第二单元分数混合运算（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学北师大版

分数混合运算 板块一：考点精讲 1．分数乘法 【知识点归纳】 分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算． 乘积是1的两个数叫做互为倒数． 分数乘法法则： （1）分数乘以整数或整数乘以分数：由于任何整数（0除外）都可以化成分母是1的假分数，分数乘以整数或整数乘以分数，都可以转化成分数乘以分数的形式．因此，在计算中，是用分数的分子和整数相乘的积作为分子，分母不变．在乘的过程中，如果有可以约分的数，可以先约分，这样，可以使计算的数字缩小，从而使计算变得简便． （2）分数乘以分数：用分子相乘的积作为分子，用分母相乘的积作为分母．为了使计算简便，在计算的过程中，能够约分的，要约分． （3）带分数乘法：先把带分数化成假分数，然后再乘．结果是假分数时，要把假分数化成带分数或整数． 分数乘法的运算定律： （1）交换律：两个分数相乘，交换分数的位置，它们的积不变． （2）结合律：三个分数相乘，先把前两个分数相乘，再乘以第三个分数，或者先把后两个分数相乘，再乘以第一个分数，它们的积不变． （3）乘法分配律：两个分数的和与一个分数相乘所得的积，等于每一个加数分别与这个分数相乘所得的积的和． 2．分数除法 【知识点归纳】 分数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算． 分数除法法则： （1）分数除以整数：分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数． （2）一个数除以分数：一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数． （3）带分数除法：在分数除法中，如果出现带分数时，不论这个带分数是被除数还是除数，都要先把带分数化成假分数，然后，按照分数除以分数的法则计算． 分数除法的运算性质：与整数除法的运算性质相同 （1）一个数除以几个数的积，等于这个数依次除以积的每个因数． （2）两个数的积除以一个数，等于用除数先除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘． （3）一个数除以两个数的商，等于这个数先乘以商中的除数，再除以商中的被除数；或者用这个数先除以商中的被除数，再乘以商中的除数． （4）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数． （5）两个数的和除以一个数，等于用除数分别去除这两个数，再把所得的商加起来． 3．分数乘除混合运算 【知识点归纳】 分数四则混合运算运算法则是： 1、加减：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减； 异分母分数相加减，先通分，再分母不变，分子相加减。 2、乘法：先约分，分子乘分子作为积的分子，分母乘分母作为积的分母。 3、除法：除以一个数就等于乘这个数的倒数。 【方法总结】 分数混合运算顺序是：混合计算，先算乘除法再算加减法； 如果有括号，先算括号里面的（先算小括号，再算中括号）； 同一级运算，一般从左往右计算。 板块二：高频考点 一、选择题 1．两根同样长的绳子，第一根用去米，第二根用去全长的，这两段中剩下的部分（    ）。 A．第一段长 B．一样长 C．第二段长 D．无法确定 2．真分数和假分数比，真分数（　　）假分数． A．大于 B．大于或等于 C．小于 D．小于或等于 3．如果a是大于1的任意自然数，那么下列各式中结果最大的是（    ）。 A． B． C． D． 4．有一根铁丝，第一次用去了全长的，此时距离中点还有3厘米，铁丝原来的长度的一半长（    ）米。 A．24 B．12 C．0.24 D．0.12 5．畜牧场养了630头肉用牛，比养的奶牛多 ，比养的奶牛多（ ） A．1575头 B．180头 C．252头 D．1050头 6．铺一条地下电缆，已经铺了250米，比没铺的多，没铺的有（    ）米。 A．210 B．200 C．180 D．150 7．15米的与（    ）米的一样长。 A．5 B．20 C．25 D．30 8．一根绳子原长1m，小东截去这根绳子的，小明又把它接上m，现在这根绳子长（    ）。 A．m B．m C．m D．m 二、填空题 9．1是由整数（　　）和分数（　　）合成的数，它的分数单位是（　　），它有（　　）个这样的单位，它再加上（　　）个这样的分数单位是2，再减去（　　）个这样的分数单位是1． 10．某商店有一批红糖和白糖，如果红糖增加，就同白糖一样多；如果白糖减少，剩下的白糖比红糖少240千克，这个商店原有白糖( )千克 11．盒子里有60个黄球，比白球多，盒子里有( )个白球。 12．一批服装，第一天卖了，第二天卖了余下的，第二天卖出的是总数的( )，还剩下( )． 13．比63千克多的是( )千克，80分米比( )分米少。 14．华华读一本书，已读了90页，还剩全书的没读，这本书共有( )页。 三、判断题 15．一种商品先降价，再提价，现价比原价低。( ) 16．一条路，第一周修了全长的 ，第二周修了余下的 ，还剩全长的 ．  ( ) 17．一种儿童太阳帽先提价，再降价，现价与原价相等。( ) 18．整数的运算定律对小数、分数的运算都适用。( ) 19．小明小红和小林分吃一块盒巧克力，小明吃了整盒的，小红吃了剩下的，其他小林吃。他们吃的巧克力一样多。( ) 20．一份稿件，完成了，剩下部分相当于已经完成的1.5倍。( ) 21．60是一个数的，这个数的是多少？列式是60÷×．( ) 四、计算题 22．直接写出得数。                                                                     23．用你喜欢的方法计算，要求写出计算过程。 ＋×    （＋）×7×5    ÷×    ×＋÷5 五、解答题 24．两个桶内共有100升汽油，第一桶倒出后，还比第二桶多5升，两个容器内各有多少升？ 25．六（1）班女生有20人，男生人数占全班人数的。六（1）班共有多少人？ 26．商场一件大衣降价后是340元，这件大衣的原价是多少元？ 27．学校开展“中国梦，我的梦”调查活动，六年级有90名学生的理想是当教师，想当科学家的学生比想当教师的学生多。有多少名学生想当科学家？ 28．鲜果商城配送了一批水果，蜜柚的质量是80千克，火龙果的质量是蜜柚的，荔枝的质量是火龙果的。配送的荔枝有多少千克？ 29．一个书架有上下两层，共有160本书。如果从上层拿出放到下层，这时两层的本数就同样多。原来上下两层各有多少本书？（先把线段图补充完整，再解答。） 30．一瓶饮料有600毫升，淘气第一次喝了这瓶饮料的，第二次喝了剩下饮料的。瓶中还有多少毫升的饮料？ 31．妈妈为小宇买了一套衣服，上衣的价钱是180元，裤子的价钱是上衣的。 （1）画图表示买这套衣服一共要花的钱数。 （2）买这套衣服一共要花多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B D B B C D 1．D 【分析】根据题意，只知道第二根用去，不知道第二根具体的长度，因此无法求出第二根剩下是多少米，两个绳子剩下的长度无法比较，据此分析解答。 【详解】根据分析可知，两根同样长的绳子，第一个用去米，第二根用去全长的，这两段中剩下的部分无法比较长短；也就是无法确定。 故答案选：D 【点睛】不知道第二根绳子的具体长度，是解答本题的关键。 2．C 【详解】试题分析：根据真分数和假分数的意义解答即可． 解：真分数＜1，假分数≥1； 所以真分数＜假分数； 故选C． 点评：真分数：分子小于分母的分数；和假分数是分子大于或等于分母的分数． 3．B 【分析】根据题意，a是大于1的任意自然数，假设a＝4，计算出各个选项的结果，再进行比较，即可解答。 【详解】假设a＝4； A．a×；4×＝1； B．a÷；4÷＝4×4＝16； C．a×；4×＝14 D．a÷；4÷＝4×＝ 1＜＜14＜16，a÷结果最大。 如果a是大于1的任意自然数，那么结果最大的是a÷。 故答案为：B 【点睛】解答本题的关键是设出a的值，利用分数乘法的计算，分数除法的计算以及分数比较大小的方法进行解答。 4．D 【分析】把这根铁丝的长度看作单位“1”，由题意可知，3厘米是全长的（－），根据分数除法的意义，用3厘米除以（－）就是这根铁丝的长度；再根据分数乘法的意义，用这根铁丝的长度乘。 【详解】3÷（－）× ＝3÷× ＝12（厘米） 12厘米＝0.12米 铁丝原来的长度的一半长0.12米。 【点睛】此题是考查分数乘、除法的意义及应用。求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率；已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用已知数除以它所对应的分率。注意单位换算。 5．B 6．B 【分析】将没铺的看成单位“1”，已铺比没铺的多，则已铺的是没铺的1＋，是250米，根据分数除法的意义，用250÷（1＋）求出没铺的即可。 【详解】250÷（1＋） ＝250÷ ＝200（米） 故答案为：B 【点睛】本题主要考查已知比一个数多/少几分之几的数是多少，求这个数的实际应用。 7．C 【分析】15米的是15×＝5米，则未知量的是5米，所以未知量是5÷＝25米；据此解答。 【详解】15×÷ ＝5÷ ＝25（米） 故答案为：C 【点睛】求一个数的几分之几是多少用乘法；已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法。 8．D 【分析】将绳子原长看成单位“1”，截去，截去的长度是1×＝米，再接上米，用原长减去用去的长度加上接上的长度求出现在绳子长度即可。 【详解】1－1×＋ ＝1－＋ ＝1（米） 现在绳子的长度还是1米。 故答案为：D 【点睛】解题时要明确分数带单位表示集体的量，分数不带单位表示整体的几分之几。 9．1，，，15，1，7 【详解】试题分析：（1）带分数由整数部分和真分数组成，整数部分是等于或大于1的数； （2）判定一个分数的单位看分母，分母是几，分数单位就是几分之一； （3）用2减去原分数的结果，用原分数减去1，再看有几个分数单位即可解答． 解：1是由整数（1）和分数（）合成的数，它的分数单位是（），它有（15）个这样的单位，它再加上（1）个这样的分数单位是2，再减去（7）个这样的分数单位是1． 故答案为1，，，15，1，7． 点评：此题主要考查分数的单位：把单位“1”平均分成几份，表示其中一份的数就是它的分数单位． 10．900 【分析】根据题目可知，红糖是单位“1”，如果红糖增加，就同白糖一样多，则白糖是红糖的1＋，则白糖减少还剩下红糖的（1＋）×（1－），此时白糖比红糖少240千克，则红糖原有240÷[1－（1＋）×（1－）]，求出红糖的重量后，即能求出白糖原有多少千克。 【详解】240÷[1－（1＋）×（1－）] ＝240÷[1－×] ＝240÷ ＝540（千克） 540×（1＋） ＝540× ＝900（千克） 【点睛】完成本题要注意单位“1”的确定，将红糖的质量当做单位“1”，求出240千克占红糖的分率是完成本题的关键。 11．48 12． 13． 81 200 【分析】把63千克看作单位“1”，要求的千克数相当于63千克的（1＋），求一个数的几分之几是多少，用乘法，用63乘（1＋）即可得解；把要求的分米数看作单位“1”，80分米相当于要求的分米数的（1－），已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法，用80分米除以（1－），即可得解。 【详解】63×（1＋） ＝63× ＝81（千克） 80÷（1－） ＝80÷ ＝80× ＝200（分米） 即比63千克多的是81千克，80分米比200分米少。 【点睛】此题的解题关键是理解分数乘法和分数除法的意义，掌握求比一个数多几分之几的数是多少和已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数的计算方法，从而解决问题。 14．150 【分析】把这本书的总页数看作单位“1”，已经读了全书的（1－），对应的是90页，根据分数除法的意义，用除法即可求出总页数。 【详解】90÷（1－） ＝90÷ ＝150（页） 这本书共有150页。 【点睛】此题考查了分数除法的应用，明确已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法。 15．√ 【分析】把商品原价看成单位“1”，降价就是说现价是原价的1－，先运用分数乘法意义，求出现在的单价，并把此看成单位“1”，再提价，就是以此单价的1＋出售，运用分数乘法意义，求出提价后的单价，最后与原价比较即可解答。 【详解】1×（1－）×（1＋） ＝0.8×1.2 ＝96% 96%＜1，即现价比原价低。 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查学生正确运用分数乘法意义来解决问题的能力，注意单位“1”的变化。 16．× 【详解】略 17．× 【分析】先提价是将原价看作“单位1”，提价后是原价的（1＋）；再降价，是将提价后的价格看成单位“1”，则现价是原价的（1＋）×（1－），再与原价“1”比较即可。 【详解】（1＋）×（1－） ＝× ＝ ＜1，所以现价小于原价。 故答案为：× 【点睛】虽然提价、降价都是，但是提价、降价的单位“1”不同，现价和原价也不相等。 18．√ 【详解】整数的运算定律对于小数、分数同样适用； 例如：7.8＋5.3＋2.2根据加法交换律和结合律进行简算； 7.8＋5.3＋2.2 ＝7.8＋2.2＋5.3 ＝10＋5.3 ＝15.3 故答案为：√ 19．√ 【分析】把这盒巧克力看作单位“1”，小明吃了整盒的，还剩下（1－），小红吃了剩下的，用（1－）×，求出小红吃了整盒的分率，再用1减去小明吃了整盒的分率，减去小红吃了整盒的分率，求出小林吃了整盒的分率，再进行比较，即可解答。 【详解】小红：（1－）× ＝× ＝ 小林：1－－ ＝－ ＝ ＝＝，小明、小红和小林吃的一样多。 小明小红和小林分吃一块盒巧克力，小明吃了整盒的，小红吃了剩下的，其他小林吃。他们吃的巧克力一样多。 原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】解答本题的关键是求出小红吃了整盒巧克力分率，进而解答。 20．√ 【分析】把完成这份稿件的工作总量看成单位“1”，用单位“1”减去完成的分率，可以计算出未完成的分率，然后用未完成的分率除以完成的分率，可以计算出剩下部分相当于已经完成的几倍，看是否是1.5倍。 【详解】（） ＝ ＝ 所以原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题解题关键是先用减法计算出未完成的分率，再用未完成的分率除以完成的分率，和1.5倍进行对比得出结论。 21．√ 22．1；6；；8； 14.5；625；； 23．；17；； 【分析】（1）按照分数四则混合运算的顺序，先算乘法，再算加法； （2）运用乘法分配律简算； （3）从左往右依次计算； （4）运用乘法分配律简算。 【详解】＋× ＝＋ ＝    （＋）×7×5 ＝×7×5＋×7×5   ＝10＋7 ＝17 ÷×    ＝××   ＝× ＝ ×＋÷5 ＝×＋× ＝（＋）× ＝1× ＝ 24．60升；40升 【分析】根据题意可知，如果把第一桶里的汽油升数看作单位“1”，那么第二桶的汽油再加5升，就和第一桶汽油的（1－）一样多，第一桶原有：（100＋5）÷（1＋1－）＝60（升），进而求出第二桶汽油的升数。 【详解】（100＋5）÷（1＋1－） ＝105÷ ＝105× ＝60（升） 100－60＝40（升） 答：第一桶里有60升汽油，第二桶里有40升汽油。 【点睛】理清第一桶与第二桶里汽油的数量关系，是解答此题的关键。 25．50人 【分析】男生人数占全班人数的，则女生人数占全班人数的1－＝，是20人；根据分数除法的意义，用20÷求出全班人数。 【详解】20÷（1－） ＝20÷ ＝50（人） 答：六（1）班共有50人。 【点睛】找准单位“1”并找出与已知量对应的分率是解题的关键。 26．400元 【分析】把这件大衣的原价看作单位“1”，则现价是原价的（1－），对应的是340元，根据分数除法的意义，用除法解答即可。 【详解】340÷（1－） ＝340÷ ＝400（元） 答：这件大衣的原价是400元。 【点睛】此题考查了分数除法的应用，明确已知一个数的几分之几，求这个数用除法。找出340元对分的分率是解题关键。 27．108名 【分析】把相当教师的学生人数看作单位“1”，想当科学家的学生人数是相当教师的学生人数的（1＋），已知相当教师的学生人数，用乘法即可解答。 【详解】90×（1＋） ＝90× ＝108（名） 答：有108名学生想当科学家。 【点睛】此题考查了求比一个数多几分之几的数是多少，用这个数×（1±几分之几）解答。 28．48千克 【分析】先把蜜柚的质量看成单位“1”，火龙果的质量是蜜柚的，用蜜柚的质量乘即可求出火龙果的质量，再把火龙果的质量看成单位“1”，荔枝的质量是火龙果的，再用火龙果的质量乘即可求出荔枝有多少千克。 【详解】80×× ＝64× ＝48（千克） 答：配送的荔枝有48千克。 【点睛】解答此题的关键是分清两个不同的单位“1”，已知单位“1”的量，求它的几分之几是多少用乘法求解。 29．图见详解；上层100本；下层60本 【分析】由于上层拿出到下层，上层少了，下层多了，则此时上层和下层一样多，由此即可知道上层比下层多了上层的，由此即可画图； 可以设上层书架有x本，下层书架：（160－x）本，根据题目可知，上层书架拿出上层的后，上下两层一样多，则上层书架的本数－×上层书架的本数＝下层书架的本数＋×上层书架的本数，由此即可列方程再解答。 【详解】 解：设上层书架有x本，下层书架：（160－x）本 x－x＝160－x＋x x＋x－x＝160 x＝160 x＝160÷ x＝100 160－100＝60（本） 答：上层有100本，下层有60本。 【点睛】本题主要考查列方程解两个未知数的应用题，给出两个数的和，则可以任意设其中一个数为x，另一个数用总和减去x。 30．300毫升 【分析】剩下饮料的毫升数＝这瓶饮料的毫升数×剩下饮料毫升数对应的分率，据此解答。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝300（毫升） 答：瓶中还有300毫升的饮料。 【点睛】找出剩下饮料所对应的分率是解答题目的关键。 31．（1）见详解 （2）300元 【分析】（1）根据题意，把上衣的价钱看作单位1，先画一条线段表示上衣的价钱，并把这条线段平均分成3份；再画一条线段表示裤子的价钱，长度等于第一条线段的2份；最后表示已知信息和问题。 （2）裤子的价钱是上衣的，先用乘法求出裤子的价钱，再加上上衣的价钱即可。 【详解】（1） （2）180×＋180 ＝120＋180 ＝300（元） 答：买这套衣服一共要花300元。 【点睛】画线段图时，先画表示单位1 的线段；求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$