精品解析：北师大版2023-2024学年八年级数学上册综合期末测试题

2023--2024学年度第一学期 八年级数学上册综合期末测试题 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是( ) A 3，4，5 B. 1，1， C. 8，12，13 D. 、、 3. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 二元一次方程组的解是　　 A B. C. D. 5. 如图的四个选项中，函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 某小组长统计组内5人一天在课堂上的发言次数分别为3，3，0，4，5．关于这组数据，下列说法错误的是（　　） A. 众数是3 B. 中位数是0 C. 平均数3 D. 方差是2.8 7 在直角坐标系中，△ABC的顶点A（﹣1，5），B（3，2），C（0，1），将△ABC平移得到△A'B'C'，点A、B、C分别对应A'、B'、C'，若点A'（1，4），则点C′的坐标（　　） A. （﹣2，0） B. （﹣2，2） C. （2，0） D. （5，1） 8. 如图所示，∠AOB的两边 OA ，OB均为平面反光镜，∠AOB ＝35°，在 OB上有一点 E， 从点 E射出一束光线经 OA上的点 D反射后，反射光线 DC恰好与 OB平行，则∠DEB的度数是（　　） A. 35° B. 70° C. 110° D. 0° 9. 如图，将正方形 OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为(1，)，则点C 的坐标为（ ） A. (﹣1，) B. (，1) C. ( ，3) D. ( ，2) 10. 甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，小明跑步从甲地前往乙地，一段时间后，小亮骑自行车从乙地前往甲地，两人都保持匀速．小亮先到达目的地，两人之间的距离y（km）与小明运动的时间t（h）的函数关系大致如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 小明比小亮先出发36分钟 B. 小明速度为10km/h C. 小亮的速度为20km/h D. 小亮出发1h后与小明相遇 二、填空题：（每小题3分，共15分） 11. 计算： ________． 12. 已知的三条边长分别为，，，其中，满足，则该直角三角形的面积等于_________． 13. 若一个正数的平方根是和，则的值是_________． 14. 若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则__________． 15. 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是____________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 计算：． 17. 解方程组． 18. 如图，在中，平分，P为线段上一点，交延长线于点E，若，求的度数． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某学校为了了解本校1200名学生的课外阅读的情况，现从八年级随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行了调查，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，图①中m的值为 ． （2）根据样本的数据，估计该校一周的课外阅读时间大于6h的学生人数． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于轴对称的图形； （2）在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是__________，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为__________； （3）在y轴上确定一点P（注：不写作法，只保留作图痕迹），使的周长最小，最小值为__________． 21. 如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）用含t的代数式表示 ①当点P在线段上时，________． ②当点P在线段的延长线上时，________． （2）当为直角三角形时，求t的值； 五、解答题（二）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任派学习委员小明为获奖同学买奖品，要求每人一件．小明到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择．如果买4个笔记本和2支钢笔，则需86元；如果买3个笔记本和1支钢笔，则需57元． （1）求购买每个笔记本和钢笔分别为多少元？ （2）售货员提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10支，那么超出部分可以享受8折优惠，若买x（x＞0）支钢笔需要花y元，请你求出y与x的函数关系式； （3）在（2）的条件下，小明决定买同一种奖品，数量超过10个，请帮小明判断买哪种奖品省钱． 23. 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点M在线段和射线上运动． （1）求直线的解析式． （2）求的面积． （3）是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023--2024学年度第一学期 八年级数学上册综合期末测试题 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】被开方数中不含分母，不含能开得尽方的因数或因式即为最简二次根式，根据最简二次根式的定义依次判断即可． 【详解】解：A、=3，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，故符合题意； C、=，不是最简二次根式，不符合题意； D、=，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了最简二次根式的定义，熟记定义是解题的关键． 2. 以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是( ) A. 3，4，5 B. 1，1， C. 8，12，13 D. 、、 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可作出判断． 【详解】A. 32+42=52，能构成直角三角形，故不符合题意； B. 12+12=（）2，能构成直角三角形，故不符合题意； C. 82+122≠132，不能构成直角三角形，故符合题意； D.（）2+（）2=（）2，能构成直角三角形，故不符合题意， 故选C 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 3. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根及立方根．根据算术平方根及立方根进行求解即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 4. 二元一次方程组的解是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】， ①+②得：3x=6，即x=2， 把x=2代入①得：y=0， 则方程组的解为， 故答案选B. 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．解题的关键是熟练的掌握解二元一次方程组的方法. 5. 如图的四个选项中，函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一次函数的，，根据一次函数图像与系数的关系，从而求解． 【详解】解：一次函数的，， 根据一次函数图像与系数的关系得，一次函数经过二、三、四象限， 故选C． 【点睛】此题考查了一次函数图像与系数的关系，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 6. 某小组长统计组内5人一天在课堂上的发言次数分别为3，3，0，4，5．关于这组数据，下列说法错误的是（　　） A. 众数是3 B. 中位数是0 C. 平均数3 D. 方差是2.8 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、众数以及方差的定义判断各选项正误即可 【详解】A. 3，3，0，4，5众数是3，此选项正确； B. 0,3,3,4,5中位数是3，此选项错误； C. 平均数=(3+3+4+5)÷5=3，此选项正确； D. 方差S2= [(3−3)2+(3−3)2+(3−0)2+(3−4)2+(3−5)2]=2.8，此选项正确； 故选B 【点睛】本题考查了方差， 加权平均数， 中位数， 众数，熟练掌握他们的概念是解决问题的关键 7. 在直角坐标系中，△ABC的顶点A（﹣1，5），B（3，2），C（0，1），将△ABC平移得到△A'B'C'，点A、B、C分别对应A'、B'、C'，若点A'（1，4），则点C′的坐标（　　） A. （﹣2，0） B. （﹣2，2） C. （2，0） D. （5，1） 【答案】C 【解析】 【分析】根据点A的平移规律，求出点C′的坐标即可． 【详解】解：∵A（﹣1，5）向右平移2个单位，向下平移1个单位得到A′（1，4）， ∴C（0，1）右平移2个单位，向下平移1个单位得到C′（2，0）， 故选：C． 【点睛】本题考查平移变换，坐标与图形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8. 如图所示，∠AOB的两边 OA ，OB均为平面反光镜，∠AOB ＝35°，在 OB上有一点 E， 从点 E射出一束光线经 OA上的点 D反射后，反射光线 DC恰好与 OB平行，则∠DEB的度数是（　　） A. 35° B. 70° C. 110° D. 0° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线，三角形外角定理，本题的关键是掌握平行线的性质，三角形外角定理，属基础题 . 由题意知反射光线恰好与平行，所以；是入射光线，是反射光线，根据平面反光镜的原理，那么，因为，所以； 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∵， ∴， 故选:B 9. 如图，将正方形 OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为(1，)，则点C 的坐标为（ ） A. (﹣1，) B. (，1) C. ( ，3) D. ( ，2) 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据同角的余角相等求出∠OAD=∠COE，再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD，CE=OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可． 【详解】如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E， ∵四边形OABC是正方形， ∴OA=OC，∠AOC=90°， ∴∠COE+∠AOD=90°， 又∵∠OAD+∠AOD=90°， ∴∠OAD=∠COE， 在△AOD和△OCE中， ， ∴△AOD≌△OCE（AAS）， ∴OE=AD=，CE=OD=1， ∵点C在第二象限， ∴点C的坐标为（-，1）． 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 10. 甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，小明跑步从甲地前往乙地，一段时间后，小亮骑自行车从乙地前往甲地，两人都保持匀速．小亮先到达目的地，两人之间的距离y（km）与小明运动的时间t（h）的函数关系大致如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 小明比小亮先出发36分钟 B. 小明的速度为10km/h C. 小亮的速度为20km/h D. 小亮出发1h后与小明相遇 【答案】D 【解析】 【分析】由图像可得小亮骑自行车从乙地前往甲地0.6h=36分钟；可判断 A；由小明跑步从甲地前往乙地，行程是30km，所用时间是3小时，利用速度公式计算可判断B；由小亮骑自行车从乙地前往甲地，行程是30km，所用时间是1.5h，利用速度公式计算可判断C；设小亮出发t小时与小明相遇，利用方程20t+（t+0.6）×10=30，解方程可判断D． 【详解】解：A. ∵由图像可得小亮骑自行车从乙地前往甲地是0.6h=0.6×60分钟=36分钟； ∴小明比小亮先出发36分钟正确，故选项A不符合题意； B. ∵小明跑步从甲地前往乙地，行程是30km，所用时间是3小时， ∴小明的速度为10km/h正确，故选项B不符合题意； C. ∵小亮骑自行车从乙地前往甲地，行程是30km，所用时间是2.1-0.6=1.5h， ∴小亮的速度为=20km/h正确，故选项C不符合题意； D. 设小亮出发t小时与小明相遇， 根据题意20t+（t+0.6）×10=30， 解得t=0.8h， ∴小亮出发0.8h后与小明相遇，所以D选项不正确，故选项D符合题意． 故选择D． 【点睛】本题考查两人之间路程与时间的一次函数图像应用，仔细观察图像，掌握图像中横纵坐标的意义与拐点的意义，以及速度、路程与时间关系是解题关键． 二、填空题：（每小题3分，共15分） 11. 计算： ________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的除法计算，先把分子的两个分式化简，再合并同类二次根式，最后计算二次根式除法即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：5． 12. 已知的三条边长分别为，，，其中，满足，则该直角三角形的面积等于_________． 【答案】24或##或24 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，非负数的性质，三角形的面积，勾股定理，解决本题的关键是要分情况讨论． 利用非负数的性质列式求解即可得到a、b的值，然后分a是直角边和斜边两种情况，利用勾股定理求出另一直角边，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】∵ ∴ 解得： 当，是直角边时，； 当，是直角边时， ， ∴ 故答案为：24或． 13. 若一个正数的平方根是和，则的值是_________． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据一个正数有两个平方根，且互为相反数列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值即可． 【详解】解：根据题意得： 解得：a=-3 故答案为：-3 【点睛】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义（一个正数有两个平方根，且互为相反数）是解本题的关键． 14. 若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】先求出关于，的二元一次方程组的解，再代入二元一次方程，即可得出结果． 【详解】解：解二元一次方程组，得， 把代入，得 ，解得． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，及二元一次方程的解，解题的关键是理解代入消元的思想方法． 15. 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是____________． 【答案】(0，3) 【解析】 【分析】由题意根据轴对称做最短路线得出AE=B′E，进而得出B′O=C′O，即可得出△ABC的周长最小时C点坐标． 【详解】解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′， 此时△ABC的周长最小， ∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0）， ∴B′点坐标为：（-3，0），AE=4， 则B′E=4，即B′E=AE， ∵C′O∥AE， ∴B′O=C′O=3， ∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小． 故答案为：（0，3）． 【点睛】本题主要考查利用轴对称求最短路线以及平行线的性质，根据已知得出C点位置是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据二次根式的性质及运算法则、乘方运算、绝对值的性质分别计算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ． 17. 解方程组． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，将方程整理为，再运用加减法进行求解即可 【详解】解：方程组整理为： 得，， 解得，， 把代入②得，， 解得，， 所以，方程组的解为： 18. 如图，在中，平分，P为线段上一点，交的延长线于点E，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形外角的定义即可求出的度数，进一步求得的度数． 【详解】∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某学校为了了解本校1200名学生的课外阅读的情况，现从八年级随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行了调查，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，图①中m的值为 ． （2）根据样本的数据，估计该校一周的课外阅读时间大于6h的学生人数． 【答案】（1）40人，25 （2）估计该校一周课外阅读时间大于6h的学生人数约为360人 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）利用课外阅读时间为5小时的人数除以所占百分比可得本次接受随机抽样调查的学生人数，然后再求的值即可； （2）利用样本估计总体的方法可得答案． 【小问1详解】 接受随机抽样调查的学生人数：（人， ， 则， 故答案为：40；25； 【小问2详解】 (2)(人)， 答：估计该校一周的课外阅读时间大于6h的学生人数约为360人． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于轴对称的图形； （2）在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是__________，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为__________； （3）在y轴上确定一点P（注：不写作法，只保留作图痕迹），使的周长最小，最小值为__________． 【答案】（1）见解析 （2）， （3）见解析； 【解析】 【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C使得对应点，依次连接即可； （2）根据点B及其对应点可得其对称轴，继而得出点C的对称点的坐标； （3）连接交y轴于点P，连接，点P即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； ； 【小问2详解】 解：在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是直线，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为； 故答案为：直线，； 【小问3详解】 解：如图，点P即为所求， 的周长最小． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，最短路径等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用轴对称解决最短问题． 21. 如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）用含t的代数式表示 ①当点P线段上时，________． ②当点P在线段的延长线上时，________． （2）当为直角三角形时，求t的值； 【答案】（1）① ；② （2）或 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长度，然后再根据图形求解即可； （2）当为直角三角形时，分两种情况：①当为直角时，②当为直角时，分别求出此时的t值即可． 【小问1详解】 ∵，，， ∴． ∵动点P从点B出发沿射线以的速度移动， ∴． ①当点P在线段上时，． ②当点P在线段的延长线上时，． 故答案为：①；②； 【小问2详解】 ①当为直角时，点P与点C重合，，即； ②当为直角时，，， 在中，， 中，， 即：， 解得， 故当为直角三角形时，或； 【点睛】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理，以及分情况讨论． 五、解答题（二）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任派学习委员小明为获奖同学买奖品，要求每人一件．小明到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择．如果买4个笔记本和2支钢笔，则需86元；如果买3个笔记本和1支钢笔，则需57元． （1）求购买每个笔记本和钢笔分别为多少元？ （2）售货员提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10支，那么超出部分可以享受8折优惠，若买x（x＞0）支钢笔需要花y元，请你求出y与x的函数关系式； （3）在（2）的条件下，小明决定买同一种奖品，数量超过10个，请帮小明判断买哪种奖品省钱． 【答案】（1）每个笔记本14元，每支钢笔15元；（2）；（3）当买超过10件但少于15件商品时，买笔记本省钱；当买15件奖品时，买笔记本和钢笔一样；当买奖品超过15件时，买钢笔省钱． 【解析】 【分析】（1）设每个笔记本x元，每支钢笔y元，然后根据等量关系：买4个笔记本和2支钢笔，则需86元；买3个笔记本和1支钢笔，则需57元，列二元一次方程组，解答即可；（2）根据y=10支钢笔的钱数+超出部分的钱数，列出关系式即可；（3）分三种情况讨论. 【详解】解：（1）设每个笔记本x元，每支钢笔y元， ，解得， 答：每个笔记本14元，每支钢笔15元； （2）； （3）当时，x<15， 当时，x=15， 当时，x>15， 综上，当时，买笔记本省钱；当时，买笔记本和钢笔一样；当时，买钢笔省钱. 考点：1.二元一次方程组的应用；2.一次函数的应用. 23. 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点M在线段和射线上运动． （1）求直线的解析式． （2）求的面积． （3）是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，或或 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与面积问题，坐标与图像，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据题意用待定系数法直接求一次函数解析式即可； （2）令，求出点坐标即可求得的面积； （3）先求出的解析式，再分别讨论的面积是的面积的时M的横坐标的情况，即可求得点M的坐标情况． 【小问1详解】 解：设直线的解析式是， 根据题意得：， 解得：， 则直线的解析式是：； 【小问2详解】 解：在中，令，解得：， ， ； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 设的解析式是，则，解得：， 则直线的解析式是：， ∵的面积是的面积的时， ∴当M的横坐标是时， 在中，当时，，则M的坐标是； 在中，则，则M的坐标是． 则M的坐标是：或． 当M的横坐标是时， 在中，当时，，则M的坐标是； 综上所述：M的坐标是：或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$