平面解析几何-湖北省部分市2023-2024学年高三下学期数学模拟试题分类汇编

湖北省部分市2023-2024学年下学期高三模拟试题分类汇编 ----平面解析几何 一、单选题 1．（2024·湖北武汉·三模）已知椭圆C： （）的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北黄冈·模拟预测）椭圆的离心率记为，双曲线的离心率记为，若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖北荆州·三模）已知椭圆C：的一个焦点为，则k的值为（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 4．（2024·湖北黄石·三模）已知在等腰直角三角形中，，点在以为圆心、2为半径的圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·湖北黄石·三模）已知为双曲线上的动点，，，直线：与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 6．（2024·湖北武汉·二模）斜率为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线两条渐近线于，两点，为双曲线的右焦点且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·湖北荆州·三模）已知圆，直线，方程，则“圆与直线相切”是“方程表示的曲线为椭圆”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 8．（2024·湖北武汉·模拟预测）设抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 9．（2024·湖北武汉·模拟预测）设双曲线：（，）的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C．2 D． 二、多选题 10．（2024·湖北武汉·模拟预测）设点（）是抛物线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，分别交抛物线于点和点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．直线与抛物线相切 11．（2024·湖北襄阳·二模）抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，下列结论正确的是（   ） A．抛物线的方程为： B．抛物线的准线方程为： C．当直线过焦点时，以AF为直径的圆与轴相切 D． 12．（2024·湖北黄冈·二模）如图，圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，记圆心的轨迹为曲线，则（    ） A．的方程为 B．的最小值为 C． D．曲线在点处的切线与线段垂直 13．（2024·湖北鄂州·一模）已知抛物线的准线方程为，过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，则下列说法正确的是（    ） A．以AF为直径的圆与y轴相切 B．设，则周长的最小值为4 C．若，则直线l的斜率为或 D．x轴上存在一点N，使为定值 14．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，上顶点为，点是椭圆上任意一异于顶点的点，连接交直线于点，连接交于点（是坐标原点），则下列结论正确的是（    ） A．为定值 B． C．当四边形的面积最大时，直线的斜率为1 D．点的纵坐标没有最大值 三、填空题 15．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知圆和圆，M、N分别是圆C、D上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值是 . 16．（2024·湖北荆州·三模）已知双曲线经过点，则C的渐近线方程为 ． 17．（2024·湖北黄石·三模）如图，已知过抛物线（）的焦点的直线与抛物线交于两点，过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为，抛物线的准线与轴交于点，为坐标原点，记，，分别为，，的面积.若，则直线的斜率为 . 18．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知是双曲线上关于原点对称的两点，动点在双曲线上，且，的斜率之积为（e为双曲线的离心率），则 ． 19．（2024·湖北武汉·模拟预测）设椭圆的左右焦点为，，过点的直线与该椭圆交于，两点，若线段的中垂线过点，则 ． 四、解答题 20．（2024·湖北荆州·三模）从抛物线上各点向轴作垂线段，垂线段中点的轨迹为. (1)求的轨迹方程； (2)是上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点， ①若，求的值； ②证明：三角形与三角形的面积之比为定值. 21．（2024·湖北襄阳·模拟预测）设双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，，且的渐近线方程为，直线交双曲线于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)当直线过点时，求的取值范围. 22．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆：（）的半长轴的长度与焦距相等，且过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为3. (1)求椭圆的方程； (2)已知直线：与椭圆交于，两点，过点的直线交椭圆于，两点（在靠近的一侧） （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）在直线上是否存在一定点，使恒成立？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 23．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，A，B是抛物线上两点，满足（O是坐标原点），过点O作直线的垂线，垂足为D，记D的轨迹为M. (1)求M的方程； (2)设是M上一点，从P出发的平行于x轴的光线被抛物线C反射，证明：反射光线必过抛物线C的焦点. 24．（2024·湖北荆州·三模）已知，圆心是原点，点，以线段为直径的圆内切于，动点的轨迹记为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若直线，点，直线过点与曲线交于两点，与直线交于点. ①若，求直线的斜率； ②若记直线的斜率分别为问是否为定值？如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由. 25．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知双曲线，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线交于，两点. (1)若直线经过坐标原点，且直线，的斜率，均存在，求； (2)设直线与直线的交点为，且，证明：直线与直线的斜率之和为0. 参考答案： 1．A 【分析】取弦的中点D，连接，求出，结合椭圆定义即可求解． 【详解】如图，取弦的中点D，连接，则，即，因为， 所以，因为O为的中点，所以D是的中点，所以， 因为，所以OD垂直平分弦，因为，， 所以，所以， 由椭圆定义可得，， 所以，解得，， 所以离心率为， 故选：A． 2．A 【分析】设出双曲线渐近线方程据椭圆离心率的公式，双曲线离心率的公式，构造方程组，解出即可. 【详解】设双曲线的渐近线方程为 记椭圆和双曲线的半焦距分别为，因为， 则, 令，则， 解得，（舍去），故，双曲线渐近线方程为： . 故选:A. 3．D 【分析】利用椭圆的标准方程与焦点位置即可得解. 【详解】由题意得，，，，所以． 故选：D． 4．B 【分析】建立坐标系，先把转化为，其中，再利用两点之间线段最短求解. 【详解】如图：建立平面直角坐标系.则，,取.设 则. 所以， 又. 故选：B 5．D 【分析】先证明线是双曲线的切线，线段的中点为，再根据，结合双曲线的性质即可得解. 【详解】因为为双曲线上的动点， 所以，则，， 联立，消得， 因为， 且， 所以直线是双曲线的切线，切点为， 双曲线的渐近线方程为， 联立，解得， 所以点的坐标为， 联立，解得， 所以点的坐标为， 所以线段的中点为， 双曲线的渐近线方程为，实半轴长为，故， 则 （当且仅当时取等号） ， 由题意可得直线的斜率大于零或不存在， 故，当且仅当为右顶点时取等号， 所以， 所以的最小值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：证明线是双曲线的切线，线段的中点为，是解决本题的关键. 6．B 【分析】设是中点，且，根据求得，再由得到直线倾斜角为，则直线倾斜角为，结合倍角正切公式求，进而求离心率. 【详解】由题设，双曲线的渐近线为，如下图， 若是中点，且， ，则，可得， 所以，则，而，则， 所以，若直线倾斜角为，则直线倾斜角为， 由，则，故， 所以双曲线的离心率为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：若是中点，应用点差法求得，即，由得直线倾斜角为，则直线倾斜角为为关键. 7．D 【分析】借助圆与直线相切的性质可得圆与直线相切时的的值，借助椭圆定义可得当方程表示的曲线为椭圆时的的取值范围，结合充分条件与必要条件的定义即可得解. 【详解】若圆与直线相切，则有，即，解得或， 若方程表示的曲线为椭圆，则，即且， 故“圆与直线相切”是“方程表示的曲线为椭圆”的既非充分也非必要条件. 故选：D. 8．C 【分析】联立方程得韦达定理，即可根据焦点弦公式求解. 【详解】由得，， 由题意可知直线的斜率存在，故设其方程为， 联立与可得， 设，则，故， 因此，当且仅当时取等号， 故选：C 9．D 【分析】运用数量积的定义,长度角度全部用表示，构造之间的一个等式,运用离心率公式求解即可. 【详解】由双曲线的几何性质知道，，， ∵， ∴，∴离心率. 故选：D. 10．BCD 【分析】对A：借助斜率公式可表示出直线的斜率，即可表示直线的方程，联立曲线，结合相切的性质与根的判别式计算即可得；对B：同A可得，结合因式分解计算即可得；对C：将B中所得代入A中所得即可得；对D：将直线的方程与抛物线联立，可得其根的判别式，即可得解. 【详解】对A：∵直线的斜率为， ∴直线的方程为， 即， ∵，∴直线的方程为， 联立，消得：， ∵直线与抛物线相切，∴， ∴，∴选项A错误； 对B：同理可得，∴， ∵，∴ 整理得， ∵，∴，∴选项B正确； 对C：由可得， 代入得，∴选项C正确； 对D：将直线的方程与抛物线联立， 同理可得， ∴直线与抛物线相切，∴选项D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助相切的性质，将直线方程与曲线方程联立，从而通过计算去得到所有纵坐标的关系. 11．BC 【分析】根据焦半径即可求解A，根据准线方程即可求解B，求解圆心和半径即可判断C，设出直线方程，与抛物线方程联立，韦达定理，利用焦半径公式求出，即可判断D. 【详解】对于A：当运动到时，，故，即抛物线为，故A错误； 对于B：由，故抛物线的准线方程为：，故B正确； 对于C：当直线过焦点时，设为，则， 故以为直径的圆的半径为，又，故以为直径的圆的圆心坐标为， 圆心到轴的距离与该圆半径相等，即该圆与轴相切，故C正确； 对于D：由题意直线斜率存在，设的方程为，联立， 整理得，，即， 所以， 所以，， 所以， 不能确定什么时候最小，则D错误. 故选：BC 12．BCD 【分析】对A，直接根据椭圆的定义可得答案；对B，与互补，求出的最大角即可；对于C：直接利用向量的坐标运算求解；对于D：求出点处的切线斜率，再利用求出点的坐标，再判断切线斜率和的关系即可. 【详解】对于A：设动圆的半径为，由条件得，则，且不重合， 故点的轨迹为以为焦点的椭圆（去掉重合的点），则曲线的方程为，故A错误； 对于：由图可知与互补，当点为椭圆短轴端点时，最大，此时，所以， 则的最大值为，所以的最小值为，故B正确； 对于.，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D：设点， 下面先证明椭圆上一点的的切线方程为. 联立，消去得， 则，又，所以. 所以椭圆上一点的的切线方程为. 则过点的椭圆的切线方程为，切线斜率为， 又，所以， 则 得，解得， 所以， 又， 因为，所以，所以，所以， 所以，即曲线在点处的切线与线段垂直，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解题的关键是利用过椭圆上一点的的切线方程为，通过结论可快速找到解题思路. 13．ACD 【分析】A选项，求出抛物线方程，作出辅助线，由抛物线定义求出，得到A正确；B选项，表达出周长，数形结合当A，C与点Q三点共线时，求出最小值；C选项，设直线AB的方程为，联立，设，，得到两根之和，两根之积，根据得到方程，求解得到答案；D选项，设，表达出，即存在点使得为定值0，故D项正确． 【详解】A选项，抛物线的准线方程为，所以，则， 所以抛物线， 如图，取AF的中点为D，过点D作y轴的垂线，垂足为， 则，是梯形的中位线， 由抛物线的定义可得， 所以， 所以以AF为直径的圆与y轴相切，故A正确； B选项，如图，过点A作准线的垂线，垂足为C，交y轴于，， 根据抛物线的定义可得， 所以周长为， 由图可知，当A，C与点Q三点共线时，有最小值， 最小值为Q到准线的距离为， 所以， 所以周长的最小值是，故B错误； C选项，设直线AB的方程为， 联立，整理可得：，易知， 设，， 可得，， ∵，，解得，， ，解得， ，因此C正确； D选项，设在x轴上存在一点， 则 ， 故当时，，即存在点使得为定值0．故D项正确． 故选：ACD． 【点睛】结论点睛：抛物线的相关结论， 中，过焦点的直线与抛物线交于两点，则以为直径的圆与轴相切，以为直径的圆与准线相切； 中，过焦点的直线与抛物线交于两点，则以为直径的圆与轴相切，以为直径的圆与准线相切. 14．AB 【分析】根据给定的椭圆方程，设点，结合斜率坐标公式计算判断AB；取点在第一象限，求出面积最大时的斜率判断C；表示出M点纵坐标后利用基本不等式即可判断D. 【详解】依题意，，设， 对于A，，A正确； 对于B，直线的方程为，它与直线的交点， 因此，B正确； 对于C，不妨令，四边形的面积 ，当且仅当时取等号，此时点， 直线的斜率为，C错误； 对于D，设，则，， 联立，解得， 要确定点的纵坐标的最大值，不妨令， 则，当且仅当时等号成立，D错误. 故选：AB 【点睛】结论点睛：椭圆上的点的坐标可以设为. 15． 【分析】先得到，当且仅当三点共线，且三点共线时，等号成立，设C关于x轴的对称点，求出的最小值，进而得到的最小值. 【详解】的圆心为，半径为1， ，圆心为，半径为2， 结合两圆位置可得，， 当且仅当三点共线，且三点共线时，等号成立， 设C关于x轴的对称点，连接，与轴交于点，此点即为所求， 此时， 故即为的最小值， 故的最小值为 故答案为： 16． 【分析】根据双曲线过点求出a，然后可得. 【详解】因为双曲线经过点，所以，解得， 又，所以渐近线方程为. 故答案为：. 17． 【分析】设直线倾斜角为，，可得，，，用表示，结合题意运算求解即可. 【详解】设直线倾斜角为，， 可知：， 且，解得， 则， 同理可得， 可知：， ， ， 因为，则， 整理得，解得或， 且，则，可得， 所以直线的斜率为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据抛物线的定义可得，利用表示其他量，结合题意运算求解. 18． 【分析】设，利用点在双曲线上建立方程组借助点差法变形，再结合斜率坐标公式列式解方程即得. 【详解】设，则，依题意，， 而，两式相减得，即， 即，因此，所以. 故答案为： 19． 【分析】由椭圆方程确定，，的值，结合已知条件及椭圆定义求出，在中，求出，由诱导公式求出，设，则，在中由余弦定理构造方程，解出值即可. 【详解】 设线段的中垂线与相交于点，由椭圆方程可知， ，，；由已知有：，点在椭圆上， 根据椭圆定义有：，所以，， 在中，，， ，点在椭圆上，根据椭圆定义有：， 设，则，，在中由余弦定理有： , 解得，即. 故答案为： 20．(1) (2)①1；②证明见解析 【分析】（1）设垂线段中点为，则抛物线上点坐标为，再代入抛物线方程即可. （2）①分别设的坐标，设过点的切线方程为，联立切线方程与抛物线方程，可得，进而得到过点的切线方程为， 同理，得到过点的切线方程，联立切线方程，可得的纵坐标，即可求得；②根据两点间距离公式和点到平面的距离和三角形面积分别求出三角形与三角形的面积，进而求解. 【详解】（1）设垂线段中点坐标为，则抛物线上点坐标为， 代入抛物线方程，则，即， 所以的轨迹方程：. （2）①如图，是上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点， 设， 则抛物线上过点的切线方程为， 将切线方程与抛物线方程联立，得： 联立，消去，整理得， 所以， 从而有， 所以抛物线上过点的切线方程为， 同理可得抛物线上过点的切线方程分别为， 两两联立，可以求得交点的纵坐标分别为： ， 则， 同理可得，即， 当时，，故，即， 因此. ②易知，则直线的方程为， 化简得即， 且， 点到直线的距离为： ， 则三角形的面积． 由（2）①知切线的方程为， ， 可知， 点到直线的距离为 ， 则外切三角形的面积． 故． 因此三角形与外切三角形的面积之比为定值2． 【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的切线相关问题，解决第二问①的关键是求出切线方程，②主要考查计算能力. 21．(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，解方程即可得出答案； （2）讨论直线的斜率存不存在，存在时设直线的方程为，，联立直线与双曲线的方程，将韦达定理代入，由反比例函数的单调性即可得出答案. 【详解】（1）由题意可得：，解得：，，. 双曲线的方程为：. （2）当直线的斜率不存在时，，， 此时，，所以， 当直线的斜率存在时，设，，因为直线过点， 设直线的方程为：， 联立可得：， 当时，， ，， ， 令，则，令， 在，上单调递减， 又，所以， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是设直线，再将其联立双曲线方程，得到韦达定理式，计算相关向量，代入韦达定理式再利用换元法求出函数值域即可. 22．(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在， 【分析】（1）结合长半轴、焦距与通径定义计算即可得； （2）（ⅰ）设出直线方程，联立曲线可得与交点纵坐标有关韦达定理，通过计算得到其范围后，即可得的范围；（ⅱ）结合点到直线的距离公式，由题意可得距离相等，代入计算可得点纵坐标，代入方程可得横坐标，即可得解. 【详解】（1）由题意可得，解得， 则：； （2）（ⅰ）设直线：，，， 联立，得， 则有，， 且，则， 则 ， 设， 则， 则. （ⅱ）设，则， 设直线，：，， 即分别为：，， 由，则到直线，的距离相等， 联立，有是其中一组解， 又与等价， 不妨设，则有， 即，即， 可得， 又，即， 则有， 通分并整理得： . 代入得 . 化简得. 故，则，则.    【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 23．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，联立抛物线方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示解出b，则过定点，进而确定点M的轨迹，即可求解； （2）易知若切线的倾斜角或，反射光线的方程为；若，设从P出发的平行于x轴的光线与抛物线C的交点为，过Q的切线设为，联立抛物线方程，由得.利用点斜式方程表示反射光线方程，即可证明. 【详解】（1）易知，设，联立抛物线C得， ∴，，由得 ， ∴，故过定点.∵， ∴D的轨迹是以为直径的圆（除去原点）， 即M的方程为； （2）设从P出发的平行于x轴的光线与抛物线C的交点为， 过Q的切线设为，联立抛物线C， 得，由，解得. 设切线的倾斜角为，则反射光线的倾斜角是或， 得反射光线的斜率为，所以反射光线的方程为， 整理得，恒过点. 若或，则反射光线的方程为. 从而反射光线必过抛物线C的焦点. 24．(1) (2)①；②是定值，定值为 【分析】（1）结合两圆内切的性质与椭圆定义作出相应辅助线计算即可得； （2）①设出交点坐标，借助韦达定理与弦长公式计算即可得；②表示出斜率后，用两交点纵坐标表示出的值，结合韦达定理中，，得到，代入计算即可得. 【详解】（1）设的中点为，切点为，连接，，取关于轴的对称点， 连接，则， 故， 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆， 其中，，则，则曲线C的方程为； （2）设 依题意，直线的斜率必定存在，设， ，可得，恒成立， 则有，， ①若，则有， 解得，故其斜率为； ②易得，， ，同理可得， 则，而， 由，，则，则， 故，即定值为. 【点睛】关键点点睛：最后一问中得到后不能直接代入韦达定理求解，关键在于借助，，得到，从而可代入中，求得其定值. 25．(1)1 (2)证明见解析 【分析】（1）根据两点斜率公式，结合点差法即可求解， （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据向量的坐标运算得数量积,,进而根据等量关系化简即可求解. 【详解】（1）当直线经过坐标原点时，，两点关于原点对称. 设，，， 于是，. 因为，，三点都在双曲线， 所以，两式作差，，所以 . （2）已知，由题意可知均有斜率， 可设直线，直线，，，，. ，. 联立直线方程与双曲线的方程：. 整理得，， 当时，. ，. 于是， 同理可得，. 因为，所以 整理得，，而，所以. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值或定值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的数量积坐标运算. 学科网（北京）股份有限公司 $$