新课预习衔接：第一单元分数乘法 (讲义)-2024-2025学年六年级上册数学人教版

分数乘法 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 2024年9月 目录导航 资料说明 第一部分：思维导图：单元知识简单且高效的发散性思维呈现，是一种实用性的知识小结。 第二部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第三部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第四部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第五部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 思维导图 第二部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 【分数乘分数知识点归纳】 分数乘法的计算法则 1、整数和分数相乘：整数和分子相乘的积作分子，分母不变。 2、分数和分数相乘：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 3、注意：能约分的先约分，然后再乘，得数必须是最简分数。当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。 【方法总结】 分数大小的比较： 1、一个数（0除外）乘以一个真分数，所得的积小于它本身。一个数（0除外）乘以一个假分数，所得的积等于或大于它本身。一个数（0除外）乘以一个带分数，所得的积大于它本身。 2、如果几个不为0的数与不同分数相乘的积相等，那么与大分数相乘的因数反而小，与小分数相乘的因数反而大。 【分数乘法知识点归纳】 分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算． 乘积是1的两个数叫做互为倒数． 分数乘法法则： （1）分数乘以整数或整数乘以分数：由于任何整数（0除外）都可以化成分母是1的假分数，分数乘以整数或整数乘以分数，都可以转化成分数乘以分数的形式．因此，在计算中，是用分数的分子和整数相乘的积作为分子，分母不变．在乘的过程中，如果有可以约分的数，可以先约分，这样，可以使计算的数字缩小，从而使计算变得简便． （2）分数乘以分数：用分子相乘的积作为分子，用分母相乘的积作为分母．为了使计算简便，在计算的过程中，能够约分的，要约分． （3）带分数乘法：先把带分数化成假分数，然后再乘．结果是假分数时，要把假分数化成带分数或整数． 分数乘法的运算定律： （1）交换律：两个分数相乘，交换分数的位置，它们的积不变． （2）结合律：三个分数相乘，先把前两个分数相乘，再乘以第三个分数，或者先把后两个分数相乘，再乘以第一个分数，它们的积不变． （3）乘法分配律：两个分数的和与一个分数相乘所得的积，等于每一个加数分别与这个分数相乘所得的积的和． 第三部分 典型例题 例题1：食堂有大米t， 第一周用去它的，第二周用去的是第一周的。第二周用去多少吨大米？ 【答案】吨 【分析】将食堂大米总质量看作单位“1”，第一周用去的占，总质量×第一周用去的对应分率＝第一周用去的质量，将第一周用去的看作单位“1”，第二周用去的占，第一周用去的质量×第二周用去的对应分率＝第二周用去的，据此列式解答。 【详解】××＝（吨） 答：第二周用去吨大米。 【点睛】关键是理解分数乘法的意义，整体数量×部分对应分率＝部分数量。 例题2：一根铁丝长90米，第一次用去全长的，第二次用去第一次的，第二次用了多少米？ 【答案】7.5米 【分析】一次用去全长的，进而可以通过90×计算出第一次用去的长度，又知第二次用去的是第一次的，用第一次用去的长度×即可求出第二次用的长度。 【详解】90×× ＝15× ＝7.5（米） 答：第二次用了7.5米。 【点睛】本题考查分数乘法的应用，解答本题的关键是找准单位“1”的量。 例题3：北京大兴国际机场有三大亮点：创新、智慧、绿色。北京大兴国际机场的总占地面积极大，比成都天府国际机场大，成都天府国际机场占地总面积约为2100公顷。请你算一算，北京大兴国际机场占地总面积大约是多少公顷？ 【答案】2700公顷 【分析】把成都天府国际机场的占地面积看作单位“1”，已知北京大兴国际机场的总占地面积比成都天府国际机场大，则北京大兴国际机场的总占地面积是成都天府国际机场的（1＋），又已知成都天府国际机场占地总面积约为2100公顷，则根据分数乘法的意义，用2100×（1＋）即可求出北京大兴国际机场占地总面积。 【详解】2100×（1＋） ＝2100× ＝2700（公顷） 答：北京大兴国际机场占地总面积大约是2700公顷。 【点睛】本题考查了分数乘法的应用，明确求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 例题4：工人要修一条长63米的公路，已经修了这条公路的 ，还剩几分之几没有修？已经修了多少米？ 【答案】；21米 【分析】根据题意可知，已经修了这条公路的，则还剩这条公路的（1－）没有修；公路的总长度×＝修了米数，据此解答即可。 【详解】1－＝； 63×＝21（米）； 答：还剩没有修，已经修了21米。 【点睛】熟练掌握分数乘法的意义是解答本题的关键。 第四部分 高频真题 1．果园里种了桃树、杏树、梨树和苹果树共1200棵，桃树占其他三种树的，杏树占其他三种树的，梨树占其他三种树的，苹果树种了多少棵？ 2．印度尼西亚的瓜哇岛是世界上平均雷雨天数最多的地区．非洲中部平均每年雷雨天为150天，瓜哇岛平均每年的雷雨天数比非洲中部的还多20天．瓜哇岛平均每年的雷雨天有多少天？ 3．学校食堂运回150千克大米，已经用去，还剩多少千克大米？ 4．某修路队修一条长2400米公路，第一周修了全长的，剩下的第二周修完，第二周要修多少米？ 5．学校原来每月用水30吨，安装了节水龙头后，每月用水比原来节约了，现在每月节水多少吨？ 6．实验小学六年级有420名学生，五年级的学生人数比六年级多，五年级有多少名学生？ 7．某工厂上半年生产口罩约255万个，下半年生产口罩的数量是上半年。这个工厂今年口罩总产量大约多少万个？ 8．小华计划3天看完一本140页的故事书。第一天看了全书的，第二天看的是第一天的，第三天还要看几页才能看完全书？ 9．一个无盖的长方体水箱，从里面量得长28分米，宽15分米，高是宽的，这个水箱最多能装水多少升？ 10．为庆祝教师节，同学们做了90朵红花，黄花的朵数是红花的。同学们做了多少朵黄花？ 11．武胜县共有公交车约200辆，其中是纯电动车，纯电动公交车有多少辆？ 12．两个因数的积是48，小明把其中的一个因数扩大到原来的4倍，把另一个因数缩小到原来的，想一想小明计算后的积是多少。 13．希望小学六年级有男生200人，女生人数比男生人数少，女生有多少人？ 14．有长、短两根绳子，长绳长2.8m，短绳的长度是长绳长度的．把这两根绳子接起来有多长？(接头处忽略不计) 15．一只乒乓球从高处下落，每次弹起的高度是下落高度的．如果一只乒乓球从15米的高处下落，他第二次弹起的高度是多少米？ 16．故宫是全世界现存规模最大的宫殿建筑群，占地面积72万平方米，天安门广场的占地面积比故宫少，天安门广场占地面积是多少万平方米？ 17．“要想富，先修路”，模范村要新修一条长4.8千米的盘山公路．已经修了全长的，还剩多少米没修？ 18．某商场在酬宾促销活动中，有一款手机原价是2400元，现价比原价降低了．这款手机现在的售价是多少元？ 19．仓库里原有大米340吨，第一次取出它的，第二次取出它的，还剩多少吨大米？ 20．长江汉口江滩和武昌江滩是武汉人最熟悉的江滩，它们的颜值再次升级！正在修建的武昌江滩观光道全长6.5千米，新修建的汉口江滩观光道比武昌江滩观光道全长的多0.33千米。新修建的汉口江滩观光道全长多少千米？ 21．一种花生每吨可以榨出花生油吨，照这样计算，吨花生可以榨出花生油多少吨？ 22．学校开运动会，买来24瓶汽水，买来的矿泉水的箱数比汽水的箱数多，买了多少箱矿泉水？ 23．果园有果树150棵，其中是桃树，是梨树，剩下的是苹果树，苹果树有多少棵？ 24．一盒饼干装饼干千克，一箱饼干装20盒，正好装了5箱，这些饼干一共有多少千克？ 25．一瓶假日飞雪原来含量升，现在厂家实行促销活动，在每瓶中加量，现在每瓶含多少升？ 26．新华小学举办“变废为宝，美化校园”作品大赛。五、六年级共上交作品256件。其中五年级上交的作品是六年级的。两个年级各上交作品多少件？ 27．学校买来80本故事书，60本科技书，这些书相当于学校买的各类书总数的。学校一共买来多少本书？ 28．货车每小时行驶80千米，客车的速度比货车快，客车每小时行驶多少千米？ 29．学校食堂库房里有840千克大米，已经吃了300千克，还要吃多少千克恰好是总数的？ 30．新山乡去年植树造林125公顷，今年植树造林的面积比去年增加了，今年植树造林多少公顷？ 31．六（1）班有学生45人，参加学校社团的人数占全班人数的，参加社团的男同学人数占社团人数的，六（1）班参加社团的男同学有多少人？ 32．在这学期的读书月活动中，丽丽共借阅了48本课外书籍。丽丽借书的本数的正好是强强的本数。强强借了多少本课外书籍？ 33．两列货车从相距450 千米的两个城市相向开出，甲车每小时行40千米 ，乙车每小时比甲车多行，出发几小时后两车相遇？ 34．一袋大米重25千克，先吃了这袋大米的，又吃了千克。两次一共吃了多少千克？ 35．远大超市进来一批伊利牛奶，第一天卖了240箱，第二天卖的比第一天多，求两天共卖了多少箱？ 参考答案： 1．460棵 【分析】桃树占其他三种树的，说明桃树占总棵数的，杏树占其他三种树的，说明杏树占总棵数的，梨树占其他三种树的，说明梨树占总棵数的，将总棵数看作单位“1”，则苹果树占总棵数的（1－－－），总棵数×苹果树对应分率＝苹果树棵数，据此列式解答。 【详解】1200×（1－－－） ＝1200×（1－－－） ＝1200× ＝460（棵） 答：苹果树种了460棵。 【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数和分数乘法的意义，确定苹果树占总棵数的几分之几。 2．220天 3．60千克 【分析】把运回的大米总重量看作单位“1”，已经用去，还剩（1－），根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少，用乘法，用150千克乘（1－），即可求出还剩下的大米的重量。 【详解】150×（1－） ＝150× ＝60（千克） 答：还剩60千克大米。 【点睛】此题的解题关键是理解分数乘法的意义，掌握求一个数的几分之几是多少的计算方法，从而解决问题。 4．1500米 【分析】把公路的全长看作单位“1”，，用公路的全长乘1减去第一周修的即可。 【详解】2400×（1－） ＝2400× ＝1500（米） 答：第二周要修1500米。 【点睛】本题考查分数混合运算及应用。 5．30×1/6=5（吨） 6．490名 【分析】把六年级的学生人数看作单位“1”，五年级的学生人数比六年级多，已知一个数，求比这个数多几分之几的数是多少的计算方法：这个数×（1＋分率），五年级的学生人数＝六年级的学生人数×（1＋），据此解答。 【详解】420×（1＋） ＝420× ＝490（名） 答：五年级有490名学生。 【点睛】掌握求比一个数多几分之几的数是多少的计算方法是解答题目的关键。 7．459万个 【分析】由题意可知，把上半年生产口罩数看作单位“1”，根据下半年生产口罩的数量是上半年，用乘法求出下半年生产口罩数量，再相加得解。 【详解】255＋255× ＝255＋204 ＝459（万个） 答：今年口罩总产量大约459万个。 【点睛】此题考查的是求一个数的几分之几是多少用乘法。 8．42页 【分析】一本140页的故事书，第一天看了全书的，根据分数乘法意义，可求出第一天看的页数，（页）；第二天看的是第一天的，同理求得第二天看的页数；进而求出第三天看的页数。 【详解】第一天看的（页） 第二天看的：（页） 第三天看的：（页） 答：第三天还要看42页才能看完全书。 【点睛】此题主要考查了“已知一个数，求它的几分之几是多少”的应用题，用乘法计算。 9．4200升 【分析】求一个数的几分之几是多少，用乘法，用宽的长度乘求出长方体的高；再利用长方体的体积（容积）公式：V＝abh，代入数据，即可求长方体的容积。 【详解】15×＝10（分米） 28×15×10＝4200（立方分米） 4200立方分米＝4200升 答：这个水箱最多能装水4200升。 【点睛】此题的解题关键是利用分数乘法的意义求出长方体的高，再根据长方体的体积公式求解。 10．75朵 【分析】黄花的朵数是红花的，用90×即可求解。 【详解】90×＝75（朵） 答：同学们做了75朵黄花。 【点睛】此题考查分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少用分数乘法。 11．48辆 【分析】公交车约200辆＝纯电动车数量，据此解答即可。 【详解】（辆） 答：纯电动公交车有48辆。 【点睛】本题考查分数乘法，解答本题的关键是找到题中的数量关系式。 12．64 【分析】根据积的变化规律可知，一个因数不变，另一个扩大到原来的几倍，积就扩大相同的倍数；另一个因数缩小到原来的几分之一，积也缩小到原来的几分之一，据此解题即可。 【详解】48×4× ＝192× ＝64 答：小明计算后的积是64。 13．180人 【分析】女生人数比男生人数少，那么女生人数是男生人数的，据此利用乘法求出女生人数即可。 【详解】200×（1－） ＝200× ＝180（人） 答：女生有180人。 【点睛】本题考查了分数乘法的应用，求比一个数少几分之几的数是多少，用乘法。 14．(m) 【详解】略 15．答：他第二次弹起的高度是米 【详解】第二次弹起的高度： 15××=（米） 答：他第二次弹起的高度是米 16．44万平方米 【分析】天安门广场占地面积＝故宫的占地面积×（1－），据此计算。 【详解】72×（1－） ＝72× ＝44（万平方米） 答：天安门广场占地面积是44万平方米。 【点睛】掌握求比一个数少几分之几的数是多少的计算方法是解答题目的关键。 17．2.7千米 【解析】略 18．2100元 【详解】2400×(1－)＝2100(元) 19．153吨 【详解】（吨） 20．5.53千米 【分析】由题意可知：武昌江滩观光道的全长是单位“1”，武昌江滩观光道全长6.5千米，求一个数的几分之几是多少用乘法计算，即一个数（单位“1”的量）×几分之几＝部分量。据此用6.5×可求出武昌江滩观光道全长的的长度（5.2千米），再用5.2＋0.33即可求出新修建的汉口江滩观光道的全长。 【详解】6.5×＋0.33 ＝5.2＋0.33 ＝5.53（千米） 答：新修建的汉口江滩观光道全长5.53千米。 21．吨 【分析】用花生的吨数乘每吨花生可以榨出花生油的吨数即可。 【详解】（吨） 答：吨花生可以榨出花生油吨。 【点睛】熟练掌握分数乘法的计算方法是解答本题的关键。 22．27箱 【详解】略 23．25棵 【详解】150×（1－－）=25（棵） 答：苹果树有25棵． 24．×20×5＝20(千克)　答：这些饼干一共有20千克． 【详解】略 25．升 【详解】＋×＝ (升) 26．五年级96件；六年级160件 【分析】由题意可知：假设六年级上交的作品是x件，那么五年级上交的作品为x件，五、六年级共上交作品256件，根据五年级上交的作品数＋六年级上交的作品数＝五、六年级共上交作品，即可解答。 【详解】解：设六年级上交的作品有x件。 x＋x＝256 x＝256 x＝256× x＝160 五年级上交的作品：×160＝96（件） 答：五年级上交作品96件，六年级上交作品160件。 【点睛】此题考查了分数乘法及含有两个未知数的方程的应用。 27．490本 【分析】故事书和科技书的总和除以，就可以求出总数。 【详解】（80＋60）÷＝490 【点睛】本题主要考查分数的乘法。 28．100千米 【分析】把货车每小时行驶的速度看作单位“1”，客车每小时行驶的速度等于货车每小时行驶速度的（1＋），据此列出算式解答即可。 【详解】80×（1＋） ＝80× ＝100（千米） 答：客车每小时行驶100千米。 29．372千克 【分析】从题意可知：以大米总数为单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用840×＝672千克，就求出了两次吃的大米的总量。用672－300即可求出还要吃多少千克。据此解答。 【详解】 ＝672－300 ＝372（千克） 答：还要吃372千克恰好是总数的。 30．130公顷 【分析】根据题意，直接列式计算即可。 【详解】 ＝ ＝130（公顷） 答：今年植树造林130公顷。 【点睛】本题考查了分数乘法的应用，能够正确理解题意并列式是解题的关键。 31．20人 【分析】将总人数看作单位“1”，用总人数×参加社团人数对应分率×参加社团男同学对应分率即可。 【详解】45××＝20（人） 答：六（1）班参加社团的男同学有20人。 【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数乘法的意义。 32．42本 【分析】把丽丽借阅的课外书籍的数量看作单位“1”，丽丽借书的本数的正好是强强的本数，即强强借的本数是丽丽的，用丽丽借阅课外书的本数×，即可求出强强借的本数，据此解答。 【详解】48×＝42（本） 答：强强借了42本课外书籍。 【点睛】熟练掌握求一个数的几分之几是多少的计算方法是解答本题的关键。 33．5小时 【分析】把甲车速度看成单位“1”，则乙车每小时行驶40×（1＋）千米，相遇时间＝路程÷速度和，代入数据解答即可。 【详解】乙车速度：40×（1＋）＝50（千米）； 450÷（40＋50） ＝450÷90 ＝5（小时） 答：出发5小时后两车相遇。 【点睛】解答此题的关键是先计算出乙车的速度，然后运用公式计算即可。 34．千克 【分析】第一个是分率，先吃了一袋大米的，把一袋大米的质量看作单位“1”，第一次吃了25千克的用乘法计算具体重量，第二个千克是具体质量，可以直接参与计算。据此解答。 【详解】 （千克） 答：两次一共吃了千克。 35．540箱 【详解】240×（1+ ）+240=540（箱） 学科网（北京）股份有限公司 $$