（经典奥数）优化问题（讲义）-2024-2025学年三年级上册数学人教版

（经典奥数）优化问题讲义-数学三年级上册人教版 ( 目录 ) 第一部分：知识梳理。 第二部分：典型例题。‌ 第三部分：跟踪训练。 ( 第一部分 ) ( 知识梳理 ) 最优化问题 最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优化问题成为现代数学的一个重要课题，涉及统筹、线性规划一排序不等式等内容．下面我们就最优化问题做出汇总分析． 最优化问题不仅具有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强，因此对于开拓解题思路，增强数学能力很有益处．但解决这类问题需要的基础知识相当广泛，很难做到一一列举． ( 第二部分 ) ( 典型例题 ) 1．善美小区7位家长带7位儿童一同去看爱国主义电影《长津湖》，“购票须知”如下。怎样买票最合算？至少要付多少钱？ 购票须知 成人票：40元/人 儿童票：20元/人 团体票（10人及以上）：30元/人 【解答】解：方案一：家长买成人票，儿童买儿童票： 儿童：7×20＝140（元） 家长：7×40＝280（元） 共：280+140＝420（元） 方案二：家长和儿童一起买团体票： 30×（7+7） ＝30×14 ＝420（元） 方案三：7位家长和3位儿童购买团体票，剩下儿童买儿童票： 30×（7+3）+20×（7﹣3） ＝300+80 ＝380（元） 380＜420 答：7位家长和3位儿童购买团体票，剩下儿童买儿童票最合算；至少要付380元钱。 2．某景区门票价格方案如下： 方案一：成人每人100元，儿童每人50元； 方案二：团体10人以上（含10人）每人80元。 （1）有成人10人，儿童4人，怎样买票比较划算？最少需要多少元？ （2）有成人4人，儿童10人，怎样买票比较划算？最少需要多少元？ 【解答】解：（1）方案一需要的钱数是： 10×100+4×50 ＝1000+200 ＝1200（元） 方案二需要的钱数是： 80×（10+4） ＝80×14 ＝1120（元） 成人购团体票，儿童购儿童票需要的钱数是： 10×80+4×50 ＝800+200 ＝1000（元） 因为1000＜1120＜1200 所以成人购团体票，儿童购儿童票划算。 答：成人购团体票，儿童购儿童票比较划算，最少需要1000元。 （2）方案一需要的钱数是： 4×100+10×50 ＝400+500 ＝900（元） 方案二需要的钱数是： 80×（10+4） ＝80×14 ＝1120（元） 6儿童和4个成人购团体票，4个儿童购儿童票需要的钱数是： 10×80+4×50 ＝800+200 ＝1000（元） 因为900＜1000＜1120 所以方案一比较划算。 答：选择方案一比较划算，最少需要900元。 ( 第三部分 ) ( 跟踪训练 ) 一．选择题（共6小题） 1．有40人要租船游玩1小时，小船限乘4人，大船限乘6人。最省钱的租船方案（　　） 小船 24元/时 大船 30元/时 A．6条大船、1条小船 B．7条大船 C．4条大船、4条小船 D．10条小船 2．某旅游团有28名游客，需要乘坐观光车。每辆小车限乘坐6人，每辆大车限乘坐8人。下面方案（　　）保证运送完毕，并且每辆车都坐满。 A．4辆大车 B．3辆大车，1辆小车 C．2辆大车，2辆小车 D．1辆大车，3辆小车 3．有42人去景区租观光车游玩1小时，大车限乘10人，每辆1小时50元；小车限乘6人，每辆1小时36元。下面租车方案最省钱的是（　　） A．租3辆大车和2辆小车。 B．租4辆大车和1辆小车。 C．租5辆大车。 D．租7辆小车。 4．五一假期旅行社推出“XX风景区一日游”的两种出游价格方案。 方案一 成人每人150元，儿童每人60元。 方案二 团体5人以上（包括5人）每人100元。 成人5人，儿童5人，选（　　）种方案划算。 A．方案一 B．方案二 C．方案一和方案二合着买 D．以上方案都不划算 5．妈妈去超市买酸奶，每瓶酸奶6元，恰好赶上超市酸奶促销活动：买三赠一。妈妈想要买12瓶酸奶，最少需要花费（　　）元。 A．54 B．60 C．66 D．72 6．3位老师带50名学生参观植物园，票价如图，下面几种方案，买票最合算的是（　　） A．3张成人票、50张儿童票 B．53张团体票 C．10张团体票，43张儿童票 D．都一样 二．填空题（共6小题） 7．商店现有4节装和6节装两种不同包装的电池，要购买26节这种电池有 　 　种不同的买法。 8．矿泉水的价格如图所示，光明小学四（1）班开运动会要买39瓶矿泉水，最少需要 　 　元。 一提15瓶45元 一组4瓶15元 1瓶4元 9．实验小学四年（1）班38名学生和2位老师一起去租船游玩1小时。 最省钱的租船方案是： 租 　 　条大船和 　 　条小船。 10．有17个学生参加夏令营，需要住宿一晚，4人间100元，3人间90元，采用最省钱方案需要 　 　元。 11．我们一共46人去坐船。小船每条24元，限坐4人；大船每条30元，限坐6人。租 　 　条大船和 　 　条小船最省钱，共需要 　 　元钱。 12．旅行社推出“风景区一日游”的两种出游价格方案。 方案一：成人每人150元；儿童每人60元 方案二：团体10人以上（包括10人）每人100元 现有成人7人，儿童4人，选择方案 　 　购票合算，共需 　 　元。 三．应用题（共4小题） 13．李阿姨要为自己的宝宝买13盒奶粉，怎样买最省钱？最少需要多少钱？ 婴儿奶粉促销： 58元1盒 99元2盒 14．两位老师带领42名学生参加劳动实践活动，劳动实践基地的午餐收费方式如表所示。 午餐收费 单人餐：15元/份 团餐：100/桌 （每桌限8人） （1）请设计两种不同的订餐方案，并计算出每种方案分别需要多少钱？ （2）你认为怎样订餐比较合适？并说说理由。 15．二（1）班有44名同学乘车去植物园参观，现在有两种车可供租用，小客车每辆可乘8人，每人3元，出租车每辆可乘4人，每人4元，怎样租车最便宜？ 16．5名老师带领45名学生去参观博物馆。怎样购票最便宜？至少需要多少钱？ 成人票：20元/张 儿童票：10元/张 团体票：12元/张 （10人及10人以上为团体） （经典奥数）优化问题讲义-数学三年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．有40人要租船游玩1小时，小船限乘4人，大船限乘6人。最省钱的租船方案（　　） 小船 24元/时 大船 30元/时 A．6条大船、1条小船 B．7条大船 C．4条大船、4条小船 D．10条小船 【解答】解：24÷4＝6（元/人） 30÷6＝5（元/人） 40÷6＝6（条）……4（人） 6×30+1×24 ＝180+24 ＝204（元） 答：租6条大船，1条小船最省钱。 故选：A。 2．某旅游团有28名游客，需要乘坐观光车。每辆小车限乘坐6人，每辆大车限乘坐8人。下面方案（　　）保证运送完毕，并且每辆车都坐满。 A．4辆大车 B．3辆大车，1辆小车 C．2辆大车，2辆小车 D．1辆大车，3辆小车 【解答】解：A.4辆大车，4×8＝32（人），有空座位，坐不满，不符合题意； B.3辆大车，1辆小车，8×3+6＝30（人），有空座位，坐不满，不符合题意； C.2辆大车，2辆小车，8×2+6×2＝28（人），刚好坐满，符合题意； D.1辆大车，3辆小车，8+6×3＝26（人），还有2人没有座位，不符合题意。 故选：C。 3．有42人去景区租观光车游玩1小时，大车限乘10人，每辆1小时50元；小车限乘6人，每辆1小时36元。下面租车方案最省钱的是（　　） A．租3辆大车和2辆小车。 B．租4辆大车和1辆小车。 C．租5辆大车。 D．租7辆小车。 【解答】解：选项A：3×10+2×6 ＝30+12 ＝42（人） 3×50+2×36 ＝150+72 ＝222（元） 选项B：4×10+1×6 ＝40+6 ＝46（人） 4×50+1×36 ＝200+36 ＝236（元） 选项C：5×10＝50（人） 5×50＝250（元） 选项D：7×6＝42（人） 7×36＝252（元） 222＜236＜250＜252 答：租车方案最省钱的是租3辆大车和2辆小车。 故选：A。 4．五一假期旅行社推出“XX风景区一日游”的两种出游价格方案。 方案一 成人每人150元，儿童每人60元。 方案二 团体5人以上（包括5人）每人100元。 成人5人，儿童5人，选（　　）种方案划算。 A．方案一 B．方案二 C．方案一和方案二合着买 D．以上方案都不划算 【解答】解：方案一： 150×5+60×5 ＝（150+60）×5 ＝210×5 ＝1050（元） 方案二： 100×（5+5） ＝100×10 ＝1000（元） 方案一和二结合购买： 100×5+60×5 ＝（100+60）×5 ＝160×5 ＝800（元） 1050＞1000＞800，即方案一和方案二合着买最划算。 答：成人5人，儿童5人，选方案一和方案二合着买方案划算。 故选：C。 5．妈妈去超市买酸奶，每瓶酸奶6元，恰好赶上超市酸奶促销活动：买三赠一。妈妈想要买12瓶酸奶，最少需要花费（　　）元。 A．54 B．60 C．66 D．72 【解答】解：12÷（3+1）×3 ＝12÷4×3 ＝3×3 ＝9（瓶） 6×9＝54（元） 所以最少需要花费54元。 故选：A。 6．3位老师带50名学生参观植物园，票价如图，下面几种方案，买票最合算的是（　　） A．3张成人票、50张儿童票 B．53张团体票 C．10张团体票，43张儿童票 D．都一样 【解答】解：A.3张成人票、50张儿童票需要： 3×10+50×5 ＝30+250 ＝280（元） B.53张团体票需要： （50+3）×6 ＝53×6 ＝318（元） C.10张团体票，43张儿童票需要： 10×6+43×5 ＝60+215 ＝275（元） 318＞280＞275 所以几种方案，买票最合算的是10张团体票，43张儿童票。 故选：C。 二．填空题（共6小题） 7．商店现有4节装和6节装两种不同包装的电池，要购买26节这种电池有 　2　种不同的买法。 【解答】解： 要购买26节这种电池，可以买5袋4节装的和1袋6节装或2袋4节装和3袋6节装，这2种不同的买法。 故答案为：2。 8．矿泉水的价格如图所示，光明小学四（1）班开运动会要买39瓶矿泉水，最少需要 　124　元。 一提15瓶45元 一组4瓶15元 1瓶4元 【解答】解：一提矿泉水中的每瓶的价格是：45÷15＝3（元） 一组矿泉水中的每瓶的价格是：15÷4＝3.75（元） 3＜3.75＜4 所以尽量多买单价便宜的矿泉水最省钱。 39÷15＝2（提）……9（瓶） 9÷4＝2（组）……1（瓶） 所以买2提、2组和1瓶矿泉水最省钱，需要的钱数为： 45×2+15×2+4×1 ＝90+30+4 ＝124（元） 答：最少需要124元。 故答案为：124。 9．实验小学四年（1）班38名学生和2位老师一起去租船游玩1小时。 最省钱的租船方案是： 租 　7　条大船和 　0　条小船。 【解答】解：48÷6＝8（元/人） 25÷2＝12.5（元/人） 8＜12.5，即尽可能多租大船。 38+2＝40（人） 40÷6＝6（条）……4（人） 6+1＝7（条） 48×7＝336（元） 4÷2＝2（条） 48×6+25×2 ＝288+50 ＝338（元） 336＜338，即租7条大船，0条小船时最省钱。 答：租7条大船，0条小船时最省钱。 故答案为：7，0。 10．有17个学生参加夏令营，需要住宿一晚，4人间100元，3人间90元，采用最省钱方案需要 　470　元。 【解答】解：17÷4＝4（间）……1（人） （1）‌租用4人间4间和3人间1间： ‌4×100+90 ‌＝400+90 ＝490（元） （2）‌租用4人间2间和3人间3间： ‌2×100+90×3 ‌＝200+270 ＝470（元） 490＞470 答：采用最省钱方案需要470元。 故答案为：470。‌ 11．我们一共46人去坐船。小船每条24元，限坐4人；大船每条30元，限坐6人。租 　7　条大船和 　1　条小船最省钱，共需要 　234　元钱。 【解答】解：24÷4＝6（元） 30÷6＝5（元） 6＞5 46÷6＝7（条）……4（人） 4÷4＝1（条） 租7条大船和1条小船最省钱，需要钱数： 7×30+1×24 ＝210+24 ＝234（元） 答：租7条大船和1条小船最省钱，共需要234元钱。 故答案为：7，1，234。 12．旅行社推出“风景区一日游”的两种出游价格方案。 方案一：成人每人150元；儿童每人60元 方案二：团体10人以上（包括10人）每人100元 现有成人7人，儿童4人，选择方案 　二　购票合算，共需 　1100　元。 【解答】解：方案一： 150×7+60×4 ＝1050+240 ＝1290（元） 方案二： 100×（7+4） ＝100×11 ＝1100（元） 1100＜1290，即选择方案二。 答：选择方案二购票合算，共需1100元。 故答案为：二；1100。 三．应用题（共4小题） 13．李阿姨要为自己的宝宝买13盒奶粉，怎样买最省钱？最少需要多少钱？ 婴儿奶粉促销： 58元1盒 99元2盒 【解答】解：99÷2≈100÷2＝50（元），50＜58，2盒一组的便宜，尽可能多买。 13÷2＝6（组）……1（盒） 6×99+58 ＝594+58 ＝652（元） 答：买6个2盒装，1个1盒装的最省钱，最少需要652元。 14．两位老师带领42名学生参加劳动实践活动，劳动实践基地的午餐收费方式如表所示。 午餐收费 单人餐：15元/份 团餐：100/桌 （每桌限8人） （1）请设计两种不同的订餐方案，并计算出每种方案分别需要多少钱？ （2）你认为怎样订餐比较合适？并说说理由。 【解答】解：（1）方案一：都订单人餐。 15×（42+2） ＝15×44 ＝660（元） 方案二：40人订团餐，4人订单人餐。 40÷8×100+4×15 ＝500+60 ＝560（元） 答：方案一：都订单人餐，需要660元；方案二：40人订团餐，4人订单人餐，需要560元。（答案不唯一） （2）我认为方案二比较合适，因为花钱少。（答案不唯一） 15．二（1）班有44名同学乘车去植物园参观，现在有两种车可供租用，小客车每辆可乘8人，每人3元，出租车每辆可乘4人，每人4元，怎样租车最便宜？ 【解答】解：44＝8×5+4×1 所以租小客车5辆，出租车1辆。 3×8×5+4×4×1 ＝120+16 ＝136（元） 答：租小客车5辆，出租车1辆最便宜。 16．5名老师带领45名学生去参观博物馆。怎样购票最便宜？至少需要多少钱？ 成人票：20元/张 儿童票：10元/张 团体票：12元/张 （10人及10人以上为团体） 【解答】解：方案一：20×5+45×10 ＝100+450 ＝550（元） 方案二：（5+45）×12 ＝50×12 ＝600（元） 方案三：（45﹣5）×10+12×10 ＝400+120 ＝520（元） 520＜550＜600 答：5名老师和5名学生买团体票，剩下的学生买儿童票最便宜；至少需要520元。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$