精品解析：湘教版2023-2024学年八年级数学下册期中模拟考试卷（二）

2023-2024年初中数学湘教版八年级下学期期中模拟考试卷（二） 一、单选题 1. 下列条件中能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. 一组对边相等的四边形 B. 对角线互相平分的四边形 C. 一组对边平行的四边形 D. 对角线相等的四边形 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】A、∵一组对边相等且平行的四边形是平行四边形， ∴选项A不符合题意； B、∵两条对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴选项B符合题意； C、∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ∴选项C不符合题意； D、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定定理是解题关键． 2. 以下各组数为三角形的三条边长，其中是直角三角形的三条边长的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，6，7 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴以2，3，4为三角形的三条边长不能组成直角三角形，故此选项错误； B、∵， ∴以3，4，5为三角形的三条边长能组成直角三角形，故此选项正确； C、∵， ∴以4，5，6为三角形的三条边长不能组成直角三角形，故此选项错误； D、∵， ∴以5，6，7为三角形的三条边长不能组成直角三角形，故此选项错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形． 3. 若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则该多边形的边数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理：多边形的内角和等于，外角和等于，然后列方程求解即可． 【详解】解：设多边形边数是n，根据题意得， ， 解得， ∴这个多边形的边数为8． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 4. 如图，在中，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过D点作于E，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形的面积公式求的值． 【详解】解：过D点作于E，如图， ∵是的平分线，，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 5. 如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理得到边的长度，根据平行四边形的性质，得知最短即为最短，利用垂线段最短得到点的位置，再证明利用对应线段的比得到的长度，继而得到的长度． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， ＝，＝， 最短也就是最短， 过作的垂线， ， ， ， ， 则的最小值为， 故选：C． 【点睛】考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度，本题的关键是利用垂线段最短求解． 6. 如图，中，，，于点D，点E为的中点，连接，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求得结论． 【详解】解：∵，于点D， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质,熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解决问题的关键． 7. 如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使，分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，，则的面积为（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图、角平分线的性质．过点作于点，由题意得，为的平分线，即可得，利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点作于点， 由题意得，为平分线， ， ， 的面积为． 故选：B． 8. 一个正多边形的每个内角都等于，那么它是（ ） A. 正六边形 B. 正八边形 C. 正十边形 D. 正十二边形 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可求得多边形的外角，由外角和为360°可求得其边数． 【详解】解：∵一个正多边形的每个内角都等于135°， ∴多边形的每个外角都等于45°， ∴多边形的边数==8， 故选：B． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和外角，由条件求得外角的度数是解题的关键，注意多边形的外角和为360°． 9. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）． A. 6米; B. 9米; C. 12米; D. 15米. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度． 【详解】解：如图，根据题意BC=3米， ∵∠BAC=30°，∠ACB=90°， ∴AB=2BC=2×3=6米， ∴BC+AB=3+6=9（米）． 故选B 【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键． 10. 如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针旋转，得到． 延长交于点，连接，下列结论：①，②四边形是正方形，③若，则；其中正确的结论是（　　） A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识．设交于，由及将绕点按顺时针方向旋转，得到，可得，即可得，从而判断①正确；由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形，可判断②正确；过点作于，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得，可得，由旋转的性质可得，从而可得，判断③正确． 【详解】解：设交于，如图： 四边形是正方形， ， ， 将绕点按顺时针方向旋转，得到， ， ， ， ， ，故①正确； 将绕点按顺时针方向旋转， ，，， 又， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形，故②正确； 如图，过点作于， ，， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 又，， ， ， 将绕点按顺时针方向旋转， ， 四边形是正方形， ， ， ，故③正确； 正确的有：①②③， 故选：A． 二、填空题 11. 点关于原点对称的点的坐标是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标．根据“关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数”即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 如图，点E是正方形内的一点，将绕点B按顺时针方向旋转得到．若，则__________度． 【答案】80 【解析】 【分析】先求得和的度数，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵绕点B按顺时针方向旋转得到 ∴，， ∴， ∴， 故答案为：80． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，旋转图形的性质和三角形外角的性质，利用旋转图形的性质求解是解题的关键． 13. 如图，在中，，，，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵∠ABC=90°，AD=DC，BD=4， ∴AC=2BD=8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，解题的关键在于能够熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 14. 如图，在中，，，，直线l是边的垂直平分线，点P是直线l上的一动点，则的最小值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】连接，由题意可得：，则，当三点共线时，等号成立，即可求解． 【详解】解：连接，如下图： ∵直线l是边的垂直平分线， ∴， 则，当三点共线时，等号成立， 在中，，，， ∴ 即的最小值为， 故答案为： 【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，含角直角三角形的性质，解题的关键熟练掌握相关基础知识． 15. 如图，，，，连接，若，，则的面积是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】过点D作于点H，过点E作于点F，则四边形是矩形，利用等量代换得，从而证明，可得，且，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点D作于点H，过点E作于点F，则四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，且， ∴， 故答案：3． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角形的面积公式，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 16. 如图，图1是一盏可折叠台灯，图2为其平面示意图，底座于点O，支架为固定支撑杆，是的两倍，灯体可绕点C旋转调节．现把灯体从水平位置旋转到置（如图2中虚线所示），此时，灯体所在的直线恰好垂直支架，且，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质和四边形的内角和解答即可． 【详解】解：延长交于点，延长交于点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在四边形中，有， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质和四边形内角和等于360度． 17. 如图，对折矩形纸片，使得与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A的对应点落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．连接，若，，则的长是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的中线定理，先证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，分别根据直角三角形中的三角函数求出AM和DM，从而得到答案． 【详解】解：如下图所示，设交BM于点O，连接AO， ∵点是中点， ∴在和 中，, ∴ ， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴, ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的折叠、直角三角形、等边三角形的性质，解题的关键是证明是等边三角形以及熟练掌握直角三角形中的三角函数． 18. 如图，分别是和的平分线，过点作，分别交于点，于点．下列结论：；；若，，则的面积为．其中正确是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义和性质，等腰三角形的判定与性质，根据三角形内角和变形得到与的和与的关系，再根据角平分线定义即可得到正确；由平行线性质和角平分线定义可以得到，，则有，故正确；过点作于，作于，连接，根据角平分线性质得到，求出和的面积和，即可求出的面积即可得到正确；解题的关键是熟练掌握角平分线的性质及数形结合思想的应用． 【详解】∵在中，和的平分线相交于点， ∴，，， ∴， ∴，故正确； ∵在中，和的平分线相交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故正确； 过点作于，作于，连接， ∵在中，和的平分线相交于点， ∴， ∴，故正确； 综上正确， 故答案为：． 三、解答题 19. 如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，． （1）用等式表示与的数量关系，并证明； （2）当时， ①直接写出的度数为 　　； ②若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1），见解析 （2）①；②，见解析 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键． （1）利用证明，即可得出答案； （2）①由三角形内角和定理知，再利用角度之间的转化对进行转化，，从而解决问题； ②延长到，使，连接，，得出四边形为平行四边形，则且，再利用证明，得． 【小问1详解】 ， 证明：是等边三角形， ，， 将线段绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 ①当时， 则， ， ， ， 故答案为：； ②，理由如下： 延长到，使，连接，， 为的中点， ， 四边形为平行四边形， 且， ，， 又， ， ， 又，， △， ， 又为正三角形， ， ． 20. 如图所示，点O是菱形对角线的交点，，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据对边平行可证四边形是平行四边形，根据菱形的性质可得，即可求证； （2）根据矩形及菱形的性质可得，，从而可证，即可求证． 【小问1详解】 证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形． 【小问2详解】 证明：四边形是矩形， ， 四边形是菱形， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，矩形的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键． 21. 在菱形中，对角线，交于点，，点是直线上一点，将线段绕点顺时针旋转到，连接． （1）当点在线段上时，如图①，求证：．（提示：连接．） （2）当点在线段延长线上时，如图②；当点在线段延长线上时，如图③，请直接写出线段，，的数量关系，不需要证明； （3）在（1）、（2）的条件下，若，，则__________． 【答案】（1）详见解析 （2）图②；图③； （3）3或9 【解析】 【分析】（1）连接，根据四边形是菱形得到，，结合，即可得到是等边三角形，，，根据旋转得到是等边三角形，即可得到，易得，即可得到证明； （2）同（1）可得，即可得到答案； （3）根据菱形得到，结合（1）（2）中是等边三角形，是等边三角形，得到，根据勾股定理即可得到答案； 【小问1详解】 证明：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 线段绕点顺时针旋转到， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 线段绕点顺时针旋转到， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 线段绕点顺时针旋转到， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， 由（1）（2）得， 是等边三角形，是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴或； 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 四、实践探究题 22. 如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线，将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角尺绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． （1）当直角三角尺旋转到图2所示的位置时，恰好平分，此时，与之间的数量关系是____________． （2）若射线的位置保持不变，且． ①在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线，，中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线？若存在，请求出所有满足题意的的取值；若不存在，请说明理由． ②在旋转的过程中，当边与射线相交时（如图3），求的值． 【答案】（1） （2）①存在，的值为或或；②的值为 【解析】 【分析】本题考查平角的定义、角平分线的定义、一元一次方程的应用；学会用分类讨论的思想是解决本题的关键； （1）根据平角的定义及得，再根据平分即可得； （2）①分三种情况讨论：平分时，；平分时，；平分时，；每种情况分别列出关于t的方程求解即可；②根据题意用分别表示出和，再代入求解即可． 【小问1详解】 解：， 理由如下： 因为， 所以，， 因为平分，所以， 所以， 故答案为∶； 【小问2详解】 ①存在； 理由如下：当平分时，，即，解得， 当平分时，，即，解得， 当平分时，，即．解得， 综上所述，的值为或或； ②因为，， 所以， 所以的值为． 23. 定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”． 性质：“朋友三角形”的面积相等． 如图1，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“朋友三角形”，并且． 应用：如图2，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90，ADBC，AB＝AD＝4，BC＝6，点E在BC上，点F在AD上，BE＝AF，AE与BF交于点O． （1）求证：△AOB和△AOF是“朋友三角形”； （2）连接OD，若△AOF和△DOF是“朋友三角形”，求四边形CDOE的面积． （3）拓展：如图3，在△ABC中，∠A＝30，AB＝8，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“朋友三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到，若与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，则△ABC的面积是 　 　（请直接写出答案）． 【答案】（1）见解析 （2）12 （3）8或 【解析】 【分析】（1）由AAS证明△AOF≌△EOB，得出OF=OB，AO是△ABF的中线，即可得出结论； （2）△AOE和△DOE是“朋友三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE和梯形ABCD的面积，根据即可求解． （3）画出符合条件的两种情况：①求出四边形是平行四边形，求出BC和推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出的面积．即可求出△ABC的面积 【小问1详解】 ∵ADBC， ∴∠OAF=∠OEB， 在△AOF和△EOB中， ， ∴△AOF≌△EOB（AAS）， ∴OF=OB， 则AO是△ABF中线． ∴△AOB和△AOF是“朋友三角形”； 【小问2详解】 ∵△AOF和△DOF是“朋友三角形”， ∴， ∵△AOF≌△EOB， ∴， ∵△AOB和△AOF是“朋友三角形” ∴， ∴=×4×1=2， ∴四边形CDOE 的面积= =×（4+6）×4-2×2×2=12； 【小问3详解】 分为两种情况：①如图1所示： ∵． ∴AD=BD=AB=4， ∵沿CD折叠A和重合， ∴AB=×8=4， ∵与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的， ∴ ∴DO=OB，O=CO， ∴四边形DCB是平行四边形， ∴BC=D=4， 过B作BM⊥AC于M， ∵AB=8，∠BAC=30°， ∴BM=AB=4=BC， 即C和M重合， ∴∠ACB=90°，由勾股定理得：AC=， ∴△ABC的面积=×BC×AC=×4×4=8 ②如图2所示： ∵． ∴AD=BD=AB， ∵沿CD折叠A和A′重合， ∴AD=D=AB=×8=4， ∵与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的， ∴， ∴DO=O，BO=CO， ∴四边形BDC是平行四边形， ∴C=BD=4， 过C作CQ⊥D于Q， ∵C=4，∠DC=∠BAC=30°， ∴CQ=C=2， ∴； 即△ABC的面积是8或8． 故答案为：8或． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了平行四边形性质和判定，三角形的面积，勾股定理的应用，综合运用以上知识是解题的关键． 五、综合题 24. 如图，在正方形中，E是边上任意一点，，垂足为点O，交于点F，交于点G． （1）证明： ； （2）点E位于什么位置时，，说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）当点E位于线段中点时， 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质以及余角的性质证明，然后利用证明，即可得证； （2）要求E位于什么位置时，，我们先看若两角相等能得出什么．若，由（1）中的全等三角形我们可得出，因此，和中，有一条公共边，，因此两三角形全等，那么，由（1）知，因此，那么只有时，． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴； 小问2详解】 解：当点E位于线段中点时，． 理由如下：若当点E位于线段中点时，则， 由（1）可知，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握各判定定理． 25. 如图，是平行四边形中的平分线，交于E． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，再利用角平分线证明即可； （2）连接与相交于O，根据勾股定理求出对角线长，再求面积即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴. ∵是平行四边形中的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵， 又由(1)知， ∴为等边三角形， ∴； 连接与相交于O． 由(1)知四边形是菱形， ∴，， ∴ ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了菱形的判定与性质，解题关键是熟练运用菱形的判定进行证明，利用等边三角形的判定和勾股定理求出对角线长． 26. 在直角坐标系平面内，已知点A的坐标为，点B的位置如图所示，点C是第一象限内一点，且点C到轴的距离是3，到轴的距离是4． （1）写出图中点B的坐标：______；在图中描出点C，并写出C的坐标：______； （2）画出关于轴的对称图形，并联结，、，，那么四边形的面积等于______． 【答案】（1），； （2）图见解析，26 【解析】 【分析】（1）根据B的位置写出坐标即可；描出点C，根据C的位置写出坐标即可； （2）作出A、B关于y轴的对称点即可；根据计算即可． 【小问1详解】 解：观察可知点B的坐标为：；点C的位置如图所示，坐标为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图所示， ． 故答案为：26． 【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换，四边形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称的坐标变化规律，会用分割法求四边形面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024年初中数学湘教版八年级下学期期中模拟考试卷（二） 一、单选题 1. 下列条件中能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. 一组对边相等的四边形 B. 对角线互相平分的四边形 C. 一组对边平行的四边形 D. 对角线相等的四边形 2. 以下各组数为三角形三条边长，其中是直角三角形的三条边长的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，6，7 3. 若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则该多边形的边数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 如图，在中，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则的值为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，，于点D，点E为中点，连接，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使，分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，，则的面积为（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 32 8. 一个正多边形的每个内角都等于，那么它是（ ） A. 正六边形 B. 正八边形 C. 正十边形 D. 正十二边形 9. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前高度为（ ）． A 6米; B. 9米; C. 12米; D. 15米. 10. 如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针旋转，得到． 延长交于点，连接，下列结论：①，②四边形是正方形，③若，则；其中正确的结论是（　　） A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③ 二、填空题 11. 点关于原点对称的点的坐标是_______________． 12. 如图，点E是正方形内的一点，将绕点B按顺时针方向旋转得到．若，则__________度． 13. 如图，在中，，，，则______． 14. 如图，在中，，，，直线l是边垂直平分线，点P是直线l上的一动点，则的最小值为______． 15. 如图，，，，连接，若，，则的面积是__________． 16. 如图，图1是一盏可折叠台灯，图2为其平面示意图，底座于点O，支架为固定支撑杆，是的两倍，灯体可绕点C旋转调节．现把灯体从水平位置旋转到置（如图2中虚线所示），此时，灯体所在的直线恰好垂直支架，且，则____________． 17. 如图，对折矩形纸片，使得与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A的对应点落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．连接，若，，则的长是____________． 18. 如图，分别是和的平分线，过点作，分别交于点，于点．下列结论：；；若，，则的面积为．其中正确是_____． 三、解答题 19. 如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，． （1）用等式表示与的数量关系，并证明； （2）当时， ①直接写出的度数为 　　； ②若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明． 20. 如图所示，点O是菱形对角线的交点，，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）求证：四边形是平行四边形． 21. 在菱形中，对角线，交于点，，点是直线上一点，将线段绕点顺时针旋转到，连接． （1）当点在线段上时，如图①，求证：．（提示：连接．） （2）当点在线段延长线上时，如图②；当点在线段延长线上时，如图③，请直接写出线段，，的数量关系，不需要证明； （3）在（1）、（2）的条件下，若，，则__________． 四、实践探究题 22. 如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线，将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角尺绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． （1）当直角三角尺旋转到图2所示的位置时，恰好平分，此时，与之间的数量关系是____________． （2）若射线的位置保持不变，且． ①在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线，，中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线？若存在，请求出所有满足题意的的取值；若不存在，请说明理由． ②在旋转的过程中，当边与射线相交时（如图3），求的值． 23. 定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”． 性质：“朋友三角形”的面积相等． 如图1，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“朋友三角形”，并且． 应用：如图2，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90，ADBC，AB＝AD＝4，BC＝6，点E在BC上，点F在AD上，BE＝AF，AE与BF交于点O． （1）求证：△AOB和△AOF是“朋友三角形”； （2）连接OD，若△AOF和△DOF是“朋友三角形”，求四边形CDOE的面积． （3）拓展：如图3，在△ABC中，∠A＝30，AB＝8，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“朋友三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到，若与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，则△ABC的面积是 　 　（请直接写出答案）． 五、综合题 24. 如图，在正方形中，E是边上任意一点，，垂足为点O，交于点F，交于点G． （1）证明： ； （2）点E位于什么位置时，，说明理由． 25. 如图，是平行四边形中的平分线，交于E． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，求菱形的面积． 26. 在直角坐标系平面内，已知点A的坐标为，点B的位置如图所示，点C是第一象限内一点，且点C到轴的距离是3，到轴的距离是4． （1）写出图中点B的坐标：______；在图中描出点C，并写出C的坐标：______； （2）画出关于轴的对称图形，并联结，、，，那么四边形的面积等于______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$