5.3　实际问题与一元一次方程（第5课时） 课件 2024-2025学年 人教版数学七年级上册

第5课时　方案设计与分段计费问题 1.与一元一次方程有关的方案选择问题,通常有最节省资金、最大利润问题等.要通过分析题意,结合等量关系构造一元一次方程.求解某些未知数的值,需按照题目指定的方案进行有关计算,通过比较数值大小进行方案选择. 2.选择设计方案的一般步骤 (1)运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况. (2)用特殊值试探法选择方案,取小于(或大于)一元一次方程解的值,比较两种方案的优劣性后下结论. 例:购买冰箱时,要综合考虑冰箱的价格与耗电情况,下表是两种冰箱的部分基本信息.   价格/元 能效等级 平均每年耗电量/ (kW·h) A款冰箱 1 260 3级 380 B款冰箱 2 060 1级 220 如果电价是0.5元/kW·h,使用冰箱的年份为t年,请回答: (1)使用A款冰箱的综合费用为　 元,使用B款冰箱的综合费用为　 元;  (2)若使用A款冰箱与B款冰箱的综合费用一样多,则可列方程　 　,解得t=　 　;  (3)当t　 时,购买A款冰箱更合算;  (4)当t　 时,购买B款冰箱更合算.    价格/元 能效等级 平均每年耗电量/ (kW·h) A款冰箱 1 260 3级 380 B款冰箱 2 060 1级 220 (1 260+190t)　 (2 060+110t)　 1 260+190t=2 060+110t 10 <10　 >10　 3.分段计费问题中,由于每一段的计费(优惠)方式不同,所以列出的方程也不同. ①总费用=不超过部分的费用+超过部分的费用. ②搞清“超过部分”的意义,确定所给数据所处的段. 例:某运营商有甲、乙两种流量套餐,甲流量套餐的收费标准为:若月使用流量不超过20 G,使用的流量按1元/G收费;若月使用的流量超过20 G,则超过部分流量按3元/G收费;乙流量套餐按2元/G收费.(不足1 G的按1 G收费) (1)若小敏选择甲流量套餐,一月份使用流量26 G,应交流量费用　 　元;  38 (2)若小敏二月份使用流量30 G,则她应选择　 　流量套餐比较实惠;  (3)若小敏三月份使用的流量用甲、乙两种流量套餐收费一样,则小敏三月份使用的流量为　 　G.  甲 40 分段计费问题 为鼓励居民节约用水,某市市政府决定对居民用水实行三级阶梯水价,收费标准如下表: 每户每月用水量 水费价格(单位:元/m3) 不超过22 m3 2.3 超过22 m3且不超出 30 m3的部分 a 超过30 m3的部分 4.6 (1)若小明家今年1月份用水量是20 m3,他家应缴水费　 　元; (2)若小明家今年2月份用水量是26 m3,缴水费64.4元,请求出用水量在22~30 m3之间的水费价格a元/m3; 46 解:(2)∵22<26<30, ∴根据题意,有22×2.3+(26-22)×a=64.4, 解得a=3.45, ∴用水量在22~30 m3之间的水费价格为3.45元/m3. (3)在(2)的条件下,若小明家今年8月份用水量增大,共缴费87.4元,请求出他家今年8月份的用水量是多少立方米? (3)若用水量为30 m3,则收费为 22×2.3+8×3.45=78.2(元),78.2<87.4, ∴小明家今年8月份的用水量超过了30 m3. 设小明家今年8月份的用水量为x m3, 由题意可得22×2.3+8×3.45+(x-30)×4.6=87.4, 解得x=32. 答:小明家今年8月份的用水量为32 m3. 1.某市居民年用天然气阶梯价格方案如下: 第一档 第二档 第三档 年用天然气量为320 m3及以下,价格为2元/m3. 年用天然气量超出320 m3且不超出400 m3时,超出的部分价格为2.5元/ m3. 年用天然气量超出400 m3的部分价格为3元/m3. 依此方案请回答: (1)若小明家2023年使用天然气370 m3,则需缴纳天然气费为　 　元; 765 (2)某户居民2022年和2023年共用天然气800 m3,两年共缴纳天然气费用1 780元,且2023年用气量比2022年多,求该户居民2022年和2023年的天然气用量各是多少. 解:(2)设该户居民2022年的天然气用量为x m3,则该户居民2023年的天然气用量为(800-x)m3, 因为2023年用气量比2022年多,所以x<400. ①当0≤x≤320时,800-x≥480, 因为两年共缴纳天然气费用1 780元, 所以2x+320×2+(400-320)×2.5+3(800-x-400)=1 780, 解得x=260,所以800-x=800-260=540, 所以该户居民2022年的天然气用量为260 m3,2023年的天然气用量为540 m3, ②当320<x<400时,800-x>400, 因为两年共缴纳天然气费用1 780元, 所以320×2+2.5(x-320)+320×2+(400-320)×2.5+ 3(800-x-400)=1 780, 解得x=200(舍去). 综上所述,该户居民2022年的天然气用量为 260 m3,2023年的天然气用量为540 m3. 2.某商场经销甲、乙两种商品,甲种商品每件进价150元,售价200元;乙种商品每件进价350元,售价450元. (1)该商场在“十一”黄金周期间销售甲、乙两种商品共100件,销售额为35 000元,求甲、乙两种商品各销售了多少件? 解:(1)设甲种商品销售了x件,则乙种商品销售了(100-x)件,依题意,得 200x+450(100-x)=35 000, 解得x=40,所以100-x=60. 答:甲种商品销售了40件,乙种商品销售了60件. (2)若该商场在“十一”黄金周期间销售甲、乙两种商品进行如下表所示的优惠活动: 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过3 000元 不优惠 超过3 000元且不超过4 000元 总售价打九折 超过4 000元 总售价打八折 按上述优惠条件,若小王第一天只购买甲种商品一次性付款2 000元,第二天只购买乙种商品打折后一次性付款3 240元,那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件? (2)设小王在该商场购买甲种商品m件,依题意,得 200m=2 000,解得m=10. 设购买了乙种商品n件,分两种情况讨论: ①3 240元是总售价打九折后的价钱时,由题意,得450×0.9n=3 240, 解得n=8. ②3 240元是总售价打八折后的价钱时,由题意,得450×0.8n=3 240, 解得n=9. ∴m+n=18或19. 答:这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共18件或19件. 方案设计问题 为培养学生良好的书写习惯,某校初一年级组织学生每天抽出一些时间,开展“书为心画,字为心声”练字书写活动.活动初期,初一年级需要在文具店购买钢笔和字帖分发给学生练习,每购买一支钢笔,则需配备两本字帖搭配练习.甲、乙两家文具店的标价相同,每支钢笔的价格比每本字帖的价格多20元,而且一支钢笔的价格刚好与三本字帖的价格相同. (1)钢笔和字帖的价格各是多少元? 解:(1)设一本字帖的价格是x元,则一支钢笔的价格是3x元,依题意,有3x-x=20, 解得x=10,则3x=3×10=30. 答:钢笔的价格是30元,字帖的价格是10元. (2)已知初一年级有980名同学,现两家文具店的优惠如下: 甲文具店:全场商品购物超过20 000元后,超出20 000元的部分打八五折; 乙文具店:相同商品“买十件赠一件”. 请问在哪家文具店购买比较优惠? (2)由题可知购买钢笔980支,购买字帖1 960本, ∴全部金额为980×30+1 960×10=49 000(元), 在甲文具店的应付金额为 20 000+(49 000-20 000)×0.85=44 650(元), 买十件赠一件,980件可以少买89件,1 960件可以少买178件, 在乙文具店的应付金额为 (980-89)×30+(1 960-178)×10=44 550(元). 因为44 650>44 550, 所以在乙文具店购买比较优惠. 答:在乙文具店购买比较优惠. 某市准备在艺术节组织中小学校文艺汇演,甲、乙两所学校共92名学生(其中甲校学生多于乙校学生,且甲校学生不足90名),现准备统一购买服装参加汇演,下表是某服装厂给出的演出服装价格表: 购买服装的 套数 1套至 45套 46套至 90套 91套及以上 每套服装的 价格 60元 50元 40元 如果两所学校单独购买服装,一共应付5 000元. (1)甲、乙两校各有多少名学生准备参加汇演? 解:(1)设甲校有x(x>46)名学生准备参加汇演,则乙校有(92-x)名学生准备参加汇演. 根据题意,得50x+60(92-x)=5 000, 解得x=52.∴92-x=92-52=40. 答:甲校有52名学生准备参加汇演,乙校有40名学生准备参加汇演. (2)如果甲、乙两校联合起来购买服装,那么比各自购买服装共可以节省多少钱? (2)由题意,得5 000-92×40=1 320(元). 答:甲、乙两校联合起来购买服装比各自购买服装共可以节省1 320元. (3)如果甲校有10名学生被调去参加书法绘画比赛不能参加汇演,请你为两校设计购买服装方案,并说明哪一种最省钱. (3)因为甲校有10名学生不能参加汇演,则甲校有42名学生参加汇演. ①若两校联合购买服装, 则需要(42+40)×50=4 100(元). ②若两校各自购买服装, 则需要(42+40)×60=4 920(元). ③若两校联合购买91套服装, 则需要40×91=3 640(元). 综上所述,最省钱的购买服装方案是两校联合购买91套服装. 3.一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式:方式A以每分钟0.1元的价格按上网所用时间计费;方式B除收月租费20元外,再以每分钟0.05元的价格按上网所用时间计费.当上网所用时间为　 　分钟时,两种上网方式的费用一样. 400 4.某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机,已知该厂家生产三种不同型号的电视机,出厂价分别为:甲种每台1 500元,乙种每台2 100元,丙种每台2 500元. (1)若商场每次只能同时购进其中两种不同型号电视机共50台,用去9万元,第三小组同学研究的进货方案如下: 解:设购进甲种电视机x台,则购进乙种电视机(50-x)台,根据题意,得 1 500x+2 100(50-x)=90 000. 解得x=25,50-x=25. 答:购进甲种电视机25台,乙种电视机25台. 其他小组同学认为还有别的进货方案,请你替他们补充完整: 综上,共有　 　种进货方案,分别是: ; 解:(1)①设购进甲种电视机y台,则购进丙种电视机(50-y)台,根据题意,得 1 500y+2 500(50-y)=90 000,解得y=35,∴50-y=15, ∴可以购进甲种电视机35台,丙种电视机15台. ②设购进乙种电视机z台,则购进丙种电视机(50- z)台,根据题意,得 2 100z+2 500(50- z)=90 000,解得z=87.5. ∵87.5>50,∴不符合题意,舍去. 综上,共有　 　种进货方案,分别是: ; 2 方案1:购进甲种电视机25台,乙种电视机25台; 方案2:购进甲种电视机35台,丙种电视机15台　 ; (2)若商场把一台甲种电视机的进价提高40%标价后,再以8折出售,则每台甲种电视机可获利　 　元; 180 (2)1 500×(1+40%)×0.8-1 500=180(元). (3)方案1的销售利润为180×25+150×25=8 250(元); 方案2的销售利润为180×35+210×15=9 450(元). ∵8 250<9 450, ∴方案2购进甲种电视机35台,丙种电视机15台的销售利润最多. (3)若一台甲种电视机按(2)获利,销售一台乙种电视机可获利150元,销售一台丙种电视机可获利210元,在(1)所确定的方案中,请你探究哪一种进货方案的销售利润最多. $$