12.2三角形全等的判定 学案 2024--2025学年人教版八年级数学上册

12.2三角形全等的判定-数学八年级上册人教版 ( 知识梳理 ) 全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． ( 典例分析 ) 1．（2023秋•清原县期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若∠D＝45°，求∠EGC的大小． 【解答】（1）证明：∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）； （2）解：∵△ABC≌△DEF，∠D＝45°， ∴∠A＝∠D＝45°，∠B＝∠DEF， ∴AB∥DE， ∴∠EGC＝∠A＝45°． 2．（2023秋•瑶海区期末）如图，已知在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠CAB＝∠EAF．BE交FC于O点， （1）求证：BE＝CF； （2）当∠BAC＝70°时，求∠BOC的度数． 【解答】（1）证明：∵∠CAB＝∠EAF， ∴∠CAB+∠CAE＝∠EAF+∠CAE， ∴∠BAE＝∠CAF， 在△BAE和△CAF中 ∴△BAE≌△CAF（SAS）， ∴BE＝CF； （2）∵△BAE≌△CAF， ∴∠EBA＝∠FCA， 即∠DBA＝∠OCD， ∵∠BDA＝∠ODC， ∴∠BAD＝∠COD， ∵∠BAC＝70°， ∴∠BAD＝70°， ∴∠COD＝70°， 即∠BOC＝70°． ( 真题特训 ) 一．选择题（共8小题） 1．（2024•成都模拟）如图，已知AB与CD相交于点O，AC∥BD．只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是（　　） A．AO＝DO B．AO＝BO C．∠A＝∠B D．∠AOC＝∠BOD 2．（2024•南岗区校级开学）如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（　　） A．2 B．4 C．5 D．不能确定 3．（2023秋•庆云县期末）如图，△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CF，BE＝CD，∠EDF＝a，则下列结论正确的是（　　） A．2a+∠A＝180° B．a+∠A＝90° C．2a+∠A＝90° D．a+∠A＝180° 4．（2023秋•东营期末）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（　　） A．AB＝5，BC＝6，∠A＝70° B．AB＝5，BC＝6，AC＝13 C．∠A＝50°，∠B＝80°，AB＝8 D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90° 5．（2024•重庆模拟）如图，在△ABC中，F是高AD、BE的交点，AD＝BD，BC＝6，CD＝2，则线段AF的长度为（　　） A．2 B．1 C．4 D．3 6．（2017秋•旺苍县校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，DE＝4cm，AD＝6cm，则BE的长是（　　） A．2cm B．1.5 cm C．1 cm D．3 cm 7．（2023秋•民权县期末）如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝（　　） A．28° B．59° C．60° D．62° 8．（2023秋•东阳市期末）如图是某纸伞截面示意图，伞柄AP平分两条伞骨所成的角∠BAC，AE＝AF．若支杆DF需要更换，则所换长度应与哪一段长度相等（　　） A．BE B．AE C．DE D．DP 二．填空题（共6小题） 9．（2023秋•浏阳市期末）如图，已知AB＝AD那么添加一个条件　 　后，可判定△ABC≌△ADC． 10．（2024•凉州区三模）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，且AB＝DE，请添加一个条件 　 　，使△ABC≌△DEF． 11．（2024•南岗区校级开学）如图，AE、BD分别是△ABC的高线和角平分线，交于点F，∠BDC＝135°，△ABC的面积是10，CE＝5，则线段AB的长度为　 　． 12．（2024春•坪山区期末）如图，BE⊥AE，CF⊥BE，垂足分别为E，F，D是线段EF的中点，CF＝BF，若AE＝4，DE＝3，则△ABC的面积是 　 　． 13．（2023秋•射洪市期末）如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m，点A到地面的距离AE＝1.5m，当他从A处摆动到A′处时，若A′B⊥AB，A′到地面DE的距离是 　 　m． 14．（2024春•南山区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，AD＝AC，点E在BC边上，CE＝BD，过点E作EF⊥CD交AB于点F，若AF＝2，BC＝8，则DF的长为　 　． 三．解答题（共6小题） 15．（2023秋•掇刀区校级期末）如图，点E为BC上一点，BE＝AC，BC＝DB，AC∥BD．求证：AB＝ED． 16．（2023秋•东辽县期末）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝BA，过点C作CE∥AB，且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC，AB于点F，G． （1）求证：△ABC≌△DCE； （2）若BD＝12，AB＝2CE，求BC的长度． 17．（2024•高青县校级一模）如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2． （1）求证：△ABE≌△CBD； （2）证明：∠1＝∠3． 18．（2024春•海州区校级期末）如图，AC⊥CF于点C，DF⊥CF于点F，AB与DE交于点O，且EC＝BF，AB＝DE．求证：AE＝DB． 19．（2024•凉州区二模）如图，点B、C、D在同一条直线上，AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD． （1）求证：△ABC≌△CDE． （2）若∠ACB＝37°，求∠AED的度数． 20．（2023秋•黄石港区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AC边上一点，延长ED至点F，使ED＝DF，连结BF． （1）求证：△BDF≌△CDE． （2）当AD⊥BC，∠BAC＝130°时，求∠DBF的度数． 12.2三角形全等的判定-数学八年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024•成都模拟）如图，已知AB与CD相交于点O，AC∥BD．只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是（　　） A．AO＝DO B．AO＝BO C．∠A＝∠B D．∠AOC＝∠BOD 【解答】解：∵AC∥BD， ∴∠A＝∠B，∠C＝∠D． A．添加AO＝DO不能判断△AOC≌△BOD，故此选项错误； B．添加AO＝BO可以根据AAS或AAS能够判断△AOC≌△BOD，故此选项正确； C．添加∠A＝∠B，不能判断△AOC≌△BOD，故此选项错误； D．添加∠AOC＝∠BOD，不能判断△AOC≌△BOD，故此选项错误． 故选：B． 2．（2024•南岗区校级开学）如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（　　） A．2 B．4 C．5 D．不能确定 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠BDH＝∠ADC＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠BAD＝∠ABC＝45°， ∴AD＝BD， ∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CAD+∠C＝90°，∠DBH+∠C＝90°， ∴∠DBH＝∠CAD， 在△BDH和△ADC中， ， ∴△BDH≌△ADC（ASA）， ∴AC＝BH， ∵AC＝4， ∴BH＝4． 故选：B． 3．（2023秋•庆云县期末）如图，△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CF，BE＝CD，∠EDF＝a，则下列结论正确的是（　　） A．2a+∠A＝180° B．a+∠A＝90° C．2a+∠A＝90° D．a+∠A＝180° 【解答】解：在△BDE和△CFD中，， ∴△BDE≌△CFD， ∴∠BED＝∠CDF， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝， ∵∠BDE+∠EDF+∠CDF＝180°， ∴180°﹣∠B﹣∠BED+a+∠CDF＝180°， ∴∠B＝a， 即＝a， 整理得2a+∠A＝180°． 故选：A． 4．（2023秋•东营期末）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（　　） A．AB＝5，BC＝6，∠A＝70° B．AB＝5，BC＝6，AC＝13 C．∠A＝50°，∠B＝80°，AB＝8 D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90° 【解答】解：A、已知两边和一角，不能画出唯一△ABC，故本选项不符合题意； B、因为5+6＜13，不能构成三角形，故本选项不符合题意； C、根据两角和一边，能画出唯一三角形，故本选项符合题意； D、根据∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 5．（2024•重庆模拟）如图，在△ABC中，F是高AD、BE的交点，AD＝BD，BC＝6，CD＝2，则线段AF的长度为（　　） A．2 B．1 C．4 D．3 【解答】证明：∵F是高AD和BE的交点， ∴∠ADC＝∠FDB＝∠AEF＝90°， ∴∠DAC+∠AFE＝90°， ∵∠FDB＝90°， ∴∠FBD+∠BFD＝90°， 又∵∠BFD＝∠AFE， ∴∠FBD＝∠DAC， 在△BDF和△ADC中， ， ∴△BDF≌△ADC（AAS）， ∴DF＝CD＝2， ∴AD＝BD＝BC﹣DF＝4， ∴AF＝AD﹣DF＝4﹣2＝2； 故选：A． 6．（2017秋•旺苍县校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，DE＝4cm，AD＝6cm，则BE的长是（　　） A．2cm B．1.5 cm C．1 cm D．3 cm 【解答】解：∵∠DCA+∠BCE＝90°，∠DCA+∠DAC＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE，∵AD⊥CE，BE⊥CE ∴∠ADC＝∠BEC 在△ACD和△CBE中， ∵， ∴△ACD≌△CBE（AAS） ∴CE＝AD＝6cm，CD＝BE， BE＝CD＝CE﹣DE＝6﹣4＝2（cm）． 故选：A． 7．（2023秋•民权县期末）如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝（　　） A．28° B．59° C．60° D．62° 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，且AE＝AE， ∴△CAE≌△DAE（HL）， ∴∠CAE＝∠DAE＝∠CAB， ∵∠B+∠CAB＝90°，∠B＝28°， ∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°， ∴∠AEC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣31°＝59°． 故选：B． 8．（2023秋•东阳市期末）如图是某纸伞截面示意图，伞柄AP平分两条伞骨所成的角∠BAC，AE＝AF．若支杆DF需要更换，则所换长度应与哪一段长度相等（　　） A．BE B．AE C．DE D．DP 【解答】解：∵AP平分∠BAC． ∴∠EAD＝∠FAD， 在△ADE与△ADF中， ， ∴△ADE≌△ADF（SAS）， ∴DF＝DE， 即所换长度应与DF的长度相等， 故选：C． 二．填空题（共6小题） 9．（2023秋•浏阳市期末）如图，已知AB＝AD那么添加一个条件　BC＝CD　后，可判定△ABC≌△ADC． 【解答】解：条件是BC＝DC， 理由是：∵在△ABC和△ADC中 ∴△ABC≌△ADC（SSS）， 故答案为：BC＝CD． 10．（2024•凉州区三模）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，且AB＝DE，请添加一个条件 　∠A＝∠D　，使△ABC≌△DEF． 【解答】解：可添加条件为∠A＝∠D或BC＝EF或BE＝CF或∠ACB＝∠F． 理由如下：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF． ∵在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）． 故答案为：BE＝CF或∠A＝∠D或BC＝EF（填一个即可）． 11．（2024•南岗区校级开学）如图，AE、BD分别是△ABC的高线和角平分线，交于点F，∠BDC＝135°，△ABC的面积是10，CE＝5，则线段AB的长度为　4　． 【解答】解：过C作CH⊥BA交BA延长线于H，如图， 则∠HAC＝∠ABD+∠ADB，∠HAE＝∠ABC+∠AEB， ∵AE⊥BC，∠BDC＝135°， ∴∠AEB＝90°，∠ADB＝45°， ∴∠HAC＝∠ABD+45°，∠HAE＝∠ABC+90°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABD， 即∠HAE＝2∠ABD+90°＝2（∠ABD+45°）， ∴∠HAE＝2∠HAC， 则∠HAC＝∠EAC， ∵AC＝AC，∠AEC＝∠H＝90°， ∴△AHC≌△AEC（AAS）， ∴CH＝CE＝5， ∵S△ABC＝10， ∴， 则， 解得AB＝4． 故答案为：4． 12．（2024春•坪山区期末）如图，BE⊥AE，CF⊥BE，垂足分别为E，F，D是线段EF的中点，CF＝BF，若AE＝4，DE＝3，则△ABC的面积是 　28　． 【解答】解：∵BE⊥AE，CF⊥BE， ∴∠E＝∠CFD＝90°， ∵DE＝DF，∠ADE＝∠CDF， ∴△ADE≌△CDF（ASA）， ∴AE＝CF＝4， ∵CF＝BF， ∴BF＝4， ∴BE＝2DE+BF＝6+4＝10， ∴△ABC的面积＝AE•BE+BF•CF＝×4×10+×4×4＝28， 故答案为：28． 13．（2023秋•射洪市期末）如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m，点A到地面的距离AE＝1.5m，当他从A处摆动到A′处时，若A′B⊥AB，A′到地面DE的距离是 　1　m． 【解答】解：如图，过点A′作A'F⊥BD于点F， 由题意得：AC⊥BD，BD⊥DE，AB＝A′B， ∴A′到地面DE的距离为DF，∠ACB＝∠BFA'＝90°， ∴∠A′BF+∠BA′F＝90°； ∵A'B⊥AB， ∴∠A′BF+∠ABC＝90°， ∴∠ABC＝∠BA′F， 在△ACB和△BFA'中， ， ∴△ACB≌△BFA'（AAS）， ∴AC＝BF， ∴DF＝BD﹣BF＝BD﹣AC＝2.5﹣1.5＝1（m）， 故答案为：1． 14．（2024春•南山区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，AD＝AC，点E在BC边上，CE＝BD，过点E作EF⊥CD交AB于点F，若AF＝2，BC＝8，则DF的长为　4　． 【解答】解：设∠BCD＝α， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣α， ∵AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α， ∴∠CAB＝180°﹣2∠ACD＝2α， ∴∠ABC＝90°﹣2α， ∵EF⊥CD， ∴∠CKF＝90°， ∴∠DFK＝90°﹣（90°﹣α）＝α， ∴∠CEF＝90°﹣α， 如图，延长AC到点G，使AG＝AB，连接BG， ∵AD＝AC， ∴CD∥GB，BD＝CG＝CE， ∴∠GBC＝∠BCD＝α， ∴∠G＝90°﹣α， ∴∠G＝∠CEF， 延长EF和CA交于点H， ∴∠H＝α＝∠GBC， ∵∠CAB＝2α， ∴∠AFH＝α， ∴∠H＝∠AFH， ∴AH＝AF＝2， 在△CEH和△CGB中， ， ∴△CEH≌△CGB（ASA）， ∴CH＝CB＝8， ∴DF＝AD﹣AF＝AC﹣AH＝CH﹣2AH＝8﹣4＝4． 故答案为：4． 三．解答题（共6小题） 15．（2023秋•掇刀区校级期末）如图，点E为BC上一点，BE＝AC，BC＝DB，AC∥BD．求证：AB＝ED． 【解答】证明：∵AC∥BD， ∴∠C＝∠EBD， 在△ABC与△EDB中， ， ∴△ABC≌△EDB（SAS）， ∴AB＝ED． 16．（2023秋•东辽县期末）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝BA，过点C作CE∥AB，且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC，AB于点F，G． （1）求证：△ABC≌△DCE； （2）若BD＝12，AB＝2CE，求BC的长度． 【解答】（1）证明：∵CE∥AB， ∴∠B＝∠ECD， 在△ABC与△DCE中， ， ∴△ABC≌△DCE（SAS）； （2）解：∵△ABC≌△DCE， ∴AB＝CD＝8， ∴BC＝BD﹣CD＝12﹣8＝4． 17．（2024•高青县校级一模）如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2． （1）求证：△ABE≌△CBD； （2）证明：∠1＝∠3． 【解答】证明：（1）∵∠1＝∠2． ∴∠ABE＝∠CBD， 在△ABE和△CBD中， ， ∴△ABE≌△CBD（SAS）； （2）由第一小问得△ABE≌△CBD， ∴∠A＝∠C， ∵∠AFB＝∠CFE， ∴∠1＝∠3． 18．（2024春•海州区校级期末）如图，AC⊥CF于点C，DF⊥CF于点F，AB与DE交于点O，且EC＝BF，AB＝DE．求证：AE＝DB． 【解答】证明：∵EC＝BF， ∴EC+EB＝BF+EB， 即CB＝FE， ∵AC⊥CF于点C，DF⊥CF于点F， 在Rt△ACB与Rt△DFE中， ， ∴Rt△ACB≌Rt△DFE（HL）， ∴∠ABE＝∠DEF， 在△AEB与△DBE中， ， ∴△AEB≌△DBE（SAS）， ∴AE＝DB． 19．（2024•凉州区二模）如图，点B、C、D在同一条直线上，AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD． （1）求证：△ABC≌△CDE． （2）若∠ACB＝37°，求∠AED的度数． 【解答】（1）证明：∵AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE， ∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°． ∴∠BAC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠DCE＝90°． ∴∠BAC＝∠DCE． 在△ABC和△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE（ASA）． （2）解：∵△ABC≌△CDE， ∴AC＝CE，∠ACB＝∠CED＝37°， ∴∠CAE＝∠AEC＝45°， ∴∠AED＝37°+45°＝82°． 20．（2023秋•黄石港区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AC边上一点，延长ED至点F，使ED＝DF，连结BF． （1）求证：△BDF≌△CDE． （2）当AD⊥BC，∠BAC＝130°时，求∠DBF的度数． 【解答】（1）证明：∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△BDF和△CDE中， ， ∴△BDF≌△CDE（SAS）； （2）解：∵AD⊥BC，BD＝CD， ∴AC＝AB， ∵∠BAC＝130°， ∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣130°）＝25°， ∵△BDF≌△CDE， ∴∠DBF＝∠C＝25°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$