平面解析几何-安徽省部分市2023-2024学年高三下学期数学模拟试题分类汇编

安徽省部分市2023-2024学年下学期高三模拟试题分类汇编 ----平面解析几何 一、单选题 1．（2024·安徽淮北·二模）已知为双曲线的右顶点，为坐标原点，为双曲线上两点，且，直线的斜率分别为4和，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 2．（2024·安徽安庆·三模）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，点是抛物线上两个不同点，且，则（    ） A． B． C． D．3 3．（2024·安徽合肥·三模）已知双曲线的右焦点为，圆与的渐近线在第二象限的交点为，若，则的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 4．（2024·安徽池州·二模）已知圆和两点为圆所在平面内的动点，记以为直径的圆为圆，以为直径的圆为圆，则下列说法一定正确的是（    ） A．若圆与圆内切，则圆与圆内切 B．若圆与圆外切，则圆与圆外切 C．若，且圆与圆内切，则点的轨迹为椭圆 D．若，且圆与圆外切，则点的轨迹为双曲线 5．（2024·安徽黄山·一模）已知双曲线的左，右焦点分别为，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交于，且，当时，双曲线离心率的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 6．（2024·安徽芜湖·二模）已知直线l：与曲线W：有三个交点D、E、F，且，则以下能作为直线l的方向向量的坐标是（    ）． A． B． C． D． 7．（2024·安徽安庆·二模）设F是椭圆的一个焦点，过椭圆C中心的直线交椭圆于P，Q两点，则的周长的最小值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 8．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知抛物线，过其焦点F的直线交C于A，B两点，M为AB中点，过M作准线的垂线，垂足为N，若，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·安徽合肥·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线左支上，线段交轴于点，且．设为坐标原点，点满足：，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（2024·安徽芜湖·三模）已知、是曲线上不同的两点，为坐标原点，则（    ） A． B． C．线段PQ的长度的最大值为 D．当均不在轴上时，过点分别作曲线的两条切线与，且当时，与之间的距离记为，则的取值范围为 11．（2024·安徽六安·模拟预测）已知圆，点是圆上的一点，则下列说法正确的是（    ） A．圆关于直线对称 B．已知，，则的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 12．（2024·安徽安庆·三模）直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，与的两条渐近线分别交于两点，从左到右依次排列，则（    ） A．线段与线段的中点必重合 B． C．线段的长度不可能成等差数列 D．线段的长度可能成等比数列 13．（2024·安徽马鞍山·三模）已知点P，A，B在抛物线y2=2px（p>0）上，线段AB，PA，PB的中点分别为D，M，N，线段M，N的中点为E，若直线PA，PB的斜率之和为0，则（    ） A．点M，N不在x轴上 B．点E在x轴上 C．点D与点P的横坐标相等 D．点D与点P的纵坐标互为相反数 14．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上两个动点，且三点不共线，抛物线在两点处的切线分别为在上的射影点分别为，则（    ） A．点关于的对称点在上 B．点在上 C．点为的外心 D． 三、填空题 15．（2024·安徽合肥·三模）已知曲线的方程为，过作直线与曲线分别交于两点．过作曲线的切线，设切线的交点为．则的最小值为 ． 16．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知双曲线的左焦点为F，P为渐近线位于第一象限内的点，过原点O作直线AB平行于FP， 交双曲线于A，B两点，四边形FPBA为矩形，则该双曲线的离心率为 ． 17．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）中心位于坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆的上、下焦点分别为，右顶点为，若的长轴长为，，则的标准方程为 ． 18．（2024·安徽六安·模拟预测）设，是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为（为圆心），且，使得，则双曲线的离心率为 ． 19．（2024·安徽安庆·三模）由函数图象上一点向圆引两条切线，切点分别为点，连接，当直线的横截距最大时，直线的方程为 ，此时 ． 四、解答题 20．（2024·安徽合肥·三模）已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数，其中，且，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程，并说明轨迹的形状； (2)设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点．当时， （ⅰ）求证：为定值 （ⅱ）求动点的轨迹方程． 21．（2024·安徽芜湖·三模）已知点是椭圆与抛物线的交点，且、分别为的左、右顶点. (1)若，且椭圆的焦距为2，求的准线方程； (2)设点是和的一个共同焦点，过点的一条直线与相交于两点，与相交于两点，，若直线的斜率为1，求的值； (3)设直线，直线分别与直线交于两点，与的面积分别为，若的最小值为，求点的坐标. 22．（2024·安徽淮北·二模）如图，已知椭圆的左右焦点为，短轴长为为上一点，为的重心.    (1)求椭圆的方程； (2)椭圆上不同三点，满足，且成等差数列，线段中垂线交轴于点，求点纵坐标的取值范围； (3)直线与交于点，交轴于点，若，求实数的取值范围. 23．（2024·安徽安庆·三模）已知椭圆，圆． (1)点是椭圆的下顶点，点在椭圆上，点在圆上（点异于点），连，直线与直线的斜率分别记作，若，试判断直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． (2)椭圆的左、右顶点分别为点，点（异于顶点）在椭圆上且位于轴上方，连分别交轴于点，点在圆上，求证：的充要条件为轴． 24．（2024·安徽马鞍山·三模）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的直线与椭圆交于A，B两点，直线PA，PB与直线分别交于点M，N (1)求椭圆C的方程； (2)若T为椭圆的上焦点，求面积取得最大值时直线的方程； (3)若的外接圆经过原点，求的值． 25．（2024·安徽池州·二模）已知双曲线的右焦点，离心率为，过F的直线交于点两点，过与垂直的直线交于两点. (1)当直线的倾斜角为时，求由四点围成的四边形的面积； (2)直线分别交于点，若为的中点，证明：为的中点. 参考答案： 1．A 【分析】由可得：是的中点，即关于原点对称，然后设点，去表达直线的斜率，联立方程组可解得，最后把这点代入双曲线方程，就可以得到一个关于离心率的方程，并解得结果. 【详解】由可得：是的中点，即关于原点对称， 不妨假设点，则， 由及直线的斜率分别为4和可得： ，联立解得：， 所以把点代入双曲线方程得： ， 再由代入得：，解得：， ， 故选：A. 2．A 【分析】抛物线的焦点到其准线的距离为，又，进而利用得，从而可得的值. 【详解】因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，所以， 所以,即, 由得，即，则， 由焦半径公式可得. 故选：A. 3．C 【分析】由解得，根据三角函数的定义知，利用同角的三角函数关系求得，，由诱导公式、两角和的正弦公式和正弦定理计算可得，结合离心率的概念即可求解. 【详解】如图，由题意知，双曲线的渐近线方程为， 则，解得，所以, 由三角函数的定义知， 又，且显然为锐角，， 又，解得，， 则， 在中，由正弦定理可得，即， 化简得，所以的离心率为． 故选：C． 4．C 【分析】先证明当时，若，则圆与圆内切，圆与圆外切；若，则圆与圆外切，圆与圆内切，从而A和B错误；然后当时，将条件变为，从而根据椭圆定义知点的轨迹为椭圆，C正确；当时，将条件变为，从而根据双曲线定义知点的轨迹为双曲线的左支，D错误. 【详解】我们分别记的中点为，显然是的中点，故，. 当时，在圆内，此时，圆和圆不可能与圆外切，而圆与圆内切等价于， 即，即，同理，圆与圆内切也等价于； 当时，在圆外，故“圆与圆内切”和“圆与圆外切”分别等价于和， 即和，即和. 所以，此时“圆与圆内切”和“圆与圆外切”分别等价于和，同理，“圆与圆内切”和“圆与圆外切”分别等价于和. 下面考虑四个选项（我们没有考虑的情况，因为不需要分析此种情况也可判断所有选项的正确性）： 由于当时，若，则圆与圆内切，圆与圆外切； 若，则圆与圆外切，圆与圆内切. 这分别构成A选项和B选项的反例，故A和B错误； 若，则，此时“圆与圆内切”和“圆与圆内切”都等价于， 而根据椭圆定义，对应的轨迹即为，C正确； 若，则，此时“圆与圆外切”等价于， 而根据双曲线定义，对应的轨迹为， 仅仅是双曲线的半支，D错误. 故选：C. 5．D 【分析】 根据渐近线方程求出直线的方程为，可求得，再由双曲线定义利用即可求得双曲线离心率的最大值为. 【详解】如下图所示：    不妨取渐近线方程为，又易知， 则直线的方程为， 联立直线与双曲线，可得， 所以； 且，由双曲线定义可得， 当时，可得， 所以，解得； 因此双曲线离心率的最大值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用双曲线定义结合，表示出的长度再利用建立不等式即可解得离心率的取值范围. 6．C 【分析】由函数的性质可得曲线的对称中心，即得，再根据给定长度求出点的坐标即得. 【详解】显然函数的定义域为R，，即函数是奇函数， 因此曲线的对称中心为，由直线l与曲线的三个交点满足，得， 设，则，令，则有，即， 解得，即，因此点或，或， 选项中只有坐标为的向量与共线，能作为直线l的方向向量的坐标是. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键首先是得到曲线对称中心为，从而得到，然后再去设点坐标，根据，得到高次方程，利用换元法结合因式分解解出的坐标即可. 7．C 【分析】根据椭圆的定义求出，再由，即可求解. 【详解】由椭圆的对称性可知P，Q两点关于原点对称， 设椭圆的另一个焦点为，则四边形为平行四边形， 由椭圆定义可知：， 又，，所以， 又 过原点，所以， 所以的周长的最小值为：. 故选：C    8．B 【分析】根据抛物线定义可求得点坐标，进一步求得直线的方程，联立与抛物线的方程后，利用韦达定理可求得中点的坐标，继而求得点的坐标，利用两点间的距离公式计算即可. 【详解】由题可知，,准线方程为， 过点作于,于,于, 设， 由抛物线的定义知, 所以， 所以，， 所以, 所以, 则直线的方程为：， 联立直线与抛物线方程： ，消去得，， 则， 所以， ， 所以,则, 所以， 故选：B. 9．D 【分析】设，根据题设条件得到，，再利用在椭圆上，得到，即可求出结果. 【详解】如图，设，，则直线的方程为， 令，得到，所以， ，因为， 所以，得到，故， 又，所以，得到， 又，所以，得到①， 又因为在双曲线上，所以②，又③， 由①②③得到，所以， 解得或，又，所以，得到， 故选：D. 10．BCD 【分析】就不同的符号分类讨论后可得曲线，结合两部分的几何性质可求判断AB的正误，就不同分布分类计算后可判断C的正误，对于D，可判断在不同的曲线段上，设出切线方程，结合判别式或几何性质可求，从而可求其范围，故可判断D的正误. 【详解】 由题设可得曲线：或 ， 整理得到：或， 由解得，由解得. 故曲线如图所示： 此时轴上半部分为椭圆，其焦点为, 3个顶点为， 其下半部分为圆弧，其圆心为，半径为2. 对于A，当在半椭圆上时，， 当在圆弧上时，，故， 故，故A错误. 对于B，设，则为椭圆的下焦点， ， 若在半椭圆上，则， 若在圆弧上，则 综上，，故B正确. 对于C， 当在半椭圆上时，设，不妨， 由可得， 故，且. 故， 此时 ，当且仅当时等号成立， 故此时. 当同在弧上时，此时恒成立， 当一个在圆弧上，另一个在半椭圆上时，不妨设在半椭圆上， 则， 若求的最大值，由椭圆和圆的对称性可设， 则， 表示到的距离，由在半椭圆上的分析可得， 而表示到的距离，而为椭圆的下焦点，故， 综上，总成立，故C正确. 对于D：因为两条切线平行，故一个在半椭圆上，一个在圆弧上，不妨设在椭圆上， 由对称可设半椭圆在处的切线方程为，， 设圆弧在处的切线方程为，， 由C的分析可得：即， 又即， 故 ， 因直线与圆弧相切，故即， 设，则， 且该函数上为减函数，故，故D正确. 故选: BCD. 【点睛】思路点睛：关于组合曲线的性质的研究，需就点的不同分布分类讨论，如果点分布在不同的曲线上，则考虑一些几何性质时，要注意多变量问题的合理转化. 11．ABD 【分析】对于A，由直线穿过圆心即可判断，对于BCD，分别将问题理解成圆上的点与定点的距离平方和、在y轴上的截距和圆上的点和定点连线的斜率，在数形结合即可求得最值情况，进而求解即可判断. 【详解】由题圆C的圆心为，半径为， 对于A，显然圆心满足，故直线穿过圆心， 所以圆关于直线对称，A对； 对于B，， 设，如图， 所以根据代数式的几何意义可知的最小值为：，故B对； 对于C，设，即，动点在圆C上， 则z取得最小值时，即为直线在y轴上截距最小， 如图，过圆C所在平面作直线，直线与直线平行， 由图可知，当直线与圆C相切时其在y轴上截距取得最大值或最小值， 此时圆心C到直线的距离等于半径，即， 或，故的最小值为，故C错； 对于D，因为，设， 则根据代数几何意义可知当圆上的点与定点两点间斜率最大时， 的值最大， 如图，显然当过T的直线与圆相切时斜率最大， 设切线为，， 则有圆心到切线距离，或， ，故D对. 故选：ABD. 12．ABD 【分析】设出直线的方程，并分别与双曲线的渐近线方程、双曲线方程联立，利用中点坐标公式判断出线段和共中点，可判断A；从而证得线段与线段的长度始终相等，可判断B；由等差中项的性质可判断C；由等比中项的性质可判断D. 【详解】设直线， 联立得， 于是， 联立得， 于是，所以， 因此线段与线段的中点必重合，A正确； 设中点为，则，所以，B正确； 假设线段的长度成等差数列，则， 所以，于是， 两边同时平方并整理得， 于是， 展开整理得，该方程有解，所以存在直线， 使得线段的长度成等差数列，C错误； 同上推理，当线段的长度相等时， 线段，的长度成等比数列，D正确. 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 13．ABD 【分析】令且，则，且，结合坐标的中点公式判断名项正误. 【详解】解：如图所示： 令且， 则， 又，则， 而， 所以， 则， 故，而，则B选项正确； 若点M或N在x轴上，则，即， 故与题设矛盾， 所以点M或N不在x轴上，A选项正确； 由上， 则点D与点P的纵坐标互为相反数，D选项正确； 显然D不可能在抛物线上，点D与点P的横坐标不相等，C选项错误. 故选：ABD. 14．AC 【分析】根据抛物线的光学性质及定义知，从而的垂直平分线为，的垂直平分线为，即可判断选项AC，再利用三点共线时，得到点在上和判断CD. 【详解】 如图：由抛物线定义知，，，根据抛物线的光学性质知： 从F发出的光线经抛物线的反射光线AD、BC与y轴平行， 又抛物线在两点处的切线分别为， 结合平行线性质及对顶角相等得， 即的垂直平分线为，的垂直平分线为， 所以，，所以点为的外心，故选项C正确； 点关于的对称点在上，故选项A正确； 假设三点共线，设，，直线AB方程为， 因为，即，所以，所以，， 所以的方程分别为，， 即，， 联立，所以，所以， 则 ，所以， 说明三点共线时，点才落在，因为三点不共线， 所以点不在上，所以选项B错误； 当三点共线时，， 当时，直线AB方程为，直线FT方程为，此时， 当时，，此时， 故只有三点共线时，才有，因为三点不共线，所以与不垂直，故选项D错误. 故选：AC 【点睛】结论点睛：抛物线的切线相关结论：抛物线C：的焦点为F，直线l过焦点F与抛物线相交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点G，则点G在抛物线的准线上，且GF⊥AB. 15．5 【分析】根据题意，写出过两点的切线方程，根据其都过，进而求得方程，结合其过点，求得，即为的轨迹方程，再求目标式的最小值即可. 【详解】设两点坐标为， 故过点的切线方程为：，又其过点，则； 同理，过点的切线方程为：，又其过点，则； 由以及可得，方程为：， 根据题意可得，过点，则，即， 故动点的轨迹方程为：； 则，当且仅当取得等号. 下证：过抛物线上的一点的切线方程为：： 当时，，也即过原点作抛物线切线，显然其为，满足； 当时，对求导可得，即， 故过点的切线的斜率为， 则过点的切线方程为：，， 又，则切线方程为：； 综上所述：过抛物线上的一点的切线方程为：. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键，一是，能够准确写出过抛物线上一点的切线方程，在小题中可直接使用二级结论，从而加快解题速度；二是，根据题意，求出切点弦方程，进而求得点的轨迹方程；属综合困难题. 16． 【分析】由已知，可得P点坐标为，由双曲线的性质可得B为的中点，则得，代入双曲线方程，化简即可解出双曲线的离心率. 【详解】 由已知，四边形FPBA为矩形，可知O为AB的中点，所以， 设P点坐标为，则， 又P在渐近线上，联立解得， 延长交轴于点，由对称性可得为双曲线的右焦点，则B为的中点， 则，代入化简得，， 则得，解得（负值舍去）. 故答案为：. 17． 【分析】由题意可得，由，可得，可求椭圆的标准方程. 【详解】由椭圆的长轴长为4，则可得，解得， 因为，由椭圆的对称性可知， 所以，解得，所以， 又椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为. 故答案为：. 18． 【分析】首先向量坐标化，求得，再根据等面积公式和双曲线的定义，即可求解，再根据两点间的距离公式求得点的坐标，代入双曲线方程后，即可求解离心率. 【详解】设，，由对称性不妨设点在第一象限，此时点也在第一象限， 因为，所以，， 所以，又， 解得：，， 所以， 所以,解得：，所以， 代入双曲线方程得，解得：，， 所以离心率. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求点的坐标. 19． 【分析】计算以线段为直径的圆，并与圆相减可得直线，通过导数计算直线横截距最大即可. 【详解】设点，圆的圆心为，如图所示， 则以线段为直径的圆的方程为 ， 整理得， 与圆相交， 两个圆相减得： 直线， 令，则， 构造函数， 对其求导得， 令，则， 于是函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数最大值为， 此时直线的方程为， 且, 于是． 故答案为：，. 20．(1)答案见解析 (2)（i）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）设，由题意可得，结合椭圆、双曲线的标准方程即可求解； （2）设点，其中且，.（ⅰ）由可知三点共线且，设直线的方程为，联立的方程，利用韦达定理表示出，化简计算即可得证；（ⅱ）由椭圆的定义及平行线对应线段成比例性质可得，，化简结合（i）可得，从而可得点的轨迹方程. 【详解】（1）设点，由题意可知，即， 经化简，得的方程为， 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆； 当时，曲线是焦点在轴上的双曲线． （2）当时，由（1）可知的方程为， 设点，其中且， （i）证明：因为，所以， 因此，三点共线， 且， 设直线的方程为，联立的方程，得，， 则， 由（1）可知， 所以 （定值）， （ⅱ）由椭圆定义，得， ， 解得， 同理可得， 所以 ． 所以，点在以点为焦点长轴长为6的椭圆上，由于点均在轴上方，所以动点的轨迹方程为 【点睛】方法点睛: 求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关. （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 21．(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知求得椭圆，可求得，代入抛物线方程可求，可求得的准线方程； （2）设，联立直线与椭圆方程可求得，联立直线与抛物线方程可求得，可求得； （3）由三点共线，可得同理可得，可求得，，可得，计算可求得的最小值. 【详解】（1）由题意得，故，则，解得，故椭圆， 因为，所以，所以，将其代入中， 即，解得， 故的准线方程为； （2）由题意得，解得，故， 直线的方程为，联立得，， 设，则， 故， 联立与得，， 设，则， 故， 若方向相同，，若方向相反，， 所以； （3）由三点共线，可得，故 同理，由三点共线，可得， 则 因为，所以， 所以， 又，故， 因为，令，则， 所以，其中， 因为，所以的开口向下， 对称轴为，其中， 故当时，取得最大值， 最大值为， 故的最小值为，令，解得，负值舍去， 故，解得，此时 又，故， 则点的坐标为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围. 22．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角形重心坐标公式先求A坐标，再代入椭圆方程结合其性质计算即可； （2）设B、D、E坐标，并根据焦半径公式得，由等差中项的性质得出，再根据点差法得出中垂线的斜率，表示中垂线方程，结合点在椭圆内计算范围即可； （3）设M、N坐标，联立椭圆方程结合韦达定理得出其横坐标关系，再根据平面向量的坐标表示，利用函数的性质计算范围即可. 【详解】（1）不妨设， 因为的重心，所以， 所以， 又短轴长为6，所以，代入解得， 所以椭圆方程为:； （2）由上可知，设中点， 则， 又，消去并整理得， 同理， 又， 由题意得， 即， 因B，D在上，易得，化简得， 所以线段中垂线的斜率， 线段中垂线方程:， 令得， 又线段中点在椭圆内所以， 所以； （3）设，由得， 联立消整理得， 得， 所以， 当时，， 当时，， 解不等式得.    【点睛】思路点睛：根据焦半径公式及等差中项的性质可确定中点横坐标，再由中垂线方程得出E与中点的关系结合点在椭圆内计算范围即可解决第二问；利用平面向量共线的坐标表示结合韦达定理计算横坐标关系，分类讨论斜率是否为零，再含参表示结合函数的性质求范围解不等式即可. 23．(1)过定点，定点坐标为 (2)证明见解析 【分析】（1）设，结合题设推出，从而求出直线的方程，化简即可得结论； （2）设，设，利用椭圆和圆的方程推出，然后分充分性以及必要性两方面，结合直线和圆锥曲线的位置关系，进行证明即可. 【详解】（1）设，则， 于是， 因点，所以，于是， 整理得， 又直线的方程为， 即， 所以直线过定点，定点坐标为． （2）设，则，设， 因，所以直线，所以， 因，所以直线，所以， 于是． 先证充分性：当轴时，，所以，即， 于是， 设直线交轴于点， 因轴，所以，又， 所以，于是， 不妨设点在第一象限，点在第二象限，则，即， 所以直线的方程为， 联立，得，解得或， 所以， 于是 ，所以充分性成立． 再证必要性：当时，即， 整理得， 又，所以， 又三点共线，所以直线的方程为， 三分共线，所以直线的方程为， 联立，消去，得，即， 所以轴，即必要性得证． 【点睛】难点点睛：第二问是依然是直线和圆锥曲线的位置关系问题，解答的难点在于复杂的计算，并且基本上都是字母参数的运算，因此解答时要保持清晰的解题思路，计算需要十分细心. 24．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意结合离心率可得，进而可得，即可求椭圆方程； （2）设直线，联立方程可得韦达定理，结合面积关系运算求解； （3）设直线，直线，可得的坐标，联立方程结合韦达定理可得，再根据圆的性质列式求解. 【详解】（1）由题意可知：，则， 所以椭圆C的方程为. （2）由题意可知：直线的斜率存在，设， 由（1）可知：，则，且直线与椭圆必相交， 联立方程，消去y得， 则， 可得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积取得最大值时直线的方程为. （3）设直线，直线，则， 联立方程，消去y得， 则， 可得， 则 ， 又因为 若的外接圆经过原点，则， 可得， 且，则，可得，解得， 检验可知满足， 所以的值为. 【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法 （1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解； （2）面积问题常采用底高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解； （3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用． 25．(1)6 (2)证明见解析 【分析】（1）先求得双曲线的标准方程，再求得的长，进而求得由四点围成的四边形的面积； （2）利用设而不求的方法结合同一法即可证得为的中点. 【详解】（1）由题意知， 所以的方程为 直线的倾斜角为，过点直线的方程为 设，联立， 得 与互相垂直的倾斜角为由对称性可知    （2）方法一：由题意可知的斜率存在且不为0，设的方程分别为由互相垂直可得① 联立得② 联立， 整理得 是的中点③ 由②③得，即④ 同理联立得⑤ 由①④⑤得 ⑥ 联立， 得 取中点，所以⑦ 由⑥⑦得与重合，即是中点. 方法二：由题意可知的斜率存在且不为0，设的方程分别为 由互相垂直可得 设的坐标分别为 联立， 得，又 是的中点 整理可得的中点 又直线恒过定点， ， 同理 三点共线 所以的中点在上，又上的点在上 所以与重合，即是中点 方法三：由题意可知的斜率存在且不为0，设的方程分别为 由互相垂直可得① 联立得，所以② 设的坐标分别为，代入得 两式相减得， 变形为，即③ 由②③得，即④ 同理联立得， 所以⑤ 由①④⑤得， 所以⑥ 取中点，同理可证⑦ 由⑥⑦得. 结合均在直线上，所以与重合，即是中点.    学科网（北京）股份有限公司 $$