第三单元分数除法 (讲义)-2024-2025学年六年级上册数学人教版

分数除法 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 2024年9月 目录导航 资料说明 第一部分：思维导图：单元知识简单且高效的发散性思维呈现，是一种实用性的知识小结。 第二部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第三部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第四部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第五部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 思维导图 第二部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 【分数除法知识点归纳】 分数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算． 分数除法法则： （1）分数除以整数：分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数． （2）一个数除以分数：一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数． （3）带分数除法：在分数除法中，如果出现带分数时，不论这个带分数是被除数还是除数，都要先把带分数化成假分数，然后，按照分数除以分数的法则计算． 分数除法的运算性质：与整数除法的运算性质相同 （1）一个数除以几个数的积，等于这个数依次除以积的每个因数． （2）两个数的积除以一个数，等于用除数先除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘． （3）一个数除以两个数的商，等于这个数先乘以商中的除数，再除以商中的被除数；或者用这个数先除以商中的被除数，再乘以商中的除数． （4）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数． （5）两个数的和除以一个数，等于用除数分别去除这两个数，再把所得的商加起来． 【简单的工程问题知识点归纳】 探讨工作总量、工作效率、工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题． 解题关键：把工作总量看做单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后，根据题目的具体情况，灵活运用公式． 数量关系式： 工作总量＝工作效率×工作时间 工作效率＝工作总量÷工作时间 工作时间＝工作总量÷工作效率 合作时间＝工作总量÷工作效率和 第三部分 典型例题 例题1：修一段路，甲队单独修，12天可以修完；乙队单独修8天修完，问甲乙两队合修几天可以修完？ 【答案】天。 【分析】把修一段路的工作量看作单位“1”，根据工作效率＝工作量÷工作时间，求出两队的工作效率，再根据工作时间＝工作量÷工作效率和，即可解答。 【解答】解：1÷（） ＝1 （天） 答：甲乙两队合修天可以修完。 【点评】本题考查的是工程问题，掌握工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率和是解答关键。 例题2：某村草帽编织小组每天能编28顶草帽。如果每月工作22天，半年（6个月）一共可以编多少顶草帽？ 【答案】3696顶。 【分析】根据“工作量＝工作效率×工作时间”，即可解答。 【解答】解：28×（22×6） ＝28×132 ＝3696（顶） 答：半年（6个月）一共可以编3696顶草帽。 【点评】本题考查的是工程问题，掌握“工作量＝工作效率×工作时间”是解答关键。 例题3：加工一批零件，王师傅先加工了4天，李师傅再加入，前后共用了7天完成任务。已知王师傅每天加工75个，李师傅每天加工125个，这批零件共有多少个？ 【答案】900个。 【分析】用7减去4，求出两人一起加入的时间，再根据工作量＝工作效率×工作时间，求出王师傅先加工了4天的工作量，再求出李师傅加入后两人的工作量，再相加，即可解答。 【解答】解：75×4+（75+125）×（7﹣4） ＝300+600 ＝900（个） 答：这批零件共有900个。 【点评】本题考查的是工程问题，掌握工作量＝工作效率×工作时间是解答关键。 例题4：盼盼每天吃3块饼干，家里的饼干够盼盼吃15天。 （1）如果盼盼每天吃5块饼干，家里的饼干够吃几天？ （2）姐姐吃了家里饼干的，姐姐吃了多少块？ 【答案】（1）9天；（2）18块。 【分析】（1）先用盼盼每天吃饼干数乘够盼盼吃的天数得出饼干的总数，再用饼干的总数除以5即可； （2）根据分数乘法的意义，用饼干总数乘即可。 【解答】解：（1）15×3÷5 ＝45÷5 ＝9（天） 答：家里的饼干够吃9天。 （2）3×15 ＝45 ＝18（块） 答：姐姐吃了18块。 【点评】本题考查的是简单的工程问题的解答方法，解答本题的关键是求出饼干的总数。 第四部分 高频真题 1．一项工程，甲单独做需要10天完成，甲乙合作两天后，完成了工程总量的，如果乙单独完成这项工程，需要几天？ 2．一个工程队挖隧道，前5天每天挖7.3米，后6天共挖了40.5米，这个工程队平均每天挖多少米隧道？ 3．学校准备购买一些羽毛球和球拍作为运动会奖品。体育老师带着钱到文体商店购物，发现带的钱如果都买羽毛球，可以买100筒；如果都买球拍，可以买25副。学校准备将一副球拍和一筒羽毛球作为一件成套的奖品。体育老师的钱可以购买多少套这样的奖品？ 4．工程队计划5天铺设一条长540米的管道，前3天共铺了300米，照这样计算，剩下的管道每天需要铺设多少米才能按时完成任务？ 5．一项工程，甲队独做需要10天完成，乙队独做需要15天完成．现在两队合作3天后，乙队因故离开，留下甲队独自做，还需几天完成？ 6．修一条水渠，甲单独做12天完成，乙单独做15天完成，乙队先做了6天，剩下的甲、乙两队合修，还需要多少天才能完成？ 7．公路是连接乡村的纽带，A村到B村计划修建一条公路。甲工程队单独修需要12天，乙工程队单独修需要15天，如果两队合修，几天能修完？ 8．甲、乙两个工程队合修一条公路，甲队单独修要8天完成，乙队单独修要10天完成，甲、乙两队合作4天后，还剩124m没有修。这条公路长多少米？ 9．某服装厂要加工140套礼服，前12天加工了84套。照这样计算，剩下的还要几天才能加工完？ 10．加工一批零件，甲单独完成要4小时，乙单独完成要5小时，两人合作几小时能完成这批零件的？ 11．《张丘建算经》卷上第31问中有如下问题：“今有七百人造浮桥，九日成，今增五百人，问日几何？”意思是现在有700人造浮桥，9天能完成，如果增加500人，那么几天能完成？（假设每人每天的工作效率相等） 12．修一条6400米的公路修了20天后还剩下4800米，照这样计算，剩下的路还要修多少天？ 13．李师傅原计划8小时加工576个零件，实际2小时加工了192个零件，照这样的效率，可以提前几小时完成任务？ 14．多多家的小麦喜获丰收，爸爸雇了两台收割机来收割小麦。甲收割机4天完成20%，然后乙收割机加入一起收割，6天割完。如果让乙收割机单独收割，几天可以割完？ 15．修一段长540米的公路，甲、乙两支施工队同时从公路的两端往中间铺柏油。甲队施工速度是乙队的1.25倍，6天后这段公路全部铺完。甲、乙两队每天分别铺柏油路多少米？ 16．一批零件，张师傅单独做要6天，李师傅单独做要9天，两人同做三天后，这批零件还剩下几分之几没有完成？ 17．一条道路，长度是3000米。如果甲队单独修，20天能修完；如果乙队单独修，25天能修完。如果两队合修，多少天能修完？ 18．师徒二人加工240个机器零件。如果师傅单独做，需要8小时完成；如果徒弟单独做，需要10小时完成。现在两人同时做，几小时能完成？ 19．一项工程，甲队单独做10天完成，乙队的工作效率是甲队的。如果甲、乙两队合做，几天可以完成这项工程的？ 20．种锄草机3.5小时可以锄草公顷，照这样计算，一天工作8小时，这种锄草机能锄草多少公顷？ 21．一盒药共6片，每次吃片，每天吃3次。这盒药可以吃几天？ 22．王师傅和李师傅加工同一批零件，王师傅3小时加工26个零件，李师傅4小时加工37个零件。谁加工的速度快些？ 23．修一条水渠，甲工程队单独修，3天能修全长的；乙工程队单独修，2天能修全长的。照这样计算，如果甲乙合修这条水渠，多少天修完？ 24．一份稿件有4800个字，王阿姨平均每分钟录入118个字，她从下午3时15分开始录入，下午4时能把这份稿件录入完吗？ 25．工人们修一条长420米的路。修了5天后还有120米没修。工人们平均每天修多少米路？ 26．一条公路长96米，修路队已经修了60米，余下的计划4小时修完，平均每小时修几米？ 27．甲乙两个工程队共同修建一条隧道，已知两队合作6个月能完成，如果甲队单独完成需要15个月，那么乙队单独修建成这条隧道需要多少个月？ 28．欢欢、乐乐剪同样的窗花，欢欢4分钟剪了13张，乐乐5分钟剪了16张，谁的速度快？ 29．一批零件，王师傅单独做要15小时完成，李师傅单独做要30小时完成。两人合作，几小时能加工完这批零件？ 30．一栋大楼的煤气管道需要更换，已知A工程队单独更换需10天完成，B工程队单独更换需15天完成。如果两个工程队合作，需要几天完成更换任务？ 31．学校进行绿化养护，张师傅单独工作需要20小时，李师傅单独工作需要30小时，如果两个人一起合作，需要多少小时能完成学校绿化养护？ 32．施工队计划修一条水渠，每天修25米，24天能修完，如果每天多修5米，多少天能修完？ 33．一项工作，甲队单独修12天完成，乙队单独修15天完成，如果两队合修多少天能完成这项工作的一半？ 34．为了让同学们体会到传统建筑的美感，老师让2个同学为一组合作完成故宫的木质模型的拼搭。李明一个人需要4小时才能完成，张亮一个人需要6小时才能完成，他们两人合作2小时后，李明有事离开，剩下的由张亮一人完成。张亮又拼了多长时间才将木质模型拼搭完成？ 35．一个修路队抢修一段被山洪冲坏的公路，这段公路长是592米，已经修了128米，剩下的每天修58米，剩下的几天时间能修完？ 36．甲工程队要挖一条630米长的水渠，前6天每天挖45米，剩下的5天挖完，剩下的平均每天挖多少米？ 37．师徒两人共同加工480个零件，经过15小时完成，师傅每小时比徒弟多加工8个，他们两人每小时各加工多少个零件？ 38．一批布料，只做上衣刚好可以做12件，只做裤子刚好可以做15条。这批布料最多可以做几套这样的衣服？ 39．加工120个零件，师傅单独做要6时，徒弟单独做要8时。师徒二人合作多少时才能完成？（用两种方法解答） 40．单独修同一条公路，A队需要20天修完，B队需要40天修完。先由B队修全长的，剩下的再由A、B两队合修，还需要多少天完成？ 41．一篇文章500字，小丽平均每分钟录入78个字，6分钟能录入完吗？ 42．纺织厂一共要加工900套衣服，已经加工了5天，平均每天加工128套。剩下的2天加工完，平均每天加工多少套？（列综合算式解答） 43．苗苗家的小麦喜获丰收，村里来了两台收割机收小麦，苗苗家的小麦，甲收割机单独收割，需要6小时完成，乙收割机单独收割，需要7小时完成，如果爸爸让这两台收割机合作同时来收割这些小麦，几小时能收割完？ 44．甲、乙两队合修某段公路，甲队从南往北修，每天修85米；乙队从北往南修，每天比甲队少修5米，两队合作7天修好，这段公路一共长多少米？ 45．一项工程由甲队单独做要20天，由乙队单独做要30天，甲、乙两队合做完成这项工程一共用了几天？ 46．抄一份书稿，一人抄，甲要12小时，乙要15小时．两人合抄2小时后，剩下的由甲抄，还要几小时抄完？ 47．一段公路，甲队单独修15天完成，乙队单独修10天完成。两队合修5天后，剩下的由甲队独修，还要多少天才能完成？ 48．一条公路，甲队独修15天完成，乙队独修20天完成，现两队合修6天后，剩下的由乙队单独修，还需多少天才能修完？ 49．一条道路，甲队单独修需要10天才能修完，乙队单独修需要15天．如果两队合修，多少天才能修完？ 50．一项工程，甲队单独做15天完成，乙单独做10天完成，现在由甲、乙合作若干天后，剩下的部分由乙独做，先后用8天，问甲做几天？ 51．师徒两人合作加工一批零件，徒弟每天加工115个，师傅每天加工185个，两人合作26天完成了任务，这批零件一共有多少个？ 52．为了确保幢南大道快速路主线高架2024年春节前正式通车，工程队日夜奋战。这项工程若由甲队单独干需要8天完成，由乙队单独干需要12天完成。现在甲、乙两队合干4天后，剩下的工程由乙队单独干，还需要多少天？ 参考答案与试题解析 1．一项工程，甲单独做需要10天完成，甲乙合作两天后，完成了工程总量的，如果乙单独完成这项工程，需要几天？ 【答案】15天。 【分析】把工作总量看作单位“1”；甲独做需要10天完成，那么甲的工作效率为“1÷10”；甲乙合作两天后，完成了工程总量的，则甲乙合作的工作效率为2，则乙的工作效率为（），最后用“工作总量÷工作效率＝工作时间”来做题。 【解答】解：1÷（2） ＝1÷（） ＝1 ＝15（天） 答：需要15天。 【点评】此题需要学生灵活运用“工作总量÷工作效率＝工作时间”来解决问题。 2．一个工程队挖隧道，前5天每天挖7.3米，后6天共挖了40.5米，这个工程队平均每天挖多少米隧道？ 【答案】7米。 【分析】前5天每天挖的长度×天数＝前5天挖的总长度，前5天挖的总长度+后6天挖的长度＝挖的总长度，挖的总长度÷总天数＝平均每天挖的长度，据此列式解答。 【解答】解：（7.3×5+40.5）÷（5+6） ＝（36.5+40.5）÷11 ＝77÷11 ＝7（米） 答：这个工程队平均每天挖7米隧道。 【点评】关键是掌握平均数的求法，掌握小数乘法的计算方法。 3．学校准备购买一些羽毛球和球拍作为运动会奖品。体育老师带着钱到文体商店购物，发现带的钱如果都买羽毛球，可以买100筒；如果都买球拍，可以买25副。学校准备将一副球拍和一筒羽毛球作为一件成套的奖品。体育老师的钱可以购买多少套这样的奖品？ 【答案】20套。 【分析】把体育老师带的钱数看作单位“1”，则羽毛球每筒的单价是，球拍的单价是，然后用1除以它们的单价和即可。 【解答】解：1÷（） ＝1 ＝20（套） 答：体育老师的钱可以购买20套这样的奖品。 【点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率。 4．工程队计划5天铺设一条长540米的管道，前3天共铺了300米，照这样计算，剩下的管道每天需要铺设多少米才能按时完成任务？ 【答案】120米。 【分析】工程队计划5天铺设一条长540米的管道，前3天共铺了300米，则剩下（540﹣300）米没铺，要（5﹣3）天完成，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，用剩下的管道长度除以（5﹣3）即可解答。 【解答】解：（540﹣300）÷（5﹣3） ＝240÷2 ＝120（米） 答：剩下的管道每天需要铺设120米才能按时完成任务。 【点评】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，搞清每一步所求的问题与条件之间的关系，选择正确的数量关系解答。 5．一项工程，甲队独做需要10天完成，乙队独做需要15天完成．现在两队合作3天后，乙队因故离开，留下甲队独自做，还需几天完成？ 【答案】见试题解答内容 【分析】将这项工程的工作量当作单位“1”，则甲队的工作效率为，乙队的工作效率为；两队合作3天后还剩下这项工程的1﹣（）×3，再根据工作量÷工作效率＝工作时间，解答即可． 【解答】解：[1﹣（）×3] ＝[1] ＝5（天） 答：还需要5天完成任务． 【点评】先根据甲、乙的工作效率和求出甲、乙两队合作3天后剩下的工作量是完成本题的关键． 6．修一条水渠，甲单独做12天完成，乙单独做15天完成，乙队先做了6天，剩下的甲、乙两队合修，还需要多少天才能完成？ 【答案】4天。 【分析】把这项工程总量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别用1÷12和1÷15求得甲和乙各自的工作效率，然后根据工作总量＝工作时间×工作效率，用6即可求出乙队工作6天的工作量，然后求出剩下的工作量为（1﹣6），再工作时间＝工作总量÷工作效率和，求得两队合作完成剩下的工程量需要的时间。 【解答】解：1÷12 1÷15 1﹣6 ＝1 （） ＝4（天） 答：还需要4天才能完成。 【点评】本题主要考查了工程问题，熟记相关公式是解题的关键。 7．公路是连接乡村的纽带，A村到B村计划修建一条公路。甲工程队单独修需要12天，乙工程队单独修需要15天，如果两队合修，几天能修完？ 【答案】6天。 【分析】要求甲乙两队合修几天能修完，需先求出工程甲队和乙工程队的工作效率，把工作总量看作单位“1”，甲工程队的工作效率是，乙工程队的工作效率是，依据“工作时间＝工作总量÷工作效率”解答。 【解答】解：1÷（） ＝1÷（） ＝1 ＝6（天） 答：如果两队合修，6天能修完。 【点评】此题考查简单的工程问题，熟练运用工作总量、工作时间、工作效率之间的数量关系是解答的关键。 8．甲、乙两个工程队合修一条公路，甲队单独修要8天完成，乙队单独修要10天完成，甲、乙两队合作4天后，还剩124m没有修。这条公路长多少米？ 【答案】1240米。 【分析】把这条公路的长度看作单位“1”，利用工作效率＝1÷工作时间，计算出两队的工作效率，剩下没修的长度＝总长度×（1﹣两队效率之和×4），由此计算这条路多少米。 【解答】解：把这条公路的长度看作单位“1”，则甲队工作效率＝1÷8，乙队工作效率＝1÷10 124÷[1﹣（）×4] ＝124÷[1] ＝124 ＝1240（米） 答：这条公路1240米。 【点评】本题考查的是简单的工程问题的应用。 9．某服装厂要加工140套礼服，前12天加工了84套。照这样计算，剩下的还要几天才能加工完？ 【答案】8天。 【分析】根据题意，前12天加工了84套，工作效率是每天完成84÷12＝7（套），此时还剩140﹣84＝56（套），剩下的还需要56÷7＝8（天），据此解答。 【解答】解：（140﹣84）÷（84÷12） ＝56÷7 ＝8（天） 答：剩下的还要8天才能加工完。 【点评】本题考查了工程问题，解决本题的关键是“工作时间＝工作总量÷工作效率”。 10．加工一批零件，甲单独完成要4小时，乙单独完成要5小时，两人合作几小时能完成这批零件的？ 【答案】2小时。 【分析】把加工一批零件的工作量可知单位“1”，根据工作效率＝工作量÷工作时间，求出它们的工作效率，再根据工作时间＝工作量÷工作效率和，即可解答。 【解答】解：（） ＝2（小时） 答：两人合作2小时能完成这批零件的。 【点评】本题考查的是工程问题，掌握工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率和是解答关键。 11．《张丘建算经》卷上第31问中有如下问题：“今有七百人造浮桥，九日成，今增五百人，问日几何？”意思是现在有700人造浮桥，9天能完成，如果增加500人，那么几天能完成？（假设每人每天的工作效率相等） 【答案】5.25天。 【分析】设x天能完成，把人造浮桥的工作量看作单位“1”，根据工作效率＝工作量÷工作时间，再根据工作效率相等，列出方程，即可解答。 【解答】解：设x天能完成。 1200x＝700×9 1200x＝6300 x＝5.25 答：那么5.25天能完成。 【点评】本题考查的是工程问题，掌握工作效率＝工作量÷工作时间是解答关键。 12．修一条6400米的公路修了20天后还剩下4800米，照这样计算，剩下的路还要修多少天？ 【答案】60天。 【分析】照这样计算，说明平均每天修路的米数是一定的，那么一共修的米数与修的天数的比值一定，即两种量成正比例，由此设出未知数，列比例解答问题。 【解答】解：设剩下的路还要修x天，由题意得： （6400﹣4800）：20＝4800：x 1600x＝20×4800 1600x＝96000 x＝60 答：剩下的路还要修60天。 【点评】此题主要考查对正比例意义的运用，解决此题关键是先用6400减去4800米求出余下的没修的米数，进而列比例解答。 13．李师傅原计划8小时加工576个零件，实际2小时加工了192个零件，照这样的效率，可以提前几小时完成任务？ 【答案】2小时。 【分析】首先用李师傅实际2小时加工的零件的个数除以2，求出李师傅实际每小时加工多少个零件；然后用原计划要加工的零件的个数除以李师傅实际每小时加工的零件的个数，求出实际需要多少小时；最后用原计划用的时间减去实际用的时间，求出照这样的效率，可以提前几小时完成任务即可。 【解答】解：8﹣576÷（192÷2） ＝8﹣576÷96 ＝8﹣6 ＝2（小时） 答：照这样的效率，可以提前2小时完成任务。 【点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率。 14．多多家的小麦喜获丰收，爸爸雇了两台收割机来收割小麦。甲收割机4天完成20%，然后乙收割机加入一起收割，6天割完。如果让乙收割机单独收割，几天可以割完？ 【答案】12天。 【分析】把收割小麦的工作量看作单位“1”，根据工作效率＝工作量÷工作时间，求出甲收割机的工作效率，再用1减去20%，求出剩下的工作量，再根据工作效率和＝工作量÷工作时间，求出工作效率和，再减去甲收割机的工作效率，即可解答。 【解答】解：20%÷4 （1﹣20%）÷6 ＝80%÷6 1÷（ ） ＝1 ＝12（天） 答12天可以割完。 【点评】本题考查的是工程问题，掌握工作效率＝工作量÷工作时间，工作效率和＝工作量÷工作时间是解答关键。 15．修一段长540米的公路，甲、乙两支施工队同时从公路的两端往中间铺柏油。甲队施工速度是乙队的1.25倍，6天后这段公路全部铺完。甲、乙两队每天分别铺柏油路多少米？ 【答案】50米；40米。 【分析】根据工作效率＝工作总量÷工作时间计算出甲、乙两队的工作效率和，再根据和倍问题的数量关系式：和÷（倍数+1）＝1份数，求出乙的工作效率，再用乙的工作效率×1.25＝乙的工作效率。 【解答】解：540÷6＝90（米） 90÷（1.25+1） ＝90÷2.25 ＝40（米） 40×1.25＝50（米） 答：甲队每天铺柏油路50米，乙队每天铺柏油路40米。 【点评】本题考查工程问题的解题方法，解题关键是掌握工程问题的数量关系式，工作效率＝工作总量÷工作时间，再根据和倍问题的数量关系式：和÷（倍数+1）＝1份数，求出乙的工作效率和甲队的工作效率。 16．一批零件，张师傅单独做要6天，李师傅单独做要9天，两人同做三天后，这批零件还剩下几分之几没有完成？ 【答案】这批零件还剩没有完成。 【分析】首先根据：工作效率＝工作量÷工作时间，分别用1除以两人单独做需要的时间，求出两人的工作效率各是多少；然后用3乘以两队的工作效率之和，求出两人合做的工作量；最后用总工作量减去已做的工作量，即可解答。 【解答】解：1﹣[（）×3] ＝1﹣[3] ＝1 答：这批零件还剩没有完成。 【点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率。 17．一条道路，长度是3000米。如果甲队单独修，20天能修完；如果乙队单独修，25天能修完。如果两队合修，多少天能修完？ 【答案】11天。 【分析】首先把这条道路的长度看作单位“1”，根据：工作效率＝工作量÷工作时间，分别用1除以两队单独修需要的天数，求出两队每天各修这条路的几分之几；然后根据：工作效率＝工作量÷工作时间，用1除以两队的工作效率之和，求出如果两队合修，多少天能修完即可。 【解答】解：1÷（） ＝1÷（） ＝1 ＝11（天） 答：如果两队合修，11天能修完。 【点评】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时要注意从问题出发，找出已知条件与所求问题之间的关系，再已知条件回到问题即可解决问题。 18．师徒二人加工240个机器零件。如果师傅单独做，需要8小时完成；如果徒弟单独做，需要10小时完成。现在两人同时做，几小时能完成？ 【答案】小时。 【分析】把工作总量看作单位“1”，先求出师徒单独做的工效，然后根据“合作时间＝合作工作量÷合作工效”即可求解。 【解答】解：1÷（） ＝1 （小时） 答：现在两人同时做，小时能完成。 【点评】本题考查了简单的工程问题，关键是“合作时间＝合作工作量÷合作工效”。 19．一项工程，甲队单独做10天完成，乙队的工作效率是甲队的。如果甲、乙两队合做，几天可以完成这项工程的？ 【答案】5天。 【分析】把这项工程的工作总量看作单位“1”，已知甲队单独做10天完成，则甲队的工作效率是；乙队的工作效率是甲队的，根据求一个数的几分之几是多少，用甲队的工作效率乘，即可求出乙队的工作效率；两队的工作效率相加，就是两队的合作效率，根据“合作时间＝合作工作量÷合作工效”，即可求出完成这项工程的需要的天数。 【解答】解：1÷10 乙队的工作效率： 合作工作效率： 6 ＝5（天） 答：5天可以完成这项工程的。 【点评】本题考查了工程问题的应用，明确“合作时间＝合作工作量÷合作工效”是解题关键。 20．种锄草机3.5小时可以锄草公顷，照这样计算，一天工作8小时，这种锄草机能锄草多少公顷？ 【答案】1.6公顷。 【分析】此题属于归一问题的应用题，根据已知先求出每小时除草多少公顷，然后再乘工作的时间即可。 【解答】解：3.5×8 8 ＝1.6（公顷） 答：这种除草机8小时能除草1.6公顷。 【点评】解答此题的关键是求每小时除草多少公顷。 21．一盒药共6片，每次吃片，每天吃3次。这盒药可以吃几天？ 【答案】4天。 【分析】先用这盒药的总片数除以片，求出这盒药可以吃多少次，再除以每天吃的3次，即可求出这盒药可以吃的天数。 【解答】解：63 ＝12÷3 ＝4（天） 答：这盒药可以吃4天。 【点评】解决本题也可以先求出每天吃多少片，再求可以吃的天数，列式为6÷（3）。 22．王师傅和李师傅加工同一批零件，王师傅3小时加工26个零件，李师傅4小时加工37个零件。谁加工的速度快些？ 【答案】李师傅。 【分析】根据工作效率＝工作量÷工作时间，分别求出两人的工作效率，再比较，即可解答。 【解答】解：26÷3（个） 37÷4（个） 答：李师傅加工的速度快些。 【点评】本题考查的是工程问题，明确工作效率＝工作量÷工作时间是解答关键。 23．修一条水渠，甲工程队单独修，3天能修全长的；乙工程队单独修，2天能修全长的。照这样计算，如果甲乙合修这条水渠，多少天修完？ 【答案】天。 【分析】甲工程队单独修，3天能修全长的；乙工程队单独修，2天能修全长的。根据“工作效率＝工作量÷工作时间”求出甲、乙工程队的工作效率；然后再根据“工作时间＝工作总量÷工作效率之和”即可解答本题。 【解答】解：3 2 1÷（） ＝1 （天） 答：如果甲乙合修这条水渠，天修完。 【点评】本题考查了简单的工程问题的应用。 24．一份稿件有4800个字，王阿姨平均每分钟录入118个字，她从下午3时15分开始录入，下午4时能把这份稿件录入完吗？ 【答案】能。 【分析】根据工作时间＝工作量÷工作效率，求出工作时间，再用3时15分计算工作时间，再与4时比较，即可解答。 【解答】解：4800÷118≈41（分钟） 3时15分钟+41分钟＝3时56分钟 3时56分钟＜4时 答：下午4时能把这份稿件录入完。 【点评】本题考查的是工程问题，掌握工作时间＝工作量÷工作效率是解答关键。 25．工人们修一条长420米的路。修了5天后还有120米没修。工人们平均每天修多少米路？ 【答案】60米。 【分析】首先用工人们修的这条路的长度减去修了5天后还剩下的长度，求出5天修了多少米；然后用它除以5，求出工人们平均每天修多少米路即可。 【解答】解：（420﹣120）÷5 ＝300÷5 ＝60（米） 答：工人们平均每天修60米路。 【点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率。 26．一条公路长96米，修路队已经修了60米，余下的计划4小时修完，平均每小时修几米？ 【答案】9米。 【分析】用96减去60，求出余下的工作量，再根据工作效率＝工作量÷工作时间，即可解答。 【解答】解：（96﹣60）÷4 ＝36÷4 ＝9（米） 答：平均每小时修9米。 【点评】本题考查的是工程问题，掌握工作效率＝工作量÷工作时间是解答关键。 27．甲乙两个工程队共同修建一条隧道，已知两队合作6个月能完成，如果甲队单独完成需要15个月，那么乙队单独修建成这条隧道需要多少个月？ 【答案】10个。 【分析】把这条隧道的总工作量看作单位“1”，由两队合作正好6个月完成，可以求出两队的工作效率和为，甲的工作效率为，由此求得乙队的工作效率＝工作效率和﹣甲队的工作效率，再进一步利用工作总量÷工作效率＝工作时间解决问题。 【解答】解：1÷（） ＝1÷（） ＝1 ＝1×10 ＝10（个） 答：乙队单独修建成这条隧道需要10个月。 【点评】本题考查了工程问题，解决本题的关键是“工作时间＝工作总量÷工作效率”。 28．欢欢、乐乐剪同样的窗花，欢欢4分钟剪了13张，乐乐5分钟剪了16张，谁的速度快？ 【答案】欢欢 【分析】根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”代入对应数值，分别求出欢欢和乐乐的工作效率，进而比较大小即可。 【解答】解：13÷4（张） 16÷5（张） 答：欢欢的速度快。 【点评】此题主要考查工作总量、工作效率、工作时间三者的关系式：工作总量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作总量÷工作时间，工作时间＝工作总量÷工作效率，灵活变形列式解决问题。 29．一批零件，王师傅单独做要15小时完成，李师傅单独做要30小时完成。两人合作，几小时能加工完这批零件？ 【答案】10小时。 【分析】把加工这批零件的工作量看作单位“1”，先依据工作总量＝工作时间×工作效率，求出王师傅和李师傅的工作效率，两人合作后，把两人工作效率相加，最后根据工作时间＝工作总量÷工作效率和即可解答。 【解答】解：1÷15 1÷30 1÷（） ＝1 ＝10（小时） 答：两人合作，10小时能加工完这批零件。 【点评】本题考查知识点：依据工作时间，工作效率以及工作总量之间数量关系解决问题。 30．一栋大楼的煤气管道需要更换，已知A工程队单独更换需10天完成，B工程队单独更换需15天完成。如果两个工程队合作，需要几天完成更换任务？ 【答案】6天。 【分析】设工作总量为单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，A工程队每天的工作效率为，B工程队每天的工作效率为，根据题意可得等量关系：（A工程队每天的工作效率+B工程队每天的工作效率）×工作时间＝工作总量，据此求出工作时间即可。 【解答】解：A工程队每天的工作效率为， B工程队每天的工作效率为， ＝6（天） 答：需要6天完成更换任务。 【点评】本题考查了工程问题，解决本题的关键是“工作时间＝工作总量÷工作效率”。 31．学校进行绿化养护，张师傅单独工作需要20小时，李师傅单独工作需要30小时，如果两个人一起合作，需要多少小时能完成学校绿化养护？ 【答案】12小时。 【分析】将绿化养护工作总量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，代入数据，分别求出两人的工作效率，张师傅工作效率＝1÷20，李师傅工作效率＝1÷30。再根据两人合作时间＝工作总量÷工作效率和，代入数据即可求出合作完成绿化养护的时间。 【解答】解：1÷20 1÷30 1÷（） ＝1÷（） ＝1 ＝1×12 ＝12（小时） 答：需要12小时能完成学校绿化养护。 【点评】本题考查了工程问题，解决本题的关键是“工作总量＝工作效率×工作时间”。 32．施工队计划修一条水渠，每天修25米，24天能修完，如果每天多修5米，多少天能修完？ 【答案】20天。 【分析】先用25乘24，求出这条水渠的长度，再除以（25+5）米，即可求出几天能修完，据此解答。 【解答】解：25×24÷（25+5） ＝600÷30 ＝20（天） 答：20天能修完。 【点评】解答本题需熟练掌握工作量、工作效率和工作时间之间的关系。 33．一项工作，甲队单独修12天完成，乙队单独修15天完成，如果两队合修多少天能完成这项工作的一半？ 【答案】天。 【分析】根据题意，将工作总量看作单位“1”，这项工作的一半表示为，甲队单独修12天完成，乙队单独修15天完成，甲的工作效率是，乙的工作效率是，这项工作的一半÷工作效率和＝合作的工作时间，代入数据计算。 【解答】解： （天） 答：如果两队合修天能完成这项工作的一半。 【点评】本题考查了工程问题，解决本题的关键是“工作时间＝工作总量÷工作效率”。 34．为了让同学们体会到传统建筑的美感，老师让2个同学为一组合作完成故宫的木质模型的拼搭。李明一个人需要4小时才能完成，张亮一个人需要6小时才能完成，他们两人合作2小时后，李明有事离开，剩下的由张亮一人完成。张亮又拼了多长时间才将木质模型拼搭完成？ 【答案】1小时。 【分析】把工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出李明、张亮各自的工作效率； 两人的工作效率相加即是合作工效，已知两人合作2小时，根据“合作工作量＝合作工效×合作工时”，求出两人合作2小时完成的工作量； 再用工作总量“1”减去两人合作完成的工作量，即是剩下的工作量，由张亮一人完成，根据“工作时间＝工作量÷工作效率”，即可求解。 【解答】解：1÷4 1÷6 （）×2 ＝（）×2 2 （1） 6 ＝1（小时） 答：张亮又拼了1小时才将木质模型拼搭完成。 【点评】本题考查工程问题，掌握工作效率、工作时间、工作总量之间的关系，求出剩下的工作量是解题的关键。 35．一个修路队抢修一段被山洪冲坏的公路，这段公路长是592米，已经修了128米，剩下的每天修58米，剩下的几天时间能修完？ 【答案】8天。 【分析】根据题意，先用减法求出剩下的公路长，再根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”代入对应数值，列式解答即可。 【解答】解：（592﹣128）÷58 ＝464÷58 ＝8（天） 答：剩下的8天能修完。 【点评】此题主要考查工作总量、工作效率、工作时间三者的关系式：工作总量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作总量÷工作时间，工作时间＝工作总量÷工作效率，灵活变形列式解决问题。 36．甲工程队要挖一条630米长的水渠，前6天每天挖45米，剩下的5天挖完，剩下的平均每天挖多少米？ 【答案】72米。 【分析】首先根据工作量＝工作效率×工作时间，用每天挖的水渠的长度乘以已经挖的天数，求出以及挖了多少米，进而求出还剩下的水渠的长度是多少；然后根据工作效率＝工作量÷工作时间，用剩下的水渠的长度除以需要的时间，求出平均每天挖多少米即可。 【解答】解：（630﹣6×45）÷5 ＝（630﹣270）÷5 ＝360÷5 ＝72（米） 答：剩下的平均每天挖72米。 【点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率，解答此题的关键是求出剩下的水渠的长度是多少。 37．师徒两人共同加工480个零件，经过15小时完成，师傅每小时比徒弟多加工8个，他们两人每小时各加工多少个零件？ 【答案】12个，20个。 【分析】设徒弟每小时加工x个，那么师傅每小时加工（x+8）个，根据工作量＝工作效率和×工作时间，列出方程，即可解答。 【解答】解：（x+x+8）×15＝480 30x+120＝480 30x＝360 x＝12 12+8＝20（个） 答：徒弟每小时加工12个，那么师傅每小时加工20个。 【点评】本题考查的是工程问题，掌握工作量＝工作效率和×工作时间是解答关键。 38．一批布料，只做上衣刚好可以做12件，只做裤子刚好可以做15条。这批布料最多可以做几套这样的衣服？ 【答案】6套。 【分析】根据题意，先把这块布料的总量看作单位“1”，则每件上衣需要用布料为，每条裤子需要用布料为，它们的和就是做一套衣服需要的布料，再用1除以（），即可求出答案。 【解答】解：1÷（） ≈6（套） 答：这批布料最多可以做6套这样的衣服。 【点评】本题解题的关键是把这块布料的总量看作单位“1”，再根据分数加法与分数除法的意义，列式计算。 39．加工120个零件，师傅单独做要6时，徒弟单独做要8时。师徒二人合作多少时才能完成？（用两种方法解答） 【答案】时。 【分析】法一：根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”分别求出师傅和徒弟的工作效率，用工作总量除以师徒两人的工作效率之和即可解答； 法二：把工作总量为单位“1”，则师傅的工作效率为（1÷6），徒弟的工作效率为（1÷8），用工作总量除以师徒效率之和即可解答。 【解答】解：法一：120÷6＝20（个） 120÷8＝15（个） 120÷（6+8） ＝120÷14 （时） 法二：1÷（） ＝1 （时） 答：师徒二人合作时才能完成。 【点评】本题考查了简单的工程问题。 40．单独修同一条公路，A队需要20天修完，B队需要40天修完。先由B队修全长的，剩下的再由A、B两队合修，还需要多少天完成？ 【答案】8天。 【分析】先把这条公路看作单位“1”，则A队的效率为，B队的效率为，先求出B队修完后还剩下几分之几，再除以A和B两队的工作效率之和，即可求出还需要多少天完成。 【解答】解：1÷20 1÷40 （1）÷（） ＝8（天） 答：还需要8天完成。 【点评】此题考查了工作时间＝工作总量÷工作效率在实际问题中的灵活应用，把工作总量看作单位“1”得出A和B的工作效率是解决本题的关键。 41．一篇文章500字，小丽平均每分钟录入78个字，6分钟能录入完吗？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，要想求能不能录入完，先求6分钟能录入多少字，再和500相比较．6分钟能录入字数：78×6＝468（个），500＞468，说明录不完． 【解答】解：78×6＝468（个） 500＞468 答：6分钟不能录入完． 【点评】本题主要考查简单的工程问题，关键利用工作总量、工作时间和工作效率之间的关系做题． 42．纺织厂一共要加工900套衣服，已经加工了5天，平均每天加工128套。剩下的2天加工完，平均每天加工多少套？（列综合算式解答） 【答案】130套。 【分析】首先根据工作总量＝工作效率×工作时间，用128乘5，求出5天已经加工了多少套衣服，然后用一共要加工的总套数减去已经加工的套数，求出还剩下多少套衣服没有完成，最后再用剩下的工作总量除以2，求出剩下的平均每天要加工多少套即可。 【解答】解：（900﹣128×5）÷2 ＝（900﹣640）÷2 ＝260÷2 ＝130（套） 答：平均每天加工130套。 【点评】解决本题的关键是找出题中数量关系。 43．苗苗家的小麦喜获丰收，村里来了两台收割机收小麦，苗苗家的小麦，甲收割机单独收割，需要6小时完成，乙收割机单独收割，需要7小时完成，如果爸爸让这两台收割机合作同时来收割这些小麦，几小时能收割完？ 【答案】3小时。 【分析】把这些小麦看作单位“1”，则甲收割机每小时收割这些小麦的，乙收割机每小时收割这些小麦的，用1除以两辆收割机的效率和即可。 【解答】解：1÷（） ＝1 ＝3（小时） 答：3小时能收割完。 【点评】本题考查的是工程问题解答方法的运用。 44．甲、乙两队合修某段公路，甲队从南往北修，每天修85米；乙队从北往南修，每天比甲队少修5米，两队合作7天修好，这段公路一共长多少米？ 【答案】1155米。 【分析】先用85千米减去5米，求出乙队每天修的米数；再根据“工作量＝工作效率×工作时间”，用两队的效率和乘合作的天数即可。 【解答】解：（85﹣5+85）×7 ＝165×7 ＝1155（米） 答：这段公路一共长1155米。 【点评】解答本题需熟练掌握工作量、工作效率和工作时间之间的关系，灵活解答。 45．一项工程由甲队单独做要20天，由乙队单独做要30天，甲、乙两队合做完成这项工程一共用了几天？ 【答案】12天。 【分析】把这项工程看作单位“1”，根据工作总量÷工作时间＝工作效率，据此可知甲队的工作效率为，乙队的工作效率为，再根据工作总量÷工作效率之和＝工作时间，据此进行计算即可。 【解答】解：1÷（） ＝1 ＝1×12 ＝12（天） 答：一共用了12天。 【点评】本题考查的是工程问题，掌握工作总量÷工作时间＝工作效率，工作总量÷工作效率之和＝工作时间是解答关键。 46．抄一份书稿，一人抄，甲要12小时，乙要15小时．两人合抄2小时后，剩下的由甲抄，还要几小时抄完？ 【答案】见试题解答内容 【分析】把这份书稿看作单位“1”，甲单独抄要12小时，每小时的工作效率是；乙单独抄要15小时．每小时的工作效率是，根据工作效率和×合作的时间＝完成的工作量，用总工程量减去两人2小时完成的工作量再除以甲的工作效率即可． 【解答】解：1﹣（）×2 ＝1 8.4（小时） 答：还要8.4小时抄完． 【点评】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时往往把工作总量看做“1”，再利用它们的数量关系解答． 47．只列式，不计算。 一段公路，甲队单独修15天完成，乙队单独修10天完成。两队合修5天后，剩下的由甲队独修，还要多少天才能完成？ 【答案】[1﹣（1÷15+1÷10）×5] 【分析】把这段公路看作单位“1”，根据工作总量÷工作时间＝工作效率，分别求出甲的工作效率是，乙的工作效率是，根据工作效率之和×工作时间＝工作总量，则甲乙两队合修5天的工作总量是（）×5，则剩下的工作量为[1﹣（）×5]，最后根据工作总量÷工作效率＝工作时间，据此进行解答即可。 【解答】解：[1﹣（1÷15+1÷10）×5] ＝[1﹣（）×5] ＝[15] ＝[1] 15 ＝2.5（天） 答：还要2.5天才能完成。 【点评】熟练掌握工作总量、工作效率和工作时间之间的关系是解答本题的关键。 48．一条公路，甲队独修15天完成，乙队独修20天完成，现两队合修6天后，剩下的由乙队单独修，还需多少天才能修完？ 【答案】6天。 【分析】把一条公路的工作量看作单位“1”，根据工作效率＝工作量÷工作时间，求出他们的工作效率，再根据工作量＝工作效率和×工作时间，求出两队合修6天的工作量，再用1减去两队合修6天的工作量，求出剩下的工作量，再根据工作时间＝工作量÷工作效率，即可解答。 【解答】解：[1﹣（）×6] ＝6（天） 答：还需6天才能修完。 【点评】本题考查的是工程问题，掌握工作效率＝工作量÷工作时间，工作量＝工作效率和×工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率是解答关键。 49．一条道路，甲队单独修需要10天才能修完，乙队单独修需要15天．如果两队合修，多少天才能修完？ 【答案】见试题解答内容 【分析】首先根据：工作效率＝工作量÷工作时间，分别用1除以两队单独修需要的时间，求出两队的工作效率各是多少；然后用1除以两队的工作效率之和，求出如果两队合修，多少天才能修完即可． 【解答】解：1÷（） ＝1 ＝6（天） 答：如果两队合修，6天才能修完． 【点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率． 50．一项工程，甲队单独做15天完成，乙单独做10天完成，现在由甲、乙合作若干天后，剩下的部分由乙独做，先后用8天，问甲做几天？ 【答案】3天。 【分析】把一项工程的工作量看作单位“1”，根据工作效率＝工作量÷工作时间，分别求出两队的工作效率，再根据工作量＝工作效率×工作时间，求出乙工作8天的工作量，再用1减去乙工作8天的工作量，求出甲的工作量，再根据工作时间＝工作量÷工作效率，即可解答。 【解答】解：（18） ＝3（天） 答：甲做3天。 【点评】本题考查的是工程问题，掌握工作效率＝工作量÷工作时间，工作量＝工作效率×工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率是解答关键。 51．师徒两人合作加工一批零件，徒弟每天加工115个，师傅每天加工185个，两人合作26天完成了任务，这批零件一共有多少个？ 【答案】7800个。 【分析】根据“工作总量＝工作效率×工作时间”，用师徒两人每天加工的零件个数分别乘26，求出两人26天分别加工了多少个零件，然后再相加求和，即可求出这批手工艺品一共有多少个。注意计算过程中采用乘法分配律进行简便计算。 【解答】解：115×26+185×26 ＝（115+185）×26 ＝300×26 ＝7800（个） 答：这批零件一共有7800个。 【点评】此题考查了“工作总量＝工作效率×工作时间”在实际问题中的灵活应用。 52．为了确保幢南大道快速路主线高架2024年春节前正式通车，工程队日夜奋战。这项工程若由甲队单独干需要8天完成，由乙队单独干需要12天完成。现在甲、乙两队合干4天后，剩下的工程由乙队单独干，还需要多少天？ 【答案】2天。 【分析】把这项工程的工作量看作单位“1”，根据工作效率＝工作量÷工作时间，分别求出两队的工作效率，再根据工作量＝工作效率和工作时间，求出甲、乙两队合干4天的工作量，再用1减去甲、乙两队合干4天的工作量，求出剩下的工作量，再根据工作时间＝工作量÷工作效率，即可解答。 【解答】解：[1﹣（）×4] ＝2（天） 答：还需要2天。 【点评】本题考查的是工程问题，掌握工作效率＝工作量÷工作时间，工作量＝工作效率和工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率是解答关键。 学科网（北京）股份有限公司 $$