[期末·淄博淄川区] 下列立体图形中，不能由一个平面图形经过旋转得到的是( ) D 感悟新知 几何图形 几何图形 相互 转化 立体图形 平面图形 从不同方向看 展开图 点、线、面、体 要素 课堂小结 把一个正方体的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形如图6.1-16，根据各面上的图案可判断这个正方体是图6.1-17 中的( ) 题型 带图案的正方体展开图 1 例 11 综合应用创新 思路引导： 解：选项A，B 中两个圆所在的两个面相邻，故排除选项A，B；选项D 中的正方体展开后，两个阴影三角形的位置与所给展开图不符，故排除选项D. 故选项C 符合题意. 答案：C •• •• 综合应用创新 技巧点拨 解这类题时，可以根据表面展开图想象出折成正方体后相邻的两个面上图案的特征，经过比较，得出结论，也可以根据给出的选项，想象它们的展开图，用排除法来选. ▲▲▲ 综合应用创新 [新趋势 学科内综合]如图6.1-18，这是一个正方体的表面展开图，且正方体相对面上的两个数互为相反数. 题型 列代数式表示实际问题 2 例 12 综合应用创新 (1)a=____，b=____，c=____； 3 解题秘方：根据正方体的表面展开图特点找到a，b，c 相对应的数字，再根据相反数的概念即可解题. －1 5 解：由正方体的表面展开图特点可知，a 与－3 相对，b与1 相对，c 与－5 相对. 因为正方体相对面上的两个数互为相反数，所以a=3，b=－1，c=5 . 综合应用创新 (2)求a2－2b2－3c2 的值. 解：当a=3，b=－1，c=5 时，a2－2b2－3c2= 32－2×(－1)2－3×5 2=9－2 －75 =－68 . 综合应用创新 解题通法 正方体表面展开图中相对面的识别方法：同一行或同一列中，间隔一个面的两个面是相对面. 综合应用创新 [新视角 操作探究题]某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为a 的正方形纸板制作出两种不同的长方体纸盒(图6.1-19 ①为无盖的长方体纸盒， 图6.1-19 ②为有 盖的长方体纸盒). 例 13 题型 利用展开图求表面积或体积 3 综合应用创新 【操作一】根据图6.1-19 ①方式制作一个无盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小、边长为b 的小正方形，再沿虚线折叠起来. 综合应用创新 思路引导： 综合应用创新 问题解决：(1)若a=12 cm，b=3 cm，则长方体纸盒的底面 积为_______； 解：由题意可知长方体纸盒的底面是边长为12 －3×2 =6(cm)的正方形，因此底面积为6×6=36(cm2). 36 cm2 综合应用创新 【操作二】根据图6.1-19 ②方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b 的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来. 综合应用创新 拓展延伸：(2)若a=12 cm，b=2 cm，则该长方体纸盒的 体积为_______ ； 解：当a=12 cm，b=2 cm，该长方体纸盒的长为12－2×2 =8(cm)，宽为=4(cm)，高为2 cm，所以体积为8×4×2 =6 4(cm3). 64 cm3 综合应用创新 (3)现有两张边长a 均为30 cm 的正方形纸板，分别按图6.1-19 ①、图6.1-19 ② 的方式制作无盖和有盖的两个长方体纸盒，若b=5 cm，求无盖纸盒的体积是有盖纸盒体积的多少倍. 综合应用创新 当a=30 cm，b=5 cm 时，按图6.1 -1 9 ① 制作的无盖纸盒的体积为(30－5×2)(30－5×2)×5 =2000(cm3 )， 按图6 .1 -19 ② 制作的有盖纸盒的体积为(30 －5×2)××5 =1000(cm3 ).2000÷1000 =2 . 所以无盖纸盒的体积是有盖纸盒体积的2 倍. 综合应用创新 方法点拨 利用展开图求立体图形的表面积或体积时要掌握两个关系：一是平面图形与立体图形之间的关系；二是展开图中的数据与原立体图形中的数据之间的关系. 综合应用创新 易错点 对从三个不同方向看立体图形的理解有误 由若干个相同的小正方体搭成一个几何体，从不同方向观察该几何体所得到的平面图形如图6.1-20 所示，则搭成这个几何体所用小 正方体的个数是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 例14 综合应用创新 错解：C 正解：由从上面看所得平面图形可以确定该几何体最底 层有4 个小正方体；由从前面看所得平面图形可以确定该几何体只有2 层，且上面一层最多有2 个小正方体；再由从左面看所得平面图形可以确定上面一层只有1 个小正方体，所以搭成这个几何体所用小正方体的个数是4＋1 =5 . 答案：B 综合应用创新 诊误区： 根据从三个不同方向看立体图形得到的平面图形确定立体图形的形状时，不能只靠想象，还要分析其结构特征，如：从上面看到的平面图形应是立体图形中底面的形状. 综合应用创新 考法 认识立体图形 1 [中考·乐山] 如图6.1-21 的几何体中，是圆柱的为( ) 试题评析：本题考查立体图形的认识，根据各个选项中的几何体的形状特征进行判断即可. 解A 是圆锥，B 是球，C 是圆柱，D是四棱柱. C 例15 中考风向标 考法 确定从不同方向看立体图形得到的平面图形 2 [中考· 重庆] 四个大小相同的正方体搭成的几何体如图6.1-22 所示，从前面看到的平面图形是图6.1-23 中的( ) 例16 中考风向标 试题评析：本题以从不同方向看立体图形得到的平面图形考查学生空间想象能力，题目较为简单. 解：从前面看，可得选项A 的图形. 答案：A 中考风向标 考法 几何体展开图的判断 3 [中考·扬州]如图6.1－24 是棱锥侧面展开图的是(　　) 例17 试题评析：本题考查立体图形的展开图，由棱锥侧面展开图的特征可知答案. D 中考风向标 考法 由展开图确定几何体 4 [中考·扬州]如图6.1-25 是某几何体的展开图，该几何体是( ) A. 长方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 三棱柱 例18 中考风向标 试题评析：本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握常见几何体的展开图是解题的关键． 解：由展开图是两个圆和一个长方形可知，该几何体是圆柱. 答案：B 中考风向标 考法 利用立体图形的表面展开图的特征确定相对的面 3 [中考·广安] 将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，图6.1－26 是它的一种展开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是( ) A. 校 B. 安 C. 平 D. 园 例19 中考风向标 试题评析：本题考查了正方体相对面的判断方法，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键. 解：解：在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是“校”. 答案：A 中考风向标 1. [中考·重庆] 围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是(　　) A 综合素养训练 2. [中考·扬州]如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是( ) A. 三棱锥 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 长方体 C 综合素养训练 3. [新考向 传统文化]北宋时期的汝窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，下列说法正确的是( ) A. 从前面与从左面看到的平面图形相同 B. 从前面与从上面看到的平面图形相同 C. 从左边与从上面看到的平面图形相同 D. 从三个方向看到的平面图形都相同 A 综合素养训练 4. [中考·广西] 如图，将下面的平面图形绕直线l 旋转一周，得到的立体图形是( ) D 综合素养训练 5. 一个几何体从三个方向看到的图形如图，则这个几何体是( ) A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 圆柱 D. 长方体 B 综合素养训练 6. [新考向传统文化中考·德阳]走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日. 在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样，则在A，B，C处依次写上的字可以是( ) A. 吉 如 意 B. 意 吉 如 C. 吉 意 如 D. 意 如 吉 A 综合素养训练 7.[中考·宜宾] 如图是正方体表面展开图，将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是(　　) A.B 点 B.C 点 C.D 点 D.E 点 B 综合素养训练 8. [新趋势 跨学科综合]诗人张协在《杂诗十首》中用“腾云似涌烟，密雨如散丝”描写雨的细密． 其中“细雨如散丝”表现的数学原理是_________ ． 点动成线 综合素养训练 9. 如图是一个多面体的表面展开图，如果面F 在前面，从左面看是面B，那么从上面看是面________(填字母). C或E 综合素养训练 10. 如图，一个六棱柱的底面是一个正六边形，侧面都是长方形，六边形的每条边长为5 cm，侧棱长为4 cm. 综合素养训练 (1)这个六棱柱有多少条棱？它们的长度总和是多少？ (2)这个六棱柱的侧面积是多少？ 解：这个六棱柱有18条棱，它们的长度总和是5×12＋4×6＝84(cm)． 这个六棱柱的侧面积是4×5×6＝120(cm2)． 综合素养训练 11. [新考法 分类讨论法]用小正方体搭一个立体图形，使得从它的前面、上面看到的图形如图，则搭成这样一个立体图形，最少需要多少个小正方体？最多需要多少个小正方体？ 并分别画出从它的左面看到的图形. 综合素养训练 解：最少需要8个小正方体，最多需要11个小正方体．当所需小正方体的个数最少时，对应的立体图形有4种情况，从左面看到的图形分别如图①②③④.当所需小正方体的个数最多时，从左面看到的图形如图⑤. 综合素养训练 12. [新视角 项目探究题]欧拉是1 8 世纪瑞士著名的数学家，他发现不论什么形状的凸多面体，其顶点数(V)、面数(F)和棱数(E)之间存在一个固定的关系式，被称为多面体欧拉公式，请你观察下图中几种常见的多面体模型，解答下列问题. 综合素养训练 正多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E) 正四面体 a 4 6 正方体 8 b 12 正八面体 6 8 c 正十二面体 20 12 30 综合素养训练 [公式发现] (1)通过观察上面的多面体模型，写出a，b，c 的值，并用等式表示顶点数(V)、面数(F) 和棱数(E)之间的数量关系； 解：a＝4，b＝6，c＝12. 顶点数(V)、面数(F)和棱数(E)之间的数量关系为V＋F－E＝2. 综合素养训练 [公式应用] (2)一个足球由32 块黑白皮子缝合而成，且黑色的是正五边形，白色的是正六边形. 我们可以近似地把足球看成一个多面体，若正五边形有m 个，求这个多面体的棱数(E)(用两个含m 的不同代数式表示). 综合素养训练 综合素养训练 解：根据题意可知，F＝32，正五边形有m个，则正六边形有(32－m)个． 由题意得E＝＝－m＋96. 因为V＝5m，F＝32， 所以根据欧拉公式V＋F－E＝2可得，E＝V＋F－2＝5m＋32－2＝5m＋30. 综上，这个多面体的棱数(E)为－m＋96或5m＋30. $$