第11章 三角形“双角平分线”模型 讲义 2024--2025学年人教版八年级数学上册

三角形——“双角平分线”模型 知识点 模型 证明 三角形双内角平分线夹角模型 ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB ∴∠PBC= ∠ABC，∠PCB= ∠ACB ∴∠P=180°-(∠PBC+∠PCB) =180°- (∠ABC+∠ACB) =180°- (180°-∠A) =90°+ ∠A 条件：BP平分∠ABC，CP平分∠ACB 结论：∠P=90°+ ∠A 三角形双外角平分线夹角模型 ∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB ∴∠PBC= ∠DBC= (∠A+∠ACB) ∠PCB= ∠BCE= (∠A+∠ABC) ∴∠PBC+∠PCB= (∠A+∠ACB+∠ABC)+ ∠A = ×180°+ ∠A =90°+ ∠A ∴∠P=180°-(∠PBC+∠PCB) =180°-(90°+ ∠A) =90°- ∠A 条件：BP平分∠DBC，CP平分∠ECB 结论：∠P=90°- ∠A 三角形一内一外角平分线夹角模型 ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACD ∴∠PBC= ∠ABC，∠PCD= ∠ACD ∴∠P=∠PCD-∠PBC = (∠ACD-∠ABC) = ∠A 条件：BP平分∠ABC，CP平分∠ACD 结论：∠P= ∠A 三角形双内角三等分线夹角模型 ∵∠DBC= ∠ABC，∠DCB= ∠ACB ∴∠D=180°-(∠DBC+∠DCB) =180°- (∠ABC+∠ACB) =180°- (180°-∠A) =120°+ ∠A 条件：∠DBC= ∠ABC，∠DCB= ∠ACB 结论：∠D=120°+ ∠A 三角形双外角三等分线夹角模型 ∵∠DBC= ∠EBC= (∠A+∠ACB)，∠DCB= ∠FCB= (∠A+∠ABC) ∴∠DBC+∠DCB= (∠A+∠ACB+∠ABC)+ ∠A = ×180°+ ∠A =60°+ ∠A ∴∠D=180°-(∠DBC+∠DCB) =180°-(60°+ ∠A) =120°- ∠A 条件：∠DBC= ∠EBC，∠DCB= ∠FCB 结论：∠D=120°- ∠A 三角形一内一外角三等分线夹角模型 ∵∠DBC= ∠ABC，∠DCE= ∠ACE ∴∠D=∠DCE-∠DBC = (∠ACE-∠ABC) = ∠A 条件：∠DBC= ∠ABC，∠DCE= ∠ACE 结论：∠D= ∠A 8字形双角平分线夹角模型 ∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD ∴可设∠PAB=∠PAD=x， ∠PCB=∠PCD=y 设PC与AD交于点E， 则∠P+∠PAD=∠D+∠PCD=∠PED 即∠P+x=∠D+y① 同理可得∠P+y=∠B+x② 由①+②得，2∠P+x+y=∠B+∠D+x+y ∴∠P= (∠B+∠D) 条件：AP平分∠BAD，CP平分∠BCD 结论：∠P= (∠B+∠D) 燕尾形双角平分线夹角模型1 ∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD ∴可设∠PBA=∠PBD=x， ∠PCA=∠PCD=y 延长BP交AC于点E， 则∠BPC=∠PEC+∠PCA=∠A+∠PBA+∠PCA ∴∠BPC=∠A+x+y① 同理可得，∠D=∠PBD+∠PCD+∠BPC 即∠D=∠BPC+x+y② 由①-②，得∠BPC-∠D=∠A-∠BPC ∴∠BPC= (∠A+∠D) 条件：BP平分∠ABD，CP平分∠ACD 结论：∠P= (∠A+∠D) 燕尾形双角平分线夹角模型2 ∵AP平分∠BAC，DP平分∠BDC 可设∠PAB=∠PAC=x，∠PDB=∠PDC=y 设PA与CD交于点E， 则∠PEC=∠P+∠PDC=∠C+∠PAC 即∠P+y=∠C+x① 延长PD交AB于点F， 可得∠PDB=∠B+∠PFB=∠B+∠P+∠PAB 即∠B+∠P+x=y② 由①+②得，2∠P+∠B+x+y=∠C+x+y ∴∠P= (∠C-∠B) 条件：AP平分∠BAC，DP平分∠BDC (∠C>∠B) 结论：∠P= (∠C-∠B) 解题提示： 1.题目往往涉及2条角平分线，相同的角可以设x，y或α，β; 2.并不需要死记硬背，利用三角形内角和、三角形外角性质以及对顶角相等、邻补角互补等知识可以快速的得出结论. 练习题 1.如图，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，作AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DF，DF恰好平分∠EFC，过点D作DG⊥AC于点G，若EF=5，则DG的长为____________. 2.如图，在△ABC中，CD为∠ACB的平分线，DB为∠ABE的平分线，CD与BD相交于点D，若∠A=60°，则∠D的度数为________. 3.如图，在△ABC中，∠ABD= ∠ABC，∠BAE= ∠BAC，若∠AED=35°，则∠C的度数为_________. 4.如图，在△ABC中，∠A=120°，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，则∠BDC=_______，若BG，CG分别是∠ABC，∠ACB的外角平分线，则∠G=_______. 5.如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，若∠ABC+∠ACB=100°，则∠BOC的度数为（ ） A.100° B.110° C.120° D.130° 6.如图，BH是∠ABC的平分线，BD和CD是△ABC两个外角的平分线，延长DC与BH交于点H，若∠D=60°，∠ACB=65°，则∠HBC的度数为（ ） A.27.5° B.30° C.32.5° D.35° 7.如图，在△ABC中，∠A=70°，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于A2，得∠A2，…，∠A2023BC的平分线与∠A2023CD的平分线交于点A2024，则∠A2024=________. 8.如图，E为BC延长线上一点，∠ABC和∠DCE的平分线交于点F，∠A=60°，∠ADC=150°，则∠F的度数为_________. 9.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点P，过点P作直线MN，分别与AB，AC交于点M，N. 若∠AMN=∠ANM，求证：∠BPC=∠BMN=∠CNM. 10.如图，∠BAC=∠BDC=90°，PB平分∠ABD，PC平分∠ACD，则∠P的度数为__________. 11.如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴上的一点，点B为y轴上的一点，AC平分∠BAx，BC平分∠ABy，求∠C的度数. 12.如图，BM平分∠ABC交CD于点E，DN平分∠ADC. 若∠A=∠C，求证：BM//DN. 13.如图，AB和CD相交于点O，∠C=∠COA，∠BDC=∠BOD，AP，DP分别平分∠CAO和∠BDC. 若∠C+∠P+∠B=165°，则∠C的度数是_______. 14.如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴上的一点，点B为y轴上的一点，AD平分∠BAx，BP平分∠OBA，BP与DA的延长线交于点P，则∠P的度数为_______. 15.（1）如图1，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2则∠BO1C的度数为______；∠BO2C的度数为________； （2）如图2，在△ABC中，∠ABC的三等分线与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠BO1C=125°，∠O2=110°，则∠A的度数为________. 答案 1. 【解析】设AD与EF交于点H 方法一：∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC， ∴∠EAH=∠CAD=30° ∵EF垂直平分AD ∴∠AHE=90°， AF=FD ∴∠AEF=60° ∴△AEF为等边三角形 ∴FD=AF=EF=5 ∴∠CAD=∠FDA=30° ∴∠DFG=60° ∴DG=cos∠FDG·DF= 方法二：∵EF垂直平分AD，AD平分∠BAC， ∴△EHA≌△FHA ∴EH=HF ∴AH=EH·tan∠AEH= ∴DH=AH= ∵DF平分∠HFG，DF⊥GF ∴DG=DH= 2.30° 3.75°【双内角三等分线模型】 4.150° 30° 【解析】在△ABC中，∵BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠ABD= ∠ABC，∠ACD= ∠ACB， ∠D=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°- (∠ABC+∠ACB)=180°- (180°-∠A)=90°+ ∠A=150° 【双内角平分线模型】 ∵BG，CG分别是∠ABC，∠ACB的外角平分线 ∴∠GBC+∠GCB= (∠EBC+∠FCB)= (180°-∠ABC+180°-∠ACB)=180°- (∠ABC+∠ACB)=180°- (180°-∠A)=150° ∴∠G=180°-150°=30°【双外角平分线模型】 5.D 6.A 【解析】∠D=90°- ∠A【双外角平分线模型】 ∵∠D=60°，∴∠A=60° ∵∠ACB=65°，∴∠ABC=55°【三角形内角和】 ∵BH是∠ABC的平分线 ∴∠HBC=27.5° 7.【一内一外角平分线】 8.因为BF平分∠ABC，CF平分∠DCE 所以∠ABF=∠CBF，∠DCF=∠ECF 设∠ABF=∠CBF=x，∠DCF=∠ECF=y 根据“燕尾模型”，得∠ADC=∠A+∠ABC+∠BCD 所以150°=60°+2x+180-2y° 所以y-x=45° 所以∠F=∠FCE-∠CBF=y-x=45° 9.设∠ABC=2x，∠ACB=2y 因为BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， 所以∠ABP=∠BPC= ∠ABC=x，∠ACP=∠BCP= ∠ACB=y 根据“A字模型”，∠AMN+∠ANM=∠ABC+∠ACB=2x+2y 因为∠AMN=∠ANM 所以∠AMN=∠ANM=x+y 所以∠BMN=∠CNM=180°-(x+y) 在△BPC中，∠BPC=180°-(x+y) 所以∠BMN=CNM=∠BPC 10.根据“8字形双角平分线夹角模型”，所以∠P= (∠A+∠D)=90° 11.45°【双外角平分线夹角模型】 12.证明：因为BM平分∠ABC，DN平分∠ADC； 所以∠ABM=∠CBM，∠ADN=∠CDN, 设∠ABM=∠CBM=x，∠A=∠C=y. 易知∠ADC=∠A+∠C+∠ABC=2x+2y, 所以∠CDN= ∠ADC=x+y, 因为∠CEM=∠CBM+∠C=x+y, 所以∠CDN=∠CEM 所以BM//DN. 13.70° 【简写】根据“8字形双角平分线夹角模型”，∠P= (∠C+∠B) 因为∠C+∠P+∠B=165° 所以∠P= （∠C+∠B）=55° 根据“燕尾模型”，∠AOD=∠P+ (∠CAO+∠CDB)=110° 所以∠AOC=∠ACO=70° 14.45°【一内一外角平分线夹角模型】 15.（1）140° 100° （2）55° 学科网（北京）股份有限公司 $$