专题2.3 基本不等式（考点精练）-【中职专用】2025年单独招生考试数学一轮复习讲练测（浙江专用）

专题2.3 基本不等式 1．函数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】利用基本不等式求解即可． 【解析】， 当且仅当，即时取等号. 所以函数的最小值为. 故选：B. 2. 设、满足，且、都是正数，则的最大值为（    ） A．5 B．10 C．25 D．50 【答案】C 【分析】利用基本不等式即可求解. 【解析】因为、满足，且、都是正数， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 故选：C. 3. 设，且，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】由基本不等式的乘“1”法即可求解. 【解析】，等号成立当且仅当， 所以的最小值为4. 故选：B. 4．若都是正数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用基本不等式即可得解. 【解析】因为都是正数，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 则的最小值为. 故选：C. 5．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【解析】因为，为正实数，且，所以, 当且仅当时取等号. 故选：C 6. 已知，若，则的最小值是 ， 【答案】2 【分析】由重要不等式求出最小值. 【解析】，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为2. 故答案为：2 7．函数的最小值为 ． 【答案】2 【分析】利用换元法以及基本不等式即可求解函数最小值. 【解析】令，则， 原函数可化为， 当且仅当时取等号，此时， 函数的最小值为2． 故答案为：2. 8．已知，试比较 2（填“>”“<”“”或“”）． 【答案】> 【分析】由对勾函数单调性即可比较大小. 【解析】设，而关于在上单调递增，所以. 9.已知，，且，求的最小值． 【答案】 【分析】根据基本不等式的乘“1”法求解. 【解析】：∵，∴， ∴． 当且仅当即，时取等号，∴的最小值为． 故答案为： 10．（1）已知，求的最小值 （2）已知，求的最大值 【答案】（1）（2） 【分析】（1）先构造出乘积的定值，再用基本不等式求和的最小值； （2）先构造出和的定值，再用基本不等式求积的最大值. 【解析】（1）时，，根据基本不等式可得：，当，即时取得等号，故时，最小值是； （2），故，根据基本不等式可得：，当，即时取得等号，故时，的最大值是 1．已知实数a，b满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合和运算求解. 【解析】因为，即， 且， 即，解得， 当且仅当，时，， 当且仅当时，， 所以的取值范围是. 故选：C. 2．若命题“，，都有”为真命题，则正实数的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】先根据条件，求出的最小值，依题意，需使，解之即得. 【解析】因，由，当且仅当时取等号. 因命题“，，都有”为真命题，故只需成立， 即，解得，即，故正实数的最小值是4. 故选：B. 3．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先过呢据条件化简得到，法一，根据基本不等式，即可求解；法二，根据条件等式，变形得，再利用基本不等式，即可求解. 【解析】， 法一：，当且仅当时，上式等号成立， 又，可得时，的最小值为. 故选：A. 法二：，当且仅当时，上式等号成立， 又，可得时，的最小值为. 故选：A. 4．已知实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由已知化简可得，代入可得，根据基本不等式可得最小值. 【解析】由已知当时，不成立， 当时，化简可得，则， 当且仅当，即时取等号， 故答案为：. 5. 已知正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由题设条件得，，利用基本不等式求出最值． 【解析】由已知，所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 又，所以时取最小值． 故答案为： 6．已知正实数a，b满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据已知结合应用基本不等式得出乘积的最大值. 【解析】因为正实数a，b满足，则， 当且仅当时，即时，等号成立，故ab的最大值为． 故答案为：． 7．已知关于的不等式的解集为. (1)求，的值； (2)若，，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合二次不等式与二次方程的关系可求； （2）利用乘1法，结合基本不等式可求． 【解析】（1）不等式的解集为， 和是方程的两个实数根，且， ，解得； （2）（2）由（1）知， 于是有，，， 所以 当且仅当且，即等号成立， 故的最小值为 8.（1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 【答案】（1）1；（2）. 【分析】（1）根据已知条件直接利用基本不等式求解即可； （2）对化简变形得，然后利用基本不等式求解即可. 【解析】（1）因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为1； （2）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值为. 9．（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值． （3）已知，求的最大值． 【答案】（1）6；（2）；（3） 【分析】（1）由题意得（），再利用基本不等式可求得其最小值； （2）由题意得，则，再利用基本不等式可求得其最大值； （3）由题意得，则原式化为，再利用基本不等式可求得其最大值. 【解析】（1）∵，∴， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴当时，取得最小值6． （2）∵，∴， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴当时，取得最大值． （3）解  ∵，∴，∴， ∴ ， ∵， 当且仅当，即时等号成立． ∴， ∴当时，取得最大值． 10.运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制（单位:千米/时），假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时18元. (1)求这次行车总费用关于的表达式; (2)当为何值时，这次行车的总费用最低?最低费用是几元? 【答案】(1) (2)，最低费用为元 【分析】（1）求出运货卡车行驶的时间，然后根据题意求出行车总运费即可； （2）利用基本不等式即可求出最值. 【解析】（1）运货卡车行驶的时间为， 则有 ，， 即. （2）由（1）得， 当且仅当，即时取等号， 即当时，这次行车总费用最低为元. 1.（2024年浙江省单独招生文化课考试数学试题）已知实数皆为正数，且则（ ） A． 有最小值4 B. 有最大值4 C. 有最小值 D. 有最大值 【答案】A 【解析】因为=4，答案选A 2.（2023年浙江省高等职业技术教育招生考试试题）当时，函数最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 1 【答案】C 【解析】因为所以, 答案选C 3. （2022年浙江省高等职业技术教育招生考试试题）已知,且,则的 最大值为 【答案】 【解析】因为，所以，即，解得 4. （2021年浙江省高等职业技术教育招生考试试题）已知则 的最大值为 【答案】 【解析】因为，所以,解得 5. （2020年浙江省高等职业技术教育招生考试试题）若正数满足,则的最小值为 【答案】 【解析】由基本不等式得 故最小值 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 基本不等式 1．函数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2. 设、满足，且、都是正数，则的最大值为（    ） A．5 B．10 C．25 D．50 3. 设，且，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．若都是正数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 6. 已知，若，则的最小值是 ， 7．函数的最小值为 ． 8．已知，试比较 2（填“>”“<”“”或“”）． 9.已知，，且，求的最小值． 10．（1）已知，求的最小值 （2）已知，求的最大值 1．已知实数a，b满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若命题“，，都有”为真命题，则正实数的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知实数，满足，则的最小值为 ． 5. 已知正实数，满足，则的最小值为 . 6．已知正实数a，b满足，则的最大值为 ． 7．已知关于的不等式的解集为. (1)求，的值； (2)若，，且，求的最小值. 8.（1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 9．（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值． （3）已知，求的最大值． 10.运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制（单位:千米/时），假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时18元. (1)求这次行车总费用关于的表达式; (2)当为何值时，这次行车的总费用最低?最低费用是几元? 1.（2024年浙江省单独招生文化课考试数学试题）已知实数皆为正数，且则（ ） A． 有最小值4 B. 有最大值4 C. 有最小值 D. 有最大值 2.（2023年浙江省高等职业技术教育招生考试试题）当时，函数最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 1 3. （2022年浙江省高等职业技术教育招生考试试题）已知,且,则的 最大值为 4. （2021年浙江省高等职业技术教育招生考试试题）已知则 的最大值为 5. （2020年浙江省高等职业技术教育招生考试试题）若正数满足,则的最小值为 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$