三角函数7大易错知识点汇编-2025届高考数学一轮复习

三角函数7大易错知识点汇编-2025年高考数学一轮复习卷 【易错知识点大集结】 目录导航 易错知识点一：角与弧度 易错知识点二：三角函数的性质 易错知识点三：诱导公式 易错知识点四：同角三角函数函数的基本关系 易错知识点五：两角和与差的三角函数 易错知识点六：二倍角的三角函数 易错知识点七：三角函数的应用 【易错知识点一】 角与弧度 1．（2024春•山南市期末）与﹣20°角终边相同的角是（　　） A．﹣300° B．﹣280° C．320° D．340° 2．（2024•湖北开学）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有45齿，小轮有30齿．如果大轮的转速为180r/min（转/分），小轮的半径为10cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是（　　）cm． A．5400π B．90π C．180π D．40π 3．（2023秋•佳木斯期末）玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（　　） A．1600cm2 B．3200cm2 C．3350cm2 D．4800cm2 4．（2024•广汉市校级模拟）若，则点M（cosθ，tanθ）位于第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【易错知识点二】 三角函数的性质 1．（2024秋•南海区月考）函数的最小正周期为（　　） A．4 B．2 C．2π D．π 2．（2024•封丘县校级开学）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上为减函数的是（　　） A．y＝cosx B．y＝2|sinx| C． D．y＝﹣cotx 3．（2024•大同开学）已知函数图象的两相邻对称轴之间的距离为，若存在x1，，使得2f（x1）≤f（x2）成立，则t的最大值为（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2 4．（2024•苏州模拟）考虑函数，记函数，其中[x]为x的整数部分，定义N（m，n，y）为gm（x）在[n﹣1，n）上满足|gm（x）﹣1|＝y的根的个数，则以下说法正确的有（　　） A．gm（x）的值域为（﹣∞，+∞） B． C．gm（x）为周期函数当且仅当为有理数 D．N（e，n，3）≠0对n＝0，1，…，99成立 【易错知识点三】 诱导公式 1．（2023秋•静宁县校级期末）已知，且α为第三象限角． （1）求sinα，tanα的值； （2）求的值． 3．（2023秋•梅河口市校级期末）已知sinα+cosα＝﹣． （1）求sin（+α）•cos（﹣α）的值； （2）若＜α＜π，且角β终边经过点P（﹣3，），求++的值． ++＝﹣+＝． 4．（2023秋•七里河区校级期末）已知． （1）化简f（α）； （2）已知f（α）＝﹣2，求的值． 【易错知识点四】 同角三角函数函数的基本关系 1．（2024春•南昌期末）已知4sinα﹣3cosα＝5． （1）求sinα的值； （2）求的值． 2．（2024春•河南月考）已知． （1）求tanα的值； （2）求的值． 3．（2024春•铜梁区校级月考）已知sinθ，cosθ是方程3x2﹣2x+m＝0的两个实数解． （1）求m的值； （2）若θ为第二象限角，求cosθ﹣sinθ的值． 4．（2024春•兴隆台区校级月考）已知． （1）求的值； （2）求sinα﹣cosα的值； （3）求tanα的值． 【易错知识点五】 两角和与差的三角函数 1．（2024•汉中开学）已知角α∈（0，π），且． （Ⅰ）求sin（π+α）的值； （Ⅱ）求的值． 2．（2024•嘉定区校级学业考试）已知． （1）求tanα的值； （2）若α，，且，求角α+β的值． 3．（2024•海淀区校级开学）已知函数，且． （1）求a的值和f（x）的最小正周期； （2）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间． 4．（2024春•黄埔区校级期中）已知． （1）求f（x）的单调递增区间与对称中心； （2）当x∈[0，a]时，f（x）的取值范围为，求实数a的取值范围． 【易错知识点六】 二倍角的三角函数 1．（2024春•卓尼县校级期末）已知角α满足0＜α＜π，tan（π+α）＝﹣． （1）求sinα和cos2α的值； （2）求的值． 2．（2024春•南阳期末）已知α为锐角，β为钝角，且，． （1）求sin2β的值； （2）求β﹣2α的值． 3．（2024春•香坊区校级期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．． （1）求tan2A的值； （2）若，a＝2，b2＞a2+c2，求c和面积S的值． 4．（2024春•成都期末）已知函数． （1）若，且，求的值； （2）在锐角三角形中，若f（A）＝1，求sinB+sinC的取值范围； （3）设函数，若g（x）＞0在区间上恒成立，求a的取值范围． 【易错知识点七】 三角函数的应用 1．（2024春•房山区期中）将图（1）所示的摩天轮抽象成图（2）所示的平面图形．摩天轮直径为40米，中心O距地面21米，按逆时针方向匀速转动，某游客从最低点A处登上摩天轮，6分钟后第一次到达最高点． （Ⅰ）游客登上摩天轮4分钟后到达B处，求该游客距离地面的高度； （Ⅱ）求该游客距离地面的高度h（单位：米）与他登上摩天轮的时间x（单位：分钟）的函数关系式； （Ⅲ）当该游客登上摩天轮2分钟时，他的朋友在摩天轮最低点A处登上摩天轮．求他和他的朋友距离地面的高度之差的绝对值的最大值． 2．（2024春•宝山区校级期末）如图，某地有三家工厂分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处．AB＝20km，BC＝10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（不含边界）且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道OA、OB、OP．记排污管道的总长度为ykm． （1）设∠BAO＝θ，将y表示成θ的函数并求其定义域； （2）确定污水处理厂的位置，使排污管道的总长度y最短，并求出此时y的值． 3．（2024春•萍乡期末）如图，某城市为升级沿河直线绿道AB的沿途风景，计划在以AB为直径的半圆形空地内部修建一块矩形枫叶林CDEF（C，D在AB上，E，F在半圆上，O为圆心），已知AB全长160m． （1）求枫叶林CDEF面积的最大值； （2）为方便游客休憩打卡，计划在AB的另一侧修建观景木质栈道A﹣G﹣B，已知AG段每米的造价为a元，BG段每米的造价是AG段的两倍，，求修建观景木质栈道A﹣G﹣B所需的费用最多为多少元（结果用a表示）． 4．（2024•广汉市校级模拟）2016年巴西里约奥运会上“Omniverse火炬雕塑”，如图1将数学和物理动力学完美融合，遵循周而复始，成就无限，局部可以抽象成如图2．在如图3平面直角坐标系xOy中，点P以P0为起始点，以O为圆心，半径为2（单位：10米），转速的圆周上按逆时针旋转，点O到地面的距离为a，且a＞3（单位：10米），在如图4平面直角坐标系x′Py′中，点Q以为Q0起始点，以P为圆心，半径为1（单位：10米），转速的圆周上按逆时针旋转． （1）求经过t秒后，点P到地面的距离|PH|及距离|OQ|； （2）若在t∈[0，8]时，存在点P使得2|OQ|＝|PH|成立，求实数a的取值范围． 【易错知识点一】 角与弧度 1．（2024春•山南市期末）与﹣20°角终边相同的角是（　　） A．﹣300° B．﹣280° C．320° D．340° 【解答】解：因为与﹣20°角终边相同的角是﹣20°+360°k，k∈Z， 当k＝1时，这个角为340°， 只有选项D满足，其他选项不满足k∈Z． 故选：D． 2．（2024•湖北开学）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有45齿，小轮有30齿．如果大轮的转速为180r/min（转/分），小轮的半径为10cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是（　　）cm． A．5400π B．90π C．180π D．40π 【解答】解：大轮有45齿，小轮有30齿，当大轮转动一周时小轮转动周， 当大轮的转速为180r/min时，小轮转速为， 小轮周上一点每1s转过的弧度数为：270×2π÷60＝9π， 又小轮的半径为10cm， 所以小轮周上一点每1s转过的弧长为：9π×10＝90πcm． 故选：B． 3．（2023秋•佳木斯期末）玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（　　） A．1600cm2 B．3200cm2 C．3350cm2 D．4800cm2 【解答】解：易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到， 设大、小扇形所在圆的半径分别为r1，r2，相同的圆心角为θ， 则，得r1＝2r2， 又因为r1﹣r2＝40，所以r1＝80，r2＝40， 该扇形玉雕壁画面积（cm2）． 故选：D． 4．（2024•广汉市校级模拟）若，则点M（cosθ，tanθ）位于第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【解答】解：由，得cosθ＜0，tanθ＞0， 所以点M（cosθ，tanθ）位于第二象限． 故选：B． 【易错知识点二】 三角函数的性质 1．（2024秋•南海区月考）函数的最小正周期为（　　） A．4 B．2 C．2π D．π 【解答】解：＝， 函数f（x）的最小正周期为． 故选：D． 2．（2024•封丘县校级开学）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上为减函数的是（　　） A．y＝cosx B．y＝2|sinx| C． D．y＝﹣cotx 【解答】解：由题知关于选项A，y＝cosx最小正周期为2π，所以选项A错误； 关于选项B，画函数图像如下： 根据图像可知选项B正确； 关于选项C，画函数图像如下： 根据图像可知周期为4π，选项C错误； 关于选项D，画函数图像如下： 根据图像可知函数在区间上为增函数，选项D错误． 故选：B． 3．（2024•大同开学）已知函数图象的两相邻对称轴之间的距离为，若存在x1，，使得2f（x1）≤f（x2）成立，则t的最大值为（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2 【解答】解：因为相邻对称轴之间的距离为， 故函数的最小正周期为π， 故ω＝2， 故， 当时，， 故， 因为存在x1，，使得2f（x1）≤f（x2）成立， 所以2（t﹣1）≤t+2即t≤4，故t的最大值为4． 故选：C． 4．（2024•苏州模拟）考虑函数，记函数，其中[x]为x的整数部分，定义N（m，n，y）为gm（x）在[n﹣1，n）上满足|gm（x）﹣1|＝y的根的个数，则以下说法正确的有（　　） A．gm（x）的值域为（﹣∞，+∞） B． C．gm（x）为周期函数当且仅当为有理数 D．N（e，n，3）≠0对n＝0，1，…，99成立 【解答】解：对于A，∵，∴f（0）＝＝1， 显然当m＝0时有，故A错误； 对于B，根据定义，N（1，i，0）是方程|g1（x）﹣1|＝0在[0，5）上的解的个数． 而， ∴由|g1（x）﹣1|＝0可得，g1（x）＝1， 即为． ∴＝， 从而得cosx＝cos[x]≠0． 又由于[x]是整数，故cos[x]≠0， 从而得N（1，i，0）是方程cosx＝cos[x]在[0.5）上的解的个数． 又∵x﹣[x]∈[0，1）， 故该方程等价于x＝[x]或x+[x]＝2kπ（k∈Z）， 又∵这两个方程在[0，5）上的全部解构成的集合是{0，1，2，3，2π﹣3，4}，共6个解，故B正确； 对于C，由于gπ（x）＝g1（πx）（二者函数值相等或同时没有定义）， 故gπ（x）＝g1（πx）和g1（x）要么都是周期函数，要么都不是周期函数． ∴要么m＝π时gm（x）不是周期函数，要么m＝1时g1（x）是周期函数， 无论哪种情况，都能得出C选项错误； 对于D，由题意可得对∀n＝0，1，…，99，方程|ge（x）﹣1|＝3在[n﹣1，n）上都有解． 而， ∴由|ge（x）﹣1|＝3可得ge（x）＝﹣2或ge（x）＝4， 即﹣2cos（ex）＝cos[ex]≠0或4cos（ex）＝cos[ex]≠0． 由题意可知cos[ex]≠0恒成立， ∴方程等价于﹣2cos（ex）＝cos[ex]或4cos（ex）＝cos[ex]， 即或． 但当时，有， ； 当时，有； 当时，有； 当时，有． ∴原方程在[11，12）上无解， 从而得N（e，12，3）＝0，故D错误． 故选：B． 【易错知识点三】 诱导公式 1．（2023秋•静宁县校级期末）已知，且α为第三象限角． （1）求sinα，tanα的值； （2）求的值． 【解答】解：（1）因为sin2α+cos2α＝1，， 所以， 又α为第三象限角， 所以， 所以； （2）由诱导公式化简得：． 2．（2023秋•清远期末）已知α，β为锐角，且． （1）求2sinα+cosα的值； （2）若，求sinβ的值． 【解答】解：（1）∵， ∴cosα＝3sinα． ∵sin2α+cos2α＝1，∴sin2α+9sin2α＝1． 又α为锐角，∴， ∴＝； （2）由（1）可知． ∵，且α，β为锐角， ∴， ∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα ＝＝． 3．（2023秋•梅河口市校级期末）已知sinα+cosα＝﹣． （1）求sin（+α）•cos（﹣α）的值； （2）若＜α＜π，且角β终边经过点P（﹣3，），求++的值． 【解答】解：（1）因为sinα+cosα＝﹣，①两边平方，可得1+2sinαcosα＝，可得sinαcosα＝﹣， 所以sin（+α）•cos（﹣α）＝cosαsinα＝﹣． （2）若＜α＜π，可得cosα＜0，sinα＞0， 可得sinα﹣cosα＝＝＝，② 所以由①②可得cosα＝﹣，sinα＝， 又角β终边经过点P（﹣3，），可得cosβ＝＝﹣， ++＝﹣+＝． 4．（2023秋•七里河区校级期末）已知． （1）化简f（α）； （2）已知f（α）＝﹣2，求的值． 【解答】解：（1） ＝ ＝． （2）因为f（α）＝﹣2，所以tanα＝2， 所以＝． 【易错知识点四】 同角三角函数函数的基本关系 1．（2024春•南昌期末）已知4sinα﹣3cosα＝5． （1）求sinα的值； （2）求的值． 【解答】解：（1）因为4sinα﹣3cosα＝5，可得sinα＝＞0， 所以（）2+cos2α＝1，整理可得25cos2α+30cosα+9＝0， 解得cosα＝﹣， 所以sinα＝＝； （2）由（1）可得tanα＝＝﹣， 所以＝＝＝＝﹣7． 2．（2024春•河南月考）已知． （1）求tanα的值； （2）求的值． 【解答】解：（1）因为， 所以， 所以， 所以， 所以sinα＝2cosα⇒tanα＝2． （2）． 3．（2024春•铜梁区校级月考）已知sinθ，cosθ是方程3x2﹣2x+m＝0的两个实数解． （1）求m的值； （2）若θ为第二象限角，求cosθ﹣sinθ的值． 【解答】解：（1）∵sinθ，cosθ是方程3x2﹣2x+m＝0的两个实数解， ∴，由①两边平方得：sinθcosθ＝， 代入②，则，即m＝﹣，满足③， 则m＝﹣； （2）∵θ为第二象限角， ∴cosθ﹣sinθ＝﹣＝＝﹣＝． 4．（2024春•兴隆台区校级月考）已知． （1）求的值； （2）求sinα﹣cosα的值； （3）求tanα的值． 【解答】解：（1）由，得， ∴． ∴； （2）∵，∴sinα＞0，cosα＜0，则sinα﹣cosα＞0， 又∵， ∴； （3）由，可得． ∴． 【易错知识点五】 两角和与差的三角函数 1．（2024•汉中开学）已知角α∈（0，π），且． （Ⅰ）求sin（π+α）的值； （Ⅱ）求的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵α∈（0，π），且， ∴sinα＝＝， ∴sin（π+α）＝﹣sinα＝﹣； （Ⅱ）＝cosαcos+sinαsin＝（﹣+）＝﹣． 2．（2024•嘉定区校级学业考试）已知． （1）求tanα的值； （2）若α，，且，求角α+β的值． 【解答】解：（1）因为， 解得． （2）因为且， 所以，， 所以， 又α+β∈（﹣π，0）， 所以． 3．（2024•海淀区校级开学）已知函数，且． （1）求a的值和f（x）的最小正周期； （2）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间． 【解答】解：（1）因为，所以， 即，解得a＝4， 所以 ＝， 所以f（x）的最小正周期为． （2）由，解得， 所以f（x）的单调递增区间为， 所以f（x）在[0，π]上的单调递增区间为． 4．（2024春•黄埔区校级期中）已知． （1）求f（x）的单调递增区间与对称中心； （2）当x∈[0，a]时，f（x）的取值范围为，求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）． ＝， 令，解得， 令，解得， 所以f（x）的单调递增区间与对称中心分别为，（k∈Z）； （2）的函如图所示： 由题意当x＝[0，a]时，f（x）的取值范围为， 故当且仅当x1≤a≤x2，中，x2＝min{x＞0|f（x）＝0}， 令，得，即， 解得，所以， 令，得， 即或， 解得x＝kx （k∈Z）或， 所以， 综上所述；满足题意的实数a的取值范围为． 【易错知识点六】 二倍角的三角函数 1．（2024春•卓尼县校级期末）已知角α满足0＜α＜π，tan（π+α）＝﹣． （1）求sinα和cos2α的值； （2）求的值． 【解答】解：（1）已知角α满足0＜α＜π，tan（π+α）＝﹣， 则tanα＝﹣， 即， 即，， 则； （2）由（1）可得：sin2α＝2sinαcosα＝， ＝ ＝ ＝ ＝． 2．（2024春•南阳期末）已知α为锐角，β为钝角，且，． （1）求sin2β的值； （2）求β﹣2α的值． 【解答】解：（1）； （2）因为α为锐角，，可得， 由，可得， 所以， 则， 又因为，所以，而， 可得0＜β﹣2α＜π，所以． 3．（2024春•香坊区校级期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．． （1）求tan2A的值； （2）若，a＝2，b2＞a2+c2，求c和面积S的值． 【解答】解：（1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．， 则， 又， 则， 即， 则； （2）已知，a＝2， 由可得：， 又b2＞a2+c2， 则， 即， 即， 则△ABC是等腰三角形， 则c＝2， ＝＝． 4．（2024春•成都期末）已知函数． （1）若，且，求的值； （2）在锐角三角形中，若f（A）＝1，求sinB+sinC的取值范围； （3）设函数，若g（x）＞0在区间上恒成立，求a的取值范围． 【解答】解：（1）， 由题意知，所以， 又∵，∴，∴， ∴， ∴， 则， 故 ＝ ＝； （2）由f（A）＝1得， ∵，∴， ∴， ∴， ∴， ∴，∴， 又sinB+sin（）＝sinB+cosB﹣sinB＝cosB+sinB＝， 故， 由△ABC是锐角三角形，得， 则，得， 即sinB+sinC的取值范围为； （3） ＝ ＝， 当时，， 令，则，g（x）＞0在区间上恒成立， 等价于关于t的不等式t2+（2﹣a）t+1＞0在区间上恒成立， 即有在区间上恒成立， 又在区间上单调递减， ∴当t＝﹣1时，有最大值﹣2， 故有a﹣2＞﹣2，即a的取值范围为（0，+∞）． 【易错知识点七】 三角函数的应用 1．（2024春•房山区期中）将图（1）所示的摩天轮抽象成图（2）所示的平面图形．摩天轮直径为40米，中心O距地面21米，按逆时针方向匀速转动，某游客从最低点A处登上摩天轮，6分钟后第一次到达最高点． （Ⅰ）游客登上摩天轮4分钟后到达B处，求该游客距离地面的高度； （Ⅱ）求该游客距离地面的高度h（单位：米）与他登上摩天轮的时间x（单位：分钟）的函数关系式； （Ⅲ）当该游客登上摩天轮2分钟时，他的朋友在摩天轮最低点A处登上摩天轮．求他和他的朋友距离地面的高度之差的绝对值的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）游客从最低点A处登上摩天轮，此时游客离地面高度为1米，对应函数取得最小值1，即﹣20cos0+21＝0 登上摩天轮6分钟到达最高点，此时游客离地面高度为41米，即﹣20cosπ+21＝41， 所以4分钟后到达B处，该游客距离地面的高度为h＝﹣20cos+21＝31（米）； （Ⅱ）由题意知，h（t）＝20sin（ωt﹣）+21，t≥0，T＝2×6＝12，所以ω＝＝， 所以h（t）＝20sin（t﹣）+21＝﹣20cost+21，t≥0； （Ⅲ）由h（t）＝﹣20cost+21，h（t﹣2）＝﹣20cos（t﹣2）+21， 由h（t）﹣h（t﹣2）＝20cos（t﹣2）﹣20cost＝20[cos（t﹣2）﹣cost]＝20（sint﹣cost）＝20sin（t﹣）， 当sin（t﹣）＝1时，|h（t）﹣h（t﹣2）|取得最大值为20， 即当该游客登上摩天轮2分钟时，他的朋友在摩天轮最低点A处登上摩天轮， 他和他的朋友距离地面的高度之差绝对值的最大值为20米． 2．（2024春•宝山区校级期末）如图，某地有三家工厂分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处．AB＝20km，BC＝10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（不含边界）且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道OA、OB、OP．记排污管道的总长度为ykm． （1）设∠BAO＝θ，将y表示成θ的函数并求其定义域； （2）确定污水处理厂的位置，使排污管道的总长度y最短，并求出此时y的值． 【解答】解：（1）如图所示，延长PO交AB于点E， 根据题意OA＝OB，PE＝10，PE⊥AB，AE＝10， 当点O，E重合时，θ＝0最小； 当点O，P重合时，θ＝∠PAE＝最大， 当点O与P，E不重合时， 在△OAE中，，，，OE＝tanθ•AE＝10tanθ， 所以， 所以y＝+10，函数的定义域为θ∈[0，]； （2）y＝+10，θ∈[0，]， ， 令y＝0，得， 因为，所以， 当时，y′＜0，y是θ的减函数， 当时，y'＞0，y是θ的增函数， 所以当时，， 此时点O位于线段AB的中垂线上，且距离AB边处． 所以三条排污管管道总长最短为． 3．（2024春•萍乡期末）如图，某城市为升级沿河直线绿道AB的沿途风景，计划在以AB为直径的半圆形空地内部修建一块矩形枫叶林CDEF（C，D在AB上，E，F在半圆上，O为圆心），已知AB全长160m． （1）求枫叶林CDEF面积的最大值； （2）为方便游客休憩打卡，计划在AB的另一侧修建观景木质栈道A﹣G﹣B，已知AG段每米的造价为a元，BG段每米的造价是AG段的两倍，，求修建观景木质栈道A﹣G﹣B所需的费用最多为多少元（结果用a表示）． 【解答】解：（1）设∠EOD＝α，则，且OD＝OEcosα＝80cosα，ED＝OEsinα＝80sinα， 所以S矩形CDEF＝2•OD•ED＝2•80cosα•80sinα＝6400sin2α， 故当， 即时，矩形枫树林CDEF面积取得最大值，为6400m2． （2）因为，所以，记∠GAB＝θ， 由正弦定理有，， 则 ＝ ＝，其中，，且， 当时，AG+2BG取得最大值， 所以修建观景木质栈道A﹣G﹣B所需的费用最多为元． 4．（2024•广汉市校级模拟）2016年巴西里约奥运会上“Omniverse火炬雕塑”，如图1将数学和物理动力学完美融合，遵循周而复始，成就无限，局部可以抽象成如图2．在如图3平面直角坐标系xOy中，点P以P0为起始点，以O为圆心，半径为2（单位：10米），转速的圆周上按逆时针旋转，点O到地面的距离为a，且a＞3（单位：10米），在如图4平面直角坐标系x′Py′中，点Q以为Q0起始点，以P为圆心，半径为1（单位：10米），转速的圆周上按逆时针旋转． （1）求经过t秒后，点P到地面的距离|PH|及距离|OQ|； （2）若在t∈[0，8]时，存在点P使得2|OQ|＝|PH|成立，求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）由题意及三角函数的定义可知 ， 所以 （单位：10 米）； 因为点P以P0为起始点，以O为圆心，半径为2，转速的圆周上按逆时针旋转， 点Q以为Q0起始点，以P为圆心，半径为1，转速的圆周上按逆时针旋转． 所以经过t秒后，点P形成的角为，点Q形成的角为， 所以∠xOP＝∠y′PQ， 因为， 所以， 所以（点P不论在哪个位置，∠OPQ始终为定值）， 所以（单位：10 米）． （2）因为在t∈[0，8]时，存在点P使得2|OQ|＝|PH|成立， 即，t∈[0，8]， 所以，t∈[0，8]， 因为t∈[0，8]，所以， 所以， 所以， 又a＞3， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $$