专题2.3基本不等式（考点精讲）-【中职专用】2025年单独招生考试数学一轮复习讲练测（浙江专用）

专题2.3 基本不等式 一、【考纲要求】 1.了解基本不等式：≤的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等. 2.会用基本不等式≤解决最大（小）值问题 3.会用基本不等式求某些函数的最值，能够解决一些简单的实际问题 二、【考向预测】 利用基本不等式求最值（高频考点） 三、【知识清单】 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2 (a，b∈R)． (4)≥2 (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大) 5.利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消参法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 6.常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号 四、【考点分类剖析】 考点一：对基本不等式的理解 例1. 不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【思路分析】利用基本不等式的取等条件即可求解. 【解析】由基本不等式可知，当且仅当， 即时等号成立， 故选：. 【变式练习】下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． 【思路分析】根据基本不等式使用条件逐一检验取等条件即可得答案. 【解析】：对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合； 对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合； 对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合； 对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合. 故选：C. 考点二：利用基本不等式比较大小 例1. 已知a，，且，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【思路分析】利用不等式性质判断ACD，利用基本不等式判断B. 【解析】对于A，因为，所以，错误； 对于B，因为，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立，又，所以，正确； 对于C，因为，所以，，所以，错误； 对于D，因为，所以，所以， 又，所以即，错误； 故选：B. 【变式练习1】已知a、b为正实数，，则（    ） A． B． C． D． 【思路分析】利用基本不等式计算出. 【解析】因为a、b为正实数， 所以，当且仅当时，等号成立， ，所以，当且仅当时，等号成立， 综上：. 故选：B. 考点三：利用基本不等式求最值（无条件） 例1. 已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 【思路分析】利用基本不等式求解. 【解析】因为，所以， 所以, 当且仅当，即时，取得等号， 故选:C. 【变式练习1】已知函数，则当时，有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【思路分析】由基本不等式即可求解. 【解析】由题意当时，，等号成立当且仅当. 故选：B. 【变式练习2】已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________． 答案　 【解析】　x(4－3x)＝·(3x)(4－3x) ≤·2＝， 当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号． 【变式练习3】已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 【答案】B 【思路分析】利用基本不等式，直接计算即可. 【解析】，当且仅当，即取得等号，满足题意. 故选：B. 【变式练习4】若，则的最小值（　　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【思路分析】由基本不等式，当且仅当时等号成立 【解析】，当且仅当时取等号. 故选：C 【变式练习5】已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【思路分析】利用基本不等式即可求解. 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当，即取等号，故C正确. 故选：C. 考点四：利用基本不等式求最值（有条件） 例1. 已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【思路分析】由条件变形可得，结合1的妙用即可求解. 【解析】因为，，所以由变形可得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为， 故选：D. 【变式练习1】已知两个正实数x，y满足，则的最小值是（    ） A． B． C．6 D．9 【思路分析】利用基本不等式常数代换技巧直接求解即可. 【解析】因为正实数x，y满足， 则， 当且仅当即时，等号成立. 故选：D. 【变式练习2】若正实数，满足，则下列说法错误的是（    ） A．有最大值 B．有最小值4 C．有最小值 D．有最大值 【思路分析】利用基本不等式一一判断求解即可. 【解析】因为正实数，满足，则有： 对A，因为，当且仅当时，等号成立，A正确； 对B，因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以有最小值4，B正确； 对C，因为，当且仅当时，等号成立，C错误； 对D，因为， 当且仅当时，等号成立，所以，D正确； 故选：C. 【变式练习3】已知a，b为正数，，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【思路分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【解析】正数a，b满足，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值4. 故选：C 【变式练习4】已知，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【思路分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【解析】因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 故选：C． 【变式练习5】已知且满足则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路分析】根据题意，将等价变形，利用“1”的代换，结合基本不等式求最值即可. 【解析】由得 当且仅当即时取等号. 故选：A. 考点五：基本不等式的恒成立、有解问题 例1对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【思路分析】由，可算出，再将最小值代入，即可求解 【解析】不等式恒成立， ， ，，且， ， 当且仅当，即时取等号， ， ，即， 解得， 故实数的取值范围是， 故选：C. 例2. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【思路分析】根据基本不等式"1"的替换进行求解即可. 【解析】因为正实数x，y满足， 所以， 当且仅当时取等号，即当时，取等号， 因此要想有解， 只需， 故选：B. 【变式练习1】已知正实数满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【思路分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得当时，，即可求得实数m的取值范围是. 【解析】易知 ， 所以可得； 当且仅当，即时，等号成立； 依题意需满足，所以. 故选：D. 【变式练习2】已知，且，若有解，则实数m的取值范围为（    ） A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9） 【思路分析】由有解，可知只要大于的最小值即可，所以结合基本不等式求出的最小值，再解关于的不等式即可 【解析】因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时的最小值为9， 因为有解，所以，即， 解得或， 故选：A. 考点六：基本不等式的实际应用 例1. 某地欲修建一个的长方形休闲广场，如图所示，场地上､下两边要留空白，左､右两侧要留空白，为节约用地，应选用怎样尺寸的长方形用地？    【思路分析】设出休闲广场用地的长和宽，写出长方形用地的面积，进而利用基本不等式求出最值即可. 【解析】设休闲广场用地的宽为，则长为，所以长方形用地的宽为，长为， 则长方形用地的面积为， 当且仅当，即时，等号成立，此时的长方形用地的长为，宽为. 所以应选择的长方形用地满足长为，宽为. 【变式练习1】某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x(x为400的正因数)吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元. (1)用x表示一年购买的总次数. (2)每次购买多少吨，能使一年的总运费与总存储费用之和最小？最小值是多少？ 【思路分析】（1）直接求解即可； （2）求出函数解析式，然后利用基本不等式求解最值即可. 【解析】（1）由一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，知一年购买的总次数次； （2）设一年的总运费与总存储费用之和为y万元， 则，当且仅当即时，等号成立， 因此，每次购买20吨，能使一年的总运费与总存储费用之和最小，最小值为160万元. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 基本不等式 一、【考纲要求】 1.了解基本不等式：≤的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等. 2.会用基本不等式≤解决最大（小）值问题 3.会用基本不等式求某些函数的最值，能够解决一些简单的实际问题 二、【考向预测】 利用基本不等式求最值（高频考点） 三、【知识清单】 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2 (a，b∈R)． (4)≥2 (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大) 5.利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消参法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 6.常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号 四、【考点分类剖析】 考点一：对基本不等式的理解 例1. 不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式练习】下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． 考点二：利用基本不等式比较大小 例1. 已知a，，且，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式练习1】已知a、b为正实数，，则（    ） A． B． C． D． 考点三：利用基本不等式求最值（无条件） 例1. 已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 【变式练习1】已知函数，则当时，有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【变式练习2】已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________． 【变式练习3】已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 【变式练习4】若，则的最小值（　　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式练习5】已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 考点四：利用基本不等式求最值（有条件） 例1. 已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式练习1】已知两个正实数x，y满足，则的最小值是（    ） A． B． C．6 D．9 【变式练习2】若正实数，满足，则下列说法错误的是（    ） A．有最大值 B．有最小值4 C．有最小值 D．有最大值 【变式练习3】已知a，b为正数，，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式练习4】已知，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式练习5】已知且满足则的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点五：基本不等式的恒成立、有解问题 例1对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式练习1】已知正实数满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】已知，且，若有解，则实数m的取值范围为（    ） A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9） 考点六：基本不等式的实际应用 例1. 某地欲修建一个的长方形休闲广场，如图所示，场地上､下两边要留空白，左､右两侧要留空白，为节约用地，应选用怎样尺寸的长方形用地？    【变式练习1】某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x(x为400的正因数)吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元. (1)用x表示一年购买的总次数. (2)每次购买多少吨，能使一年的总运费与总存储费用之和最小？最小值是多少？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$