第三单元：角的度量（讲义）-2024-2025学年四年级上册数学人教版

角的度量 (思维导图+知识梳理+典例分析+高频考题+答案解析) 思维导图 知识梳理 【直线、线段和射线的认识】 1、直线：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．一条直线可以用一个小写字母表示． 2、线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点．一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示． 3、射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线．这个点叫做射线的端点．一条射线可以用端点和射线上另一点来表示． 4、直线、射线、线段区别： （1）、直线没有端点，两边可无限延长； （2）、射线有一端有端点，另一端可无限延长； （3）、线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度． 【角的度量】 1．角的度量：角度的测量是最基本的测量，最常用的工具是量角器． 2．角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制． 3．度量方法： （1）、量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐． （2）、量角器的0刻度线和角的一条边对齐． （3）、做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度． （4）、看刻度要分清内外圈． 【角的概念和表示】 1、定义：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边. 2、如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. 3、如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角. 4、角的表示方法： （1）用三个字母表示，如∠AOB；（2）用数字表示角，如∠1；（3）用一个大写字母表示，如∠A 【角的分类（锐角直角钝角）】 1、根据角的度数，可以把角分为周角、平角、钝角、直角、锐角。 （1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.规定平角为180° （2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.规定周角为360° （3）规定平角的一半是90°，直角的两边互相垂直。规定大于90°的角为钝角，小于90°的角为锐角。 【画指定度数的角】 三角板能画出15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165、180度的角，是30°，45°，60°，90度的和差，因为通过三角尺只能作角的和差．其余的度数只能通过量角器画角． 典例分析 【典例1】小明家新建一间房子，要在屋外的A处安装水表，从大路边到A处怎样接水管最近？把最短的线段画出来，并简要说明道理． 【答案】见详解 【思路分析】最短距离是点到直线的垂线段，做垂线：用直角三角板的一条直角边与已知直线重合，另一条直角边与直线外的已知点重合，再过这个点沿直角边做垂线即可。 【详解】作图如下： 【典例2】按要求画一画。 （1）画出直线AB。 （2）画出射线BC。 （3）画出长为5厘米的线段AD。 【答案】（1）（2）（3）见详解 【思路分析】直线上任意两点之间的一段叫做线段，线段有两个端点。把线段的两端无限延长，得到一条直线，直线没有端点。把线段的一端无限延长，得到一条射线，射线有一个端点。 （1）过A、B两点画一条直的线即可； （2）以B为端点，过C点画一条直的线即可； （3）以A为端点，画一条长为5厘米的线段，另一个端点标记为D即可。 据此画图。 【详解】作图如下： （1）直线AB （2）射线BC （3）长为5厘米的线段AD 【典例3】经过下面两点画射线，并在这条射线上截取一条长5厘米的线段。 【答案】见详解 【思路分析】射线有一个端点，线段有两个端点，可以度量长度。 以O点为端点，经过A点画一条直的线，即可画出射线OA，然后再用尺子在这条射线上取一个点M，用尺子的0刻度对准点M，尺子与射线OA平齐，再在尺子刻度5厘米处取一个点N，即可在这条射线上截取出一条长5厘米的线段。据此解答。 【详解】 【典例4】以OA为角的一边，画一个70°的角。 【答案】见详解 【思路分析】画角的步骤是：先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合，然后在量角器70°刻度线的地方点一个点，最后以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线；而射线的一边指向内圈的70°刻度线，因此另一边需要指向内圈的0°刻度线，依此画图。 【详解】画图如下： 【典例5】按要求画一画。 （1）画出直线AB。 （2）画出射线BC。 【答案】见详解 【思路分析】（1）根据直线没有端点，无限延长，画直线AB。 （2）根据射线只有一个端点，无限延长，画射线BC。 【详解】 高频考题 1．在下面的正方形上剪掉一个角，还剩几个角？（先在正方形上画一画） 方法一                    方法二                方法三 还剩（    ）个角      还剩（    ）个角      还剩（    ）个角 2．丹顶鹤是国家一级保护动物，它们通常排成“人”字形结队飞行，“人”字形角度一般保持在110°左右，请你在量角器上以0点为顶点，画一个110°角，并标出度数。 3．画一画。 （1）画出直线AB。 （2）画出射线AC，并在上面截取一条长3厘米的线段CD。 4．按要求，画一画。 （1）画出射线AB。 （2）以A为顶点，射线AB为角的一条边，画一个75°的角。 5．在下面画出与∠1、∠2同样大的角。 6．画一画。 （1）以点O为顶点画一条射线； （2）在射线上截取长5厘米的线段OA； （3）以点O为顶点，以这条射线为角的一条边，画一个35°的角。 7．过A点画出已知直线平行线。 8．过点A画一条射线。 9．画出直线AB，射线CB。       10．下图是一个梯形的广场。 （1）从A点走到对边，怎样走最近，在图上画出来。 （2）过A点作边的平行线。 （3）量出的度数，并标在图中。 11．（1）以A点为顶点，画一个55°的角。 （2）以B点为顶点，画一个130°的角。 12．已知∠AOB，求它的角平分线。（用尺规作图） 13．在钝角中添加一条射线，使它分成一个锐角和一个直角。再量一量锐角的度数，并在图中标出来。 14．把一张正方形纸对折三次后展开（如下图），你能直接从图中找出45°、90°、135°的角吗？（在图中标出来） 15．画一画。 （1）画一条比5厘米长5毫米的线段。 （2）画一条比1分米短2厘米的线段。 16．认真量一量，并在图中标出它们的度数。 17．经过其中两点画直线，你能画几条？画出来。 18．拿出一支彩笔，在下面长方形内添一条线段，使长方形内出现4个锐角，聪明的你能做到吗？请画出来． 19．如图，纸上已经画好一个60°的角，请你用一个正方形硬纸板作工具，在纸上画出一个105°的角．             20．从学校到五峰山路，怎样走最近？请你画出来．   21．测量并标出这个角的度数． 22．连接每两个点可以画一条线段，那么4个点可以画多少条线段呢？大家动手画画． 23．如图     （1）画一个120°的角．     （2）画出点A到小河的最短路线．   24．量一量、填一填（如图）。 （1）画出直线AB； （2）画出射线CB； （3）画出线段AC； （4）画好的图形中有几个角（小于平角的角）？它们分别是什么角。 25．圆一圆、量一量、填一填（如下图）。 （1）画出直线AC。 （2）画出射线CB。 （3）画好的图形中有（    ）种角，分别是（                  ）；量出其中一个角的度数，标在图中。 26．如图，服装厂计划修一条小路和公路相通，怎样设计才能使这条小路最短？ 27．用量角器画一画．     （1）40°      （2）135°      （3）97°． 28．从平平家修一条路到公路，怎样修路最近？请在图上画出来． 29．量出下面各角的度数． 30．根据题意作图 （1）过点A画出直线L的平行线 （2）用量角器画出一个105度的角 （3）画一条3cm长的线段，然后过线段上任意一点，做这条线段的垂线． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案解析 1．见详解 【思路分析】根据剪切方式不同，剩下的角不同；我们可以沿着对角线剪切，沿着顶点和某一个对边上一点剪切（不与对角线重合），沿着邻边剪切（不与对角线重合），据此解答。 【详解】第一种剪切方式是沿着邻边剪切（不与对角线重合），还剩下5个角； 第二种剪切方式是沿着对角线剪切，还剩下3个角； 第三种剪切方式是沿着顶点和某一个对边上一点剪切（不与对角线重合），还剩下4个角。 2．见详解 【思路分析】将量角器中心对准射线的端点，0刻度线对准射线，对准量角器的相应的刻度，把点和射线端点连接，然后再画出110°角。 【详解】 如图： 3．（1）、（2）均见详解 【思路分析】（1）直线没有端点，是无限长的，因此过点A和点B用直尺画一条直的线，即可得到直线AB。 （2）射线只有一个端点，因此以点A为端点过C点画一条直的线，即可得到射线AC；线段有两个端点，因此可以以A点为线段的端点，并且使A点对准直尺的0刻度线，直尺紧靠所画的射线，3厘米处就是这条线段的另一个端点，依此画图即可。 【详解】（1）、（2）画图如下： 4．（1）（2）见详解 【思路分析】（1）射线有一个端点，可以向一端无限延伸，无法测量长度；连接AB并向B点的一端延长，即可画出射线AB； （2）量角器的中心点对准已知的端点A，0°刻度线对准射线AB（两重合）；对准量角器75°的刻度线点一个点（找点）；把点和射线端点连接，然后标出角的度数即可。 【详解】（1）（2）如图所示： 【名师点评】本题主要考查了射线和角的画法。 5．见详解 【思路分析】先分别量出∠1和∠2的度数，再根据量角器画角的方法：①画一条射线，中心点对准射线的端点，0刻度线对准射线（两重合）； ②对准量角器所画角的刻度线点一个点（找点）； ③把点和射线端点连接，然后标出角的度数；据此即可画出和∠1、∠2同样大的角。 【详解】与∠1、∠2同样大的角。如图所示：        【名师点评】此题主要考查学生利用量角器量角和画角的方法的掌握情况。 6．见详解 【思路分析】（1）以点O为端点，向一边画一条直的线即可得到一条射线； （2）在射线上取一点A，使OA等于5厘米即可； （3）使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合，在量角器上35度刻度线的地方点一个点，然后以射线的端点为端点，通过刚刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是35度的角。 【详解】（1）（2）（3）见下图： 【名师点评】本题主要考查学生对线段、射线的定义和画角方法的掌握。 7．见详解 【思路分析】过直线外一点作直线的平行线：把三角板的一边靠紧直线，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线就是过该点作的直线的平行线。 【详解】 【名师点评】本题主要考查学生对画直线平行线方法的掌握。 8．见详解 【思路分析】射线有一端有端点，另一端可无限延长，以A为端点向一方画出一条直直的线，即是射线；据此画出即可。 【详解】如图所示： 【名师点评】本题主要考查了射线的特点和画法。 9．见详解 【思路分析】依据直线向两方无限延伸，无端点；射线向一方无限延伸，只有一个端点，射线CB，那么端点是点C；据此即可画出。 【详解】画直线AB，射线CB，如下： 【名师点评】此题主要考查了直线和射线的含义。注意射线CB是以点C为端点。 10．见详解 【思路分析】（1）直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短，所以只要作出A点到边CD的垂线段，这条垂线段就是A点到边CD最近的路线； （2）过直线外一点作已知直线的平行线的方法：把直角三角板的一条直角边和已知直线重合，紧靠另一条直角边放一把直尺并固定，然后沿着直尺平移三角板到A点的地方画一条直线，这条直线就是过点A与已知直线平行的线； （3）量角的步骤：先把量角器放在角的上面，使量角器的中心和角的顶点重合，零度刻度线和角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数． 【详解】根据分析可得：（1）从A点走到对边，最近路线如下图所示： （2）过A点作边的平行线如下图所示： （3）用量角器量出∠ADC的度数是57°，如下图所示： 【名师点评】本题考查的是对过直线外一点作已知直线的垂线、平行线方法以及对用量角器量角的方法的掌握及应用。 11．见详解 【思路分析】画一条射线，使量角器的中心和射线的端点A点重合，0°刻度线和射线重合。在量角器55°刻度线的地方点一个点。以A点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。据此以A点为顶点，画一个55°的角。同理以B点为顶点，画一个130°的角。 【详解】 【名师点评】熟练掌握用量角器画角的方法。注意画角时，量角器的中心和射线的端点要重合。 12．见详解 【思路分析】根据尺规作图中平分角的作法：①以点O为圆心，以适当长为半径作弧交OA、OB于两点C、D； ②分别以点C、D为圆心，以大于CD长为半径作弧，两弧相交于点E； ③作射线OE。 【详解】如图所示，OE即为所求作的∠AOB的平分线。 【名师点评】本题考查了基本的尺规作图，要注意留下作图的痕迹。 13．见详解 【思路分析】锐角是大于0度小于90度的角，直角是90度的角，使用量角器画角，根据已知钝角的顶点和一条边；把量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与钝角的一条边重合，在90度刻度线处点一个点；拿走量角器，以角的顶点为起点，过点处画出角的另一边；标出角的度数和符号，然后用量角器测量锐角即可。 【详解】如图： 【名师点评】本题考查使用量角器画角和量角，关键掌握量角器的使用方法。 14．见详解（答案不唯一） 【思路分析】把一个正方形纸对折三次后展开，就把一个周角平均分成了八个角，一个周角等于360度，所以分成的每一个角都等于45度，两个角就是90度，三个角就是135度，据此解答即可。 【详解】45°、90°、135°这三个角如下图所标： 【名师点评】此题主要考查折叠后的图形的角度，要结合图形和各种角的特点解答。 15．见详解。 【思路分析】（1）线段的含义：线段有两个端点，有限长。先求出比5厘米长5毫米的线段的线段长度，然后画出线段即可。 （2）先求出比1分米短2厘米的线段长度，然后画出线段即可。 【详解】（1） 5厘米＋5毫米＝5厘米5毫米 （2）1分米＝10厘米，10－2＝8（厘米） 【名师点评】此题考查了线段的含义，应注意理解和掌握。 16．见详解 【思路分析】量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与一条边重合，量角器上是几度就读几度。 【详解】 【名师点评】本题考查量角器的使用，注意使用中将顶点与量角器的中心重合，一条边与0刻度线重合。 17． 【思路分析】把线段的两端无限延长，得到一条直线，经过两个点可以画一条直线，并且只能画一条直线。据此解答即可。 【详解】 【名师点评】熟练掌握直线的性质：两点确定一条直线，并根据直线的性质解决问题。 18． 【解析】略 19． 【详解】将正方形硬纸板的对角线对准60°角的一条边，顶点对顶点．沿正方形在60°角外的边画一条射线，即可得出105°角．60°+90°÷2=105°. 20． 【详解】直线外一点到这条直线的距离，垂线段最短． 21． 【解析】略 22．4个点可以画6条线段. 【详解】本题考查有关线段的有关知识，在直线上的两个点之间，可以画一条线段． 23．（1） （2） 【详解】（1）运用直尺和量角器画出一个120°的角； （2）点A到小河的最短路线是A到小河的垂线段的长度，由此画出A点到小河的垂线段即可． 24． 图形中有7个角（小于平角的角），4个钝角，3个锐角． 【详解】略 25．（1）（2）；（3）3， 钝角、锐角、平角。 【详解】略 26．见详解 【思路分析】直线之外的一点到直线的距离垂线段最短。 【详解】 【名师点评】考查直线外一点到直线的距离线段最短。 27．（1）   （2）   （3） 【详解】试题分析：先从一点画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合，在量角器40°、135°、97°的地方点一个点，然后以画出的射线的端点为端点，通过刚刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是我们所要画的角． 此题主要考查角的画法，要注意两个对齐．     解：先从一点画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合，在量角器40°、135°、97°的地方点一个点，然后以画出的射线的端点为端点，通过刚刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是我们所要画的角． 28． 【详解】略 29．根据实际自己量一量 【详解】略 30．（1）   （2）   （3） 【详解】（1）用三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可；（2）先从一点画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合，在量角器105°的地方点一个点，然后以画出的射线的端点为端点，通过刚刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是我们所要画的角；（3）先画一条3厘米长的线段，在其上面任选一点A，再把三角板的一条直角边与3厘米线段重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知线段重合的直角边和A点重合，过点沿三角板的直角边画直线即可． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$