三角函数与解三角形-四川省部分市2023-2024学年高三下学期数学模拟试题分类汇编

四川省部分市2023-2024学年下学期高三模拟试题分类汇编 ----三角函数与解三角形 一、单选题 1．（2024·四川德阳·模拟预测）把函数图象上所有点先向左平移个单位长度，再将所得曲线图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川乐山·三模）已知，若存在常数，使得为奇函数，则的可能值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川资阳·二模）已知，是方程的两个根，则（    ） A． B．2 C． D． 4．（2024·四川乐山·三模）在中，点是边上靠近点的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川雅安·三模）已知函数是偶函数，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 6．（2024·四川达州·二模）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·四川自贡·三模）函数（，）的部分图象如图所示，的图象与y轴交于M点，与x轴交于C点，点N在图象上，点M、N关于点C对称，下列说法错误的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数的图象关于点对称 C．函数在单调递增 D．函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为奇函数 8．（2024·四川成都·三模）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在平面直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数（，，）来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的编号是（    ） ①函数的图象关于点成中心对称； ②函数的解析式可以为； ③函数在上的值域为； ④若把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位，则所得函数是 A．①③ B．②③ C．③④ D．①④ 9．（2024·四川攀枝花·三模）将函数的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后得到的图象与y＝ksinxcosx（k＞0）的图象关于，则m+k的最小值是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数，若使得的图象在点处的切线与轴平行，则的最小值是（    ） A．2 B． C．1 D． 二、填空题 11．（2024·四川资阳·二模）已知函数（），若存在，，使得，则的最小值为 . 12．（2024·四川乐山·三模）已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是 . 13．（2024·四川凉山·三模）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，．若，则的取值范围是 ． 14．（2024·四川达州·二模）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象．若，则的最小值为 ． 15．（2024·四川宜宾·三模）已知点O，A，B，C均在同一平面内，，，，当取最大值时， ． 16．（2024·四川内江·三模）在中，角A的平分线AD与BC边相交于点D，若，则的最小值为 ． 17．（2024·四川成都·模拟预测）的外接圆半径为1，，则的面积为 ；当角达到最大时， ． 18．（2024·四川绵阳·模拟预测）在钝角中，，，分别是的内角，，所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是 . 19．（2024·四川自贡·三模）如图，D为的边AC上一点，，，，则的最小值为 . 20．（2024·四川南充·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，则方程在上实数根的个数为 . 三、解答题 21．（2024·四川内江·模拟预测）已知. (1)求的单调增区间和对称中心； (2)在锐角 中，A，B，C的对边分别是..求的值域. 22．（2024·四川绵阳·模拟预测）三角形三内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若的面积等于，为边的中点，当中线的长最短时，求边的长. 23．（2024·四川南充·模拟预测）在中，. (1)求； (2)若，求周长的最大值. 24．（2024·四川攀枝花·三模）请在①，②， ③三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，所对的边分别是，已知_____． (1)求角； (2)若，点在边上，为的平分线，求边长的值． 25．（2024·四川成都·模拟预测）设，. (1)若x，y均为锐角且，求z的取值范围； (2)若且，求的值. 26．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知在中，D为BC边的中点，且． (1)若的面积为，，求； (2)若，求的周长的最大值． 27．（2024·四川内江·三模）在斜中，角A、B、C所对的边分别为． (1)求的值； (2)若，求的面积． 28．（2024·四川南充·三模）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边，记的面积为S，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 29．（2024·四川泸州·三模）的内角，，的对边分别为，，，已知，且的面积为. (1)求的值； (2)若是边的中点，，求的长. 30．（2024·四川攀枝花·三模）请在①，②，③三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并完成解答． 的内角所对的边分别是，已知______． (1)求角； (2)若，点在边上，为的平分线，的面积为，求边长的值． 参考答案： 1．D 【分析】利用函数的平移变换和伸缩变换即可求解. 【详解】函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象； 再将所得曲线图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象. 故选：D. 2．A 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义，结合余弦型函数的奇偶性求解即得. 【详解】函数的定义域为，由为奇函数， 得是奇函数， 则必有函数是偶函数，函数是奇函数， 此时， 因此，当时，， 不存在整数，使得值为BCD， 当时，是奇函数. 故选：A 3．C 【分析】根据根与系数的关系结合两角和正切公式计算即可. 【详解】由题可知，，，则. 故选：C. 4．C 【分析】设，由勾股定理求出，由余弦定理求出可得，再由可得答案. 【详解】设，则， ， 由余弦定理得， ，解得，， 所以，， . 故选：C. 5．B 【分析】根据偶函数的定义，即可列关系式求解. 【详解】因为是定义域为的偶函数， 所以， 所以，即，则， 解得. 故选：B 6．A 【分析】首先判断函数的奇偶性，即可判断B、C；再利用特殊值排除D. 【详解】函数的定义域为， 且， 所以为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除B、C； 又，故排除D. 故选：A 7．C 【分析】A选项，根据M、N关于点C对称得到点横坐标，从而得到最小正周期；B选项，根据的图象关于点对称和最小正周期得到B正确；C选项，求出，将代入解析式求出，，从而利用整体法判断出在不单调；D选项，求出，得到其奇偶性. 【详解】A选项，点M、N关于点C对称，故， 设的最小正周期为，则，故，A正确； B选项，可以看出函数的图象关于点对称， 又的最小正周期， 故函数的图象关于点对称，B正确； C选项，又，故， ，故将代入解析式得， 解得， 又，故当且仅当时，满足要求，故， 又当时，，故， 则， 当时，， 由于在上不单调， 故在上不单调，C错误； D选项，，定义域为R， 又，为奇函数，D正确. 故选：C 8．B 【分析】根据图象求出函数表达式，对于①，由代入检验法判断；对于②，由诱导公式检验；对于③，由整体代入法求值域检验；对于④，由平移、伸缩变换法则验算即可判断. 【详解】由图可知，所以， 且，所以， 又因为，所以只能， 所以， 对于①，，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，当时，，此时的取值范围是， 从而函数在上的值域为，故③正确； 对于④，若把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位， 则所得函数是，故④错误； 综上，正确的编号是②③. 故选：B. 9．A 【分析】由半角公式可得函数y的解析式，再由题意可得，可得k，m的表达式，进而可得m的最小值，求出m+k的最小值． 【详解】因为， 由题意可得函数为， 即的图象与的图象关于， 设为上的任意一点， 则该点关于对称的点在上， 所以， 由题意可得，两函数图象上的最高点也关于， 所以，则， 又， 所以， 解得， 因为m＞0，所以m的最小值为， 所以． 故选：A． 10．D 【分析】先利用三角恒等变换公式化简函数，根据题意得函数在上存在对称轴，利用整体代换列不等式，解不等式即可求出最值. 【详解】， 因为使得的图象在点处的切线与轴平行， 所以函数在上存在最值，即函数在上存在对称轴， 令，得， 因为，所以， 即，则， 又，故时，取最小值为. 故选：D 11．/ 【分析】根据三角恒等变换化简,再应用最值得出自变量范围,即可得出参数范围, 【详解】. 因为存在，，使得， 所以，解得. 故答案为： 12． 【分析】先利用三角函数恒等变换公式把函数化成，可求出的系列正根，根据函数在上根的个数，可确定的取值范围. 【详解】因为， 由（）. 令可得. 因为在上有且仅有3个零点，所以， 故的取值范围是：. 故答案为： 13． 【分析】先应用向量平行结合正弦定理得出角，再根据诱导公式减少未知量，最后应用三角恒等变换化简应用三角函数值域求解. 【详解】因为，所以, 所以，，故， 又因为三角形为锐角三角形，所以, 所以 ， 因为三角形为锐角三角形 所以，即， 所以 所以 所以. 所以取值范围是， 故答案为： 14．/ 【分析】由三角恒等变换化简，进而得出，由即可求解． 【详解】 ， 将的图象向左平移个单位得， 因为，所以，即， 所以，即， 因为，所以的最小值为， 故答案为：． 15． 【分析】根据向量运算得出边长，再应用余弦定理结合基本不等式即可求出边长. 【详解】因为，, 所以, 在中，设， 所以, 当余弦值最小时，最大， 当且仅当，即，最大， 所以满足条件. 故答案为：. 16．/ 【分析】根据三角形的面积公式列方程，结合基本不等式的妙用即可得解. 【详解】依题意，，设， 依题意是角A的角平分线，， 所以，，    由三角形的面积公式得， 整理得，则， 所以 . 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 17． /0.5 /0.125 【分析】由正弦定理可得，再由三角形的面积公式即可得出答案；由两角和与差的余弦公式和余弦函数的值域可得，令，对求导可得当达到最大时，且，化简，即可得出答案. 【详解】由正弦定理可得， 所以，解得：， 所以的面积为：， 因为， 则， 所以， 令， 因为 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以存在，，使得， 则时，，的最大为， 且达到最大时，且， 则． 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于由两角和与差的余弦公式和余弦函数的值域可得，令，对求导可得当达到最大时，且，化简，即可得出答案. 18． 【分析】延长交于，由为的重心，可得，根据，利用余弦定理可得，进而可得为锐角，设为钝角，则，，，进而计算可得，利用余弦定理可得的取值范围. 【详解】延长交于，如下图所示： 为的重心，为中点且，，，； 在中，； 在中，； ，，即， 整理可得：，为锐角； 设为钝角，则，，， ，， 解得：，，， ， 又为锐角，，即的取值范围为. 【点睛】本题考查余弦定理的综合应用，利用已知求得是关键，考查运算求解能力，难度较大. 19． 【分析】设，则，在中，运用余弦定理可得，再由，，得，代入根据二次函数的最值可求得当时，有最小值，据此即可求解. 【详解】设，则， 在中，，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 所以，当时，有最小值，此时取最小值， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的余弦定理，二次函数的最值，三角形的面积公式，关键在于表示的长，求得何时取得最小值，属于中档题. 20．5 【分析】根据三角函数图象变换规律求出，再由是的一个单调递增区间，可求出的值，从而可求出的解析式，再由得，然后由求解即可. 【详解】因为将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象， 所以， 所以的最小正周期为， 所以是的半个周期， 因为是的一个单调递增区间，所以， 所以，得， 因为，所以， 所以， 当时，， 由，得 ，或，或，或，或， 所以方程在上实数根的个数为5， 故答案为：5 21．(1)；； (2). 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式，结合正弦函数的图象的递增区间和对称中心易得函数的单调增区间和对称中心； （2）由求得，设，由正弦定理将其化成，利用锐角三角形求出，继而利用函数单调性求出，最后求在上的值域即得. 【详解】（1）由 . 由解得，， 即的单调增区间为； 由解得，，故的对称中心为. （2）由可得，， 因是锐角三角形，故则， 故，解得，， 由，设，由正弦定理可得，, 由解得，，则,,故有. 于是，， 而在上单调递减，在上单调递增，且 ， 则的值域为. 22．(1) (2). 【分析】（1）由正弦定理以及条件边化角得，再结合辅助角公式即可求解. （2）先由面积公式得，再在中，由余弦定理结合基本不等式即可得中线的最小值，进而可得长. 【详解】（1）在中，由正弦定理得，. 因为,，所以， 所以，即， 又，，则， 所以. （2）由（1）得，所以， 在中，由余弦定理可得： ， 当且仅当，即，时，等号成立，    此时， 故. 23．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 即， 由余弦定理， ，. （2）因为， 即， ，当且仅当时取等号， ，即， 又，所以，当且仅当时取等号， 周长， 即周长的最大值为 24．(1)； (2) 【分析】（1）选①，由余弦定理可得的值，再由角的范围，得到角的大小即可；选②，由正弦定理及辅助角公式，可得的值，再由角的范围，得到角的大小即可；选③，由三角形内角和定理及半角公式得到角的大小即可； （2）由角平分线的性质结合等面积法列出方程，得到的值即可． 【详解】（1）选①，因为， 则由余弦定理可得， 整理可得，由余弦定理可得， 可得，因为，所以； 选②，， 所以， 整理可得：， 因为， 所以，因为，可得； 选③，，可得， 可得， 因为，所以，可得； （2）在中，， 可得，记为①， 又，记为②， 由①②可得， 解得或（舍去）， 所以边长． 25．(1) (2) 【分析】（1）由题设条件求得，把表示成关于的函数形式，再整理成对勾函数，利用其单调性即可求得z的取值范围； （2）将条件等式化切为弦，逆用差角公式求得，再利用差角公式求得，最后代入和角公式计算即得. 【详解】（1）由，可得，， 所以 记，因，可得，因函数在上单调递减，故，则， 故的取值范围是. （2），且， 则：，即得：， 又由，整理得：， 故. 26．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用三角形的面积公式，求得，由余弦定理，求得，再由正弦定理求得，进而求得的值； （2）设，分别在和中，利用余弦定理，列出方程求得，结合，即可求解. 【详解】（1）解：因为的面积为，且为的中点， 可得， 又因为，可得，所以 在中，由余弦定理得 ，所以， 由正弦定理，可得， 因为且， 可得， 即为钝角，所以为锐角，所以. （2）解：设，分别在和中， 由余弦定理， 即，同理可得， 所以，可得， 又因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以周长的最大值为． 27．(1) (2) 【分析】（1）化简可得，结合，解方程即可求得答案； （2）利用二倍角公式可求出，继而求得，再由正弦定理求出a，由三角形面积公式，即可求得答案. 【详解】（1）由于， 故，则， 代入，得， 解得或，由于为斜三角形，故舍去； 则； （2）由，得， 则， 即，由于，故C为锐角， 则，故， 又，由正弦定理得， 则， 所以. 28．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先将原函数化成一角一函数形式，然后由正弦函数性质，确定单调递增区间即可； （2）若，先由确定的值，然后利用确定的值；进而得到的值，有余弦定理及勾股定理得出结论即可；若由，先求，再求，最后得出结论；若由，先求，进而求出，最后求出. 【详解】（1）由函数， 可得， 化简得：， 因为， 所以， 所以函数的单调递增区间为. （2）若 由，所以，所以， 由，知，因为，所以， 所以，所以， 所以， 由余弦定理：， 将代入得：，， 所以. 若由，由由，知， 由，所以， 由余弦定理：结合， 所以，，所以， 所以. 若由，由，所以，所以， 所以，所以， 再由得：， 所以，所以， 所以，即， 所以. 29．(1) (2) 【分析】（1）借助余弦定理与面积公式，结合三角函数基本关系即可得； （2）借助余弦定理与面积公式，结合题目条件可得、，再结合向量的数量积与模长的关系计算即可得. 【详解】（1）由余弦定理可得，即， 由面积公式可得，即， 则； （2）由余弦定理可得， 又，故，即， 由面积公式可得，即， 即有，即，故， 由是边的中点，故， 故 ，即. 30．(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）选①，利用余弦定理求解即得；选②，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦求解即得；选③，利用诱导公式及二倍角公式，结合辅助角公式计算即得. （2）利用三角形面积公式建立方程求解即得. 【详解】（1）选①，由及余弦定理，得， 整理得，则， 而，所以. 选②由及正弦定理，得， ，而，则， 即，又，所以． 选③，由，得，即， 于是，即，而， 所以，即. （2）在中，由点在边上，为的平分线，得， 即，则， 又，联立消去得， 而，解得，所以边长． 学科网（北京）股份有限公司 $$