函数与导数-湖北省部分市2023-2024学年高三下学期数学模拟试题分类汇编

湖北省部分市2023-2024学年下学期高三模拟试题分类汇编 ----函数与导数 一、单选题 1．（2024·湖北黄冈·模拟预测）函数的图象向左平移个单位后得到的图象，若是的一个零点，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数，若曲线与直线恰有2个公共点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·湖北荆州·三模）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．我们记一个正整数经过次上述运算法则后首次得到1（若经过有限次上述运算法则均无法得到1，则记），以下说法正确的是（    ） A．可看作一个定义域和值域均为的函数 B．在其定义域上不单调，有最小值，有最大值 C．对任意正整数，都有 D． 4．（2024·湖北襄阳·二模）已知函数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 5．（2024·湖北黄石·三模）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．为偶函数，的图象关于直线对称 B．的图象关于轴对称，不是对称图形 C．的图象关于原点对称，的图象关于点对称 D．的图象关于原点对称，的图象关于轴对称 6．（2024·湖北武汉·二模）已知对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知某种塑料经自然降解后残留量y与时间t年之间的关系为，为初始量．则该塑料经自然降解，残留量不超过初始量的50%．至少需要（    ）年（精确到年）．（参考数据：） A．5 B．6 C．7 D．8 9．（2024·湖北黄冈·二模）已知分别满足下列关系：，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·湖北武汉·二模）设，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知函数，则（    ） A．时， B．在上单调递增 C．的极大值为1 D．的极大值为 12．（2024·湖北武汉·模拟预测）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的单调递减区间为 B． C．若方程有6个不等实数根，则 D．对任意正实数，且，若，则 13．（2024·湖北荆州·三模）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．关于中心对称 C．是周期函数 D．的解析式可能为 14．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数恰有三个零点，设其由小到大分别为，则（    ） A．实数的取值范围是 B． C．函数可能有四个零点 D． 15．（2024·湖北黄石·三模）已知数列的通项为，前项和为，则下列选项中正确的有（    ） A．如果，则，，使得 B．如果，则，，使得 C．如果，则，常数，使得恒成立 D．如果，，使得，则，，便得 三、填空题 16．（2024·湖北襄阳·三模）已知定义在上的函数，其导函数为，且 ，若关于的不等式仅有个整数解，则实数的取值范围是 17．（2024·湖北黄冈·模拟预测）函数,,则的值域为 . 18．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知曲线在点处的切线的倾斜角为,则的值为 . 19．（2024·湖北黄石·三模）已知函数，则 . 20．（2024·湖北武汉·二模）已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 21．（2024·湖北襄阳·三模）柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f(x)，g(x)满足: ①图象在上是一条连续不断的曲线； ②在内可导; ③对，，则，使得. 特别的，取，则有：，使得，此情形称之为拉格朗日中值定理. (1)设函数满足，其导函数在上单调递增，证明：函数在上为增函数. (2)若且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 22．（2024·湖北荆州·三模）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：函数的图象位于直线的下方； 23．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数，.（注：是自然对数的底数） (1)若无极值点，求实数的取值范围； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 24．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围. 25．（2024·湖北黄石·三模）已知函数有两个零点，. (1)求实数的取值范围； (2)如果，求此时的取值范围. 26．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：是其定义域上的增函数； (3)若，其中且，求实数的值． 参考答案： 1．B 【分析】依题利用平移变换得到方程，从中求得，将其代入另一条件，整理得即可判断结果. 【详解】依题意，，则，解得； 又即得，， 则得，即，. 故选：B. 2．C 【分析】由导函数等求出函数单调性和切线方程，画出的图象，数形结合即可得解. 【详解】当时，，其在上单调递减，在上单调递增， 且，则； 当时，，， 其在上单调递减，且. 作出的图像，如图，易知的取值范围是. 故选：C. 3．C 【分析】对于A：直接确定定义域判断；对于B：由经过有限次角谷运算均无法得到1，记来排除；对于C：通过和的关系计算判断；对于D：列举来判断. 【详解】对于A：依题意，的定义域是大于1的正整数集，A错误； 对于B：由，得在其定义域上不单调， 而，，则有最小值1， 由经过有限次角谷运算均无法得到1，记，得无最大值，B错误； 对于C：对任意正整数，，而， 因此，C正确； 对于D：由，知不正确，D错误. 故选：C. 4．B 【分析】由题意，根据求导公式和运算法则可得，结合导数的定义即可求解. 【详解】由题意知，，则. 所以. 故选：B 5．A 【分析】首先得到的定义域，再结合三角函数诱导公式化简证明；可先由对数运算性质变形整理，再利用函数奇偶性定义证明即可. 【详解】函数的定义域为， 且，所以为偶函数，函数图象关于轴对称， 任意， ， 则， 故是偶函数，即的图象关于轴对称. 故选：A 6．A 【分析】令，由题意可知：对任意恒成立，且，可得，解得，并代入检验即可. 【详解】令，则， 由题意可知：对任意恒成立，且， 可得，解得， 若，令， 则， 则在上递增，可得， 即对任意恒成立， 则在上递增，可得， 综上所述：符合题意，即实数的取值范围为. 故选：A. 7．B 【分析】利用切线放缩公式：比较，再由三角函数的单调性，比较. 【详解】由，当时等号成立，知，∵，∴，. 故选：B. 8．C 【分析】由题意可得，求解可得，可得结论. 【详解】若残留量不足初始量的50%，则， 所以，两边取常用对数得，， 所以至少需要7年． 故选：C． 9．B 【分析】将指数式化成对数式，利用换底公式，基本不等式可推得，利用指对数函数的单调性，通过构造函数判断单调性可推得，最后利用正切函数的单调性可得. 【详解】由可得 因， 又，故,即； 因，则由， 由函数，，因时，， 即函数在上单调递减，则有，故得； 由，而，即， 综上，则有. 故选：B. 【点睛】方法点睛：解决此类题的常见方法， （1）指、对数函数的值比较：一般需要指对互化、换底公式，以及运用函数的单调性判断； （2）作差、作商比较：对于结构相似的一般进行作差或作商比较，有时还需基本不等式放缩比较； （3）构造函数法：对于相同结构的式子，常构造函数，利用函数单调性判断. 10．A 【分析】本题利用作差法构造出两个式子相减类型的函数，然后求导求得其在上的单调性，从而求得该函数是大于0还是小于0，从而可判断a、b的大小关系；用同样的方法进一步构造函数并求导来比较a、c的大小关系，最终确定a、b、c的大小关系. 【详解】令，易求， 当时，，所以在单调递增， 所以 ，所以，即，所以. 令， 则， 令，则， 因为，则， 可得，则， 所以在内单调递增，则， 即在内恒成立，则在内单调递增， 可得，即，所以， 综上所述： 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是合理构造函数，利用导数研究其单调性，然后再代入比较相关大小关系. 11．AC 【分析】对于A，由函数解析式直接判断，对于BCD，对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值. 【详解】对于A，当时，，所以，所以A正确， 对于BCD，由，得， 由，得或，由，得或， 所以在，上单调递增，在，上单调递减， 所以的极大值为，极小值为， 所以BD错误，C正确， 故选：AC 12．BCD 【分析】对于A，分析导函数即得递减区间，不能用“并”连接；对于B，由推理得，利用函数单调性比较即得；对于C，分析函数的奇偶性，分段讨论函数的单调性和图象趋势，得图象简图，结合图象判断两函数交点个数即得；对于D，设函数，构造函数并判断其单调性，利用单调性得出即可. 【详解】函数的定义域为，， 对于A，由可得或，由可得， 即函数的单调递减区间为和，故A错误； 对于B，由A得，函数在上单调递增， 因，， 故，即B正确； 对于C，易知为偶函数，当时，， 由A项知，函数的单调减区间为和，增区间为. 又当时，，当时，， 当时，，时，， 当时，，当时，，时，， 故函数的图象如图所示.    由图可得，直线与函数有6个不同交点，等价于，故C正确； 对于D，由图，不妨设，由可得， 即，不妨取， 设， 则， 则当时，，故，在上单调递增， 又，又，，即. 因，则，当时，，在上单调递减， 因，故得，即，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的零点和单调性应用,属于难题. 解决该题的关键，在于对函数的图象性质的探求，通过奇偶性单调性判断，作出简图，利用函数零点与方程的根、两函数的图象交点的关系转化解决；同时要根据待证不等式特征，设法构造对应的函数，利用该函数的单调性实现相关量的比较即得. 13．ACD 【分析】对于A：根据题意赋值即可；对于C：根据题意结合偶函数以及周期性的定义分析判断；对于B：举反例说明即可；对于D：将代入题意关系式检验即可. 【详解】由，且函数的定义域为， 对于选项A：令，，可得， 且，可得，故A正确； 对于选项C：令，则， 则，即，可知为偶函数， 令，则， 可知，， 可得，则， 所以，可知周期为6，故C正确； 对于选项B：因为由于为偶函数且周期为6， 则，不满足， 所以不关于中心对称，故B错误； 对于选项D：因为的定义域为， 且， 即符合题意，所以的解析式可能为，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 14．BCD 【分析】对于B，，证明函数是奇函数即可；对于C，将方程等价变形为，由此即可判断；对于D，由，而，进一步求导运算即可；对于A，通过构造函数可得，由此即可判断. 【详解】对于B，， 设，则它的定义域为，它关于原点对称， 且，所以是奇函数， 由题意有三个根，则，故B正确； 对于C，由， 所以， 所以， 即已经有3个实根， 当时，令，则，只需保证可使得方程有4个实根，故C正确； 由B可知，，而， 又， 所以 ，故D正确； 对于A，，设， 则，所以， 从而，故A错误.    故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：判断B选项的关键是发现，进一步只需验证是奇函数即可顺利得解. 15．ABD 【分析】A选项，得到或0，故令可得A正确；B选项，，则，取，，使得，B正确；C选项，先证明出，，故，在B选项基础上可得C错误；D选项，，故满足要求. 【详解】A选项，可以得到， 故或0，故令，则有，，使得，A正确； B选项，， 故， 则，取，，使得，B正确； C选项，下证，， 令，，则在上单调递减， 因为，， 故存在，使得， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，故在恒成立， 即，， ，则有， 又B选项可知，当，则，，使得， 同理当，则，，使得， 故当，则，，使得，C错误； D选项，如果，，使得， 则， 故对于，，便得，D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与导函数，数列与不等式，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题. 16． 【分析】依题意可得，从而得到（为常数），再根据求出，即可得到解析式，利用导数说明函数的单调性，求出函数的极值，结合图象即可得解. 【详解】因为，即， 令，则， 所以（为常数），所以， 因为，所以，解得，从而， 则， 当时，此时单调递增， 当或时，此时单调递减， 所以时，取得极大值为，当时， 当时，取得极小值，． 又因为，，结合图象可知仅有个整数解， 实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是首先求出函数解析式，再利用导数说明函数的单调性，求出函数的极值，即可得到函数的草图，数形结合求出参数的取值范围. 17．. 【分析】由题得出函数周期为,借助导数得出单调性,进而求出值域. 【详解】由解析式，易知，则是的周期,考虑, 求导, 在上，递减,在上，递增, 则值域为. 故答案为: . 18．/ 【分析】对原函数进行求导,代入得出切线斜率.曲线在处的切线倾斜角为可得出斜率.构造关于的方程，解方程即可. 【详解】曲线的导数, ∵曲线在处的切线的倾斜角为, ∴, ∴, ∴ 故答案为: . 19． 【分析】借助导数公式与导数定义计算即可得. 【详解】，则. 故答案为：. 20． 【分析】由，根据奇偶性、单调性定义及复合函数单调性判断性质，再由性质得即可求范围. 【详解】由题设，定义域为， ，即为偶函数， 在上，令，且， 则， 由，故，即函数在上递增， 而在定义域上递增，故在上递增， 所以，可得， 故，可得. 故答案为： 21．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由柯西中值定理可得对，，，结合的单调性即可求解； （2）取，，由柯西中值定理，成立，设，利用导函数求解的最大值即可得. 【详解】（1）由题， 由柯西中值定理知：对，， 使得，， 又在上单调递增，则， 则，即， 所以， 故在上为增函数； （2）， 取，， 因为，所以由柯西中值定理，， 使得， 由题则有：， 设，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 故，所以实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查柯西中值定理的应用，解题关键在于充分理解和把握柯西中值定理的内涵，构造与之匹配的结构，运用定理进行解析式的简化，达到透过现象抓住本质的目的. 22．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义求解即可； （2）定义域为，要证函数的图象位于直线的下方，即证，构造函数，通过求解函数的最大值即可证. 【详解】（1），则， 又， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）因为，所以，要证明，只需要证明， 即证， 令，则， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减， 故在取极大值也是最大值，故， 所以恒成立，即原不等式成立， 所以函数的图象位于直线的下方. 23．(1) (2). 【分析】（1）法一，易知，无变号零点，考虑后参变分离为，原问题等价于的图像与无相交交点；法二，构建，分，，结合根的存在性定理即可求解； （2）法一，式子转化为，即证即可，易知，则，分，， 讨论即可；法二，转化为，求的最大值即可. 【详解】（1）（方法一）易知，由无极值点可知， 无变号零点，令（*）， 显然时，（*）无零点，此时无极值点，满足题意； 故当（*）可变形得， 令，原问题等价于的图像与无相交交点， 又，则，，单调递增； ，，单调递减； 又趋于，趋于；趋于，趋于；. 可得的图象如图： 由图可知，解得， 综上， （方法二）构建，则 ①当时，当时恒成立，在上单调递增， 因为，， 所以有一个零点，即为的一个极值点； ②当时，当时恒成立，即无极值点； ③当时，当，；当，， 所以在单调递减，在上单调递增， 故， 若，则即. 当时，， 当时，， 设，，故， 故在上为增函数， 故， 故， 故当时，有两个零点，此时有两个极值点. 当时，当时恒成立，即无极值点； 综上所述： （2）（方法一）由可知，， 即， 令，即证， 易知， 则， 若，即时， 则，，单调递增，，不符合题意； 若，即时， 则，，单调递减， ，，单调递增， ，，单调递减， 又，故令， 解得，即， 若，即时， 则，，单调递减， ，，单调递增， ，，单调递减， 故令 ， 记，则恒成立， 所以在上单调递减， 所以，即， 即对于任意，恒成立， 综上所述， （方法二）①当时，不等式恒成立，可得； ②当时，可得恒成立，设， 则 . 可设，可得， 设，， 由，可得恒成立，可得在上单调递增， 在上单调递增，所以， 即恒成立，即在上单调递增，所以， 再令，可得， 当时，，在上单调递增； 时，，在上单调递减， 所以， 所以，综上可得的取值范围是. 【点睛】思路点睛：利用导数证明不等式，可通过构造函数，结合导数求得所构造函数的单调性、极值、最值. 24．(1) (2). 【分析】（1）求出，切点为，直接写出切线方程； （2）转化为对于恒成立，求实数a的取值范围. 【详解】（1）当时，，， ，，， 所以的图象在处的切线方程为：. （2）， 若函数在上单调递增，则对于恒成立， 即对于恒成立， 令， 当时，， 则函数在上单调递增，所以， 故. 25．(1) (2) 【分析】（1）令，可得，令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围； （2）依题意可得，利用换元法表示，通过构造函数法，利用导数证得，结合（1）求得的取值范围. 【详解】（1）令，即， 令，则， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，且时，当时， 又与有两个交点，所以. （2）由（1）可得，， 又， 所以，即， 令，，则， 所以，， 记，，则， 令，，则， 所以在上，即单调递减， 由于， 所以当时，，所以， 所以函数在区间上单调递减， 故，即， 而，在区间上单调递增， 故且， 即． 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数零点或方程的根，通常有三种思路： （1）用最值或极值研究；（2）用数形结合思想研究；（3）构造辅助函数研究． 26．(1) (2)证明过程见解析 (3) 【分析】（1）首先代入到函数表达式得切点坐标，求出切点处的导数值得切线斜率，由此即可得解. （2）对求导后，令，对继续求导发现，对于任意的有，故只需要证明时，，时，即可. （3）由（2）得，进一步令，，结合题意知时，，时，，对分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题意，即切点为， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）由，设，则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 又，所以对于任意的有，即， 因此在单调递增，在单调递增， 即，则， 所以时，，单调递减，所以，即，即， 时，，单调递增，所以，即，即， 所以是其定义域上的增函数. （3）由（2）可知，时，，所以，故， 令，， 由题意时，，时，， 若，则当时，，不满足条件， 所以， 而， 令，则    ， 令，得， 在单调递减，在单调递增， 若，则当时，，单调递减，此时，不满足题意； 若，则当时，，单调递减，此时，不满足题意； 若，则当时，，单调递增，此时， 且当时，，单调递增，此时，满足题意， 所以，解得， 综上所述，. 【点睛】关键点睛：第二问的关键是在得到在单调递增，在单调递增，之后还要继续说明“左边的函数值”小于“右边的函数值”，由此即可顺利得解. 学科网（北京）股份有限公司 $$