平面解析几何-四川省部分市2023-2024学年高三下学期数学模拟试题分类汇编

四川省部分市2023-2024学年下学期高三模拟试题分类汇编 ----平面解析几何 一、单选题 1．（2024·四川德阳·模拟预测）已知 过坐标原点O作的两条切线，切点为A、B，则四边形的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（2024·四川乐山·三模）已知圆，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，直线与交于点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 3．（2024·四川宜宾·三模）已知抛物线C：，过动点P作两条相互垂直的直线，分别与抛物线C相切，则点P的轨迹是（    ） A．一条抛物线 B．一个圆 C．一条直线 D．一段线段 4．（2024·四川达州·二模）双曲线的左、右顶点分别为为上一点，若直线与直线斜率之积为2，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 5．（2024·四川雅安·三模）设分别为双曲线的左右焦点，过点的直线交双曲线右支于点，交轴于点，且为线段的中点，并满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 6．（2024·四川内江·三模）设是椭圆的两个焦点，点P在椭圆C上，若为直角三角形，则的面积为（    ） A． B．1或 C． D．1或 7．（2024·四川自贡·三模）设，分别为双曲线（，）的上，下焦点，过点的直线与的一条渐近线交于点，若轴，且点到的距离为，则 的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知直线，圆，则“与有公共点”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2024·四川成都·三模）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的个数有（    ） ①异面直线与所成的角为45°； ②此八面体的外接球与内切球的体积之比为； ③若点为棱上的动点，则的最小值为； ④若点为四边形的中心，点为此八面体表面上动点，且，则动点的轨迹长度为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2024·四川南充·模拟预测）已知双曲线，斜率为的直线与的左右两支分别交于两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点. 若直线的斜率为，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2024·四川达州·二模）在中，角，，的对边分别为，，，，点在平面内，，则的最大值为 ． 12．（2024·四川泸州·二模）已知抛物线方程为，则抛物线的准线方程为 ． 13．（2024·四川德阳·三模）已知为抛物线：的焦点，过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于不同的两点，若抛物线在两点处的切线相交于点，则 . 14．（2024·四川自贡·三模）已知圆的圆心是抛物线的焦点，直线与圆相交于，两点，，则圆的半径为 ． 15．（2024·四川雅安·模拟预测）已知双曲线C：的右焦点为F，过点F作双曲线的一条渐近线的垂线l，垂足为M，若直线l与双曲线C的另一条渐近线交于点N，且（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为 . 16．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为.若有最大值，则双曲线的离心率的取值范围是 . 17．（2024·四川泸州·二模）已知，，是双曲线C：的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于点A，与右支交于点B，与内切圆的圆心分别为，，半径分别为，，若，则双曲线离心率为 ．的取值范围为 ． 18．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知双曲线的两条渐近线均与圆：相切，双曲线左焦点为，则该双曲线的渐近线方程为 . 19．（2024·四川遂宁·模拟预测）已知，为圆上的两个动点，，若点为直线上一动点，则的最小值为 . 20．（2024·四川南充·三模）已知点F是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过点且垂直于x轴的直线与双曲线交于两点，若，则该双曲线离心率的取值范围为 ． 三、解答题 21．（2024·四川乐山·三模）已知椭圆的左､右焦点分别为分别是椭圆的上下顶点，分别是椭圆的左右顶点，点在椭圆上，且的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)点是椭圆上的动点（不与重合），是在点处的切线，直线交于点，直线交于点，求证：直线的斜率为定值. 22．（2024·四川德阳·模拟预测）点M是直线上的动点，O为坐标原点，过点M作y轴的垂线l，过点O作直线OM的垂线交直线l于点P. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)过曲线C上的一点P（异于原点O）作曲线C的切线交椭圆于A、B两点，求面积的最大值. 23．（2024·四川宜宾·三模）已知椭圆E：的左右焦点分别为，，过焦点斜率为的直线与椭圆E交于A，B两点，过焦点斜率为的直线与椭圆E交于C，D两点，且． (1)求直线与的交点N的轨迹M的方程； (2)若直线OA，OB，OC，OD的斜率分别为，，，，问在（1）的轨迹M上是否存在点P，满足，若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由． 24．（2024·四川达州·二模）在平面直角坐标系中，曲线 (为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. (1)求的普通方程和的直角坐标方程； (2)求以曲线与曲线的公共点为顶点的多边形面积. 25．（2024·四川内江·三模）已知抛物线E的准线方程为：，过焦点F的直线与抛物线E交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、D两点，直线CF与抛物线E交于M、N两点，直线DF与抛物线E交于P、Q两点. (1)求抛物线E的标准方程； (2)证明：为定值. 26．（2024·四川泸州·二模）已知O为坐标原点，椭圆左､右焦点分别为，短轴长为，过的直线与椭圆交于两点，的周长为8． (1)求的方程； (2)若直线l与Ω交于A，B两点，且，求|AB|的最小值； (3)已知点P是椭圆Ω上的动点，是否存在定圆O：x2＋y2＝r2（r＞0），使得当过点P能作圆O的两条切线PM，PN时（其中M，N分别是两切线与C的另一交点），总满足|PM|＝|PN|?若存在，求出圆O的半径r：若不存在，请说明理由． 27．（2024·四川自贡·三模）已知椭圆E：的左、右焦点分别为、，上、下顶点分别为、，四边形的面积为且. (1)求椭圆E的方程； (2)过点的直线与椭圆E相交于两点P、Q（P在Q上方），线段上存在点M使得，求的最小值. 28．（2024·四川攀枝花·三模）已知抛物线上一点Q到焦点F的距离为2，点Q到y轴的距离为． (1)求抛物线C的方程； (2)过F的直线交抛物线C于A，B两点，过点B作x轴的垂线交直线AO（O是坐标原点）于D，过A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E，直线与交于点G．求 29．（2024·四川成都·模拟预测）设椭圆的左焦点，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于P，Q和E，F，求的取值范围． 30．（2024·四川雅安·三模）设分别为椭圆的左右焦点，椭圆的短轴长为是直线上除外的任意一点，且直线的斜率与直线的斜率之比为3. (1)求椭圆的方程； (2)过右焦点的直线交椭圆于两点，设直线的斜率分别为，判断是否成等差数列？并说明理由. 参考答案： 1．B 【分析】求出⊙C圆心坐标，半径，，求出和，求出四边形的面积. 【详解】 由题意得⊙C圆心为，半径，， 则， 则四边形的面积. 故选：B. 2．B 【分析】根据已知条件及三角形相似，利用向量的关系及点在直线上，结合圆上的点到定点的距离的最值即可求解. 【详解】由题意作出图形如图所示 设，，由∽,可得， 所以，即，即， 所以， 所以， 所以点， 将点的坐标代入直线中， 化简可得（不同时为）， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以的最大值为 故选：B. 3．C 【分析】设，切点为，利用导数的几何意义以及两点斜率公式可得是关于的方程的两根，结合垂直，可得，结合韦达定理可得，对比即可得解. 【详解】 设，显然抛物线C：的切线斜率不为0， 而两条相互垂直的切线，它们的斜率不为0，且一定存在，故切点不可能是原点， 设切点为， 或， 当时，，当时，， 所以无论如何都有， 所以，同理，注意到， 所以是关于的方程的两根，， 一方面：因为垂直，所以， 另一方面：由韦达定理有， 综合以上两方面，有，这意味着点在定直线上运动，此时满足，符合题意. 故选：C. 4．B 【分析】设，由直线的斜率公式，结合的坐标满足双曲线方程，可得的关系，由离心率公式即可求解. 【详解】由题意得， 设，可得， 即， 又直线与直线斜率之积为2， 得， 则离心率. 故选：. 5．A 【分析】设，根据中点关系得，从而根据向量垂直的坐标形式列式求得，根据点在双曲线上列方程求解即可a、c的关系式，利用离心率的定义转化为的方程求解即可. 【详解】由题意，，设，则， 因为为线段的中点，所以，即，则， 因为，所以，即， 又在双曲线上，所以， 结合整理得，所以， 解得或（舍去），由，解得. 故选：A 6．D 【分析】分以及两种情况分别进行求解即可求出结果. 【详解】因为，所以， 若（当时，面积一样），则，， 所以； 若，设，则，所以， 故，符合题意； 综上：的面积为1或. 故选：D 7．B 【分析】首先表示出双曲线的渐近线方程与焦点坐标，依题意求出点坐标，即可求出直线的方程，再由点到直线的距离公式及得到、的关系，即可求出离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为，上焦点，下焦点， 由，解得，不妨取， 则直线的方程为，即， 又点到的距离为，则， 即，又，所以，即， 所以离心率. 故选：B 8．B 【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，由与有公共点求的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】圆，即，圆心为，半径， 若与有公共点，则，解得， 所以由“与有公共点”推不出“”，故充分性不成立； 由推得出与有公共点，故必要性成立； 所以“与有公共点”是“”的必要不充分条件. 故选：B 9．B 【分析】对①：借助等角定理，找到与平行，与相交的线段，计算即可得；对②：借助外接球与内切球的性质计算即可得；对③：空间中的距离和的最值问题可将其转化到同意平面中进行计算.对④，计算的值，并比较它们的大小，即可得出当点在平面内时，点在三角形的内切圆上运动，结合对称性即可验算. 【详解】对①：连接，取中点，连接、， 由题意可得、为同一直线，、、、四点共面， 又，故四边形为菱形， 故，故异面直线与所成的角等于直线与所成的角， 即异面直线与所成的角等于，故①错误； 对②：由四边形为正方形，有， 故四边形亦为正方形，即点到各顶点距离相等， 即此八面体的外接球球心为，半径为， 设此八面体的内切球半径为， 则有，化简得， 则此八面体的外接球与内切球的体积之比为，故②正确； 对③：将延折叠至平面中，如图所示： 则在新的平面中，、、三点共线时，有最小值， 则，故③错误. 对于④，设三角形的内切圆半径为，则由等面积法，有， 解得， 由②可知，点到平面的距离为， 所以， 这表明当点在平面内时，点在三角形的内切圆上运动， 它的周长是， 根据对称性可知动点的轨迹长度为，故④正确. 正确的编号有②④. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题④中，关键点在于得出当点在平面内时，点在三角形的内切圆上运动，根据对称性即可顺利得解. 10．A 【分析】设的中点为，的中点为，根据点差法，斜率公式可得四点共线，从而建立方程，即可求解. 【详解】设，则 ，，，， 所以，， 所以，， 所以，， 因为，所以， 设的中点为，的中点为，则，， 所以，所以三点共线， 因为直线与直线交于点，且点的坐标为， 根据及相似比，易得四点共线， 所以， 所以，所以， 所以，得， 所以， 故选：A 11．3 【分析】方法一：在中，利用余弦定理和正弦定理得到，，，然后利用余弦定理求即可； 方法二：建系，根据得到点在以为焦点，以3为长轴的椭圆上，然后结合椭圆方程和两点间距离公式计算. 【详解】因为，所以， 整理得， 又，当且仅当时等号成立；，当且仅当时等号成立，所以为等边三角形； 方法一：如图，设，，． 在中，由余弦定理得，， ． 在中，由正弦定理得， ，． 在中，由余弦定理得 ，等号在时成立． 所以的最大值为3． 方法二：以为轴，以中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． 设，， 点在以为焦点，以3为长轴的椭圆上，这个椭圆方程为． 设，则， ，． 由于，所以． 设，．由得， 或．经验证当即时，最大，且． 故答案为：3. 12． 【分析】由给定的抛物线方程直接求出准线方程即得. 【详解】抛物线的准线方程为. 故答案为： 13．4 【分析】设，，设直线，代入抛物线方程，消去得，根据韦达定理可得，，根据导数的几何意义可得切线方程，求出点的坐标，即可求出的值． 【详解】设，，抛物线C在A、B两点处的切线为，    由,且直线的倾斜角为， 因此，设直线：，代入抛物线方程，消去得，， 则，， ， 由抛物线，可得对求导数，得到y′x， 则抛物线在两点处的切线的斜率为，切线的斜率为， 直线的方程为，即，① 则直线l2的方程为，即，②， 由①②解得，， 点P的坐标为， 根据两点间距离公式：， 故答案为：4． 【点睛】结论点睛：过抛物线焦点的直线与抛物线相交于不同的两点，抛物线在两点处的切线相交于点，则点的轨迹为抛物线的准线. 14． 【分析】首先求出抛物线的焦点坐标，再求出圆心到直线的距离，设圆的半径为，则，解得即可. 【详解】抛物线的焦点为， 所以圆心到直线的距离， 又，设圆的半径为，则，解得. 故答案为： 15．/ 【分析】由确定与线段的位置关系，求出到渐近线的距离，接着由的关系结合以及离心率公式即可求解. 【详解】因为，故即， 故、、三点共线，且为线段靠近一端的四等分点， 又由题意知，斜率为正的渐近线方程为， 所以到渐近线的距离为，即， 所以，， 所以， 又由渐近线性质知， 故， 即，故， 故答案为：. 16． 【分析】由双曲线的定义，得到，则，当三点共线时，取得最大值，结合直线的斜率小于渐近线的斜率，即可求解. 【详解】由双曲线的定义，为双曲线右支上任意一点，可得，即， 则， 当三点共线时，取得最大值， 由点为双曲线右支上任意一点，可得直线的斜率小于渐近线的斜率， 即，所以，即双曲线的离心率的取值范围为. 故答案为：. 17． 2 【分析】设内切圆分别与三边相切于，可求得的内切圆的圆心横坐标为a，同理可得的内切圆的圆心横坐标为，进而由，可得，求解可得双曲线的离心率；由已知可得，利用三角恒等变换可求的取值范围. 【详解】设内切圆分别与三边相切于， 由切线长定理可得 所以 ，所以， 所以点的横坐标为， 的内切圆的圆心横坐标为a， 同理可得，的内切圆的圆心横坐标为， 又，则， 即，解得． 由已知可得由， 所以， ， 因为，所以，所以一条渐近线的倾斜角为，所以， 所以，所以. 故答案：①；②． 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线中三角形内切圆和离心率相关问题的求解，解题关键是能够利用三角形内切圆的知识点结合双曲线的性质，求得之间的等量关系从而求得结果. 18． 【分析】根据渐近线与圆相切，利用圆心到渐近线距离等于半径，求出，从而得到渐近线方程. 【详解】设双曲线的一条渐近线方程为 因为双曲线的渐近线与圆相切 所以圆心到渐近线距离为a ，结合得， 所以双曲线的渐近线方程为， 故答案为：. 19．6 【分析】取中点，则，问题转化为求的最小值，再利用点到直线的距离公式求的最小值即可. 【详解】如图：取中点，因为，圆的半径为2，所以，点的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆，. ， 由点到直线距离公式，得：，所以， 所以. 故答案为：6 20． 【分析】根据双曲线的性质，，，转化条件得，再通过即可得解. 【详解】如图所示，根据双曲线的对称性得，在中， 又因为, 所以在中，, 即 所以， 又因为为通径，即，， 所以，且， 所以， 即， 即， 解得， 又因为双曲线离心率， 所以该双曲线的离心率取值范围为：. 故答案为：.    21．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件求的值，确定椭圆的标准方程. （2）因为直线的斜率不为0，可设直线方程为：，与直线方程联立可得点坐标，与椭圆方程联立，可得点坐标，进一步写出直线的方程，令得点坐标，列出直线的斜率，化简即可. 【详解】（1）． 点在椭圆上， ，解得或（舍） ．椭圆的方程为． （2）如图： 易知直线斜率不为0，设直线方程为 直线方程为：， 联立，得． 由，得， ． 直线的斜率为：． 直线方程为：． 令，得． ． 所以直线的斜率为定值. 22．(1) (2) 【分析】（1）设出点坐标，根据垂直关系写出对应向量关系式，由此可得轨迹的方程； （2）设出直线的方程，根据直线与曲线相切得到关于的表达式，然后通过联立方程结合韦达定理以及弦长公式表示出的面积，最后利用基本不等式求解出最大值. 【详解】（1）设，则，所以， 因为，所以， 所以P点到轨迹为； （2）设，， 因为为曲线的切线，联立可得， 所以， 由可得， 所以， 且，， 所以， 又因为原点O到AB的距离为， 所以， 当且仅当，即或时等号成立（此时满足）， 综上可知面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的常用方法： （1）利用弦长以及点到直线的距离公式，结合底高，表示出三角形的面积； （2）根据直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的情况，将三角形的面积表示为或； （3）借助三角形内切圆的半径，将三角形面积表示为（r为内切圆半径）. 23．(1)（且） (2)存在，或 【分析】（1）设：，：，直线与的交点是N，且，消去即可得解； （2）通过得到，然后求解点的坐标. 【详解】（1）由已知，，则：，：， ∴点满足，即，∴①②， ∴点P的轨迹方程是（）， 又依题意可知， 综上可知：直线与的交点N的轨迹M的方程为：（且）； （2）由题意知直线：，与椭圆方程联立， 消元得，， ， 同理可得， 所以，即． 由（1）知，所以，令点，，解得， ∴存在或满足题意． 【点睛】关键点点睛：第二问的关键是先通过韦达定理，把转化成，然后即可求出点的坐标. 24．(1)，和 (2) 【分析】（1）根据极坐标方程及得到，对左右两边同时平方，由，整理即可得到直角坐标方程； （2）联立方程解出交点的坐标，进而求得三角形面积. 【详解】（1）由及得， ， ， ，，，， ，方程为和. （2）得或， 得或， 以曲线与曲线的公共点为顶点的多边形为三角形，其面积为. 25．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由抛物线的准线方程求解，即可求解抛物线标准方程. （2）设出直线AB的方程，然后与抛物线方程联立，韦达定理，推出两切线方程，进而求得点，点，从而求出直线方程，联立抛物线方程，结合弦长公式求出，代入运算化简即可证明. 【详解】（1）因为抛物线的准线为：，设，则，所以， 故抛物线E的标准方程为. （2）易知抛物线E的焦点， 设直线AB的方程为，、， 联立可得， 由韦达定理可得，， 接下来证明抛物线E在点A处的切线方程为， 联立可得，即，即， 所以，直线与抛物线E只有唯一的公共点， 所以，AC的方程为， 同理可知，直线BD的方程为， 在直线AC的方程中，令，可得，即点， 同理可得点，所以，直线的方程为，即， 设点、，联立，可得， 由韦达定理可得，， 所以， 同理可得， 所以 ， 故为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 26．(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）由已知可得，，求解即可； （2）分直线斜率是否存在两种情况讨论，若直线斜率存在，设方程为．设，，联立方程组可得，由可得，进而可得弦长，利用换元法可求最小值； （3）r为点O到直线PM的距离，结合（2）的结论，可求. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为， 由双曲线定义可得，， 故，又． 所以，． 所以的方程为． （2）①若直线斜率不存在，则设，则， 因为，所以， 所以，所以． 所以． ②若直线斜率存在，设方程为．设，． 联立，消去y整理得，， 则． 由韦达定理，得， 于是，即． 故． 令，则，． 所以． 因为，所以当时，． 综上，的最小值为． （3）如图所示，设PM、PN与圆O的切点分别为E、F，则． 又，则． 所以，所以． 取MN中点Q，若O和Q不重合，则． 所以． 又因为M、N在椭圆上， 则，所以， 所以，所以， 又，，所以．矛盾．所以O和Q重合，即M、N关于原点对称．所以． 设直线的方程为，则r为点O到直线PM的距离， 所以．由（2）可知，， 故，即． 又当MN斜率不存在时，也成立． 综上，． 所以存在存在定圆满足条件，此时. 【点睛】解析几何承载着考查数学运算核心素养的功能，“多想少算”绝非“空想不算”．用代数方法研究几何问题是解析几何的核心，适度地挖掘几何性质可减少一定的计算． 27．(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件和椭圆中的关系，求出的值，可得椭圆的标准方程. （2）当直线斜率存在时，设直线方程为，把直线方程代入椭圆方程，消去，得到关于的一元二次方程，韦达定理，将用表示，消k得；当直线斜率不存在时，也满足；从而点M在直线上，再结合椭圆定义及点关于直线的对称性求得距离和的最小值即可，注意检验存在性. 【详解】（1）由题意即，解得，所以， 所以椭圆E的方程为； （2）因为，所以点在椭圆E外，设， 当直线斜率存在时，设直线方程为， 联立得， 由得， 解得或，所以，， 由得，所以， 则，消去k得； 当直线斜率不存在时，也满足， 所以点M在直线上且在椭圆E的内部，设关于直线对称点， 则，解得， 所以，此时直线方程为， 由得，点M在椭圆内部，使得的最小值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 28．(1)； (2) 【分析】（1）由题意，设出点Q的坐标，根据题目所给信息列出等式求出p的值，进而可得抛物线的方程； （2）设出直线的方程和A，B两点的坐标，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理求出点D，G的坐标，即可求出的表达式，再进行求解即可． 【详解】（1）不妨设， 因为抛物线C上一点Q到焦点F的距离为4，点Q到y轴的距离为， 所以， 整理得，解得或（舍去）， 则抛物线C的方程为； （2）由题意知直线的斜率必存在，， 不妨设直线AB的方程为，， 联立，消去y并整理得，， 由韦达定理得， 易知直线OA的方程为， 因为轴，所以，即， 所以， 因为DF⊥AE，所以， 则直线AE的方程为， 因为，所以， 此时， 因为， 所以， 由题意知，则， 所以． 故的取值范围为． 【点评】易错点点睛：本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题．容易出错的地方在于计算，并且计算基本都是相关字母参数的运算，因此要求十分细心才可以. 29．(1) (2) 【分析】（1）由题意得，，再利用求出，从而可得椭圆的标准方程； （2）当直线PQ与直线EF中有一条直线斜率为0时，求出的值，当直线PQ与直线EF的斜率均不为0时，设，将直线方程代入椭圆方程化简再利用根与系数的关系，表示出，再由两直线垂直的关系表示出，然后代入化简可求得其取值范围. 【详解】（1）由题意得，，所以． 则椭圆的方程为． （2）①当直线PQ与直线EF中有一条直线斜率为0时，不妨设PQ的斜率为零，则 ,, 所以 所以， ② 当直线PQ与直线EF的斜率均不为0时，设， 由，可知，， ， 设，则，， 因为过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于P，Q和E，F， 所以用换，可得， 则， 令，则，则， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以， 即， 综上，的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，第（2）问解题的关键转化，考查转化思想和计算能力，属于较难题. 30．(1) (2)成等差数列，理由见解析 【分析】（1）由椭圆的短轴长为,求出，再由是直线上除(2,0)外的任意一点，且,求出，进而得到椭圆标准方程； （2）①当直线的斜率为时，不妨设，表达斜率，推出结论；②当直线的斜率不为时，设的方程：. 联立方程，求出，表达出来斜率，得到结论. 【详解】（1）由已知得. 设，则，, 所以椭圆的方程为. （2）①当直线的斜率为时，的方程：， 不妨设， ， 所以 ②当直线的斜率不为0时，如图，设的方程：. 由，得. 则 又，所以. 综上，.所以成等差数列. 学科网（北京）股份有限公司 $$