5.1基本计数原理课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

北师大版 数学 选择性必修第一册 第五章　计数原理 §1　基本计数原理 课标定位 素养阐释 1.通过实例,了解分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 2.理解两个原理的区别与联系. 3.能用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的意义解决一些简单的实际问题. 4.通过具体情境推导出两个计数原理,体现了数学抽象素养. 5.借助两个计数原理解决一些简单的计数问题,提升逻辑推理和数学运算素养. 自主预习 新知导学 一、分类加法计数原理 【问题思考】 1.某高中学校有24名语文教师、26名数学教师和22名英语教师,市教育局拟召开一个研讨会.该学校决定从语文、数学或英语教师中选派1名教师参会. (1)该学校选派1名教师参会的方案可分几类? 提示:3类,即选派语文教师、选派数学教师、选派英语教师. (2)这几类方案中各有几种方法? 提示:第1类方案(选派语文教师)有24种方法,第2类方案(选派数学教师)有26种方法,第3类方案(选派英语教师)有22种方法. (3)该学校选派1名教师参会共有多少种不同的选派方法? 提示:共有24+26+22=72种不同的选派方法. 2.(1)分类加法计数原理:完成一件事,可以有n类办法,在第1类办法中有m1种方法,在第2类办法中有m2种方法……在第n类办法中有mn种方法,那么,完成这件事共有N= m1+m2+…+mn 种方法.(也称“加法原理”) (2)分类加法计数原理解决问题的步骤: ①求完成一件事的所有方法数,这些方法可以分成n类,且类与类之间 两两不交 ; ②求每一类中的方法数; ③把各类的方法数 相加 ,就可以得到完成这件事的所有方法数. 3. 某校开设A类选修课程3门,B类选修课程4门,若要求从这2类课程中选1门,则不同的选法共有(　　). A.3种 B.4种 C.7种 D.12种 解析:选择课程的方法有2类:从A类选修课程中选1门有3种不同方法,从B类选修课程中选1门有4种不同方法,所以不同的选法共有3+4=7种. 答案:C 二、分步乘法计数原理 【问题思考】 1.某大学食堂备有6种荤菜、5种素菜、3种汤.某学生想要配制“一荤一素一汤”的套餐. (1)该学生配制“一荤一素一汤”的套餐需要经历几个步骤? 提示:3个步骤,即选荤菜、选素菜、选汤. (2)完成每一步各有几种方法? 提示:第1步(选荤菜)有6种方法,第2步(选素菜)有5种方法,第3步(选汤)有3种方法. (3)该学生能配制多少种不同的“一荤一素一汤”的套餐? 提示:能配制6×5×3=90种不同的套餐. 2.(1)分步乘法计数原理:完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么,完成这件事共有N= m1·m2·…·mn 种方法.(也称“乘法原理”) (2)分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点: ①完成一件事需要经过n个步骤; ②完成每一步有若干种方法,且每一步对其他步 没有影响 ; ③把各个步骤的方法数 相乘 ,就可以得到完成这件事的所有方法数. 3. 已知集合A={1,2},B={3,4,5},从集合A和集合B中各取一个元素,分别作为平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标,则不同点的个数为(　　). A.5 B.6 C.10 D.12 解析:完成这件事可分两步:第1步,从集合A中任取一个元素作为点的横坐标,有2种取法;第2步,从集合B中任取一个元素作为点的纵坐标,有3种取法.由分步乘法计数原理,得共有2×3=6种取法,故有6个不同的点. 答案:B 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)在分类加法计数原理中,任何一类方案中的任何一种方法都可以单独完成这件事.(　　) (2)在分步乘法计数原理中,任何一个单独的步骤都能完成这件事.(　　) (3)现有6件不同款式的上衣和5条不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则有6+5=11种不同的配法.(　　) (4)某商场共有3个门,购物者若从任意一个门进,从任意一个门出,则有3+3=6种不同的走法.(　　) √ × × × 合作探究 释疑解惑 探究一 分类加法计数原理的简单应用 【例1】 在所有的两位数中,求个位数字小于十位数字且为偶数的两位数的个数. 解:分析个位数字,可分成以下几类: 当个位数字是8时,十位数字取9,只有1个; 当个位数字是6时,十位数字可取7,8,9,有3个; 当个位数字是4时,十位数字可取5,6,7,8,9,有5个; 同理可知,当个位数字是2时,有7个,当个位数字是0时,有9个. 由分类加法计数原理,知符合条件的两位数共有1+3+5+7+9=25个. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 利用分类加法计数原理计数时的解题流程　 提醒:分类时一定要做到不重不漏,分类对象唯一,分类标准明确.　 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练1】 某校从高二的4个班中抽出一些同学组成数学课外小组,其中一、二、三、四班分别抽出了4名、5名、6名、7名同学.若任选其中1名同学担任组长,共有多少种不同的选法? 解:只要选出1名同学就可以完成这件事,而根据选出的1名同学来自不同的班,可分成4类: 第1类,从一班抽出的同学中选1名同学担任组长,有4种不同选法; 第2类,从二班抽出的同学中选1名同学担任组长,有5种不同选法; 第3类,从三班抽出的同学中选1名同学担任组长,有6种不同选法; 第4类,从四班抽出的同学中选1名同学担任组长,有7种不同选法. 根据分类加法计数原理,共有4+5+6+7=22种不同选法. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究二 分步乘法计数原理的简单应用 【例2】 从-2,-1,0,1,2,3这6个数字中任选3个不重复的数字分别作为二次函数y=ax2+bx+c的系数a,b,c,则可以组成多少条抛物线? 解:确定二次函数的系数a≠0,b,c∈R,需分3步完成.第1步,选系数a,有5种选法;第2步,选系数b,有5种选法;第3步,选系数c,有4种选法.因此,根据分步乘法计数原理,可组成5×5×4=100条抛物线. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 1.若本例中的二次函数图象开口方向向下,则可以组成多少条抛物线? 解:确定二次函数的系数a<0,b,c∈R,需分3步完成.第1步,确定a有2种选法;第2步,确定b有5种选法;第3步,确定c有4种选法.故可组成2×5×4=40条抛物线. 2.若从本例的6个数字中选2个数字分别作为椭圆　　　　的参数m,n,则可以组成椭圆的个数是多少? 解:根据条件知m>0,n>0,且m≠n,确定m,n需分2步完成.第1步,确定m,有3种选取方法;第2步,确定n,有2种选取方法.故确定椭圆的个数为3×2=6. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 1.使用分步乘法计数原理计数的两个注意点 一是要按照事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的; 二是各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各个步骤都完成才算完成这件事. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 2.利用分步乘法计数原理计数时的解题流程　 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练2】 已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)(a,b∈M)表示平面上的点.问: (1)点P可表示平面上多少个不同的点? (2)点P可表示平面上第二象限内多少个不同的点? 解:(1)确定平面上的点P(a,b)(a,b∈M),可分2步完成:第1步,确定a的值,有6种不同的结果;第2步,确定b的值,也有6种不同的结果.根据分步乘法计数原理,得到点P可表示平面上不同点的个数为6×6=36. (2)确定平面上第二象限内的点P(a,b)(a,b∈M),可分2步完成:第1步,确定a的值,由于a<0,因此有3种不同的结果;第2步,确定b的值,由于b>0,因此有2种不同的结果.由分步乘法计数原理,得到点P可表示平面上第二象限内不同点的个数为3×2=6. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究三 两个计数原理的简单综合应用 【例3】 现有5幅不同的国画、2幅不同的油画、7幅不同的水彩画. (1)从中任选1幅画布置房间,有多少种不同的选法? (2)从这些国画、油画、水彩画中各选1幅布置房间,有多少种不同的选法? (3)从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间,有多少种不同的选法? 探究一 探究二 探究三 易错辨析 解:(1)分为三类:从国画中选,有5种不同的选法;从油画中选,有2种不同的选法;从水彩画中选,有7种不同的选法.根据分类加法计数原理,共有5+2+7=14种不同的选法. (2)分为三步:从国画、油画、水彩画中各选1幅分别有5种、2种、7种不同的选法,根据分步乘法计数原理,共有5×2×7=70种不同的选法. (3)分为三类:第一类是1幅选自国画,1幅选自油画,由分步乘法计数原理知,有5×2=10种不同的选法; 第二类是1幅选自国画,1幅选自水彩画,有5×7=35种不同的选法; 第三类是1幅选自油画,1幅选自水彩画,有2×7=14种不同的选法. 因此,根据分类加法计数原理,共有10+35+14=59种不同的选法. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 利用两个计数原理的解题策略 用两个计数原理解决具体问题时,首先,要分清是“分类”还是“分步”,区分分类还是分步的关键是看这种方法能否完成这件事情. 其次,要清楚“分类”或“分步”的具体标准,在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则,在“分步”时要正确设计“分步”的程序,注意步与步之间的连续性;有些题目中“分类”与“分步”同时进行,即“先分类后分步”或“先分步后分类”. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练3】 现有3名医生、5名护士、2名麻醉师. (1)从中选出1名外出学习,有多少种不同的选法? (2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组,有多少种不同的选法? 探究一 探究二 探究三 易错辨析 解:(1)选出1名外出学习,可分3类: 第1类,选出的是医生,有3种选法; 第2类,选出的是护士,有5种选法; 第3类,选出的是麻醉师,有2种选法. 根据分类加法计数原理,共有3+5+2=10种选法. (2)选出3名组成1个医疗小组,可分3步: 第1步,选出1名医生,有3种选法; 第2步,选出1名护士,有5种选法; 第3步,选出1名麻醉师,有2种选法. 根据分步乘法计数原理,共有3×5×2=30种选法. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 易错辨析 混淆分类加法与分步乘法计数原理致误 【典例】 已知a∈{1,2,3},b∈{4,5,6,7},r∈{8,9},则方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示多少个不同的圆? 错解:a有3种不同的选取方法;b有4种不同的选取方法;r有2种不同的选取方法.由分类加法计数原理,知方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示3+4+2=9个不同的圆. 答案:9 探究一 探究二 探究三 易错辨析 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何 防范? 提示:错误的根本原因是将完成一件事是需要分类还是分步混淆,例题中要完成的这件事是确定a,b,r的值,只有a,b,r的值都确定了,圆的方程才确定,故应该分为3步,即利用分步乘法计数原理. 正解:完成表示不同的圆这件事,可以分为3步: 第1步,确定a,有3种不同的选取方法; 第2步,确定b,有4种不同的选取方法; 第3步,确定r,有2种不同的选取方法. 根据分步乘法计数原理,方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示3×4×2=24个不同的圆. 答案:24 探究一 探究二 探究三 易错辨析 1.正确区分一个问题是“分类”还是“分步”:若完成这件事,可以分几种情况,每种情况中任何一种方法都能完成任务,则是分类;而从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分任务,且只有依次完成各部分任务,才能完成这件事,则是分步. 2.在应用两个计数原理处理具体问题时,一般要按五个步骤进行: (1)明确完成的这件事是什么; (2)思考如何完成这件事;　　　　　 (3)判断它属于分类还是分步; (4)确定运用哪个计数原理; (5)进行运算. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 随堂练习 1.若x∈{1,2,3},y∈{5,7,9},则x·y的不同值的个数是(　　). A.2 B.6 C.9 D.8 解析:求x·y需分2步取值:第1步,x的取值有3种;第2步,y的取值有3种,又因为乘积各不相同,所以共有3×3=9个不同的值. 答案:C 解析:因为椭圆的焦点在x轴上,所以m>n>0. 当m=4时,n=1,2,3;当m=3时,n=1,2;当m=2时,n=1,即符合题意的椭圆共有3+2+1=6个. 答案:6 3.一学习小组有4名男生、3名女生,任选1名学生当数学科代表,共有　　　　种不同选法;若选男、女生各1名当组长,共有　　　　种不同选法.  解析:任选1名学生当数学科代表可分两类:一类是从男生中选,有4种选法;另一类是从女生中选,有3种选法.根据分类加法计数原理,共有4+3=7种不同选法. 若选男、女生各1名当组长,需分两步:第1步,从男生中选1名,有4种选法;第2步,从女生中选1名,有3种选法.根据分步乘法计数原理,共有4×3=12种不同选法. 答案:7　12 4.现有高一学生50名,高二学生42名,高三学生30名,参加学校数学建模社团. (1)若从中选1人作为总负责人,共有多少种不同的选法? (2)若每年级各选1名负责人,共有多少种不同的选法? (3)若从中推选2人作为社团发言人,要求这2人要来自不同的年级,则有多少种不同的选法? 解:(1)分为3类:第1类,从高一学生中选1人作为总负责人有50种选法;第2类,从高二学生中选1人作为总负责人有42种选法;第3类,从高三学生中选1人作为总负责人有30种选法.根据分类加法计数原理,共有50+42+30=122种选法. (2)分3步完成:第1步,从高一学生中选1名负责人有50种选法;第2步,从高二学生中选1名负责人有42种选法;第3步,从高三学生中选1名负责人有30种选法.根据分步乘法计数原理,共有50×42×30=63 000种选法. (3)分为3类:第1类,从高一年级和高二年级各选1人作为社团发言人,有50×42=2 100种选法;第2类,从高二年级和高三年级各选1人作为社团发言人,有42×30=1 260种选法;第3类,从高一年级和高三年级各选1人作为社团发言人,有50×30=1 500种选法.根据分类加法计数原理,共有 2 100+1 260+1 500=4 860种选法. =1 2.设集合A={1,2,3,4},m,n∈A,则方程=1表示焦点位于x轴上的椭圆共有　　　　　个.  $$