空间向量在立体几何中的应用 讲义——2024届高三数学二轮复习

空间向量在立体几何中的应用 立体几何是高中数学的主干内容之一，而向量是连接几何和代数的桥梁，空间向量更是解决立体几何问题的有利工具，也是高考考查的重要内容.使用向量方法研究立体几何问题，把对空间的研究从“定性”推向“定量”，有利于克服学生空间想象力不足的障碍和空间作图的困难，从而降低了立体几何的难度.纵观近几年高考，重点考查了利用空间向量计算异面直线所成的角、线面角、二面角等问题，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力与运算求解能力，题目难度为中档题. 一、利用空间向量判断线面位置关系 例1（2023·浙江改编）(多选)如图1，在三棱锥中，，，，分别为的中点，平面，则下列判断中正确的是( )图1 A.平面 B.平面 C. D.平面平面 解析：在三棱锥中，，，连接， 则， 如图2，以为坐标原点，，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，不妨设，，则 图2 ，，，，， 故，，，，， ∵平面，∴平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 ，取，则，得. ∵，∴//平面，故选项正确； ∵，∴平面，故选项正确； ∵，∴与不垂直，故选项错误； ∵，∴平面，故选项正确； 故选. 方法点睛：利用空间向量解决线面位置关系，具体思路如下：1.证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算. 2.用向量证明垂直的方法 (1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零. (2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示. (3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示. 二、利用空间向量求夹角 （一）利用空间向量求异面直线所成角 例2（2023新高考调研） 在正方体中，动点M在线段上，E，F分别为，AD的中点．若异面直线EF与BM所成角为，则的值可能是（       ） A． B． C． D． 解析：以D点为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图3． 设DA＝2，, 故，，．设，则，则. 图3 当时，取到最大值，此时，当时，取到最小值，此时， 所以的取值范围为, 故选:． 方法点睛：利用空间向量求异面直线所成角的一般步骤为：①建立空间直角坐标系；②求出异面直线、的方向向量分别，；③利用公式求出夹角. （二）利用空间向量求直线与平面所成角 例3、（2022·山西模拟） 如图4，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，点E在SD上，且．若，，，平面ABCD．图4 （1）若M，N分别为SA，SC的中点，证明：平面平面ACE； （2）求直线BS与平面ACE所成角的正弦值． 解析：（1）证明：取的中点，连接， 因为平面ABCD，平面， 所以， 因为底面ABCD为菱形， 所以为等边三角形，所以， 因为∥，所以， 所以，如图5，以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，则，图5 因为，所以， 又因为，分别为，的中点，所以，， 则，，，， 设平面的一个法向量为，则 ，令，则， 而， 又∵，∴也是平面的法向量， ∴平面∥平面. （2）由（1）知：，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则 ， 所以设直线与平面所成角为的正弦值为. 方法点睛：利用空间向量求线面角的一般步骤：①建立空间直角坐标系；②求出直线的方向向量和平面的法向量；③记直线与平面所成角为，利用公式求解.易错点：经常会出现学生的错误，然后用，忽略了两角是互余或相差的关系. （三）利用空间向量求二面角 例4（2023·北京模拟）．如图6，已知四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，为等边三角形，且点在底面上的射影为的中点，点在线段上，且．图6 （1）求证：平面． （2）求二面角的余弦值． 解析：（1）证明：取的中点，连接，由等腰梯形性质可知，连接，则. 所以，如图7，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系． 等腰梯形中，∵点在线段上，且，∴． 又，． ，为等边三角形，∴． ∴，，，，． ∴，，， ∵,∴是平面法向量，图7 ∴平面． （2）解：由（1）知，． ∴，， 设平面的法向量为，，， 则，即， 令，则，，∴． 设平面的法向量为，，， 则，即． 令，则，，∴． 设平面与平面的夹角为，则 ， 二面角的余弦值为． 方法点睛： 利用空间向量向量求二面角的一般步骤：①建立空间直角坐标系；②求出两平面的法向量为、；③记二面角的平面角为，利用公式；④结合图形，当二面角是锐二面角时，，当二面角是钝二面角时，．特别强调：如果是求面与面的夹角，余弦值非负. 三、利用空间向量求距离 线线距、线面距及面面距实质为点线距、点面距，前提是线线、线面、面面平行，所以，我们重点研究点线距和点面距. （一）点到直线的距离 例5（2022·安徽）如图8，在四棱锥中，平面，，，则点到直线的距离为（    ）图8 A． B． C． D．2 解析：因为平面，平面， 平面， 所以，， 因为 所以如图9，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，图9 则，，，，，即. 在上的投影向量的长度为， 故点到直线的距离为. 故选：A 方法点睛：求点到直线距离的一般步骤：①结合图形特点，建立空间直角坐标系；②求出直线的方向向量；③在直线上找一点，计算在上的投影向量的长度；④利用勾股定理计算距离：.图9 （二）点到平面的距离 例6（2022·湖南）某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图10，E、F、G分别是边长为的正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”（如图11）．若二面角是直二面角， 图11 图10 (1)若是四边形对角线的交点，求证：平面； (2)求点到平面的距离． 解析：由图10，得，折起后在图11中仍有，， ∴即为二面角的平面角，∴， 如图12，以为坐标原点，，，的方向为轴，轴，的正向建立空间直角坐标系，图12 由图10可知，四边形EBCF是矩形，且， ∴O是线段BF与CE的中点，且， ∴、、、、、，， （1）证明：，， 设平面的一个法向量为 由，得，取，则 于是平面的一个法向量 ∵， 且平面，∴平面. （2）解：∵ 又由（1）知平面的一个法向量 ∴点B到平面的距离为. 方法点睛：求点到平面的距离的一般步骤：①建立空间直角坐标系，写对应点坐标；②在平面内选任一点，写出；③求出平面的法向量；④利用点到平面的距离公式. 总之，要想利用空间向量解决立体几何问题，首先要将直线和平面向量化，通过向量间的运算，得到向量间的关系，再将结果翻译为图形语言，从而解决立体几何问题.这就要求我们必须加强对空间向量概念及空间向量运算律的理解，掌握空间向量的加、减法、数乘、数量积运算，掌握各种角与向量之间的关系及利用向量法求线线角、线面角、二面角的方法. 学科网（北京）股份有限公司 $$