2024年九年级中考数学复习讲义　二次函数双最值胡不归

二次函数双最值与胡不归 一、胡不归求最值 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小． ，记， 即求BC+kAC的最小值． 构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC． 将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型． 二、二次函数结合胡不归问题 例1：如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），交轴于点，将直线以点为旋转中心，顺时针旋转，交轴于点，交抛物线于另一点.直线的解析式为： 点是第一象限内抛物线上一点，当的面积最大时，在线段上找一点（不与重合），使的值最小，求出点的坐标，并直接写出的最小值； 例2：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2．点为线段上方的抛物线上一动点，点为轴上一个动点，连接、，当面积最大时，求的最小值，并求出此时点的坐标． 例3：如图1，抛物线经过，两点，抛物线与x轴的另一交点为A，连接AC、BC． 求抛物线的解析式及点A的坐标； 如图2，P为抛物线在第一象限内一动点，过P作于Q，当PQ的长度最大时，在线段BC上找一点M使的值最小，求的最小值． 例4：如图①，抛物线y＝﹣x2+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F． （1）求直线BD的解析式； （2）如图②，点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD，PF，当△PDF的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG﹣GE的值最小，求出点G的坐标及PG﹣GE的最小值； 三、强化训练 1．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A的横坐标为，点C的纵坐标为3．    (1)求该抛物线的解析式，并写出其对称轴； (2)如图2，连接，若点是直线上方抛物线上一点，点为轴上一点，当面积最大时，求的最小值． 3．如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，点在第一象限内，点是二次函数图象的顶点，点是一次函数的图象与轴的交点，过点作轴的垂线，垂足为，且． （）求直线和直线的解析式． （2）点是线段上一点，点是线段上一点，轴，射线与抛物线交于点，过点作轴于点，于点，当与的乘积最大时，在线段上找一点（不与点，点重合），使的值最小，求点的坐标和的最小值． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线与x轴交于另一点．      （1）求抛物线的解析式； （2）点M为直线下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当的面积最大时，求的最小值． 5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－ ＋x＋与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D． （1）求直线BC的解析式； （2）如图2，点P为直线BC上方抛物线上一点，连接PB、PC．当的面积最大时，在线段BC上找一点E(不与B、C重合)，使 BE的值最小，求点P的坐标和 BE的最小值； 6．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线AE：与抛物线相交于另一点E，点D为抛物线的顶点． （1）求直线BC的解析式及点E的坐标； （2）如图2，直线AE上方的抛物线上有一点P，过点P作PF⊥BC于点F，过点P作平行于轴的直线交直线BC于点G，当△PFG周长最大时，在轴上找一点M，在AE上找一点N，使得值最小，请求出此时N点的坐标及的最小值； 7．如图1，已知抛物线经过点和点B，且与y轴交于点C，直线经过B点和点C． (1)求直线和抛物线的解析式． (2)若点P为直线BC上方的抛物线上一点，过点P作于点E，作轴，交直线BC于点F，当的周长最大时，求点P的坐标．直线CP上有一动点Q，连接BQ，求的最小值． 9．如图1，抛物线y的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，过点A作ADBC交抛物线的对称轴于点D． (1)求点D的坐标； (2)如图2，点P是抛物线在第一象限内的一点，作PQ⊥BC于Q，当PQ的长度最大时，在线段BC上找一点M（不与点B、点C重合），使PMBM的值最小，求点M的坐标及PMBM的最小值． 10．在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，连接． （1）求两点坐标及直线的解析式； （2）点是直线下方抛物线上一点，当面积最大时，在轴下方找一点，使得最小，记这个最小值是，请直接写出此时点的坐标及．      11．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣，与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD、PF，当△PDF的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG﹣EG的值最小，求出PG﹣EG的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二次函数双最值与胡不归 一、胡不归求最值 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小． ，记， 即求BC+kAC的最小值． 构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC． 将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型． 二、二次函数结合胡不归问题 例1：如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），交轴于点，将直线以点为旋转中心，顺时针旋转，交轴于点，交抛物线于另一点.直线的解析式为： 点是第一象限内抛物线上一点，当的面积最大时，在线段上找一点（不与重合），使的值最小，求出点的坐标，并直接写出的最小值； 【答案】（1）点的坐标为.的最小值为. 【分析】过点作轴于点，交直线于点，过点作于点. 设点的坐标为，则点的坐标为，表示出FK,,根据二次函数的性质即可求解. 【详解】解：过点作轴于点，交直线于点（如答图1）， 过点作于点. 设点的坐标为， 则点的坐标为， , , , , 当时，有最大值. 此时点的坐标为. 点是线段上一点，作轴于点，于点， 则，，. 过点作的垂线，交于点，此时的值最小， 此时点的坐标为. 的最小值为. 例2：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2．点为线段上方的抛物线上一动点，点为轴上一个动点，连接、，当面积最大时，求的最小值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)的最小值为，点坐标为 【分析】 （1）利用待定系数法将，代入抛物线解析式，即可求出二次函数的解析式． （2）过点作轴交于，利用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标为，则坐标为，表示的长，根据面积最大可以求出有最小值，进而得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵点、在抛物线上 解得 ∴抛物线的解析式为： （2）解：由题意可知点坐标为 ∵A点坐标 ∴直线表达式为： 如图过作轴交于 设点坐标为 则坐标为 ∴ ∴ ∵，对称轴为直线， ∴时面积最大，此时点坐标为 过作直线，过作于，交轴于点 则解析式为： ∵ ∴ ∴ ∴ 当且仅当三点共线时取等分 过作轴交直线与点，易得 ∴ ∴ 例3：如图1，抛物线经过，两点，抛物线与x轴的另一交点为A，连接AC、BC． 求抛物线的解析式及点A的坐标； 如图2，P为抛物线在第一象限内一动点，过P作于Q，当PQ的长度最大时，在线段BC上找一点M使的值最小，求的最小值． 【答案】(1)；的最小值是． 【详解】解:把，代入抛物线中得： ，解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，， ； ，， 易得BC的解析式为：， 如图2，作直线， 设直线l的解析式为：， 当直线l与抛物线有一个公共点时，这个公共点为P，此时PQ的长最大， 则， ， ， ， ， 解得：， ， 过P作轴于N，交BC于M， ， ， ， 即的最小值是． 例4：如图①，抛物线y＝﹣x2+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F． （1）求直线BD的解析式； （2）如图②，点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD，PF，当△PDF的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG﹣GE的值最小，求出点G的坐标及PG﹣GE的最小值； 【答案】（1）y＝x+1；（2）点G（，），最小值为； 【分析】（1）令-x2+x+4=0，可求出点A和点B的坐标，令x=0，可求出点C的坐标，再根据点D时AC的中点，可求出点D的坐标，利用待定系数法求直线解析式即可．（2）求三角形的面积最值可以转化为求线段长度的最大值，利用点坐标表示线段长度，配方求最值，求PG-GE的最小值，可将不共线的线段转换为共线的线段长度． 【详解】解：（1）令﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4， ∴B（﹣2，0），A（4，0）， 令x＝0，y＝4， ∴C（0，4）， ∵D为AC的中点， ∴D（2，2）， 设直线BD的解析式为y＝kx+b（k≠0），代入点B和点D， ， 解得， ∴直线BD的解析式为y＝x+1． （2）如图所示 过点P作y轴的平行线，交BE交于点H， 设点P的坐标为（t，﹣t2+t+4）， 则点H为（t， t+1）， ∴PH＝﹣t2+t+4﹣（t+1）＝﹣（t﹣）2+， 当t＝时，PH最大，此时点P为（，）， 当PH最大时，△PDF的面积也最大． ∵直线BD的解析式为y＝x+1， 令x＝0，y＝1，∴点F（0，1）， 在Rt△BFO中，根据勾股定理，BF＝， ∴sin∠FBO＝ 过点E作x轴的平行线与过点G作y轴的平行线交于点M， ∴∠MEG＝∠FBO， ∴MG＝EG•sin∠MEG＝EG， ∴PG﹣GE＝PG﹣MG， 当P、M、G三点共线时，PG﹣MG＝PM，否则都大于PM， ∴当P、M、G三点共线时，PG﹣MG最小，此时点G与点H重合， 令﹣x2+x+4＝x+1， 解得x1＝3，x2＝﹣2， ∴点E（3，）， ∴PM＝﹣＝， ∴点G（，）， ∴点G（，），PG﹣GE的最小值为． 三、强化训练 1．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A的横坐标为，点C的纵坐标为3．    (1)求该抛物线的解析式，并写出其对称轴； (2)如图2，连接，若点是直线上方抛物线上一点，点为轴上一点，当面积最大时，求的最小值． 【答案】(1)，直线 (2)或 【分析】（1）将，代入抛物线即可得出抛物线的解析式，利用对称轴的公式可得出对称轴直线解析式； （2）设对称轴直线交轴于点，作于点，由此得出，设点，可表达点的坐标；再根据点的位置进行分情况讨论；过点作于点，交于点，根据的面积最大时可得点的坐标，作，过点作于点，过点作于交轴于点，轴于点，由此可得，即的最小值为，再求出的最值即可． 【详解】（1）解：由题意可得，点的坐标为，点的坐标为， 将，代入抛物线， ，解得， 抛物线的解析式为：； 其对称轴为直线，即； （2）设对称轴直线交轴于点，作于，    由旋转的性质可知：， ，， ， 又， ， ，， 设点 ， ①当点在轴上方时，有， 则：， 整理得，解得，（舍去）； ②当点在轴下方时，有， 则：， 整理得，解得，（舍去）； 综上所述，点的坐标为或． 令，解得或， ， 直线的解析式：； 如图，过点作于点，交于点， 设点，， ， ， 当时，的面积有最大值， ，． 作，过点作于点，过点作于交轴于点，轴于点，   ，， ， ， 的最小值为， ，， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到待定系数法求二次函数解析式、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、函数图象上点的坐标特征等知识．本题综合性较强，难度较大，准确作出辅助线利用数形结合是解题的关键． 3．如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，点在第一象限内，点是二次函数图象的顶点，点是一次函数的图象与轴的交点，过点作轴的垂线，垂足为，且． （）求直线和直线的解析式． （2）点是线段上一点，点是线段上一点，轴，射线与抛物线交于点，过点作轴于点，于点，当与的乘积最大时，在线段上找一点（不与点，点重合），使的值最小，求点的坐标和的最小值． 【答案】（1），； （2）点，． 【详解】试题分析： 试题解析：（）代入得， ∴一次函数表达式为， ∵， ∴ ∵轴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 设的坐标为，代入二次函数， 解得，， ∵在第一象限， ∴，点， ∵是二次函数的顶点， ∴， 设直线、解析式分别为，， 将，代入直线解析式得解得． 将，代入直线解析式得，解得． ∴，． （）如图所示，与交点为， 过作轴的平行线， 过作的垂线，交于点，连接， 设点，则， ，， ， ∵， 且比值为常数， 当最大时，的值也最大， ， 当时，取最大值， 也最大，此时点． 代入二次函数得， 得或（舍）， ∴， 令，得， ， 为等腰直角三角形，， 又∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，， 要使的值最小，即使的值最小， 当垂直时，的值最小， 此时，代入直线解析式得， ∴点， ． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线与x轴交于另一点．      （1）求抛物线的解析式； （2）点M为直线下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当的面积最大时，求的最小值． 【答案】（1）；（2）＋ 【分析】（1）分别求出A、B坐标，然后将A、B、C三点坐标代入抛物线，即可得出其解析式； （2）过点M作MF⊥AC，交AB于F，设点M（m，），则点F（m，m−2），可求MF的长，由三角形面积公式可求△MAB的面积＝−（m−2）2＋4，利用二次函数的性质可求点M坐标，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q，由直角三角形的性质可得KN＝ON，可得MN＋ON＝MN＋KN，则当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN＋ON有最小值，即最小值为MP，由直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）由题意，令，即 ∴A的坐标为（4,0） 令，即 ∴B的坐标为（0，-2） 将A、B、C三点坐标代入抛物线，得 解得 ∴抛物线解析式为：； （2）如图2，过点M作MF⊥AC，交AB于F，      设点M（m，），则点F（m，m−2）， ∴MF＝m−2−（）＝−（m−2）2＋2， ∴△MAB的面积＝×4×[−（m−2）2＋2]＝−（m−2）2＋4， ∴当m＝2时，△MAB的面积有最大值， ∴点M（2，−3）， 如图3，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q，    ∵∠KOB＝30°，KN⊥OK， ∴KN＝ON， ∴MN＋ON＝MN＋KN， ∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN＋ON有最小值，即最小值为MP， ∵∠KOB＝30°， ∴直线OK解析式为y＝x， 当x＝2时，点Q（2，2）， ∴QM＝2＋3， ∵OB∥QM， ∴∠PQM＝∠PON＝30°， ∴PM＝QM＝＋， ∴MN＋ON的最小值为＋． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，垂线段最短等知识，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来是本题的关键． 5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－ ＋x＋与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D． （1）求直线BC的解析式； （2）如图2，点P为直线BC上方抛物线上一点，连接PB、PC．当的面积最大时，在线段BC上找一点E(不与B、C重合)，使 BE的值最小，求点P的坐标和 BE的最小值； 【详解】（1）当x=0时，y=﹣ +x+=， ∴点C的坐标为（0，）； 当y=0时，有﹣ +x+=0， 解得：， ∴点B的坐标为（3，0）， 设直线BC的解析式为， 将B（3，0）、C（0，）代入，得： ，解得：， ∴直线BC的解析式为y=﹣x+； （2）如图2中，过点P作轴于点M，交直线BC于点F，过点E作轴于点N， 设P（a，﹣ +a+），则F（a，﹣a+）， ∴PF=﹣ +a， ∴S△PBC=×PF×3=﹣ +a， ∴当a=时，S△PBC最大， ∴P（，）， ∵直线BC的解析式为y=﹣x+， ∴，轴， ∴EN=BE， ∴PE+BE=PE+EN， ∴根据两点之间线段最短和垂线段最短，则当P，E，N三点共线且垂直于x轴时，PE+BE值最小， ∴PE+BE=PE+EN=PN=； 6．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线AE：与抛物线相交于另一点E，点D为抛物线的顶点． （1）求直线BC的解析式及点E的坐标； （2）如图2，直线AE上方的抛物线上有一点P，过点P作PF⊥BC于点F，过点P作平行于轴的直线交直线BC于点G，当△PFG周长最大时，在轴上找一点M，在AE上找一点N，使得值最小，请求出此时N点的坐标及的最小值； 【详解】解：（1）由抛物线解析式得B（4，0），C（0，-2）， 设直线BC解析式为：，代入B、C坐得：， ∴，， ∴BC解析式为：， 联立， 解得； （2）由△PGF∽△OBC可得：， ∴， ∴当PG取最大值时，△PFG周长最大， 设， ∴， ∴ ， ∵对称轴为直线a=2，开口向下， ∴当时，PG取得最大值，即△PFG周长最大，此时P（2，）， 作点P关于轴的对称点P′（2，-）， 将直线AE绕点E逆时针方向旋转°得直线，且满足， 过点作直线的垂线交于点K，交直线AE于点N， 此时最小， ∴直线解析式为， 直线的解析式为， ∴N点坐标为（1，0）， K点坐标为， ∴； 7．如图1，已知抛物线经过点和点B，且与y轴交于点C，直线经过B点和点C． (1)求直线和抛物线的解析式． (2)若点P为直线BC上方的抛物线上一点，过点P作于点E，作轴，交直线BC于点F，当的周长最大时，求点P的坐标．直线CP上有一动点Q，连接BQ，求的最小值． 【详解】（1）在中 令，，∴ 将点代入得：， ∴直线的解析式是， 当时，，∴，∴， 将，代入得 解得：， ∴抛物线的解析式是 （2）∵，， ∴，， 易得， ∴，即， ∴， ∴的周长为： ∴当PF最大时，的周长最大． 设点P的坐标为，则点F的坐标为 ∴ ∴当时，PF的值最大，的周长最大，此时 过点Q作于点E ∵，， ∴轴 ∴， ∴，即， ∴， ∴， 作点B关于直线CP的对称点，连接，此时，，过点作于点，交CP于点，此时，的值最小，即的值最小，最小值为． ∴，∴， ∵， ∴ ∴，即 ∴，即的最小值为． 【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合，考查了求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，构建二次函数求最值，解题的关键是掌握待定系数法，突破点是构建新的二次函数求最值． 9．如图1，抛物线y的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，过点A作ADBC交抛物线的对称轴于点D． (1)求点D的坐标； (2)如图2，点P是抛物线在第一象限内的一点，作PQ⊥BC于Q，当PQ的长度最大时，在线段BC上找一点M（不与点B、点C重合），使PMBM的值最小，求点M的坐标及PMBM的最小值． 【详解】（1）解：令时，， 解方程得：，， ，，，，， 设直线的函数关系式为：， 根据题意得：， 解得：， 直线为， 根据，设直线的函数关系式为：， 把点，代入上式得，， 解得：， 直线的函数关系式， 抛物线对称轴为直线， 当时，， 点坐标为； （2）过点作轴交于点，则 ， ， ，即， 设点坐标为，则点坐标为， ，   当时，取最大值，取最大值，此时点坐标为，， 过点作轴于点，则， ， 则， 当、、三点共线时，取最小值为， 此时点的横坐标点的横坐标， 点的坐标为，． 10．在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，连接． （1）求两点坐标及直线的解析式； （2）点是直线下方抛物线上一点，当面积最大时，在轴下方找一点，使得最小，记这个最小值是，请直接写出此时点的坐标及．      【详解】解：（1）在二次函数中， 令x＝0，则y＝， 令y＝0，解得：x＝−1或3， 故点A、B、C的坐标分别为（−1，0）、（3，0）、（0，）， 设直线BC的表达式为：， 代入B（3，0），C（0，）得：，解得：， ∴直线的解析式为：； （2）如图1，设点P（m，），过点P作PE∥y轴交BC于点E，则点E（m，），    ∴S△PBC＝×OB×PE＝， ∵＜0，故当m＝时，S△PBC有最大值，此时，点P（，）， 在x轴下方任取点Q，连接PQ、BQ、AQ，将△PQB绕点P顺时针旋转90°到△PQ'B'位置，连接QQ'， ∴B'Q'＝BQ，QQ'＝PQ， 故AQ＋BQ＋PQ＝AQ＋B'Q＋QQ'，AQ＋BQ＋PQ最小，则A、Q、Q'、B'在同一直线上，∠PQQ'＝45°， 易得此时B'坐标为（，）， ∴d2＝(AQ＋BQ＋PQ)2＝(AB′)2＝； 11．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣，与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD、PF，当△PDF的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG﹣EG的值最小，求出PG﹣EG的最小值． 【详解】(1)抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣，与x轴交于点B(1，0)． ∴，解得， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+﹣x+2； (2)抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C， ∴A(﹣4，0)，B(1，0)，C(0，2)． ∵点D为线段AC的中点， ∴D(﹣2，1)， ∴直线BD的解析式为：， 过点P作y轴的平行线交直线EF于点G，如图1， 设点P(x，)，则点G(x，)． ∴， 当x＝﹣时，S最大，即点P(﹣，)， 过点E作x轴的平行线交PG于点H， 则tan∠EBA＝tan∠HEG＝， ∴，故为最小值，即点G为所求． 联立  解得，(舍去)，   故点E(﹣，)， 则PG﹣的最小值为PH＝． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$