专题04 椭圆（四大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（重庆专用）

专题04 椭圆 椭圆的基本概念 1．（23-24高二上·重庆·期中）椭圆：的左右焦点分别是，，P在椭圆上，且，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．（23-24高二上·重庆·期中）彗星“紫金山一号”是南京紫金山天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.486天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心5.563天文单位（1天文单位是太阳到地球的平均距离，约），且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则轨道椭圆的长轴长为______天文单位.（    ） A．7.0490 B．4.0770 C．3.5245 D．2.0385 3．（23-24高二上·重庆·期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）已知是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若的周长为6.且椭圆的离心率为，则椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）若椭圆的离心率为，则（    ） A．3或 B． C．3或 D．或 6．（23-24高二上·重庆南岸·期中多选题）设椭圆的左右焦点为，P是C上的动点，则（    ） A． B．离心率 C．短轴长为2，长轴长为4 D．不可能是钝角 7．（23-24高二上·重庆·期中）焦点在轴上的椭圆焦距为4，则的值为 . 8．（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在椭圆C上，且，（为原点），则 . 9．（23-24高二上·重庆北碚·期中）已知椭圆方程为，则该椭圆离心率为 ． 10．（23-24高二上·重庆南岸·期中）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 ． 椭圆的离心率 1．（23-24高二上·重庆万州·期中）已知A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上不存在点P使，则椭圆离心率e的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）点分别为椭圆的左、右焦点，点P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，，的面积为，e为椭圆的离心率，则为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中多选题）椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线l与C交于P，Q两点，且点Q在第四象限，若，则（    ） A．为等腰直角三角形 B．C的离心率等于 C．的面积等于 D．直线l的斜率为 4．（23-24高二上·重庆·期中）已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则的离心率为 . 5．（23-24高二上·重庆永川·期中）设椭圆的焦点为是椭圆上一点，且，则的面积为 （用含或的式子表示即可）若的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为 ． 椭圆中的最值问题 1．（23-24高二上·重庆·期中）设椭圆：的左右焦点分别为，，为椭圆上一动点，则下列说法不正确的有（    ） A．的面积最大值为 B．直线与椭圆恒有两个公共点 C．的最小值为9 D．若，则的内切圆半径 2．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）若F为椭圆的左焦点，P为椭圆C上一动点，，则周长的最大值为（    ） A． B． C．7 D．10 3．（23-24高二上·重庆·期中多选题）已知椭圆，长轴长为8，短半轴长为，分别为椭圆左右焦点，点，P为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若直线l交椭圆于A，B两点，且为AB中点，则直线l的方程为 C．内切圆面积的最大值为 D．的最小值为7 4．（23-24高二上·重庆·期中多选题）椭圆：的左右焦点分别为，，O是坐标原点，是椭圆E上一点，则（    ） A．的周长是 B．当时，面积最大 C．的最大值是5 D．当时，面积为1 5．（23-24高二上·重庆·期中多选题）已知椭圆分别为它的左右焦点，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．'若，则的面积为 6．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）若P是椭圆上一动点，，则的最大值为 ． 7．（23-24高二上·重庆北碚·期中）已知焦点在y轴上的椭圆的离心率，A是椭圆的右顶点，P是椭圆上任意一点，则的最大值是 . 8．（23-24高二上·重庆·期中）已知椭圆：，A，B是左右顶点，P，Q在椭圆E上，满足，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·重庆永川·期中多选题）下列命题正确的是（    ） A．经过定点的直线都可以用方程表示 B．点满足，则点的轨迹是一个椭圆 C．过点且与圆相切的直线有1条 D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是 10．（23-24高二上·重庆·期中）已知椭圆满足，长轴上2023个等分点从左至右依次为点，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在轴上方；过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在轴上方；以此类推，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在轴上方；则这4046条直线的斜率乘积为 . 椭圆解答题 1．（23-24高二上·重庆·期中）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)若是椭圆的右顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，求的面积． 2．（23-24高二上·重庆永川·期中）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)若是椭圆的右焦点，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点，求的面积． 3．（23-24高二上·重庆·期中）已知椭圆：的焦点分别为，，过左焦点的直线与椭圆交于M，N两点，的周长为. (1)求椭圆E的离心率； (2)直线：与椭圆有两个不同的交点A，B，直线与x轴的交点为D，若A，B都在x轴上方且点A在线段上，O为坐标原点，和面积分别为，，记，当满足条件的实数变化时，的取值范围是，求椭圆E的方程. 4．（23-24高二上·重庆·期中）如图，线段的两个端点分别在轴、轴上滑动，，点是上一点，且，点随线段的运动而变化. (1)求点的轨迹方程； (2)动点在曲线外，且点到曲线的两条切线相互垂直，求证：点在定圆上. 5．（23-24高二上·重庆·期中）椭圆左右焦点为，离心率为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)倾斜角为的直线过椭圆的右焦点交椭圆于两点，求. 6．（23-24高二上·重庆·期中）在平面直角坐标系中，、为圆：与轴的交点，点为该平面内异于、两点的动点，且______，从下列条件中任选一个补充在上面问题中作答. 条件①：直线与直线的斜率之积为； 条件②：设为圆上的动点，为点在轴上的射影，且为的中点； 注：如果选择多个条件作答，按第一个计分. (1)求动点的轨迹方程； (2)若直线与（1）问中轨迹方程交于、两点，与圆相交于、两点，且，求面积最大值. 7．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）如图，椭圆的离心率为，其长轴的两个端点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线l交C于A、B两点，交直线于点P．若，，证明：为定值，并求出这个定值． 8．（23-24高二上·重庆北碚·期中）已知椭圆C：的两个焦点分别为，，且过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若该椭圆左顶点为B，则椭圆上是否存在一点P，使得的面积为．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（23-24高二上·重庆南岸·期中）已知椭圆的离心率为，点为A椭圆C的右顶点，点B为椭圆上一动点，O为坐标原点，若面积的最大值为1． (1)求椭圆C的方程； (2)设直线与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若，求面积的最大值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 椭圆 椭圆的基本概念 1．（23-24高二上·重庆·期中）椭圆：的左右焦点分别是，，P在椭圆上，且，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】求出椭圆的长轴长，根据椭圆的定义，即可求得答案. 【详解】由题意知椭圆：的长轴长为， 又P在椭圆上，，故， 故选：D 2．（23-24高二上·重庆·期中）彗星“紫金山一号”是南京紫金山天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.486天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心5.563天文单位（1天文单位是太阳到地球的平均距离，约），且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则轨道椭圆的长轴长为______天文单位.（    ） A．7.0490 B．4.0770 C．3.5245 D．2.0385 【答案】A 【分析】根据给定的信息，结合椭圆的特征列式计算即得. 【详解】依题意，轨道的近日点和远日点为椭圆长轴的端点，而太阳为该轨道椭圆的一个焦点， 所以轨道椭圆的长轴长为（天文单位）. 故选：A    3．（23-24高二上·重庆·期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的方程及椭圆焦点位置，列出不等式求解即得. 【详解】由方程表示焦点在轴上的椭圆，得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A 4．（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）已知是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若的周长为6.且椭圆的离心率为，则椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆定义结合离心率列式求解即可. 【详解】设椭圆的半焦距为， 由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. 故选：C. 5．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）若椭圆的离心率为，则（    ） A．3或 B． C．3或 D．或 【答案】C 【分析】根据焦点位置分类讨论，利用离心率计算求解即可. 【详解】若椭圆焦点在上，则， 所以，故， 解得， 若椭圆焦点在上，则， 所以，故， 解得，综上，或. 故选：C 6．（23-24高二上·重庆南岸·期中多选题）设椭圆的左右焦点为，P是C上的动点，则（    ） A． B．离心率 C．短轴长为2，长轴长为4 D．不可能是钝角 【答案】AD 【分析】利用椭圆的定义及性质逐一判断即可. 【详解】椭圆， ， ，A正确； 离心率，B错误； 短轴长为，长轴长为，C错误； 当点P在椭圆短轴端点处时，最大， 此时，得， 故不可能是钝角，D正确. 故选：AD. 7．（23-24高二上·重庆·期中）焦点在轴上的椭圆焦距为4，则的值为 . 【答案】 【分析】由椭圆方程及焦点位置求参数范围，再由焦距和椭圆参数关系求参数值. 【详解】由题设，且， 所以. 故答案为： 8．（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在椭圆C上，且，（为原点），则 . 【答案】 【分析】由题意可知，求得，和的值，设，，根据椭圆的定义和余弦定理得，则点M为椭圆的上顶点或下顶点，可求的值. 【详解】由椭圆方程可知，，，，则，， ， 设，，有， 中，由余弦定理，有， 即，得，有， 由，解得：， 则点M为椭圆的上顶点或下顶点，有. 故答案为： 9．（23-24高二上·重庆北碚·期中）已知椭圆方程为，则该椭圆离心率为 ． 【答案】/ 【分析】利用椭圆的标准方程及几何性质、离心率公式运算即可得解. 【详解】由椭圆的标准方程及几何性质知， ∵， ∴，，则， ∴，，则离心率. 故答案为：. 10．（23-24高二上·重庆南岸·期中）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 直接根据椭圆标准方程与椭圆焦点位置的关系列不等式求解. 【详解】方程，即表示焦点在y轴上的椭圆， 得， 解得. 故答案为：. 椭圆的离心率 1．（23-24高二上·重庆万州·期中）已知A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上不存在点P使，则椭圆离心率e的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到以为直径的圆的方程为，联立方程组，化简得到方程，得到方程的另一个根为，结合题意，得到，列出不等式，即可求得离心率e的取值范围. 【详解】设椭圆的方程为，且， 则以为直径的圆的方程为， 联立方程组，且， 整理得，即，其中且， 其中是方程的一个根， 设另一个根为，则， 若椭圆上不存在点P使，则，即， 因为，解得，即椭圆离心率e的取值范围为， 故选：A. 2．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）点分别为椭圆的左、右焦点，点P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，，的面积为，e为椭圆的离心率，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知：为矩形，利用椭圆的定义结合勾股定理和面积关系运算求解. 【详解】根据椭圆的对称性可知：为平行四边形，且， 所以为矩形，   可知的面积即为的面积， 设，则， 可得，由面积关系可得，即，所以.故选：A. 3．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中多选题）椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线l与C交于P，Q两点，且点Q在第四象限，若，则（    ） A．为等腰直角三角形 B．C的离心率等于 C．的面积等于 D．直线l的斜率为 【答案】ABC 【分析】由线段比例关系以及椭圆定义可知，且满足，即可得A正确；易知可得C正确；在等腰直角三角形中，可知直线的斜率为，计算可得的离心率等于. 【详解】对于选项A：因为， 不妨设， 又因为，可得； 利用椭圆定义可知，所以； 即，所以点即为椭圆的上顶点或下顶点，如下图所示：    由，可知满足， 所以，故A正确；对于选项B：在等腰直角三角形中，易知， 即可得离心率，故B正确；对于选项C：因为为等腰直角三角形，且， 因此的面积为，故C正确；此时可得直线的斜率，故D错误；故选：ABC. 4．（23-24高二上·重庆·期中）已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则的离心率为 . 【答案】 【分析】设，利用椭圆定义及对称性表示出，结合勾股定理可得，再利用余弦定理求解即得. 【详解】令椭圆：的半焦距为c，设，则， 由点在轴上，，得，而，， 因此，即，解得， 在中，， 在中，由余弦定理得， 即，整理得，， 所以的离心率为. 故答案为： 5．（23-24高二上·重庆永川·期中）设椭圆的焦点为是椭圆上一点，且，则的面积为 （用含或的式子表示即可）若的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为 ． 【答案】 / 【分析】在中由余弦定理求的面积；由正弦定理，根据，求离心率. 【详解】 空1：设，，，根据椭圆定义由， 在中，由余弦定理有， 整理有，化为， 整理有，又，所以有， 在中，由正弦定理有的面积； 空2：依题意可知， 即．即，又， 得因此，得． 故答案为：；． 椭圆中的最值问题 1．（23-24高二上·重庆·期中）设椭圆：的左右焦点分别为，，为椭圆上一动点，则下列说法不正确的有（    ） A．的面积最大值为 B．直线与椭圆恒有两个公共点 C．的最小值为9 D．若，则的内切圆半径 【答案】C 【分析】A项：当点位于短轴顶点时，面积最大，从而求解； B项：直线过定点且在椭圆内，从而求解； C项：由椭圆定义知：，然后利用基本不等式求解； D项：先求出的面积值，然后利用面积与内切圆半径的关系，从而求解. 【详解】A项：当位于短轴顶点时，的面积有最大值为：，故A项正确；B项：直线：过定点，且，所以点在椭圆内，即直线与椭圆恒有两个公共点，故B项正确；C项：由椭圆定义知：，所以：， 当且仅当：时取等号，故C项错误；D项：由题意知：，则由椭圆定义和余弦定理得：，解得：，所以：的面积有为：，设的内切圆半径为，则：，解得：，故D项正确.故选：C. 2．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）若F为椭圆的左焦点，P为椭圆C上一动点，，则周长的最大值为（    ） A． B． C．7 D．10 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义及三角形三边关系有，即可求最大值，注意取值条件. 【详解】若为椭圆右焦点，如下图示，，    周长为，且， 所以，而， 故，当且仅当共线且在两侧时等号成立， 所以周长的最大值为10.故选：D 3．（23-24高二上·重庆·期中多选题）已知椭圆，长轴长为8，短半轴长为，分别为椭圆左右焦点，点，P为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若直线l交椭圆于A，B两点，且为AB中点，则直线l的方程为 C．内切圆面积的最大值为 D．的最小值为7 【答案】BCD 【分析】对于A：根据向量运算可得，结合的取值范围运算求解；对于B：利用点差法求直线AB的斜率，即可得方程；对于C：利用等面积可得，结合椭圆性质分析求解；对于D：根据椭圆定义转化可得，结合图形分析求解. 【详解】由题意可知：，椭圆方程为， 对于选项A：因为， 且，所以，故A错误； 对于选项B：设，若为AB中点，则， 可得， 因为在椭圆上，则，两式相减得， 整理得，即， 所以直线l的方程为，即，故B正确； 对于选项C：由题意可知： 设的内切圆半径为， 则，可得， 当点为短轴顶点时，的面积取到最大值， 可得的内切圆半径的最大值为， 所以内切圆面积的最大值为，故C正确； 对于选项D：因为，则， 可得， 当且仅当在线段上时，等号成立， 所以的最小值为7，故D正确； 故选：BCD. 4．（23-24高二上·重庆·期中多选题）椭圆：的左右焦点分别为，，O是坐标原点，是椭圆E上一点，则（    ） A．的周长是 B．当时，面积最大 C．的最大值是5 D．当时，面积为1 【答案】AD 【分析】根据椭圆方程求得的值 可判断A；确定时P点位于以为直径的圆上，数形结合，判断B；根据椭圆的几何性质判断C；根据当时，P点所处位置，结合椭圆定义，可求得面积，判断D. 【详解】对于椭圆：，设其长轴长为2a，焦距为2c， 则， 对于A，的周长是，A正确； 对于B，当时，， 此时P点位于以为直径的圆上，即P为该圆与椭圆的交点， 只有当P点位于椭圆的短轴上的顶点处时，面积才取最大值， 由于，结合图可知P不可能处于椭圆的短轴上的顶点处，B错误； 对于C，的最大值是，C错误； 对于D，当时，,则， 故，由于， 故，故，D正确， 故选：AD 5．（23-24高二上·重庆·期中多选题）已知椭圆分别为它的左右焦点，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．'若，则的面积为 【答案】ABD 【分析】由题设，结合椭圆性质判断A；应用余弦定理可得，根据椭圆定义及余弦定理求得，即可判断B、C、D. 【详解】由椭圆方程知：，则，A对； ， 由，当且仅当时等号成立， 故，B对； ，C错； 若，则，可得， 所以的面积为，D对. 故选：ABD 6．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）若P是椭圆上一动点，，则的最大值为 ． 【答案】4 【分析】令，应用两点距离公式有，结合椭圆的有界性求最大值. 【详解】令，则，又， 所以，又， 当时，的最大值为4. 故答案为：4 7．（23-24高二上·重庆北碚·期中）已知焦点在y轴上的椭圆的离心率，A是椭圆的右顶点，P是椭圆上任意一点，则的最大值是 . 【答案】 【分析】根据离心率求得椭圆的方程为，设，则，由，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由焦点在y轴上的椭圆的离心率， 可得，解得，所以椭圆的方程为，则， 设，则， 因为，当时，可得取得最大值，最大值为， 所以的最大值为. 故答案为：. 8．（23-24高二上·重庆·期中）已知椭圆：，A，B是左右顶点，P，Q在椭圆E上，满足，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意结合椭圆方程推出，结合得出，设直线方程为，联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，代入中化简求值，即可求得答案. 【详解】设，则，， 则，故， 同理，而， 故； 由题意可知直线的斜率不为0，设方程为， 代入椭圆方程得：， 需满足， 设，则， 又，，即， 即，即， 得， 即， 整理得，解得，或， 当时，，直线过A点，不符合题意； 当时，，直线恒过点， 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要根据题意结合椭圆方程得出，再结合得出，然后设直线方程，联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，化简求值，即可求解。 9．（23-24高二上·重庆永川·期中多选题）下列命题正确的是（    ） A．经过定点的直线都可以用方程表示 B．点满足，则点的轨迹是一个椭圆 C．过点且与圆相切的直线有1条 D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是 【答案】BD 【分析】A:当斜率不存在时，就不能用表示； B:借助椭圆的定义即可判断; C:通过判定点与圆的关系，得到圆外的一点引圆的切线有且只有2条； D:利用平行线间的距离公式，计算即可. 【详解】对于选项A：若经过定点的直线垂直于轴时，不能用方程表示，故A错误； 对于选项B：可以看成到的距离； 可以看成到的距离， 所以,满足椭圆的定义，所以点的轨迹是一个椭圆，故B正确； 对于选项C：将点代入圆，得到， 所以点在圆外，由圆外的一点引圆的切线有且只有2条,故C错误; 对于选项D：将直线化为， 由平行线间的距离公式：，故D正确. 故选：BD. 10．（23-24高二上·重庆·期中）已知椭圆满足，长轴上2023个等分点从左至右依次为点，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在轴上方；过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在轴上方；以此类推，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在轴上方；则这4046条直线的斜率乘积为 . 【答案】 【分析】由椭圆的对称性得到，即可求结果. 【详解】根据椭圆对称性知：， 而，即， 同理有， 所以这4046条直线的斜率乘积为. 故答案为： 椭圆解答题 1．（23-24高二上·重庆·期中）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)若是椭圆的右顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据题意，利用待定系数法即可得解； （2）联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再根据计算可得； 【详解】（1）依题意，解得， 所以椭圆方程为； （2）依题意，，过且斜率为的直线为， 联立，消去整理得， 易知，设、，所以，， 所以 . 2．（23-24高二上·重庆永川·期中）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)若是椭圆的右焦点，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，即可得到结果； （2）根据题意，联立直线与椭圆方程结合韦达定理代入计算，再由三角形的面积公式，即可得到结果. 【详解】（1）依题意，解得，所以椭圆方程为. （2） 依题意，过且斜率为1的直线为，设， 则消去整理得， 所以， 所以 . 3．（23-24高二上·重庆·期中）已知椭圆：的焦点分别为，，过左焦点的直线与椭圆交于M，N两点，的周长为. (1)求椭圆E的离心率； (2)直线：与椭圆有两个不同的交点A，B，直线与x轴的交点为D，若A，B都在x轴上方且点A在线段上，O为坐标原点，和面积分别为，，记，当满足条件的实数变化时，的取值范围是，求椭圆E的方程. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由题意推出关于的关系式，即可求得离心率； （2）将转化为，结合向量，表示出坐标之间的关系，再结合椭圆方程表示出的表达式，再结合椭圆范围得出关于a的方程，求出a，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知的周长为， 故，故. （2）由题意可知直线：与椭圆有两个不同的交点A，B，直线与x轴的交点为D， 即， 由题意知A，B都在x轴上方，则D必在椭圆外，则， 又，则， 由于点A在线段上，故设，， 设，由得， 则， 又，则， 则，即， 结合，则， 可得，故， 设过点D和椭圆上半部分相切的切线的切点为P，则， 由，则， 由于，故， 结合可得，解得或（舍去）， 又，故， 故椭圆E的方程为. 【点睛】难点点睛：本题考查了椭圆离心率的求解以及直线和椭圆位置关系中的范围问题，综合性强，计算量大，特别是第二问求解椭圆方程，解答时要将，转化为，结合向量的应用得出点的坐标之间的关系，表示出点A的横坐标，再结合椭圆方程得出点A的坐标，从而得出关于a的方程，求解即可得答案. 4．（23-24高二上·重庆·期中）如图，线段的两个端点分别在轴、轴上滑动，，点是上一点，且，点随线段的运动而变化. (1)求点的轨迹方程； (2)动点在曲线外，且点到曲线的两条切线相互垂直，求证：点在定圆上. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）令，根据已知有，利用向量的坐标表示列方程得到，结合即可求轨迹方程； （2）若，切线斜率存在且不为0，令切线为，联立曲线方程得到一元二次方程，根据得，又即可得，再由切线垂直及根与系数关系得到轨迹，最后验证切线斜率不存在或为0的情况即可证. 【详解】（1）由题设，令，则， 由，点是上一点，且， 所以，故，即，则， 所以. （2）令， 若切线斜率存在且不为0，令切线为，则， 联立与，得， 所以，即， 所以，则， 又点到曲线的两条切线相互垂直，若两切线斜率分别为， 故，即， 若切线斜率不存在或为0，则坐标为或或或， 它们都满足， 综上，点在定圆上. 5．（23-24高二上·重庆·期中）椭圆左右焦点为，离心率为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)倾斜角为的直线过椭圆的右焦点交椭圆于两点，求. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据离心率及点在椭圆上、椭圆参数关系列方程组求参数，即可得标准方程； （2）由题意直线为，联立椭圆方程，应用韦达定理及弦长公式求. 【详解】（1）由题设，可得，故椭圆的标准方程； （2）由题意，，则直线为， 联立椭圆方程，得，则， 所以， 由. 6．（23-24高二上·重庆·期中）在平面直角坐标系中，、为圆：与轴的交点，点为该平面内异于、两点的动点，且______，从下列条件中任选一个补充在上面问题中作答. 条件①：直线与直线的斜率之积为； 条件②：设为圆上的动点，为点在轴上的射影，且为的中点； 注：如果选择多个条件作答，按第一个计分. (1)求动点的轨迹方程； (2)若直线与（1）问中轨迹方程交于、两点，与圆相交于、两点，且，求面积最大值. 【答案】(1)①：；②：；(2) 【分析】（1）选①：表示出两条直线的斜率，整理方程，可得答案；选②：表示出点的坐标，利用中点坐标公式，建立等量关系，结合圆的方程，可得答案. （2）根据圆心角求得弦心距，利用直线与椭圆的弦长公式，结合分类讨论以及函数思想，可得答案. 【详解】（1）选①： 设，由圆，则，， 所以直线的斜率分为为，，其中， 由题意可得，整理可得. 选②： 设，，则，， 由为的中点，则，解得， 可得，整理可得. （2） 在圆中，由，，则， 在中，，则， 当直线的斜率不存在时，可得，代入方程， 可得：，解得，可得； 当直线的斜率存在时，可设，联立可得， 消去整理可得：，， 根据韦达定理可得：，， 整理可得，则，解得， ， 令，则， 令，解得或，可得下表： 所以，则的最大值为， 综上所述，的最大值为. 7．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）如图，椭圆的离心率为，其长轴的两个端点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线l交C于A、B两点，交直线于点P．若，，证明：为定值，并求出这个定值． 【答案】(1)；(2)证明见解析，定值为0. 【分析】（1）由已知得，结合椭圆参数关系求得，即可得椭圆方程； （2）令，，，联立椭圆方程并应用韦达定理得，，再由向量数量关系的坐标表示得到关于参数k的表达式，将韦达公式代入化简即可证. 【详解】（1）由题设，又，则， 所以椭圆C的标准方程为. （2）由题设，直线l斜率一定存在，令，且在椭圆C内， 联立直线与椭圆并整理得，且， 令，而，则， 由，则且，得， 同理 由，则且，得， 所以 又，，则. 所以为定值0. 8．（23-24高二上·重庆北碚·期中）已知椭圆C：的两个焦点分别为，，且过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若该椭圆左顶点为B，则椭圆上是否存在一点P，使得的面积为．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在这样的点P为 【分析】（1）通过焦点可得，椭圆过点，可得，解方程组即可求得椭圆方程； （2）假设存在点，使得的面积为，可构建方程关于的方程，再代入椭圆，求得，则可判定是否存在这样的点. 【详解】（1）因为两个焦点分别为， 所以，即， 因为椭圆过点，所以， 又，解得（负值舍去）， 所以椭圆C的标准方程 （2）假设存在点，使得的面积为，    则又， 所以解得， 代入椭圆可得，解得, 此时点的坐标为 所以存在点P为时，使得的面积为. 8．（23-24高二上·重庆南岸·期中）已知椭圆的离心率为，点为A椭圆C的右顶点，点B为椭圆上一动点，O为坐标原点，若面积的最大值为1． (1)求椭圆C的方程； (2)设直线与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若，求面积的最大值． 【答案】(1)；(2)1 【分析】（1）当点为椭圆短轴端点时，面积最大，从而得到关系，结合离心率，，求出，，得到椭圆方程. （2）设，，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，由弦长公式求弦长，再由点到直线的距离求点到直线的距离，写出三角形面积公式，再利用换元法，结合二次函数求最值. 【详解】（1）   当点为椭圆短轴端点时，面积的最大值为1， 此时，即， 又因为，， 所以，， 所以椭圆C的方程为. （2）   联立，消得 ， 由， 得， 设，， 则，， 因为， 所以， 所以，即， 即， 因为，即， 点到直线的距离为， ， 令，所以，， ， 所以当时，即时，面积最大，最大值为1. 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