专题03 勾股定理（考题猜想，易错必刷60题10种题型）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（鲁教版五四制）

专题03 勾股定理（易错必刷60题10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 利用勾股定理求边长 · 利用勾股定理求图形面积 · 勾股定理的证明 · 勾股定理判定直角三角形 · 利用勾股定理求最短路径 · 勾股数问题应用 · 折叠问题 · 勾股定理与网格结合的应用 · 勾股定理逆定理的应用 · 勾股定理的实际应用问题 · 一．利用勾股定理求边长（共6小题） 1．一个直角三角形的面积为96，并且两直角边的比是，则这个三角形的斜边为（     ） A．10 B．8.5 C．20 D．15 2．如图，在中，，，，于．沿折叠到，则点到边的距离为 ． 3．如图，长方体盒子的长、宽、高分别是，则盒子内可放木棒最长的长度为 ． 4．为了提高同学们的数学核心素养，2024年春季学期昭通市某学校组织了一次研学活动，要求同学们合作搭建帐篷．如图是他们搭建帐篷的支架示意图．在中，两根支架从帐篷顶点A支撑在水平的支架上，一根支架于点B，另一根支架的端点C在线段上，且．经测量，，求的长． 5．如图，在四边形中，，且，求的长． 6．如图，在中，于点D，． (1)求的长． (2)求与的面积比． 二．勾股数问题应用（共6小题） 7．下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．，1， B．3，4，7 C．1，， D．6，8，10 8．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11 9．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（     ） A．2023 B．2022 C．2021 D．1 10．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，m为正整数），则其股是 （结果用含m的式子表示）． 11．我们把满足的三个正整数a，b，c称为“勾股数”．若是一组勾股数，n为正整数． (1)当，时，请用含n的代数式表示，并直接写出n取何值时，a为满足题意的最小整数； (2)当，时，用含n的代数式表示，再完成下列勾股数表． a b c _____ 40 41 11 60 _____ 12．在中国古代数学著作《周髀算经》中就对勾股定理和勾股数有过一定的描述，所谓勾股数一般是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，观察下面的表格中的勾股数： … … … (1)当时，______，______． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）． (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 三．利用勾股定理求图形面积（共6小题） 13．如图中的字母x代表的正方形的边长为（     ） A．2 B．4 C．8 D．16 14．如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为．若．则图中阴影部分的面积为（　 　） A．6 B． C．5 D． 15．如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 16．如图，在四边形中，，分别以，，，为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用，，，来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 17．如图，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则为 ． 18．图中代表的是所在的正方形的面积，则的值是 ． 四．折叠问题（共6小题） 19．如图，将直角边，的直角纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（     ） A． B． C． D． 20．如图，长方形纸片，，现将其沿对折，使得点C与点A重合，则的面积为（     ） A． B．18 C． D． 21．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　 　　） A． B． C． D． 22．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（     ）    A． B． C． D． 23．如图，在中，，，，、分别是边、上的点，把沿直线折叠，顶点的对应点恰好落在的中点，则的长度为 . 24．如图所示，有一张长方形纸片，，．现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求 ． 五．勾股定理的证明（共6小题） 25．新方向模型思想我们在学习勾股定理的第2课时时，如图所示可以用来验证勾股定理的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，曾用几个全等的直角三角形通过拼接，巧妙利用面积关系证明了勾股定理，体现了我国古代劳动人民的伟大智慧.下面四个图形是用4个全等的直角三角形拼接而成的图形，其中不能得出勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 27．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（     ） A．B． C．D． 28．我们刚刚学习的勾股定理是一个基本的平面几何定理，也是数学中最重要的定理之一．勾股定理其实有很多种方式证明．下图是1876年美国总统Garfield证明勾股定理所用的图形： 以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示梯形形状，使C、B、D三点在一条直线上． 你能利用该图证明勾股定理吗？写出你的证明过程． 29．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理． 下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：． 30．勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，有资料表明关于勾股定理的证明方法已有500余种．下面给出几种证明勾股定理的图形，请你根据图形及提示证明勾股定理（备注：图中所有直角三角形都是以c为斜边，a，b为直角边的全等三角形） (1)毕达哥拉斯的证法（图1）：（补充完整以下证明过程） 证明：正方形①的面积________． 正方形②的面积________． 又正方形①与正方形②的边长相等 ________________ (2)请你写出弦图（图2）的另一种证法： 六．勾股定理与网格结合的应用（共6小题） 31．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（     ） A． B． C． D． 32．如图在的方格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点（网格线的交点）上，则边上的高为 ．    33．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)画出关于直线的对称图形（不写画法）； (2)在直线上画出点Q，使的值最小，并直接写出此时的最小值的平方． 34．问题背景：在中，、、三边的长分别为求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示，这样不需求的高，借用网格就能计算出它的面积． (1)请将的面积直接填写在横线上______； (2)在图中画，使三边、、的长分别为、，，并判断的形状，说明理由． 35．如图，方格中小正方形的边长为1， (1)请以为直角边作一个格点直角三角形； (2)求 的面积； 36．问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题，图1、图2都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． 操作发现：小颖在图1中画出，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边分别经过点A，B．她借助此图求出了的面积．    (1)在图1中，小颖所画的的三边长分别是____________________，__________，的面积为__________， (2)解决问题：已知在中，，，，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出，并求出的面积． 七．勾股定理判定直角三角形（共6小题） 37．△ABC三边为a，b，c，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 38．中，，，的对边分别记为，，，由下列条件不能判定为直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 39．在中，若，则下列说法正确的是（　 　） A．是锐角三角形 B．是直角三角形且 C．是直角三角形且 D．是钝角三角形 40．已知中，a、b、c分别是、、的对边，下列条件能判断是直角三角形的个数有（　　 ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 41．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论：①；②的面积为10；③；④点A到直线的距离是2．其中正确的结论是 ．（填序号） 42．如图，在中，于点D，，，．    (1)求的长； (2)求的长； (3)求证：是直角三角形． 八．勾股定理逆定理的应用（共6小题） 43．下列命题中，其中正确命题的个数为（     ）个 ①中，已知两边长分别为3和4，则第三边为5； ②有一个内角等于其他两个内角和的三角形是直角三角形； ③三角形的三边分别为，，若，则 ④在中，，则为直角三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 44．如图，电工黄师傅为了确定新栽的电线杆与地面是否垂直，他从电线杆上离地面处向地面拉一条长的缆绳，当黄师傅量得这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部距离为 时，这根电线杆便与地面垂直了． 45．如图，在四边形中，， (1)证明：是直角三角形； (2)求四边形的面积． 46．如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 47．如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且． (1)求修建的公路的长； (2)若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 48．在一条东西走向的河流一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)求的度数； (2)求原来的路线的长． 九．利用勾股定理求最短路径（共6小题） 49．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（     ） A． B． C． D． 50．临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（     ） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 51．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ 　　） A． B． C． D． 52．一个圆柱底面周长为，高为，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为 ． 53．如图，是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高．一只蚂蚱从点A爬到点C，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 m． 54．如图，圆柱形杯子容器高为，底面周长为，在杯子内壁离杯底 的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为 ． 一十．勾股定理的实际应用问题（共6小题） 55．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米，若梯子的顶端沿墙下滑1米，这时梯子底端也恰好外移1米，则梯子的长度为（    ） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 56．如图，大风把一棵树刮断，量得，，则树刮断前的高度为 ． 57．我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是 尺 58．某市园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 59．如图，一艘船由A岛沿北偏东方向航行至B岛，然后再沿北偏西方向航行至C岛． (1)求A，C两岛之间的距离； (2)确定C岛在A岛的什么方向？ 60．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ $$专题03 勾股定理（易错必刷60题10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 利用勾股定理求边长 · 利用勾股定理求图形面积 · 勾股定理的证明 · 勾股定理判定直角三角形 · 利用勾股定理求最短路径 · 勾股数问题应用 · 折叠问题 · 勾股定理与网格结合的应用 · 勾股定理逆定理的应用 · 勾股定理的实际应用问题 · 一．利用勾股定理求边长（共6小题） 1．一个直角三角形的面积为96，并且两直角边的比是，则这个三角形的斜边为（     ） A．10 B．8.5 C．20 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，设两直角边的长度分别为，，根据直角三角形的面积为96得出，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵两直角边的比是， ∴设两直角边的长度分别为，， 由题意得：， 解得：， ∴这个三角形的斜边为， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理进行求解即可． 2．如图，在中，，，，于．沿折叠到，则点到边的距离为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积公式、折叠的性质，由勾股定理得出，由三角形面积公式得出，求出，，由折叠的性质可得：，，推出，设点到边的距离为，再由三角形面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， 设点到边的距离为，则， ∴，即点到边的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、三角形面积公式、折叠的性质，再利用勾股定理进行求解即可． 3．如图，长方体盒子的长、宽、高分别是，则盒子内可放木棒最长的长度为 ． 【答案】/14厘米 【分析】本题考查勾股定理的应用，先利用勾股定理求出底面长方形的对角线的长，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：底面长方形的对角线长为：， ∴盒子内可放木棒最长的长度为； 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，先利用勾股定理求出底面长方形的对角线的长，再利用勾股定理进行求解即可． 4．为了提高同学们的数学核心素养，2024年春季学期昭通市某学校组织了一次研学活动，要求同学们合作搭建帐篷．如图是他们搭建帐篷的支架示意图．在中，两根支架从帐篷顶点A支撑在水平的支架上，一根支架于点B，另一根支架的端点C在线段上，且．经测量，，求的长． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，设，则，，根据勾股定理得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则，， ， ， 在中，， ，解得． ∴的长为． 【点睛】本题考查了勾股定理，利用勾股定理进行求解即可． 5．如图，在四边形中，，且，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，连接，求出即可求解； 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴ 解得： 【点睛】本题考查了勾股定理，利用勾股定理进行求解即可． 6．如图，在中，于点D，． (1)求的长． (2)求与的面积比． 【答案】(1)的长为 (2)与的面积比为 【分析】本题考查勾股定理： （1）勾股定理求出的长即可； （2）勾股定理求出的长，进而求出的长，利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：； （2）在中，由勾股定理，得：； ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理、三角形面积公式，再利用勾股定理进行求解即可． 二．勾股数问题应用（共6小题） 7．下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．，1， B．3，4，7 C．1，， D．6，8，10 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数和勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A、，1，不是整数，故此选项不符合题意； B、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、1，，不是整数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股数和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 8．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了勾股数和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 9．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（     ） A．2023 B．2022 C．2021 D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图， 由题意得，正方形的面积为1， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， “生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2023， 故选：A 【点睛】本题考查了勾股数和勾股定理的逆定理，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 10．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，m为正整数），则其股是 （结果用含m的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股数的定义及求法：满足的三个正整数称为勾股数；根据题意得为偶数，设其股是，则玄为，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：∵m为正整数， ∴为偶数， 设其股是a，则弦为， 根据勾股定理得，， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股数和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 11．我们把满足的三个正整数a，b，c称为“勾股数”．若是一组勾股数，n为正整数． (1)当，时，请用含n的代数式表示，并直接写出n取何值时，a为满足题意的最小整数； (2)当，时，用含n的代数式表示，再完成下列勾股数表． a b c _____ 40 41 11 60 _____ 【答案】(1)，当时，满足题意的最小整数 (2)，9，61 【分析】本题（1）根据变形式 可得到结果，根据的算术平方根是最小整数得到结果； （2）根据变形式得到结果，根据变形式 得即可得到c的值，根据变形成 得到a的值． 【详解】（1）解：， 把，代入中， 得， ∵n为正整数， ∴当时，满足题意的最小整数； （2）， ，，， ，，， 补全勾股数表如下： 【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，准确理解题意是解题的关键． 12．在中国古代数学著作《周髀算经》中就对勾股定理和勾股数有过一定的描述，所谓勾股数一般是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，观察下面的表格中的勾股数： … … … (1)当时，______，______． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）． (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1)60  61 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据表格中的数据即可得到答案； （2）．根据表格中的数据找出规律即可得到答案； （3）根据勾股定理的逆定理即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：60，61 （2）解：由（1）可得，， 当时， （3）解： ． 结论成立． 【点睛】本题主要考查了勾股数，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股数是解题的关键． 三．利用勾股定理求图形面积（共6小题） 13．如图中的字母x代表的正方形的边长为（     ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理求出得值，进而求出正方形的边长即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， 即：字母x代表的正方形的面积为16， ∴正方形的边长为4； 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理，根据勾股定理进行求解。 14．如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为．若．则图中阴影部分的面积为（　 　） A．6 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理， 由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， 即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键． 15．如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设正方形D的面积为x，根据图形得出方程，求出即可． 【详解】解：设正方形D的面积为x， ∵正方形A、B、C的面积依次为2、4、8， ∴根据图形得：， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解此题的关键是能根据题意得出方程． 16．如图，在四边形中，，分别以，，，为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用，，，来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，根据勾股定理，结合正方形的面积，建立面积关系计算即可． 【详解】解：连接， ， ，， 即， ， 选项符合题意， ，，，大小关系不确定， 其他选项不确定， 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟知勾股定理是解题的关键． 17．如图，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，属于基础题．根据勾股定理直接代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理的内容是解题的关键。 18．图中代表的是所在的正方形的面积，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理， 由正方形的面积公式可知，，再由勾股定理即可得解． 【详解】解：由正方形的面积公式可知，， 根据勾股定理，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积公式等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 四．折叠问题（共6小题） 19．如图，将直角边，的直角纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，比较简单．设，先根据翻折变换的性质可得到，则，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设，则， 是沿直线翻折而成， ， 是直角三角形， ， 即， 解得． 故选：B 【点睛】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，根据勾股定理即可求解． 20．如图，长方形纸片，，现将其沿对折，使得点C与点A重合，则的面积为（     ） A． B．18 C． D． 【答案】A 【分析】本题主由矩形性质和对折性质得到 ，设，则，在中，由勾股定理求得，结合运用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵矩形纸片中，， ∴， 由对折知， ， 设，则， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的翻折．熟练掌握矩形性质，折叠性质，勾股定理解直角三角形，三角形面积公式求三角形面积，是解题关键． 21．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　 　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠，得到，设，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， 设，则：， 由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查了矩形的翻折．熟练掌握矩形性质，折叠性质，勾股定理解直角三角形，三角形面积公式求三角形面积，是解题关键． 22．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，先设，再根据图形翻折变换的性质得出，再根据勾股定理求出的值． 【详解】解：设，则， 是翻折而成， ， 在中，， 即， 解得． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的翻折．熟练掌握折叠性质，勾股定理解直角三角形是解题关键． 23．如图，在中，，，，、分别是边、上的点，把沿直线折叠，顶点的对应点恰好落在的中点，则的长度为 . 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，由点是直角边的中点，可以得到的长度，再利用翻折得到，在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：在中，，，， 点是直角边的中点， ， 根据折叠的性质，得， ， 设为，则：， 在中：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，解答本题的关键要明确：在折叠过程中，对应角和对应边相等． 24．如图所示，有一张长方形纸片，，．现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求 ． 【答案】3 【分析】本题先利用勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，，，求出，然后在中，利用勾股定理构建方程，即可求出． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠得：，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题。 五．勾股定理的证明（共6小题） 25．新方向模型思想我们在学习勾股定理的第2课时时，如图所示可以用来验证勾股定理的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，根据面积相等验证，可得答案． 【详解】∵， ∴. 所以图1，3符合题意； ∵图形的面积表示为：，， ∴， 所以图2符合题意． 图4不能验证勾股定理． 所以符合题意的有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键． 26．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，曾用几个全等的直角三角形通过拼接，巧妙利用面积关系证明了勾股定理，体现了我国古代劳动人民的伟大智慧.下面四个图形是用4个全等的直角三角形拼接而成的图形，其中不能得出勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 【详解】选项A：如图， 大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得， 故选项A能得出勾股定理； 选项B：如图， 由图可得：， 整理得， 故选项B能得出勾股定理； 选项C：如图， 证明：由图可知 ，，正方形边长为， 即． 故选项C能得出勾股定理； 选项D不能得出勾股定理； 故选：D 【点睛】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键． 27．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（     ） A．B． C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】解：A、大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和， ， 以上公式为完全平方公式，故A选项不能说明勾股定理， B、由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ， 整理可得，故B选项可以证明勾股定理， C、大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故C选项可以证明勾股定理， D、整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ， 整理得，故D选项可以证明勾股定理， 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键． 28．我们刚刚学习的勾股定理是一个基本的平面几何定理，也是数学中最重要的定理之一．勾股定理其实有很多种方式证明．下图是1876年美国总统Garfield证明勾股定理所用的图形： 以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示梯形形状，使C、B、D三点在一条直线上． 你能利用该图证明勾股定理吗？写出你的证明过程． 【答案】见解析 【分析】此题考查了勾股定理的证明，此题主要利用了三角形的面积公式：底高，和梯形的面积公式：（上底下底）高证明勾股定理． 用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理． 【详解】解：， ． ， ． ． 是一个等腰直角三角形，． 又， ． ， 即． 【点睛】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键． 29．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理． 下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理即可得到勾股定理表达式． 【详解】证明：如图（1），连接，过点作边上的高，则． ， ， ， ． 【点睛】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键． 30．勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，有资料表明关于勾股定理的证明方法已有500余种．下面给出几种证明勾股定理的图形，请你根据图形及提示证明勾股定理（备注：图中所有直角三角形都是以c为斜边，a，b为直角边的全等三角形） (1)毕达哥拉斯的证法（图1）：（补充完整以下证明过程） 证明：正方形①的面积________． 正方形②的面积________． 又正方形①与正方形②的边长相等 ________________ (2)请你写出弦图（图2）的另一种证法： 【答案】(1)；；； (2)证明见解析 【分析】本题（1）根据面积列式即可； （2）根据大正方形的面积4个三角形的面积小正方形的面积列式即可． 【详解】（1）证明：∵正方形①的面积， 正方形②的面积， 又∵正方形①与正方形②的边长相等， ∴， ∴； （2）证明：由图可知大正方形的面积4个三角形的面积小正方形的面积， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，根据题意找到等量关系是解题的关键． 六．勾股定理与网格结合的应用（共6小题） 31．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了割补法求三角形的面积和等面积法，以及勾股定理，根据题意利用割补法求得的面积，利用勾股定理算出的长，再利用等面积法即可求得的长． 【详解】解：由题可得： ， ， ， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了割补法求三角形的面积和等面积法，以及勾股定理，熟练应用勾股定理是解题的关键。 32．如图在的方格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点（网格线的交点）上，则边上的高为 ．    【答案】 【分析】此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，易求的面积，再根据勾股定理可求出的长，进而根据面积公式即可求得边上的高的长． 【详解】解：由题意可得， 又， 边上的高为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了割补法求三角形的面积和等面积法，以及勾股定理，熟练应用勾股定理是解题的关键。 33．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)画出关于直线的对称图形（不写画法）； (2)在直线上画出点Q，使的值最小，并直接写出此时的最小值的平方． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析， 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，轴对称最短路径问题，勾股定理： （1）根据轴对称图形的特点，找到A、B、C对应点的位置，然后连线即可； （2）连接交于点Q，此时的值最小，最小值即为线段的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，连接交于点Q，此时的值最小，最小值即为线段的长， 由网格的特点和勾股定理可得． 【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，轴对称最短路径问题，勾股定理。 34．问题背景：在中，、、三边的长分别为求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示，这样不需求的高，借用网格就能计算出它的面积． (1)请将的面积直接填写在横线上______； (2)在图中画，使三边、、的长分别为、，，并判断的形状，说明理由． 【答案】(1)； (2)画图见解析，是直角三角形，见解析 【分析】（1）用割补法把三角形补成一个矩形，用矩形的面积减去个三角形的面积即可解答； （2）根据，即可找出线段、、，再利用勾股定理的逆定理即可求解． 本题考查三角形的面积，勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． 【详解】（1）． 故答案为：； （2）由，确定，，， 如图所示，即为所求： ，即， 是直角三角形． 【点睛】本题考查了割补法求三角形的面积和等面积法，以及勾股定理，熟练应用勾股定理是解题的关键。 35．如图，方格中小正方形的边长为1， (1)请以为直角边作一个格点直角三角形； (2)求 的面积； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意作出，可得，，，得出，推出，得出直角三角形即可； （2）根据三角形面积公式计算即可求解． 【详解】（1）如图，即为所作； （2）根据勾股定理知，，， 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积．灵活运用勾股定理及其逆定理是解题的关键． 36．问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题，图1、图2都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． 操作发现：小颖在图1中画出，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边分别经过点A，B．她借助此图求出了的面积．    (1)在图1中，小颖所画的的三边长分别是____________________，__________，的面积为__________， (2)解决问题：已知在中，，，，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出，并求出的面积． 【答案】(1)，，， (2)图见解析，的面积为3 【分析】本题（1）利用勾股定理可求出的长，利用正方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可得的面积； （2）先利用勾股定理和网格特点分别画出，再利用正方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可得的面积． 【详解】（1）解：由图可知，， ， ， 的面积为， 故答案为：，，，． （2）解：在图2的正方形网格中画出如下：    则的面积为． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题关键． 七．勾股定理判定直角三角形（共6小题） 37．△ABC三边为a，b，c，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理对四个选项进行逐一判断即可． 【详解】A、，即，能构成直角三角形，故本选项不符合要求； B、，结合可得，能构成直角三角形，故本选项不符合要求； C、，能构成直角三角形，故本选项不符合要求； D、，不能构成直角三角形，故本选项符合要求． 故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理对四个选项进行逐一判断即可． 38．中，，，的对边分别记为，，，由下列条件不能判定为直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：A、∵， 设，，， 又， 则，解得， 则，不是直角三角形，符合题意； B、∵， 设，，， 又， 则，解得， 则，是直角三角形，不合题意； C、由，得，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不合题意； D、∵ 设，，， ，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理及勾股定理的逆定理。 39．在中，若，则下列说法正确的是（　 　） A．是锐角三角形 B．是直角三角形且 C．是直角三角形且 D．是钝角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．根据勾股定理的逆定理进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形，且， 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理及勾股定理的逆定理。 40．已知中，a、b、c分别是、、的对边，下列条件能判断是直角三角形的个数有（　　 ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：①， ∴， ∵ ∴ ∴，故是直角三角形； ②，则，故是直角三角形； ③，则，故不是直角三角形； ④，因为，则是直角三角形； ⑤∵， ∴，故是直角三角形； ⑥∵， ∴， ∵ ∴ ∴，故不是直角三角形； 综上所述，是直角三角形的个数有4个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理． 41．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论：①；②的面积为10；③；④点A到直线的距离是2．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题利用勾股定理求出的长，即可判断①；利用勾股定理分别求出、、的长，然后用勾股定理的逆定理即可判断③；利用③的结论即可求解判断②；设到的距离为，利用面积法即可求出，即可判断④． 【详解】解：根据网格可得， ， ， ∴①正确； ， ∴三角形是直角三角形，， ∴③正确； ， ∴②错误； ， ， ∴到的距离为2， ∴④正确， 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，点到直线的距离，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 42．如图，在中，于点D，，，．    (1)求的长； (2)求的长； (3)求证：是直角三角形． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题（1）在中，根据勾股定理进行计算即可； （2）在中根据勾股定理进行计算即可； （3）根据题意得到，根据勾股定理证明即可． 【详解】（1）解：在中，于点D， 故在中， ； （2）解：在中，于点D， 在中， ； （3）证明：， ， 故是直角三角形． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理。 八．勾股定理逆定理的应用（共6小题） 43．下列命题中，其中正确命题的个数为（     ）个 ①中，已知两边长分别为3和4，则第三边为5； ②有一个内角等于其他两个内角和的三角形是直角三角形； ③三角形的三边分别为，，若，则 ④在中，，则为直角三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形的判定，利用勾股定理及其逆定理、三角形内角和定理即可判定． 【详解】解：若4是斜边，则第三边为, 若4是直角边，则第三边为, 故①错误； ∵三角形的内角和为， ∴若三角形中一个内角等于其它两个内角的和，则这个角的度数为， ∴这个三角形是直角三角形， 故②正确； ∵三角形的三边a、b、c满足， ∴中，， 故③错误； ∵在中，， ∴， ∴是直角三角形， 故④正确； 综上所述，上述四个命题中，正确的有2个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查直角三角形的判定，利用勾股定理及其逆定理、三角形内角和定理即可判定． 44．如图，电工黄师傅为了确定新栽的电线杆与地面是否垂直，他从电线杆上离地面处向地面拉一条长的缆绳，当黄师傅量得这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部距离为 时，这根电线杆便与地面垂直了． 【答案】6 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，根据勾股定理的逆定理即可得到结论，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 【详解】解：标记点如下图： 要使得这根电线杆便与地面垂直，即， 则只需保证， 由题意可知： ∴， ∴当黄师傅量得这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部距离为时，这根电线杆便与地面垂直了． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查直角三角形的判定，利用勾股定理及其逆定理、三角形内角和定理即可判定． 45．如图，在四边形中，， (1)证明：是直角三角形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据，，，易得，可证是直角三角形，； （2）首先把求四边形的面积分割为求和的面积，然后利用三角形的面积公式分别求出这两个三角形的面积，最后将两个三角形的面积相加就可以求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：，，， ，， ， 是直角三角形，且； （2）解：解：，，， ， 四边形的面积的面积的面积 ． 【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形． 46．如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)AC的长为5 (2)四边形的面积为36 【分析】(1)利用勾股定理直接计算求解即可． (2) 根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根据面积公式计算即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）∵，，， ∴， 故得长为5． （2）∵，，， 且， ∴， ∴四边形面积为： =． 【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形． 47．如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且． (1)求修建的公路的长； (2)若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）先利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，再结合三角形的面积求出的长即可； （2）先利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差求解即可。 【详解】（1）解：∵，， ∴是直角三角形，， ∵， ∴． 故修建的公路的长是； （2）解：在中，， 一辆货车从C处经过D点到B处的路程． 故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是． 【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形． 48．在一条东西走向的河流一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)求的度数； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1) (2)8.45千米 【分析】本题（1）利用勾股定理的逆定理推导为直角三角形，即可获得答案； （2）设，则，在中，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，可知千米，千米，千米， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，； （2）由（1）可知，，即， 设，则， 在中，可有， 即，解得， ∴千米， 即原来的路线的长为8.45千米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握相关知识是解题关键． 九．利用勾股定理求最短路径（共6小题） 49．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题在平面图形上构造直角三角形解决问题．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图所示： ∵长方体的底面边长分别为和，高为． ∴，， ∴． ∴蚂蚁爬行的最短路径长为； 故选：B． 【点睛】本题是平面展开−最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短． 50．临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（     ） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 【答案】A 【分析】根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， 底面周长约为6米，柱身高约16米， ， ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题，解题的关键是能够将圆柱体的侧面展开，并分析出每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形． 51．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ 　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题是平面展开−最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短． 52．一个圆柱底面周长为，高为，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，圆柱的侧面展开图是矩形，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形的边的中点A到顶点B的距离，由勾股定理求出的长即得到问题的答案． 【详解】如图，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形的边的中点A到顶点B的距离， ∵， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题是平面展开−最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短． 53．如图，是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高．一只蚂蚱从点A爬到点C，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 m． 【答案】15 【分析】如图：连接，利用勾股定理求出的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可． 【详解】解：如图所示： 将图展开，图形长度增加， 原图长度增加2米，则， 如图：连接， ∵四边形是长方形，，宽， ∴， ∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走的路程． 故答案为15． 【点睛】本题主要考查了平面展开最短路线问题、勾股定理等知识点，根据题意画出平面展开图是解答题的关键． 54．如图，圆柱形杯子容器高为，底面周长为，在杯子内壁离杯底 的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，轴对称最短路径问题，作点A关于直线的对称点，作交延长线于E，连接交于F，则的长即为所求，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解；如图所示，将圆柱展开， 作点A关于直线的对称点，作交延长线于E，连接交于F， 由题意得，，， ∴由勾股定理得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平面展开最短路线问题、勾股定理等知识点，根据题意画出平面展开图是解答题的关键． 一十．勾股定理的实际应用问题（共6小题） 55．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米，若梯子的顶端沿墙下滑1米，这时梯子底端也恰好外移1米，则梯子的长度为（    ） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，设，则：，巧用梯子的长不变，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴，即：， 解得：， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 56．如图，大风把一棵树刮断，量得，，则树刮断前的高度为 ． 【答案】 【分析】本题该大树折断后，折断部分与地面、原来的树干恰好构成一个直角三角形，利用勾股定理可求出折断部分的长，进而可得树刮断前的高度． 【详解】解：由题意可知，为直角三角形， ， 树刮断前的高度， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 57．我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是 尺 【答案】13 【分析】本题考查勾股定理的应用，设这根芦苇的长度是尺，根据勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设这根芦苇的长度是尺，由题意，得：水深为尺， 由勾股定理，得：， 解得：； 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 58．某市园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)21.6米 (2)8米 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米， 答：风筝的高度为21.6米； （2）解：由题意得，米， 米， （米， （米， 他应该往回收线8米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 59．如图，一艘船由A岛沿北偏东方向航行至B岛，然后再沿北偏西方向航行至C岛． (1)求A，C两岛之间的距离； (2)确定C岛在A岛的什么方向？ 【答案】(1) (2)北偏西 【分析】（1）根据，，推出，在中，利用勾股定理即可求出距离； （2）证明，根据即可求解． 【详解】（1）如图，由题意可知：， ∵， ∴， ∴， 在中，， 答：A，C两岛之间的距离是； （2）又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴C岛在A岛北偏西的方向上． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是对方向角的熟练掌握． 60．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1) (2)海港C受台风影响，理由见解析； (3)4小时 【分析】（1）依据三角形中三边的关系确定的度数； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：， ， ，， （2）解：海港C受台风影响，理由如下： 过点C作， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港C受台风影响； （3）解：当，时，正好影响C港口， ，， ， 台风的速度为， 小时， 答：海港C受台风影响的时间会持续4小时． 【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． $$