精品解析：湖南省永州市冷水滩区仁湾镇中学2023-2024学年七年级下学期数学期末试题

湖南省永州市冷水滩区仁湾镇中学2023—2024学年人教版七年级下学期数学期末考试试卷 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 纳米是一种长度单位，它用来表示微小的长度，1纳米为十亿分之一米，即米．甲型流感病毒的直径大约83纳米左右，“83纳米”用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C D. 3. 下列说法正确是（ ） A. 10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸人摸到奖票的概率较大 B. 从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大 C. 小强一次掷出3颗质地均匀骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 D. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上 4. 等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 如图，在三角形中，，，点 P是边上动点，则的长不可能是（ ） A. 4.8 B. 5 C. 6 D. 7 6. 根据下列条件能画出唯一确定的的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 七巧板是我国古代的一项发明，被誉为“东方魔板”，19世纪传到国外被称为“唐图”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图，在七巧板铺成的正方形地板上，一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如果的展开式中不含项，那么p的值是（　　） A. 1 B. C. 2 D. 10. 如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11. 计算的结果是____． 12. 若，则的值为__________． 13. 若，则=______． 14. 如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则________． 15. 如图，中，，P是上任意一点，过P作于D，于E，若，则_________ 16. 如图，点，分别是角两边、上的定点，，．点，分别是边，上的动点，则的最小值是______． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：． 20. 如图，，，． （1）求的度数； （2）若平分，求的度数． 21. 如图，在中，，于点D，平分交于点E，交于点F，过点E作，交AB于点G，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求四边形的面积． 22. 如图，长方形ABCD中，点P沿着四边按B→C→D→A方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动．在运动过程中，ABP的面积S与运动时间t的函数关系如图所示． （1）求长方形的长和宽； （2）求m、a、b的值； （3）当P点运动到BC中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→D→A运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，BPQ的面积为y，求y与x之间的关系式． 23. 如图①，点A、点B分别在直线和直线上，，，射线从射线的位置开始，绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点B以每秒的速度顺时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为t秒． （1）______； （2）在转动过程中，当射线与射线所在直线的夹角为，直接写出t的值______． （3）在转动过程中，若射线与射线交于点H，过点H作交直线于点K，的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值：如果改变，请说明理由． 24. 对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． （1） ； （2）对于有理数x、y，若是一个完全平方式，则k ； （3）对于有理数x、y，若． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点B、C、G在同一条直线上，点E在边上，连接、．若，，，，图中阴影部分的面积为45，求n的值． 25. 中，，点D是边上的一个动点，连接并延长，过点B作交延长线于点F． （1）如图1，若平分，，求的值； （2）如图2，M是延长线上一点，连接，当平分时，试探究之间的数量关系并说明理由； （3）如图3，连接， ①求证：； ②，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省永州市冷水滩区仁湾镇中学2023—2024学年人教版七年级下学期数学期末考试试卷 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 纳米是一种长度单位，它用来表示微小的长度，1纳米为十亿分之一米，即米．甲型流感病毒的直径大约83纳米左右，“83纳米”用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：83纳米米米， 故选A． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，幂的乘方运算，完全平方公式，单项式乘以多项式，掌握其运算法则是解决此题的关键． 按照运算规律进行计算即可． 【详解】解：A．式子中两项不是同类项，不能合并，故A不符合题意； B． ，故B不符合题意； C． ，故C不符合题意； D． ，故D符合题意． 故选D． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大 B. 从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大 C. 小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 D. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件发生的可能性与概率．由题意根据事件的可能性以及事件发生的概率对各选项进行依次判断即可． 【详解】解：A、“10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率一样”，故该选项错误，不符合题意； B、从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，奇数有3个，偶数有2个，取得奇数的可能性较大，故该选项错误，不符合题意； C、 “小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件”，故该选项正确，符合题意； D、抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次有可能有1次正面朝上，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 4. 等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】分是腰长与底边长两种情况讨论求解． 【详解】解：①是腰长时，三角形的三边分别为、、， 因为, 故不能组成三角形； ②是底边长时，三角形的三边分别为、、， 能组成三角形，周长， 综上所述，这个等腰三角形的周长是． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系的应用，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形． 5. 如图，在三角形中，，，点 P是边上的动点，则的长不可能是（ ） A. 4.8 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，根据垂线段最短可知的取值范围，即可得出答案． 【详解】根据题意可知， 所以的长不可能是． 故选：A． 6. 根据下列条件能画出唯一确定的的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定，三角形的三边关系一一判断即可． 【详解】解：A、满足，不能唯一确定三角形，本选项不符合题意； B、，不满足三边关系，不能唯一确定三角形，本选项不符合题意； C、满足角边角，能唯一确定三角形．本选项符合题意， D、角角角，不能确定唯一三角形．本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据“两直线平行，同旁内角互补”，得到，再根据“两直线平行，内错角相等”，即可得到答案． 【详解】， ， ， ， ， ． 故选B． 8. 七巧板是我国古代的一项发明，被誉为“东方魔板”，19世纪传到国外被称为“唐图”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图，在七巧板铺成的正方形地板上，一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据七巧板的特点求出阴影部分面积在正方形面积中的占比即可得到答案． 【详解】解：由七巧板的特点可知，阴影部分的面积是大正方形面积的， ∴一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为， 故选D． 【点睛】本题主要考查了几何概率，正确求出阴影部分的面积是大正方形面积的是解题的关键． 9. 如果的展开式中不含项，那么p的值是（　　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，找到含有项，即可得出方程-6-6p=0，求出即可． 【详解】解：∵（x2-px+1）（x2+6x-7） =x4+（6-p）x3+（-6-6p）x2+（7p+6）x-7， 又∵展开式中不含x2项， ∴-6-6p=0， 解得：p=-1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0即可，解题的关键正确进行多项式乘多项式． 10. 如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键． 根据函数的图象与坐标的关系确定的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解． 【详解】解：由图象得：，当时，，此时点P在边上， 设此时，则，， 在中，， 即：， 解得：， ， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11. 计算的结果是____． 【答案】 【解析】 【分析】逆用积的乘方公式和同底数幂乘法公式解答即可． 本题考查了积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 若，则的值为__________． 【答案】##0.125 【解析】 【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则把等式左边去括号得到m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即 ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，正确计算出是解题的关键． 13. 若，则=______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除运算，直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形进而得出答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 14. 如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知平分，根据角平分线的性质可知，结合求出，． 【详解】解：作图可知平分， ∵是边上的高，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 15. 如图，中，，P是上任意一点，过P作于D，于E，若，则_________ 【答案】6 【解析】 【分析】连接，由，代入数值，解答即可． 【详解】解：连接， 由图可得，， ∵于D，于E，， ∴， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想． 16. 如图，点，分别是角两边、上的定点，，．点，分别是边，上的动点，则的最小值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】如图所示，作点D关于的对称点H，作点C关于的对称点G，连接，由轴对称的性质可得，，证明是等边三角形，；推出当H、F、E、G四点共线时，最小，即最小，最小为的长，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，作点D关于对称点H，作点C关于的对称点G，连接， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴当H、F、E、G四点共线时，最小，即最小，最小为的长， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的性质与判定，正确作出辅助线确定有最小值的情形是解题的关键． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17. 计算：． 【答案】9 【解析】 【分析】根据零指数幂公式，负整数指数幂公式，有理数乘方的计算，解答即可． 本题考查了有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 19. 如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质得出，，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明∶∵是等边三角形， ∴，， 又， ∴， ∴． 20. 如图，，，． （1）求的度数； （2）若平分，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，，得出，根据，得出即可； （2）根据平分，，得出，根据平行线的性质，得出答案即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分，， ∴， ∵， ∴ 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握两直线平行内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行同位角相等． 21. 如图，在中，，于点D，平分交于点E，交于点F，过点E作，交AB于点G，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求四边形面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）10 【解析】 【分析】（1）根据，，得到得到即可证明． （2）根据平分，且，继而得证． （3）先证明，再判定线段垂直平分线，利用三角形面积公式解答即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：∵平分，且，， ∴． 【小问3详解】 解：∵ ∴． ∴． ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的性质，线段垂直平分线的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 22. 如图，长方形ABCD中，点P沿着四边按B→C→D→A方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动．在运动过程中，ABP的面积S与运动时间t的函数关系如图所示． （1）求长方形的长和宽； （2）求m、a、b值； （3）当P点运动到BC中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→D→A运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，BPQ的面积为y，求y与x之间的关系式． 【答案】（1）长方形长为8，宽为4 （2）m=1，a=4，b=11 （3） 【解析】 【分析】（1）由图象可知，CD的长度，当t=6时，，求出BC的长； （2）当时，，则点P此时在BC的中点处，从而得出a和m的值，当时，，从而求得b的值； （3）分，，三种情况讨论求解． 【小问1详解】 解：从图象可知，当6≤t≤8时，△ABP面积不变， 即6≤t≤8时，点P从点C运动到点D，且这时速度为每秒2个单位， ∴CD=2（8-6）=4， ∴AB=CD=4， 当t=6时（点P运动到点C），， ∴， ∴， ∴BC=8， ∴长方形的长为8，宽为4； 【小问2详解】 解：当时，， 即点P此时在BC的中点处， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当时， ； 当时， ； 当时，， ∴． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了学生观察图象的能力，用待定系数法求一次函数的解析式． 23. 如图①，点A、点B分别在直线和直线上，，，射线从射线的位置开始，绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点B以每秒的速度顺时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为t秒． （1）______； （2）在转动过程中，当射线与射线所在直线的夹角为，直接写出t的值______． （3）在转动过程中，若射线与射线交于点H，过点H作交直线于点K，的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值：如果改变，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）不会发生改变， 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，作辅助线构造平行是解题的关键． （1）运用平行线性质直接解题即可； （2）设射线与射线所在直线的交点为点，则，，，过点P作，由平行线的性质可得，分两种情况或时分别解题即可； （3）由（2）可得，由垂直可得，又直接求比值解题． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为135； 【小问2详解】 解：设射线与射线所在直线的交点为点， 旋转时间为秒时，，， 即， ①如图，当时，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， 解得， ②如上图，当时，则， 由①可知，即， 解得， 综上所述，当时，射线与射线所在直线的夹角为， 【小问3详解】 的值不变，理由为： 解：如图，由（2）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， 24. 对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． （1） ； （2）对于有理数x、y，若是一个完全平方式，则k ； （3）对于有理数x、y，若． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点B、C、G在同一条直线上，点E在边上，连接、．若，，，，图中阴影部分的面积为45，求n的值． 【答案】（1） （2）2或 （3）①56；②2 【解析】 【分析】（1）根据，得解答即可； （2）根据完全平方式有和差两种形式，解答即可． （3）①根据定义，得，化简后代入计算即可； ②根据题意，得化简计算即可． 【小问1详解】 解：根据， 得． 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据， 得，是一个完全平方式， 故， 解得． 故答案为：． 【小问3详解】 解：①根据定义，得 ， 当时， 原式． ②解：根据题意，得 ． 又图中阴影部分的面积为45，， 故， 解得． 【点睛】本题考查了实数的新定义，完全平方公式的应用，解方程，图形的面积表示，熟练掌握新定义，完全平方公式，分割法求面积是解题的关键． 25. 中，，点D是边上的一个动点，连接并延长，过点B作交延长线于点F． （1）如图1，若平分，，求的值； （2）如图2，M是延长线上一点，连接，当平分时，试探究之间的数量关系并说明理由； （3）如图3，连接， ①求证：； ②，，求的值． 【答案】（1）3 （2），理由见解析 （3）①证明见解析；②12 【解析】 【分析】（1）如图，分别延长，交于点．证明，得到，再证明，即可得到； （2）如图，分别延长交于点E，由（1）可得，得，再证得到，由此可得结论； （3）如图所示， 在上截取，证明，得到，，进一步证明，则； ②如图所示，过点C作于G，则都是等腰直角三角形，可得，由全等三角形的性质得到则，据此求出，则，进一步求出则． 【小问1详解】 解：如图，分别延长，交于点． ∵， ∴， 又∵， ∴． 在和中， ∴． ∴； ∵， ∴， ∵平分， ∴． 在和中， ∴． ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图所示，延长，交于点． 由（1）可得，， ∴． ∵， ∴， ∵平分， ∴． 在和中， ∴． ∴． ∵． ∴． 【小问3详解】 解：①如图所示， 在上截取， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴； ②如图所示，过点C作于G， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形面积，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $