第一单元小数除法（讲义）-2024-2025学年五年级上册数学北师大版

小数除法 板块一：考点精讲 1．除数是小数的除法 【知识点归纳】 小数除以小数 ①除数是几位小数，被除数和除数的小数点就同时向右移动几位，使除数变成整数。 ②如果被除数的位数不够时，在被除数的末尾用“0”补足。 ③按除数是整数的小数除法的方法进行计算。 ④验算用乘法计算原来的算式。 【方法总结】 除数是小数的除法计算核心：把除数是小数的转化为整数，依据“商不变性质”被除数同时随着转化。 具体计算方法： 1、先移动除数的小数点，使它变成整数。 2、除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点就向右移动几位。被除数位数不够的时候，在末尾用“0”补足。 3、按除数是整数的小数除法进行计算。 温馨提醒： 小数除法只要把除数转化为整数，被除数是不是整数无所谓，但是被除数和除数向右移动小数点的位数一定要相等。 2．小数除法 【知识点归纳】 小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算． 小数除法的法则与整数除法的法则基本相同，注意两点： ①当除数是整数时，可以直接按照整数除法的法则进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐．如果有余数，就在余数的右边补上0，再继续除．商的整数部分或小数部分哪一位不够1时，要写上0，补足位数．如果需要求商的近似值时，要比需要保留的小数位数多商一位，再按照四舍五入法取近似商． ②当除数是小数时，要根据“被除数和除数同时乘相同的数商不变”的规律，先把除数的小数点去掉，使它变成整数，再看原来的除数有几位小数，被除数的小数点也向右移动相同的位数．如果位数不够，要添0补足，然后，按照除数是整数的小数除法法则进行计算． 3．小数四则混合运算 【知识点归纳】 1、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。 2、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。 3、在没有括号的算式里，既有乘、除法又有加、减法的，要先算乘除法，再算加减法。 4、算式有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；大、中、小括号的计算顺序为小→中→大。括号里面的计算顺序遵循以上1、2、3条的计算顺序。 【方法总结】 1、小数乘法的计算方法： （1）算：先按整数乘法的法则计算； （2）看：看两个乘数中一共有几位小数； （3）数：从积的右边起数出几位（小数位数不够时，要在前面用 0 补足）； （4）点：点上小数点； （5）去：去掉小数末尾的“0”。 2、小数除法的计算方法：先看除数是整数还是小数。 小数除以整数计算方法： （1）按整数除法的法则计算； （2）商的小数点要和被除数的小数点对齐 （3）如果有余数，要在余数后面添“0”继续除。 除数是小数的计算方法： （1）看：看清除数有几位小数 （2）移（商不变规律）：把除数和被除数的小数点同时向右移动相同的位数，使除数变成整数，当被除数的小数位数不足时，用“0”补足 （3）算：按照除数是整数的除法计算。注意：商的小数点要和被除数移动后的小数点对齐） 4．小数乘法的近似数 【知识点归纳】 求小数的近似数的方法 1，求一个小数的近似数，可以用（ 四舍五入 ）的方法； 2，保留整数时，要观察（ 小数部分第一位 ），再四舍五入； 3，保留一位小数时，要观察（小数部分第二位 ），再四舍五入； 4，保留两位小数时，要观察（ 小数部分第三位 ），再四舍五入。 注意说法： 求近似数时，保留整数，表示精确到个位，保留一位小数就是精确到十分位上，要看百分位上的数是否满5，满5进1，不满5舍去；保留两位小数，表示精确到百分位。 要注意根据题目的要求求近似数，在表示近似数时，小数末尾的0不能去掉。 【方法总结】 一、整数中求一个数的近似数，我们用的是“四舍五入”法。求小数的近似数的方法也是“四舍五入”法。 二、用“四舍五入”法取积的近似数的方法： 1．算出准确的积； 2．看要保留的小数位数； 3．循要保留的数位的下一位上的数字是几，按照“四舍五入”法取近似值。 5．小数除法的近似数 【知识点归纳】 取商的近似值的一般方法：求商的近似数，要比需要保留的小数位数多除出一位，然后再“四舍五入”。 2、解决实际应用的问题时会出现四不舍、五不入的情况，应根据题目的特点去求出近似数。 【方法总结】 求商的近似值和求积的近似值的异同点： （1）相同点都是按“四舍五入法”取近似值。 （2）不同点是取商的近似值只要计算时比要保留的小数位数多除出一位就可以了；而取积的近似值时则要计算出整个积的值以后再取近似值。 板块二：高频考点 一、选择题 1．中国的传统节日中秋节到了，乐乐的美国小朋友哈利寄来一个定价为16.8美元的书包，已知1元人民币能兑换0.14美元，这个书包折合人民币（    ）元。 A．120 B．108 C．102 D．96 2．下列除法算式运算的结果是循环小数的是（    ）。 A．1÷8 B．5÷6 C．7÷8 D．105÷7 3．一个练习本1.6元，20元最多能买（    ）个这样的练习本． A．10 B．12 C．12.5 D．13 4．世界上最重的鸟是驼鸟，最轻的鸟是蜂鸟。驼鸟的平均体重约90千克，是蜂鸟的56250倍，蜂鸟的平均体重约是（    ）克。 A．16 B．1.6 C．160 D．0.0016 5．与6.3÷0.25结果不相等的式子是（    ）。 A．630÷25 B．63÷2.5 C．63÷250 D．（6.3×4）÷（0.25×4） 6．10.05÷2.51的商最接近（    ）。 A．5 B．4 C．40 D．50 7．下面算式的商大于2而小于3的是（    ）。 A． B． C． D． 8．下列各式中，商大于1的是（    ）。 A．4.75÷6.5 B．38.6÷38 C．0.81÷2.7 D．3.65÷3.65 二、填空题 9．在0.4545，0.4545…，0.444中，( )是循环小数。 10．小明用10元买了2.5千克的桃子，每千克桃子（ ）元，1元可以买（ ）千克桃子． 11．的商保留两位小数约是( )，保留一位小数约是( )，保留整数约是( )。 12．1美元可以兑换人民币7.192元，汤姆带了100美元去超市，他可以买到折合人民币( )元的商品。 13．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.5÷0.2( )3.5            1.78÷1.3( )1.78 14．一个两位小数十分位上是8，其它数位上是0，这个小数写作( )，化简后是( )，表示( )个( )． 15．计算51.2÷2.7，当商取整数时，商是（ ），余数是（ ） 16．把37.6先扩大100倍,再缩小10倍得到的数是( )．把7.7913913……可以记作( ) ,保留一位小数是( )． 三、判断题 17．一个数除以小于1的数，商一定大于原来的数。( ) 18．做一套童装需2.4m布，40m布最多能做16套这样的童装。( ) 19．的商是循环小数。( ) 20．编12个“中国结”用了8.16米的红线，平均每个“中国结”需0.68米红线。( ) 21．两个数的商是4.08，如果被除数扩大到原来的10倍，除数缩小到原来的，那么商仍是4.08。( ) 22．一个大于0的数除以0.99，所得的商比原来的数要大。( ) 23．6.98÷1.25的商比1大。( )。 四、计算题 24．直接写出得数。 18÷0.2＝                0.3÷0.2＝            4.8÷6＝                7.5÷0.5＝ 0.6÷12＝                7.23×0.1＝            3.2÷0.32＝            6.06÷0.6＝ 25．列竖式计算。 26.38×19.81＝                          0.215×79.38＝ 50.19÷0.17≈（得数保留两位小数）         1.089÷72.7≈（得数保留三位小数） 五、解答题 26．放心超市上午卖出48千克苹果，一共收入220.8元，下午又卖出78千克。放心超市下午共收入多少元？ 27．为了鼓励节约用电，电力公司规定了以下电费计算方法：每月用电不超过100千瓦时，按0.52元/千瓦时收费；每月用电超过100千瓦时，超过部分按0.60元/千瓦时收费。小明家12月份付电费67.6元，小明家12月份用电多少千瓦时？ 28．王老师带了150元，为班级买一个篮球和一些笔记本，王老师最多能买多少本笔记本？ 29．某市出租车的收费标准是：3千米或不足3千米，收费都是5元；超过3千米以后，超过的部分每千米收费1.5元。王叔叔在该市打车共行了7千米，他需要付多少钱？ 30．一间教室的面积是87.04平方米，用边长0.5米的正方形瓷砖铺地，共需这种瓷砖多少块？ 31．买3支圆珠笔和1支铅笔要8.1元，买同样的1支圆珠笔和3支铅笔要4.3元。圆珠笔和铅笔的单价各是多少？ 32．工艺坊做一种装饰品需要0.8米长的丝带，坊里的存货可以做720个，由于设计师改变了样式，每个装饰品可少用丝带0.2米，那么这些存货可以做多少个新式的饰品？ 33．王叔叔和李阿姨都在超市买水果。你知道苹果和梨每千克各多少元吗？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B B C B B B 1．A 【分析】根据题意，1元人民币能兑换0.14美元，要把16.8美元折合成人民币，用16.8除以0.14，即可得解。 【详解】16.8÷0.14＝120（元） 即这个书包折合人民币120元。 故答案为：A 【点睛】此题主要考查人民币的兑换，注意人民币和美元之间的换算。 2．B 【分析】先将4个选项的结果求出，再根据循环小数的意义进行判断即可解答。 【详解】A．1÷8＝0.125，商是三位小数，不是循环小数； B．5÷6＝0.8333……，商是循环小数； C．7÷8＝0.875，商是三位小数，不是循环小数； D．105÷7＝15，商是两位整数，不是循环小数。 故答案选：B 【点睛】本题考查循环小数的意义：一个小数，从小数部分的某一位起，一个或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做循环小数。 3．B 【详解】解：20÷1.6≈12（个） 答：20元最多能买12个这样的练习本。 故选：B。 【点评】本题主要考查了学生根据除法的意义解答应用题的能力。 4．B 【分析】已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法计算，据此用90除以56250即可求出蜂鸟的平均体重。注意换算单位。 【详解】90÷56250＝0.0016（千克）＝1.6克，则蜂鸟的平均体重约是1.6克。 故答案为：B 【点睛】本题主要考查小数除法的应用。根据小数除法的法则正确计算是解题的关键。 5．C 【分析】根据商不变的性质，被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变，据此解答。 【详解】A．6.3÷0.25＝（6.3×100）÷（0.25×100）＝630÷25。 B． 6.3÷0.25＝（6.3×10）÷（0.25×10）＝63÷2.5。 C．6.3÷0.25＝（6.3×10）÷（0.25×10）＝63÷2.5，和63÷250的结果不相等； D．6.3÷0.25＝（6.3×4）÷（0.25×4）。 故答案为：C 6．B 【分析】计算除数是小数的小数除法时，先移动除数的小数点使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数末尾用0补足），然后按照除数是整数的小数除法进行计算，商保留整数时，要除到小数点后面第一位，再根据四舍五入取近似值，据此解答。 【详解】10.05÷2.51≈4 所以10.05÷2.51的商最接近4。 故答案为：B 【点睛】掌握小数除法的计算方法是解答题目的关键。 7．B 【分析】计算除数是小数的除法，先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。据此分别把各题的除数变成整数，再看商的整数部分是否大于2而小于3。 【详解】A．＝151÷48，商的整数部分可以商3，不符合题意； B．＝104÷51，商的整数部分商2且有余数，符合题意； C．＝60÷32，商的整数部分是1，不符合题意； D．＝400÷98，商的整数部分可以商4，不符合题意。 故答案为：B 【点睛】根据小数除法的计算法则，把除数转化为整数后，计算出商的整数部分是解题的关键。 8．B 【分析】计算小数除法时，先移动除数的小数点使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数末尾用0补足），然后按照除数是整数的小数除法进行计算，据此计算得出商即可。 【详解】A．4.75÷6.5≈0.73，0.73＜1，不符合题意； B．38.6÷38≈1.016，1.016＞1，符合题意； C．0.81÷2.7＝0.3，0.3＜1，不符合题意； D．3.65÷3.65＝1，1＝1，不符合题意。 故答案为：B 【点睛】通过平常的计算我们可以总结规律：两个数相除（都不为0），被除数大于除数时商大于1；被除数等于除数时商等于1；被除数小于除数时商小于1。 9．0.4545… 【分析】小数分为有限小数和无限小数，有限小数的小数点后面的小数是有限的、可数的；而无限小数的小数点后面的小数是无限的、不可数的。 一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数；循环小数是无限小数。 【详解】由分析可知： 在0.4545，0.4545…，0.444中，0.4545…是循环小数。 【点睛】掌握循环小数的意义是解题的关键。 10． 4 0.25 【详解】试题分析：首先根据单价=总价÷数量，用2.5千克的桃子的价格除以2.5，求出每千克桃子多少元；然后用小明花10元买的桃子的重量除以10，求出1元可以买多少千克桃子即可． 解：10÷2.5=4（元） 2.5÷10=0.25（千克） 答：每千克桃子4元，1元可以买0.25千克桃子． 故答案为4、0.25． 【点评】此题主要考查了除法的意义的应用，解答此题的关键是熟练掌握单价、总价、数量的关系． 11． 0.85 0.9 1 【分析】先计算9.4除以11，根据题目要求，观察对应的数位上数字的大小，然后进行四舍五入。 【详解】 【点睛】求商的近似值最常用的方法是四舍五入法，精确到哪一位，需要根据后面一位的数字大小进行四舍五入。 12．719.2 【分析】根据乘法的意义，用7.192乘100即可解答。 【详解】7.192×100＝719.2（元），他可以买到折合人民币719.2元的商品。 【点睛】本题考查小数乘法的应用。根据乘法的意义正确列式是解题的关键。 13． ＞ ＜ 【分析】因为0.2＜1，根据一个非0数除以小于1的数（0除外），商大于被除数可知：3.5÷0.2＞3.5； 因为1.3＞1，根据一个非0数除以大于1的数，商小于被除数可知：1.78÷1.3＜1.78。 【详解】结合“商与被除数的关系”以及具体数据可得： 3.5÷0.2（＞）3.5            1.78÷1.3（＜）1.78 【点睛】运用“商与被除数的关系”，可以在不动笔计算的情况下，结合除数与1的大小关系，来准确预测商与被除数的关系。 14． 0.80 0.8 8 0.1 15． 18 2.6 【分析】根据小数的运算法则列竖式计算即可求得商和余数。 【详解】51.2÷2.7＝18……2.6 【点睛】掌握小数除小数的运算方法是解题的管家，注意余数的变化。 16． 376 7.8 17．× 【详解】一个不为0的数除以小于1的数，商一定大于原来的数。因为0除以任何数都得0，如：0÷0.1＝0，原句说法不严密。 故答案为：× 18．√ 【分析】根据题意，用布的总米数除以做一套童装需要的布的米数，然后用去尾法解答。 【详解】40÷2.4≈16（套） 做一套童装需2.4m布，40m布最多能做16套这样的童装，原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】解决本题根据除法的包含意义直接列式求解，注意结果要用去尾法保留整数。 19．√ 【分析】先算出12÷9的商，再根据循环小数的概念：一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数。据此解答。 【详解】12÷9＝ 是循环小数，所以原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】此题考查了循环小数的概念。要求学生熟练掌握并灵活运用。 20．√ 【分析】用编“中国结”红线的总长度÷编的个数，即8.16÷12，再进行比较，即可解答。 【详解】8.16÷12＝0.68（米） 0.68＝0.68 编12个“中国结”用了8.16米的红线，平均每个“中国结”需0.68米红线。 原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】利用小数比较大小的方法，除数是整数的计算方法进行解答。 21．× 【分析】根据商的变化规律直接解答即可。 【详解】两个数的商是4.08，如果被除数扩大到原来的10倍，除数缩小到原来的，那么商扩大到原来的100倍，是408。 故答案为：× 【点睛】商的变化规律：除数不变，被除数扩大几倍，商也扩大几倍；除数不变，被除数缩小为原来的几分之一，商也缩小为原来的几分之一；被除数不变，除数扩大几倍，商反而缩小为原来的几分之一；被除数不变，除数缩小为原来的几分之一，商反而扩大几倍；被除数和除数同时乘或除以相同的不为0的数，商不变。 22．√ 【分析】根据一个数（0除外）除以小于1的数，商比原数大； 一个数（0除外）除以大于1的数，商比原数小。 【详解】据分析可知： 一个大于0的数除以0.99，所得的商比原来的数要大；此说法正确。 故答案为：√ 【点睛】考查除法的意义，商的变化规律，熟练掌握提高计算的正确率。 23．√ 【分析】小数除法法则：先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。 据此计算出结果，与1比较即可。 【详解】6.98÷1.25＝5.584 5.584＞1 6.98÷1.25的商比1大，说法正确。 故答案为：√ 【点睛】关键是掌握小数除法的计算方法。 24．90；1.5；0.8；15； 0.05；0.723；10；10.1 25．522.5878；17.0667； 295.24；0.015 【分析】小数乘小数的计算方法：先按照整数乘整数的计算方法算出乘积；点小数点时，看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点即可；积的小数位数如果不够，前面用0补位再点小数点。 除数是小数的小数除法：先把除数的小数点去掉使它变成整数，看除数原来有几位小数，就把被除数小数点向右移动相同的几位（位数不够时补0），按照除数是整数的除法进行计算。保留两位小数，即精确到百分位，看小数点后面第三位（千分位），再利用“四舍五入法”求出近似数即可。保留三位小数，即精确到千分位，看小数点后面第四位（万分位），再利用“四舍五入法”求出近似数即可。 【详解】26.38×19.81＝522.5878                0.215×79.38＝17.0667                      50.19÷0.17≈295.24                          1.089÷72.7≈0.015            26．358.8元 【分析】根据“总价÷数量＝单价”，求出每千克苹果的价格，再根据“单价×数量＝总价”，求出下午卖苹果的收入。 【详解】220.8÷48×78 ＝4.6×78 ＝358.8（元） 答：放心超市下午共收入358.8元。 27．126千瓦时 【分析】先用100×0.52求出100千瓦时的电费，然后用67.6减去100千瓦时的电费，将剩余电费÷超出部分收费单价，求出超出用电量，最后加上100千瓦时即可解答。 【详解】超出电费：67.6－0.52×100 ＝67.6－52 ＝15.6（元） 15.6÷0.60＋100 ＝26＋100 ＝126（千瓦时） 答：小明家12月份用电126干瓦时。 【点睛】此题主要考查学生对阶梯收费的理解与实际解答能力。 28．15本 【分析】用150元减去买一个篮球的价钱，再除以一个笔记本的价格，结果用去尾法保留整数即可。 【详解】（150－76）÷4.8 ＝74÷4.8 ≈15.8（本） ≈15本 答：王老师最多能买15本笔记本。 【点睛】此题应根据求一个数里面有几个另一个数的方法，用除法解答。应结合实际，看用“进一法”还是“去尾法”保留整数。 29．11元 【分析】王叔叔打车共行了7千米，超过了3千米，则费用包括两部分：其中的3千米收费5元；超过3千米的部分收费（7－3）×1.5＝6（元）。最后把两部分费用加起来即可。 【详解】5＋（7－3）×1.5 ＝5＋6 ＝11（元） 答：他需要付11元。 【点睛】本题考查小数四则混合运算的应用。明确两个区间收费标准的意义是解题的关键。 30．349块 【详解】87.04÷（0.5×0.5）≈349（块） 31．2.5元；0.6元 【分析】观察可知，两次圆珠笔的数量3＋1＝4，两次铅笔的数量1＋3＝4，那么将8.1元和4.3元相加，得到的就是4支圆珠笔和4支铅笔的总价，那么1支圆珠笔和1支铅笔的价格之和就是（8.1＋4.3）÷4＝3.1元；已知买3支圆珠笔和1支铅笔要8.1元，则2支圆珠笔价格就是（8.1－3.1）元，除以2就是圆珠笔单价；再用3.1减去圆珠笔单价即可求出铅笔单价。 【详解】（8.1＋4.3）÷（3＋1） ＝12.4÷4 ＝3.1（元） （8.1－3.1）÷2 ＝5÷2 ＝2.5（元） 3.1－2.5＝0.6（元） 答：圆珠笔的单价是2.5元，铅笔的单价是0.6元。 【点睛】此题的关键是先求出1支圆珠笔和1支铅笔的价格之和，然后再进一步解答。 32．960个 【分析】根据小数乘法的意义，用0.8×720即可求出丝带的总长度；现在每个装饰品用的丝带长度是（0.8－0.2）米，根据小数除法的意义，用总长度÷（0.8－0.2）即可求出现在可以做多少个新式的饰品。 【详解】0.8×720＝576（米） 576÷（0.8－0.2） ＝576÷0.6 ＝960（个） 答：这些存货可以做960个新式的饰品。 【点睛】本题考查了小数乘除法的计算和应用，掌握相应的计算方法是解答本题的关键。 33．苹果：2元；梨：2.3元 【分析】用王阿姨买4千克苹果和4千克梨共付的钱数－李阿姨买1千克苹果和4千克梨共付的钱数，即可求出买（4－1）千克苹果付的钱数，再用买（4－1）千克付的钱数÷（4－1），求出每千克苹果的价钱，进而求出每千克梨的价钱。 【详解】（17.2－11.2）÷（4－1） ＝6÷3 ＝2（元） （11.2－2）÷4 ＝9.2÷4 ＝2.3（元） 答：苹果每千克2元，梨每千克2.3元。 【点睛】解答本题的关键明确王阿姨比李阿姨多买了3千克苹果，王阿姨比李阿姨多付的钱数也就是多买了苹果付的钱数。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$