2024-2025学年人教版八年级上11.2与三角形有关的角基础考点及题型梳理

11.2 与三角形有关的角 目录 【知识清单】 2 1．三角形内角和定理： 2 2．直角三角形的性质与判定： 2 3． 外角的定义： 2 4．外角的性质： 2 5. 三角形外角和定理 2 【考点一】利用三角形的内角和求角度 3 【考点二】三角形的内角和与角平分线、高线 4 【考点三】三角形的内角和与平行线 5 【考点四】折叠问题求角度 7 【考点五】直角三角形的性质 8 【考点六】直角三角形的判定 9 【考点七】求三角形外角的度数 10 【考点八】利用外角的性质求角度 11 【考点九】外角与平行线 13 【考点十】三角形外角与角平分线、高线的运用 15 【考点十一】三角形外角与折叠 16 【课堂过关检测】 18 【综合达标训练】 24 【知识清单】 1．三角形内角和定理： 三角形三个内角的和等于． 2．直角三角形的性质与判定： 性质：直角三角形的两个锐角互余． 判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 3． 外角的定义： 三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角． 4．外角的性质： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 5. 三角形外角和定理 三角形三个外角的和等于． 【考点归纳】 【考点一】利用三角形的内角和求角度 【例1】（2024•莱芜区校级开学）在△ABC中，∠A﹣∠B＝36°，∠C＝2∠B．求∠A、∠B、∠C的度数． 【针对训练】1、（2024春•锡山区校级月考）已知在△ABC中： （1）∠A﹣∠B＝20°，∠C＝2∠B，求∠A、∠B、∠C的度数； （2）a、b、c是三角形的三条边长，化简|a+c﹣b|﹣|c﹣a﹣b|． 【针对训练】2、（2023秋•城阳区期末）若三角形三个内角度数的比为2：3：4，则其最大的内角是 　 　度． 【针对训练】3、（2024春•泉州期末）如图，将一个三角形剪去一个角后，若∠1+∠2＝230°，则∠B的度数为 　 　． 【考点二】三角形的内角和与角平分线、高线 【例2】（2023秋•泰和县期末）如图，已知△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数． 【针对训练】1、（2023秋•江陵县期末）如图，在△ABC中，AD是高线，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠EAD与∠BOA的度数． 【针对训练】2、（2024春•鼓楼区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝2∠ACB，AP平分∠BAC交BC于点P，BN⊥AP于点M，交AC于点N． （1）求∠ACB的度数； （2）求∠CBN的度数． 【针对训练】3、（2024春•灞桥区校级月考）如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2． （1）求证：∠3＝∠C； （2）若DG⊥AB，且∠2＝2∠3，求∠DAC的度数． 【考点三】三角形的内角和与平行线 【例3】（2023秋•惠来县期末）如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，AB∥DG，∠1+∠2＝180°． （1）求证：AD∥EF； （2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝140°，求∠B的度数． 【针对训练】1、（2024春•东港市期末）如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC边上，点M，N在BC边上，连接EN，FM交于点D，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠C，连接EF． （1）求证：EF∥BC； （2）若∠2＝110°，∠DMN＝35°，求∠C的度数． 【针对训练】2、（2024•长沙模拟）如图在△BCD中，A为BD边上一点，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2＝35°，∠D＝60°，则∠B＝（　　） A．50° B．45° C．40° D．25° 【针对训练】3、（2024春•原阳县月考）如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠BDC＝70°，求∠BDE和∠BED的度数． 【考点四】折叠问题求角度 【例4】（2023秋•肥城市期末）如图，点M，N分别在AB，AC上，MN∥BC，将△ABC沿MN折叠后，点A落在点A′处，若∠A′＝28°，∠B＝120°，则∠A′NC＝　 　°． 【针对训练】1、（2024•德州模拟）将△ABC按如图所示翻折，DE为折痕，若∠A+∠B＝130°，则∠1+∠2＝　 　°． 【针对训练】2、（2024春•海州区校级期末）在三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝76°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），若∠1＝22°，则∠2的度数为 　 　． 【针对训练】3、（2023秋•藁城区期末）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为 　 　． 【考点五】直角三角形的性质 【例5】（2024春•德惠市期末）如图，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD＝35°，求： （1）∠EBC的度数； （2）∠A的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）∵CD⊥AB（已知）， ∴∠CDB＝　 　， ∴∠EBC＝∠CDB+∠BCD（ 　 　）， ∴∠EBC＝　 　+35°＝　 　（等量代换）． （2）∵　 　＝∠A+∠ACB， ∴∠A＝　 　﹣∠ACB（等式的性质）， ∵∠ACB＝90°（已知）， ∴∠A＝∠EBC﹣90°＝　 　（等量代换）． 【针对训练】1、（2024•雁塔区校级开学）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CDB＝90°，CE是△ABC的角平分线，已知∠CEB＝105°，求∠ECB，∠ECD的大小． 【针对训练】2、（2023秋•东湖区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD，AC于点F，E． （1）若∠CEF＝50°，求∠A的度数； （2）∠CFE与∠CEF相等吗？请说明理由． 【针对训练】3、（2023秋•青龙县期末）如图，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，∠A＝56°，则∠DCB的度数是 　 　． 【考点六】直角三角形的判定 【例6】（2024•路南区开学）一个三角形三个内角度数的比是5：3：2，这个三角形是（　　）三角形． A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定 【针对训练】1、（2023秋•宁河区期末）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则△ABC是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【针对训练】2、（2024春•江阴市校级月考）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C 【针对训练】3、（2023秋•兴县月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，且∠CAD＝∠CBD，求证：△ABD是直角三角形． 【考点七】求三角形外角的度数 【例7】（2023秋•桂平市期末）将一副三角板按照如图方式摆放，则∠CBE的度数为（　　） A．90° B．100° C．105° D．110° 【针对训练】1、（2023秋•汕尾期末）如果将一副三角板按如图的方式叠放，则∠1的度数为（　　） A．105° B．120° C．75° D．45° 【针对训练】2、（2024•盐都区校级二模）将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为 　 　． 【针对训练】3、（2024春•原阳县校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）求∠ADB的度数； （2）若∠BDE＝40°，求∠DEC的度数． 【考点八】利用外角的性质求角度 【例8】（2024•兴隆台区校级开学）如图．在△ABC中，D是BC边上一点，∠ADC＝110°，∠BAC＝80°，∠B＝∠BAD．求∠B、∠C的度数． 【针对训练】1、（2024春•兴隆县期末）如图，在△ABC中，AN是△ABC的角平分线，∠B＝50°，∠ANC＝80°，求∠C的度数． 【针对训练】2、（2024春•定陶区期末）如图，在△ABC中，∠A＝35°，∠ABD＝35°，∠ACB＝80°，且CE平分∠ACB，求∠BEC的度数． 【针对训练】3、（2024春•湖南月考）如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝70°，∠BAC＝60°．求： （1）∠B的度数； （2）∠C的度数． 【考点九】外角与平行线 【例9】（2024春•龙亭区校级期末）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线与线段BA延长线交于点F，点E在线段CF上，且∠AEF+∠FCD＝180°． （1）求证：AE∥BC； （2）若∠B＝28°，∠ACF＝62°，求∠BAC的度数． 【针对训练】1、（2024春•海门区期末）（1）如图①，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是边AC上的高，求∠DBC的度数． （2）如图②，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点D是线段AB延长线上一点，过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数． 【针对训练】2、（2023秋•秦皇岛期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，F为AC延长线上的一点，连接DF． （1）求∠CBE的度数． （2）若∠F＝27°，求证：BE∥DF． 【针对训练】3、（2024春•石狮市期末）如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝2∠ACB，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD． （1）求∠A的度数； （2）AB与EC平行吗？请说明理由． 【考点十】三角形外角与角平分线、高线的运用 【例10】（2023秋•罗山县期末）如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC、∠BOA的度数． 【针对训练】1、（2024春•阳谷县期末）如图所示，在△ABC中，AE是角平分线，AD是高． （1）若∠B＝40°，∠C＝60°，求：①∠DAC的度数；②∠DAE的度数． （2）已知∠C＞∠B，用∠B、∠C表示∠DAE． 【针对训练】2、（2023秋•宣汉县期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝　 　． 【针对训练】3、（2024春•金牛区校级期中）如图，△ABC中，一内角和一外角的平分线交于点D，连结AD，∠BDC＝20°，则∠BAC＝　 　，∠CAD＝　 　． 【考点十一】三角形外角与折叠 【例11】（2024春•定陶区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝65°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为BD，则∠A′DC＝（　　） A．40° B．30° C．25° D．20° 【针对训练】1、（2023秋•秦皇岛期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ACD沿CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处．若∠B＝26°，则∠BDE＝　 　． 【针对训练】2、（2024春•威海期末）如图，在△ABC中，∠B＝28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2＝　 　°． 【针对训练】3、（2023秋•印江县期末）如图，在△ABC中，∠B＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，使点B落在点F的位置，则∠1﹣∠2的度数是 　 　°． 【课堂过关检测】 1．（2023秋•松北区期末）如图，在△ABC中，∠A＝60度，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2的大小为多少度（　　） A．140 B．190 C．320 D．240 2．（2024春•浦江县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝Rt∠，∠A＝30°，CE、CD分别是△ACB的角平分线和高线，交AB于点E、D．则∠DCE的值为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 3．（2024•五华区校级模拟）如图，AB∥CD，在Rt△DCE中，∠DCE＝90°，且∠E＝40°，则∠EAB＝（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 4．（2024春•乾县期末）如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，过点A作AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝46°，则∠BAD的度数为（　　） A．56° B．61° C．66° D．71° 5．（2023秋•路南区期中）在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为（　　） A．60° B．10° C．45° D．10°或60° 6．（2022秋•武昌区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝80°，点D在△ABC外，连接AD，BD，CD，若∠DBA＝20°，∠ACD＝30°，则∠BAD的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 二．填空题（共7小题） 7．（2023秋•灵宝市校级月考）在△ABC中，∠A＝70°，BD、CE为高，直线BD、CE交于点H，则∠BHC＝　 　． 8．（2024春•江都区月考）已知△ABC的三个分别是∠A、∠B、∠C，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠C＝　 　． 9．（2024春•湛河区校级期末）如图，△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，AD、BE相交于点P，已知∠EPD＝125°，则∠BAD的度数为 　 　°． 10．（2023秋•绥棱县校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°．若将△ABC沿CD所在直线折叠，使点B落在AC边上的点E处，则∠CDE的度数是　 　° 11．（2024•朝阳区一模）如图，若∠B＝77°，∠C＝85°，则∠1+∠2＝　 　°． 12．（2023秋•朝阳区期末）如图，图中x的值为 　 　． 13．（2023秋•和平区校级月考）在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，CE平分∠ACB交AB于E，D在AC上，且∠CBD＝20°，则∠CED的度数是 　 　． 三．解答题（共7小题） 14．（2024春•顺河区校级期末）将下面求解的过程补充完整： 如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠BAC＝31°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D，CE平分∠ACD交AD于点E，求∠AEC的度数． 解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，且∠B＝25°，∠BAC＝31°， ∴∠ACD＝∠　 　+∠　 　＝　 　．（三角形的外角等于与它 　 　的和） 又∵CE平分∠ACD， ∴∠ECD＝　 　∠ACD＝　 　°． 又∵∠AEC是△CDE的一个外角，且AD⊥BD， ∴∠AEC＝∠　 　+∠　 　＝　 　． 15．（2024春•湖南月考）如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝70°，∠BAC＝60°．求： （1）∠B的度数； （2）∠C的度数． 16．（2024春•安次区期末）如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，∠EAD＝∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F． （1）DE与AC平行吗？请说明理由； （2）若∠BAC＝105°，∠B＝35°，求∠DEF的度数． 17．（2024春•沙河口区期末）（1）完成下面的证明． 已知：如图1，直线a，b，c被直线l所截，∠1+∠2＝180°∠1＝∠3． 求证：b∥c． 证明：∵∠1+∠2＝180° ∴a∥　 　（ 　 　）． ∵∠1＝∠3， ∴　 　（ 　 　）． ∴b∥c． （2）如图2，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝60°，∠C＝40°，求∠DAE的度数． 18．（2024春•长兴县期末）如图，在△ABC中，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，DE⊥AC于点E，F为线段BC上一点，FG⊥AB于点G． （1）试探索∠EDC和∠GFC的数量关系，并说明理由； （2）若∠B＝55°，求∠ACD的度数． 19．（2024春•曹县期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠BAD，∠ACB＝2∠B，点E在BC的延长线上．求∠ACE的度数． 20．（2024春•吉州区月考）如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线． （1）当∠ABC＝54°，∠ACB＝66°时，∠D＝　 　，∠P＝　 　， （2）若∠A＝66°，求∠D，∠P的度数； （3）请你猜想，当∠A的大小变化时，∠D+∠P的值是否变化？请说明理由． 【综合达标训练】 一．选择题（共6小题） 1．（2023秋•桂平市期末）将一副三角板按照如图方式摆放，则∠CBE的度数为（　　） A．90° B．100° C．105° D．110° 2．（2023秋•新疆期末）如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B＝30°，∠DAE＝55°，则∠ACB的度数是（　　） A．80° B．85° C．100° D．110° 3．（2024春•浦江县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝Rt∠，∠A＝30°，CE、CD分别是△ACB的角平分线和高线，交AB于点E、D．则∠DCE的值为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 4．（2022春•龙华区期中）将一副普通的直角三角尺ADE和ABC如图放置，点D恰好落在BC边上，三角尺中∠ABC＝60°，较长的边AE∥BC，则∠FAD的度数是（　　） A．30° B．25° C．10° D．15° 5．（2023秋•谷城县期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，∠B＝30°，∠ACD＝100°，则∠E的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 6．（2023秋•德城区校级月考）如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，CE平分∠ACB交AB于点E，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，则∠CDF的度数为（　　） A．20° B．60° C．70° D．80° 二．填空题（共7小题） 7．（2022秋•路桥区期末）如图是一副三角尺拼成的图案，其中∠C＝30°，∠D＝45°，则∠EFC＝　 　°． 8．（2024春•东台市月考）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，若∠B＝60°，∠DAE＝16°，则∠C＝　 　． 9．在△ABC中，∠A∠B∠C，则∠A＝　 　，∠B＝　 　，∠C＝　 　．此三角形为　 　三角形． 10．（2023秋•秦皇岛期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ACD沿CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处．若∠B＝26°，则∠BDE＝　 　． 11．（2023秋•石河子校级期末）如图，∠B＝60°，∠A＝50°，则∠ACD＝　 　． 12．（2023秋•榆次区校级月考）将一副三角尺叠放在一起： A：如图①，若∠CAD＝4∠BAD，则∠CAE的度数为 　 　°． B：如图②，若∠ACE＝2∠BCD，则∠ACD的度数为 　 　°． 13．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的度数之比是5：4：3，则∠A＝　 　°，∠B＝　 　°，∠C＝　 　°． 三．解答题（共7小题） 14．（2024春•宿城区校级期末）已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，∠EAD＝∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F． （1）说明：DE∥AC； （2）若∠DEF＝40°，∠B＝36°，求∠BAC的度数． 15．（2023秋•莲湖区期末）如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，且BO，CO交于点O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E．记∠BAC＝∠1，∠E＝∠2，已知∠2＝25°．求∠1与∠BOC的度数． 16．（2023秋•思明区校级期中）如图，在△ABC中， （1）CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且交BA的延长线于点E（依题意补出图形）． （2）∠B＝40°，∠AEC＝30°，求∠BAC的度数． 17．（2023秋•兰山区校级月考）如图，AD，AE为△ABC的高线，角平分线，DP⊥AB于点P，当∠DAC＝21°，∠B＝25°，求∠DAF的度数． 18．（2023秋•南陵县期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝40°，∠C＝70°，求∠DAE的度数． 19．（2024春•宿豫区期末）如图，在△ABC中，DE∥BC．EF平分∠AED，交AB于点F． （1）若∠A＝52°，∠B＝60°，求∠AED的度数； （2）在（1）的条件下，判断EF与AB是否垂直，并说明理由； （3）直接写出当∠A与∠B满足怎样的数量关系时，EF⊥AB． 20．（2022秋•章贡区校级期中）如图，∠BAC＝68°，△ABC的外角∠ACD＝116°，AE是∠BAC的平分线，求∠AEC的度数． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.2 与三角形有关的角 目录 【知识清单】 2 1．三角形内角和定理： 2 2．直角三角形的性质与判定： 2 3． 外角的定义： 2 4．外角的性质： 2 5. 三角形外角和定理 2 【考点一】利用三角形的内角和求角度 3 【考点二】三角形的内角和与角平分线、高线 4 【考点三】三角形的内角和与平行线 7 【考点四】折叠问题求角度 10 【考点五】直角三角形的性质 13 【考点六】直角三角形的判定 16 【考点七】求三角形外角的度数 17 【考点八】利用外角的性质求角度 20 【考点九】外角与平行线 22 【考点十】三角形外角与角平分线、高线的运用 25 【考点十一】三角形外角与折叠 28 【课堂过关检测】 31 【综合达标训练】 45 【知识清单】 1．三角形内角和定理： 三角形三个内角的和等于． 2．直角三角形的性质与判定： 性质：直角三角形的两个锐角互余． 判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 3． 外角的定义： 三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角． 4．外角的性质： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 5. 三角形外角和定理 三角形三个外角的和等于． 【考点归纳】 【考点一】利用三角形的内角和求角度 【例1】（2024•莱芜区校级开学）在△ABC中，∠A﹣∠B＝36°，∠C＝2∠B．求∠A、∠B、∠C的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵∠A﹣∠B＝36°， ∴∠A＝36°+∠B， ∵∠C＝2∠B，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠B+∠B+∠B+36°＝180°， ∴∠B＝36°， ∴∠A＝∠B+36°＝72°，∠C＝2∠B＝72° 【针对训练】1、（2024春•锡山区校级月考）已知在△ABC中： （1）∠A﹣∠B＝20°，∠C＝2∠B，求∠A、∠B、∠C的度数； （2）a、b、c是三角形的三条边长，化简|a+c﹣b|﹣|c﹣a﹣b|． 【答案】（1）∠B＝40°，∠A＝60°，∠C＝80°； （2）2c﹣2b． 【解答】解：（1）∵∠A﹣∠B＝20°，∠C＝2∠B， ∴∠A＝∠B+20°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B+20°+∠B+2∠B＝180°， ∴∠B＝40°， ∴∠A＝60°，∠C＝80°； （2）∵a、b、c是三角形的三条边长， ∴a+c＞b，c﹣a＜b， ∴a+c﹣b＞0，c﹣a﹣b＜0， ∴|a+c﹣b|﹣|c﹣a﹣b|＝a+c﹣b﹣a﹣b+c＝2c﹣2b． 【针对训练】2、（2023秋•城阳区期末）若三角形三个内角度数的比为2：3：4，则其最大的内角是 　80　度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设三角形的三个内角分别为2x、3x、4x， 根据题意得：2x+3x+4x＝180°， 解得：x＝20°， ∴4x＝4×20°＝80°． 故答案为：80． 【针对训练】3、（2024春•泉州期末）如图，将一个三角形剪去一个角后，若∠1+∠2＝230°，则∠B的度数为 　50°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵∠1+∠2＝230°， ∴∠A+∠C＝360°﹣230°＝130°， ∵∠A+∠C+∠B＝180°， ∴∠B＝180°﹣130°＝50°． 故答案为：50°． 【考点二】三角形的内角和与角平分线、高线 【例2】（2023秋•泰和县期末）如图，已知△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：在△ABC中， ∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠BAE＝∠CAE＝35°． 又∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB＝90°， ∵在△ABD中∠BAD＝90°﹣∠B＝25°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°． 【针对训练】1、（2023秋•江陵县期末）如图，在△ABC中，AD是高线，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠EAD与∠BOA的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AD⊥BC ∴∠ADC＝90° ∵∠C＝70° ∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE50°＝25° ∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝25°﹣20°＝5°； ∵∠BAC＝50°，∠C＝70° ∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60° ∵BF是∠ABC的角平分线 ∴∠ABO＝30° ∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°． 【针对训练】2、（2024春•鼓楼区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝2∠ACB，AP平分∠BAC交BC于点P，BN⊥AP于点M，交AC于点N． （1）求∠ACB的度数； （2）求∠CBN的度数． 【答案】（1）40°； （2）20°． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝60°，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣60°＝120°， 又∠ABC＝2∠ACB，即2∠ACB+∠ACB＝120°， ∴3∠ACB＝120°， ∴∠ACB＝40°； （2）∵∠ABC＝2∠ACB，∠ACB＝40°， ∴∠ABC＝80°， ∵BN⊥AP， ∴∠AMB＝90°， 又∵AP平分∠BAC， ∴， ∴∠ABM＝90°﹣∠BAP＝90°﹣30°＝60°， ∴∠CBN＝∠ABC﹣∠ABM＝80°﹣60°＝20°． 【针对训练】3、（2024春•灞桥区校级月考）如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2． （1）求证：∠3＝∠C； （2）若DG⊥AB，且∠2＝2∠3，求∠DAC的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）60°． 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC， ∴AD∥EF， ∴∠2＝∠DAC， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠DAC， ∴AC∥GD， ∴∠3＝∠C． （2）解：∵∠2＝2∠3，∠1＝∠2， ∴∠1＝2∠3， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠1+∠3＝3∠3＝90°， ∴∠3＝30°，∠1＝60°， ∴∠1＝∠DAC＝60°． 【考点三】三角形的内角和与平行线 【例3】（2023秋•惠来县期末）如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，AB∥DG，∠1+∠2＝180°． （1）求证：AD∥EF； （2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝140°，求∠B的度数． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）40°． 【解答】（1）证明：∵AB∥DG， ∴∠1＝∠DAE， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠DAE+∠2＝180°， ∴AD∥EF； （2）解：∵AD∥EF，∠2＝140°， ∴∠DAE＝180°﹣∠2＝180°﹣140°＝40°， ∵AB∥DG， ∴∠1＝∠DAE＝40°， ∵DG是∠ADC的平分线， ∴∠ADC＝2∠1＝2×40°＝80°， ∵∠B+∠BAD＝∠ADC， ∴∠B＝∠ADC﹣∠BAD＝80°﹣40°＝40°． 【针对训练】1、（2024春•东港市期末）如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC边上，点M，N在BC边上，连接EN，FM交于点D，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠C，连接EF． （1）求证：EF∥BC； （2）若∠2＝110°，∠DMN＝35°，求∠C的度数． 【答案】（1）证明见解析过程； （2）75°． 【解答】（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝∠FDN， ∴∠1+∠FDN＝180°， ∴CF∥NE， ∴∠C＝∠ENB． 又∵∠3＝∠C， ∴∠3＝∠ENB， ∴EF∥BC． （2）解：∵∠2＝110°， ∴∠MDN＝70°． 又∵∠DMN＝35°， ∴∠DNM＝180°﹣70°﹣35°＝75°． ∵CF∥NE， ∴∠C＝∠DNM＝75°． 【针对训练】2、（2024•长沙模拟）如图在△BCD中，A为BD边上一点，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2＝35°，∠D＝60°，则∠B＝（　　） A．50° B．45° C．40° D．25° 【答案】A 【解答】＝解：∵AE∥CD，∠2＝35°， ∴∠1＝∠2＝35°， ∵AC平分∠BCD， ∴∠BCD＝2∠1＝70°， ∵∠D＝60°， ∴∠B＝180°﹣∠D﹣∠BCD＝180°﹣60°﹣70°＝50°， 故选：A． 【针对训练】3、（2024春•原阳县月考）如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠BDC＝70°，求∠BDE和∠BED的度数． 【答案】∠BBE＝20°，∠BED＝140°． 【解答】解：∵∠BDC＝∠A+∠ABD， ∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝70°﹣50°＝20°， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD＝20°， ∵DE//BC， ∴∠EDB＝∠CBD＝20°， ∴∠BED＝180°﹣∠ABD﹣∠EDB＝180°﹣200﹣200＝1400． 【考点四】折叠问题求角度 【例4】（2023秋•肥城市期末）如图，点M，N分别在AB，AC上，MN∥BC，将△ABC沿MN折叠后，点A落在点A′处，若∠A′＝28°，∠B＝120°，则∠A′NC＝　116　°． 【答案】116． 【解答】解：根据折叠的性质可得∠A＝∠A′＝28°，∠A′NM＝∠ANM． ∵∠A＝28°，∠B＝120°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝32°． ∵MN∥BC， ∴∠ANM＝∠C，∠CNM+∠C＝180°． ∴∠CNM＝180°﹣∠C＝148°． ∵∠A′NM＝∠ANM，∠ANM＝∠C， ∴∠A′NM＝∠C＝32°． ∴∠A′NC＝∠CNM﹣∠A′NM＝148°﹣32°＝116°． 故答案为：116． 【针对训练】1、（2024•德州模拟）将△ABC按如图所示翻折，DE为折痕，若∠A+∠B＝130°，则∠1+∠2＝　100　°． 【答案】100． 【解答】解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°， 在△CDE中，∠CDE+∠CED+∠C＝180°， ∴∠A+∠B＝∠CDE+∠CED， ∵∠A+∠B＝130°， ∴∠CDE+∠CED＝130°， ∴∠BED+∠ADE＝360°﹣130°＝230°， 由折叠的性质得，∠BED＝∠B'ED，∠ADE＝∠A'DE， ∴∠B'ED+∠A'DE＝230°， 即∠1+∠CDE+∠2+∠CED＝230°， ∴∠1+∠2＝230°﹣130°＝100°， 故答案为：100． 【针对训练】2、（2024春•海州区校级期末）在三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝76°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），若∠1＝22°，则∠2的度数为 　56°　． 【答案】56°． 【解答】解：如图，设折痕为DE； ∵∠A＝65°，∠B＝76°， ∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣（65°+76°）＝39°， ∴∠CDE+∠CED＝180°﹣∠C＝141°， 又∵∠1＝22°， ∴∠2＝360°﹣（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）＝56°（四边形ABDE的内角和可以看作连接对角线后两个三角形的内角和）， 故答案为：56°． 【针对训练】3、（2023秋•藁城区期末）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为 　110°　． 【答案】110°． 【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝110°， 由折叠的性质得，∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD，∠ADE＝∠ADC， ∵DE∥AB， ∴∠BAE＝∠E＝30°， ∴∠CAD＝40°， ∴∠ADE＝∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝110°， 故答案为：110°． 【考点五】直角三角形的性质 【例5】（2024春•德惠市期末）如图，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD＝35°，求： （1）∠EBC的度数； （2）∠A的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）∵CD⊥AB（已知）， ∴∠CDB＝　90°　， ∴∠EBC＝∠CDB+∠BCD（ 　三角形的外角的性质　）， ∴∠EBC＝　90°　+35°＝　125°　（等量代换）． （2）∵　∠EBC　＝∠A+∠ACB， ∴∠A＝　∠EBC　﹣∠ACB（等式的性质）， ∵∠ACB＝90°（已知）， ∴∠A＝∠EBC﹣90°＝　35°　（等量代换）． 【答案】（1）90°，三角形的外角的性质，90°，125°；（2）∠EBC，∠EBC，35°． 【解答】解：（1）∵CD⊥AB（已知）， ∴∠CDB＝90°． ∵∠EBC＝∠CDB+∠BCD（三角形的外角的性质）， ∴∠EBC＝90°+35°＝125°（等量代换）． 故答案为：90°，三角形的外角的性质，90°，125°； （2）∵∠EBC＝∠A+∠ACB ∴∠A＝∠EBC﹣∠ACB（等式的性质）， ∵∠ACB＝90°（已知）， ∴∠A＝125°﹣90°＝35°（等量代换）． 故答案为：∠EBC；∠EBC；35°． 【针对训练】1、（2024•雁塔区校级开学）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CDB＝90°，CE是△ABC的角平分线，已知∠CEB＝105°，求∠ECB，∠ECD的大小． 【答案】45°，15°． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CE是∠ACB的角平分线， ∴∠ECBACB90°＝45°， ∵∠AEC+∠CEB＝180°， ∴∠AEC＝180°﹣∠CEB＝75°． 在△CDE中，∠CDE+∠CED+∠ECD＝180°， ∴∠ECD＝180°﹣∠CDE﹣∠CED＝180°﹣90°﹣75°＝15°． 【针对训练】2、（2023秋•东湖区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD，AC于点F，E． （1）若∠CEF＝50°，求∠A的度数； （2）∠CFE与∠CEF相等吗？请说明理由． 【答案】（1）10°； （2）∠CFE＝∠CEF． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠CEF＝50°， ∴∠CBE＝40°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝80°， ∴∠A＝90°﹣80°＝10°； （2）∠CFE＝∠CEF，理由如下： ∵∠ACB＝90°， ∴∠CBE+∠CEB＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠EBA+∠BFD＝90° 又∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE＝∠EBA， ∴∠CEB＝∠BFD， ∵∠BFD＝∠CFE， ∴∠CEB＝∠CFE， 即∠CFE＝∠CEF． 【针对训练】3、（2023秋•青龙县期末）如图，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，∠A＝56°，则∠DCB的度数是 　56°　． 【答案】56°． 【解答】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB， ∴∠ACB＝∠BDC＝90°， ∴∠A+∠B＝90°＝∠B+∠DCB， ∴∠A＝∠DCB， ∵∠A＝56°， ∴∠DCB＝∠A＝56°． 故答案为：56°． 【考点六】直角三角形的判定 【例6】（2024•路南区开学）一个三角形三个内角度数的比是5：3：2，这个三角形是（　　）三角形． A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定 【答案】B 【解答】解：∵一个三角形三个内角度数的比是5：3：2， ∴设这个三角形三个内角的度数分别是5x，3x，2x，则由三角形内角和为180°得到 5x+3x+2x＝180°，解得x＝18°， ∴这个三角形三个内角的度数分别是90°，54°，36°， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：B． 【针对训练】1、（2023秋•宁河区期末）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则△ABC是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【解答】解：设三个内角的度数分别为k°，k°，2k°，则 k°+k°+2k°＝180°， 解得k°＝45°， ∴2k°＝90°， ∴这个三角形是等腰直角三角形， 故选：D． 【针对训练】2、（2024春•江阴市校级月考）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C 【答案】D 【解答】解：A选项，∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，不符合题意； B选项，∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，为直角三角形，不符合题意； C选项，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A选项，不符合题意； D选项，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意． 故选：D． 【针对训练】3、（2023秋•兴县月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，且∠CAD＝∠CBD，求证：△ABD是直角三角形． 【答案】见解析． 【解答】证明：在Rt△ABC中， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵∠CAD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠CAD， ∴∠BAD+∠ABD＝90°， ∴△ABD是直角三角形． 【考点七】求三角形外角的度数 【例7】（2023秋•桂平市期末）将一副三角板按照如图方式摆放，则∠CBE的度数为（　　） A．90° B．100° C．105° D．110° 【答案】C 【解答】解：由题意可得： ∠ACB＝60°，∠BAC＝45°， ∴∠CBE＝∠ACB+∠BAC＝60°+45°＝105°， 故选：C． 【针对训练】1、（2023秋•汕尾期末）如果将一副三角板按如图的方式叠放，则∠1的度数为（　　） A．105° B．120° C．75° D．45° 【答案】A 【解答】解：由三角形的外角性质可得：∠1＝（90°﹣45°）+60°＝105°， 故选：A． 【针对训练】2、（2024•盐都区校级二模）将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为 　105°　． 【答案】105°． 【解答】解：如图所示： ∵∠2＝∠3+∠4，∠3＝45°，∠4＝30°， ∴∠2＝75°， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠1＝105°． 故答案为：105°． 【针对训练】3、（2024春•原阳县校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）求∠ADB的度数； （2）若∠BDE＝40°，求∠DEC的度数． 【答案】（1）∠ADB＝70°； （2）∠DEC＝80°． 【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝80°， ∵BD平分∠ABC交AC于点D， ∴， ∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝40°+30°＝70°； （2）由（1）知∠DBC＝40°， ∵∠BDE＝40°， ∴∠DEC＝∠DBC+∠BDE＝40°+40°＝80°． 【考点八】利用外角的性质求角度 【例8】（2024•兴隆台区校级开学）如图．在△ABC中，D是BC边上一点，∠ADC＝110°，∠BAC＝80°，∠B＝∠BAD．求∠B、∠C的度数． 【答案】∠B＝55°，∠C＝45°． 【解答】解：∵∠ADC是△ABD的外角， ∴∠B+∠BAD＝∠ADC＝110°． ∵∠B＝∠BAD， ∴∠B＝55°． ∵∠B+∠BAC+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B， ＝180°﹣80°﹣∠B， ＝45°． 【针对训练】1、（2024春•兴隆县期末）如图，在△ABC中，AN是△ABC的角平分线，∠B＝50°，∠ANC＝80°，求∠C的度数． 【答案】70°． 【解答】解：∵∠ANC＝∠B+∠BAN，∠B＝50°，∠ANC＝80°． ∴∠BAN＝∠ANC﹣∠B＝80°﹣50°＝30°， ∵AN是∠BAC角平分线， ∴∠BAC＝2∠BAN＝2×30°＝60°， 在△ABC中，∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣60°＝70°． 【针对训练】2、（2024春•定陶区期末）如图，在△ABC中，∠A＝35°，∠ABD＝35°，∠ACB＝80°，且CE平分∠ACB，求∠BEC的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵∠A＝35°，∠ABD＝35°， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝70°， ∵CE平分∠ACB，∠ACB＝80°， ∴∠DCE∠ACB＝40°， ∴∠BEC＝∠BDC+∠DCE＝70°+40°＝110°． 【针对训练】3、（2024春•湖南月考）如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝70°，∠BAC＝60°．求： （1）∠B的度数； （2）∠C的度数． 【答案】（1）35°； （2）85°． 【解答】解：（1）∵∠ADC是△ABD的外角， ∴∠B+∠BAD＝∠ADC＝70°， ∵∠B＝∠BAD， ∴∠B＝35°； （2）∵∠B+∠BAC+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣35°﹣60°＝85°． 【考点九】外角与平行线 【例9】（2024春•龙亭区校级期末）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线与线段BA延长线交于点F，点E在线段CF上，且∠AEF+∠FCD＝180°． （1）求证：AE∥BC； （2）若∠B＝28°，∠ACF＝62°，求∠BAC的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）96°． 【解答】（1）证明：∵∠AEF+∠AEC＝180°，∠AEF+∠FCD＝180°， ∴∠AEC＝∠FCD， ∴AE∥BC； （2）解：∵CF是∠ACD的平分线，∠ACF＝62°，∠B＝28°， ∴∠ACD＝2∠ACF＝124°， ∴∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝124°﹣28°＝96°． 【针对训练】1、（2024春•海门区期末）（1）如图①，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是边AC上的高，求∠DBC的度数． （2）如图②，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点D是线段AB延长线上一点，过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数． 【答案】（1）18°； （2）25°． 【解答】解：（1）设∠A＝x， ∵∠C＝∠ABC＝2∠A， ∴∠C＝∠ABC＝2x， 在△ABC中，∠C+∠ABC+∠A＝180°， ∴2x+2x+x＝180°， ∴x＝36°， ∴∠C＝72°， ∵BD是边AC上的高， ∴∠BDC＝90°， ∴∠DBC＝90°﹣∠C＝90°﹣72°＝18°； （2）∵∠ACB＝90°，∠A＝40°， ∴∠CBD＝∠ACB+∠A＝90°+40°＝130°， ∵BE平分∠CBD， ∴∠EBD65°， ∵∠EBD＝∠A+∠AEB， ∴∠AEB＝65°﹣40°＝25°， ∵DF∥BE， ∴∠F＝∠AEB＝25°． 【针对训练】2、（2023秋•秦皇岛期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，F为AC延长线上的一点，连接DF． （1）求∠CBE的度数． （2）若∠F＝27°，求证：BE∥DF． 【答案】（1）63°； （2）见解答过程． 【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠A＝36°，∠CBD是△ABC的外角， ∴∠CBD＝∠ACB+∠A＝126°， ∵BE平分∠CBD， ∴∠CBE∠CBD＝63°； （2）证明：∵∠ACB＝90°，∠CBE＝63°， ∴∠CEB＝∠ACB﹣∠CBE＝27°， ∵∠F＝27°， ∴∠CEB＝∠F， ∴BE∥DF． 【针对训练】3、（2024春•石狮市期末）如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝2∠ACB，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD． （1）求∠A的度数； （2）AB与EC平行吗？请说明理由． 【答案】（1）72°； （2）AB与EC平行，理由见解答过程． 【解答】解：（1）根据三角形内角和定理得：∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∵∠A＝∠B＝2∠ACB， ∴2∠ACB+2∠ACB+∠ACB＝180°， ∴∠ACB＝36°， ∴∠A＝2∠ACB＝72°； （2）AB与EC平行，理由如下： 由（1）可知：∠A＝∠B＝72°， ∴∠ACD＝∠A+∠B＝144°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠DCE＝ACE∠ACD＝72°， ∴∠DCE＝∠B＝72°， ∴AB∥CE． 【考点十】三角形外角与角平分线、高线的运用 【例10】（2023秋•罗山县期末）如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC、∠BOA的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AD⊥BC ∴∠ADC＝90° ∵∠C＝70° ∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°； ∵∠BAC＝50°，∠C＝70° ∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60° ∵BF是∠ABC的角平分线 ∴∠ABO＝30° ∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°． 【针对训练】1、（2024春•阳谷县期末）如图所示，在△ABC中，AE是角平分线，AD是高． （1）若∠B＝40°，∠C＝60°，求：①∠DAC的度数；②∠DAE的度数． （2）已知∠C＞∠B，用∠B、∠C表示∠DAE． 【答案】（1）①30°；②10°； （2）∠C∠B 【解答】解：（1）①∵AD是高， ∴∠ADC＝90°， ∵∠C＝60°， ∴∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝30°； ②∵∠B＝40°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°， ∵AE是角平分线， ∴∠CAE∠BAC＝40°， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠DAC＝10°； （2）由题意得：∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∵AE是角平分线， ∴∠BAE∠BAC＝90°， ∵∠AED是△ABE的外角， ∴∠AED＝∠B+∠BAE＝90°∠B∠C， ∵AD是高，∠ADC是△ADE的外角， ∴∠DAE＝∠ADC﹣∠AED ＝90°﹣（90°∠B∠C） ＝90°﹣90°∠B∠C ∠C∠B． 【针对训练】2、（2023秋•宣汉县期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝　90°　． 【答案】90°． 【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， 又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°， ∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°， ∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°， ∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°， ∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°， ∵∠PBC＝20°， ∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°， ∴∠A+∠P＝90°， 故答案为：90°． 【针对训练】3、（2024春•金牛区校级期中）如图，△ABC中，一内角和一外角的平分线交于点D，连结AD，∠BDC＝20°，则∠BAC＝　40°　，∠CAD＝　70°　． 【答案】40°；70°． 【解答】解：过点D作DF⊥BA交BA的延长线于F，DH⊥AC，DT⊥BE，如图所示： 设∠EBD＝α，∠ECD＝β， ∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACE的平分线， ∴∠ABC＝2∠EBD＝2α，∠ACE＝2∠ECD＝2β， 根据三角形的外角定理得：∠ECD＝∠EBD+∠BDC，∠ACE＝∠ABC+∠BAC， 即β＝α+∠BDC，2β＝∠ABC+2α， ∴2（α+∠BDC）＝∠ABC+2α， ∴∠ABC＝2∠BDC， ∵∠BDC＝20°， ∴∠ABC＝2∠BDC＝40°， ∴∠FAC＝180°﹣∠ABC＝140°， ∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACE的平分线， ∴DF＝DT，DH＝DT， ∴DF＝DH， ∴DA平分∠FAC， ∴∠CAD∠FAC140°＝70°． 故答案为：40°；70°． 【考点十一】三角形外角与折叠 【例11】（2024春•定陶区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝65°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为BD，则∠A′DC＝（　　） A．40° B．30° C．25° D．20° 【答案】A 【解答】解：由折叠的性质可知，∠BA′D＝∠A＝65°， ∵∠ABC＝90°，∠A＝65°， ∴∠C＝25°， ∴∠A′DC＝∠BA′D﹣∠C＝40°， 故选：A． 【针对训练】1、（2023秋•秦皇岛期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ACD沿CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处．若∠B＝26°，则∠BDE＝　38°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵将△ACD沿CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处， ∴∠CED＝∠A， ∵∠ACB＝90°，∠B＝26°， ∴∠A＝180°﹣90°﹣26°＝64°， ∴∠CED＝64°， ∴∠BDE＝64°﹣26°＝38°． 故答案为：38°． 【针对训练】2、（2024春•威海期末）如图，在△ABC中，∠B＝28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2＝　56　°． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图， ∵△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置， ∴∠3＝∠4，∠5＝∠6， ∵∠3+∠4+∠1＝180°，∠5+∠6+∠2＝180°， ∴2∠3+∠1＝180°，2∠5+∠2＝180°， ∴∠1﹣∠2＝2∠5﹣2∠3， ∵∠5＝∠3+∠B， ∴2∠5＝2∠3+2∠B， ∴∠1﹣∠2＝2∠B＝2×28°＝56°． 故答案为：56． 【针对训练】3、（2023秋•印江县期末）如图，在△ABC中，∠B＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，使点B落在点F的位置，则∠1﹣∠2的度数是 　80　°． 【答案】80． 【解答】解：如图，设DF与CE交于点H， 由折叠的性质得：∠F＝∠B＝40°， 根据外角性质得：∠1＝∠DHB+∠B，∠DHB＝∠2+∠F， ∴∠1＝∠2+∠F+∠B＝∠2+2∠B＝∠2+80°，即∠1﹣∠2＝80°． 故答案为：80． 【课堂过关检测】 一．选择题（共6小题） 1．（2023秋•松北区期末）如图，在△ABC中，∠A＝60度，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2的大小为多少度（　　） A．140 B．190 C．320 D．240 【答案】D 【解答】解：∵∠A+∠ADE＝∠1，∠A+∠AED＝∠2， ∴∠A+（∠A+∠ADE+∠AED）＝∠1+∠2， ∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∠A＝60°， ∴∠1+∠2＝60°+180°＝240°． 故选：D． 2．（2024春•浦江县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝Rt∠，∠A＝30°，CE、CD分别是△ACB的角平分线和高线，交AB于点E、D．则∠DCE的值为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】A 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝90°﹣30°＝60°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCE∠ACB＝45°， ∵CD是高线， ∴CD⊥AB， 即∠CDB＝90°，在Rt△BCD中， ∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DCE＝45°﹣30°＝15°， 故选：A． 3．（2024•五华区校级模拟）如图，AB∥CD，在Rt△DCE中，∠DCE＝90°，且∠E＝40°，则∠EAB＝（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】C 【解答】解：∵在Rt△DCE中，∠DCE＝90°，且∠E＝40°， ∴∠CDE＝180°﹣∠E﹣∠DCE＝50°， ∵AB∥CD， ∴∠EAB＝∠CDE＝50°， 故选：C． 4．（2024春•乾县期末）如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，过点A作AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝46°，则∠BAD的度数为（　　） A．56° B．61° C．66° D．71° 【答案】C 【解答】解：因为BD是∠ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， 由AD⊥BD，得∠ADB＝90°， 在△ABD中，∠ABD＝∠CBD， 因为在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAD+∠DAC＝180°， 把∠DAC＝20°，∠C＝46°代入， 得∠ABC+46°+（90）+20°180°， 那么∠ABC＝48°， 所以66°， 故选：C． 5．（2023秋•路南区期中）在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为（　　） A．60° B．10° C．45° D．10°或60° 【答案】D 【解答】解：分两种情况： ①如图1，当∠ADC＝90°时， ∵∠B＝30°， ∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°； ②如图2，当∠ACD＝90°时， ∵∠A＝50°，∠B＝30°， ∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°， ∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°， 综上，∠BCD的度数为60°或10°， 故选：D． 6．（2022秋•武昌区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝80°，点D在△ABC外，连接AD，BD，CD， 若∠DBA＝20°，∠ACD＝30°，则∠BAD的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】C 【解答】解：如图，以BC为边，在△ABC内作∠CBE＝∠ABD＝20°，连接DE． ∵∠ABC＝60°，∠ACB＝80°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝40°． 在△EBC中， ∵∠CBE＝20°，∠ACB＝80°， ∴∠BEC＝80°． ∴BC＝BE． ∵∠ACB＝80°，∠ACD＝30°， ∴∠BCD＝50°． ∵∠ABC＝60°，∠ABD＝20°， ∴∠DBC＝80°． ∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD＝50°． ∴∠BDC＝∠BCD． ∴BD＝BC． ∴BD＝BE． ∵∠DBE＝∠DBC﹣∠EBC＝60°， ∴△DBE是等边三角形． ∴∠DEB＝60°，DE＝BE． ∴∠ABE＝∠BEC﹣∠BAC＝40°． ∵∠ABE＝∠BAC＝40°． ∴BE＝AE＝DE． ∴∠EAD＝∠ADE． ∵∠AED＝180°﹣∠DEB﹣∠BEC＝180°﹣60°﹣80°＝40°， ∴∠DAE70°． ∴∠BAD＝∠DAE﹣∠BAC＝70°﹣40°＝30°． 故选：C． 二．填空题（共7小题） 7．（2023秋•灵宝市校级月考）在△ABC中，∠A＝70°，BD、CE为高，直线BD、CE交于点H，则∠BHC＝　110°或70°　． 【答案】110°或70°． 【解答】解：（1）如图当△ABC为锐角三角形时， ∵BD、CE为△ABC高， ∴∠BEH＝∠ADB＝90°， ∵∠A＝70°， ∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°， ∴∠BHC＝∠BEH+∠ABD＝90°+20°＝110°， 故答案为：110°； （2）如图当△ABC为钝角三角形时， ∵BD、CE为△ABC高， ∴∠HDC＝∠CEA＝90°， ∵∠ACE＝∠DCH， ∴∠BHC＝∠A＝70°． 故答案为：110°或70°． 8．（2024春•江都区月考）已知△ABC的三个分别是∠A、∠B、∠C，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠C＝　90°　． 【答案】90°． 【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3， ∴． 故答案为：90°． 9．（2024春•湛河区校级期末）如图，△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，AD、BE相交于点P，已知∠EPD＝125°，则∠BAD的度数为 　20　°． 【答案】20． 【解答】解：∵AD是BC边上的高线， ∴∠ADB＝90°， ∵∠EPD＝125°， ∴∠CBE＝∠EPD﹣∠ADB＝125°﹣90°＝35°， ∵BE平分∠ABD， ∴∠ABD＝2∠CBE＝2×35°＝70°， 在Rt△ABD中，∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣70°＝20°， 故答案为：20． 10．（2023秋•绥棱县校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°．若将△ABC沿CD所在直线折叠，使点B落在AC边上的点E处，则∠CDE的度数是　65　° 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°， ∴∠B＝90°﹣20°＝70°， ∵△CDE是△CBD沿CD折叠， ∴∠B＝∠CED，∠CDB＝∠CDE， ∴∠CED＝70°， ∵∠CED是△ADE的外角， ∴∠CED＝∠A+∠ADE， ∵∠A＝20°，∠CED＝70°， ∴∠ADE＝50°， ∴∠CDE（180°﹣50°）＝65° 故答案为：65． 11．（2024•朝阳区一模）如图，若∠B＝77°，∠C＝85°，则∠1+∠2＝　162　°． 【答案】162． 【解答】解：延长CD，交BA的延长线于点E，如图所示， ∵∠B＝77°，∠C＝85°， ∴∠E＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣77°﹣85°＝18°， ∴∠1+∠3＝180°﹣∠E＝180°﹣18°＝162°， ∵∠2＝∠3， ∴∠1+∠2＝162°， 故答案为：162． 12．（2023秋•朝阳区期末）如图，图中x的值为 　60°　． 【答案】60°． 【解答】解：由题意得： x+70＝x+x+10， 解得：x＝60°， 故答案为：60°． 13．（2023秋•和平区校级月考）在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，CE平分∠ACB交AB于E，D在AC上，且∠CBD＝20°，则∠CED的度数是 　10°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵∠ABC＝100°，∠CBD＝20°， ∴∠DBA＝80°， ∴∠PBA＝80°， ∴∠DBA＝∠PBA， ∴BA是△CBD的外角平分线， 如图，作EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，EH⊥CB于H， ∵CE平分∠ACB，EF⊥AC，EH⊥CB， ∴EF＝EH， 同理，EG＝EH， ∴EF＝EG， 又∵EF⊥AC，EG⊥BD， ∴DE平分∠BDA， ∵∠ACB＝20°，∠CBD＝20°，CE平分∠ACB， ∴∠ADB＝40°，∠DCE＝10°， ∴∠ADE∠ADB＝20°， ∴∠CED＝∠ADE﹣∠DCE＝10°． 故答案为：10°． 三．解答题（共7小题） 14．（2024春•顺河区校级期末）将下面求解的过程补充完整： 如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠BAC＝31°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D，CE平分∠ACD交AD于点E，求∠AEC的度数． 解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，且∠B＝25°，∠BAC＝31°， ∴∠ACD＝∠　B　+∠　BAC　＝　56°　．（三角形的外角等于与它 　不相邻的两个内角　的和） 又∵CE平分∠ACD， ∴∠ECD＝　　∠ACD＝　28　°． 又∵∠AEC是△CDE的一个外角，且AD⊥BD， ∴∠AEC＝∠　ECD　+∠　D　＝　118°　． 【答案】B，BAC，56°，不相邻的两个内角，，28，ECD，D，118°． 【解答】解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，且∠B＝25°，∠BAC＝31°， ∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝56°（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 又∵CE平分∠ACD， ∴∠ECD， 又∵∠AEC是△CDE的一个外角，且AD⊥BD， ∴∠AEC＝∠ECD+∠D＝118°． 15．（2024春•湖南月考）如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝70°，∠BAC＝60°．求： （1）∠B的度数； （2）∠C的度数． 【答案】（1）35°； （2）85°． 【解答】解：（1）∵∠ADC是△ABD的外角， ∴∠B+∠BAD＝∠ADC＝70°， ∵∠B＝∠BAD， ∴∠B＝35°； （2）∵∠B+∠BAC+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣35°﹣60°＝85°． 16．（2024春•安次区期末）如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，∠EAD＝∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F． （1）DE与AC平行吗？请说明理由； （2）若∠BAC＝105°，∠B＝35°，求∠DEF的度数． 【答案】（1）平行．理由见解答； （2）50°． 【解答】解：（1）DE∥AC． 理由如下：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠EAD＝∠EDA， ∴∠CAD＝∠EDA， ∴DE∥AC； （2）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∴∠C＝180°﹣105°﹣35°＝40°， ∵DE∥AC， ∴∠EDF＝∠C＝40°， ∵EF⊥BD， ∴∠EFD＝90°， ∴∠DEF＝90°﹣∠EDF＝90°﹣40°＝50°． 17．（2024春•沙河口区期末）（1）完成下面的证明． 已知：如图1，直线a，b，c被直线l所截，∠1+∠2＝180°∠1＝∠3． 求证：b∥c． 证明：∵∠1+∠2＝180° ∴a∥　b　（ 　同旁内角互补，两直线平行　）． ∵∠1＝∠3， ∴　a∥c　（ 　同位角相等，两直线平行　）． ∴b∥c． （2）如图2，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝60°，∠C＝40°，求∠DAE的度数． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）∠DAE＝10°． 【解答】（1）证明：∵∠1+∠2＝180°， ∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）． ∵∠1＝∠3， ∴a∥c（同位角相等，两直线平行）． ∴b∥c． 故答案为：b，同旁内角互补，两直线平行，a∥c，同位角相等，两直线平行； （2）解：在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE∠BAC80°＝40°． ∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣30°＝10°． 18．（2024春•长兴县期末）如图，在△ABC中，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，DE⊥AC于点E，F为线段BC上一点，FG⊥AB于点G． （1）试探索∠EDC和∠GFC的数量关系，并说明理由； （2）若∠B＝55°，求∠ACD的度数． 【答案】（1）∠EDC+∠GFC＝180°，理由见解答过程； （2）55°． 【解答】解：（1）∠EDC和∠GFC的数量关系是：∠EDC+∠GFC＝180°，理由如下： ∵AC⊥BC，DE⊥AC， ∴DE∥BC， ∴∠EDC＝∠DCF， ∵CD⊥AB，FG⊥AB， ∴CD∥GF， ∴∠DCF+∠GFC＝180°， ∴∠EDC+∠GFC＝180°； （2）∵FG⊥AB，∠B＝55°， ∴∠BFG＝90°﹣∠B＝35°， ∵CD∥GF， ∴∠DCF＝∠BFG＝35°， ∵AC⊥BC， ∴∠ACD＝90°﹣∠DCF＝55°． 19．（2024春•曹县期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠BAD，∠ACB＝2∠B，点E在BC的延长线上．求∠ACE的度数． 【答案】∠ACE的度数是108°． 【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠B＝∠BAD， ∴∠BAC＝2∠BAD＝2∠B， ∵∠B+∠BAC+∠ACB＝180°，且∠ACB＝2∠B， ∴∠B+2∠B+2∠B＝180°， ∴∠B＝36°， ∴∠BAC＝2×36°＝72°， ∴∠ACE＝∠B+∠BAC＝36°+72°＝108°， ∴∠ACE的度数是108°． 20．（2024春•吉州区月考）如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线． （1）当∠ABC＝54°，∠ACB＝66°时，∠D＝　120°　，∠P＝　60°　， （2）若∠A＝66°，求∠D，∠P的度数； （3）请你猜想，当∠A的大小变化时，∠D+∠P的值是否变化？请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解（1）∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠ABC＝54°，∠ACB＝66°， ∴，∠EBC＝126°，∠BCF＝114°， ∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝120°； ∵BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线， ∴， ∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝60°． 故答案为：120°，60°． （2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝114°， ∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线， ∴，， ∴， ∵∠EBC＝180°﹣∠ABC，∠ABC＝180°﹣（∠A+∠ACB）， ∠FCB＝180°﹣∠ACB，∠ACB＝180°﹣（∠A+∠ABC）， ∴∠EBC＝∠A+∠ACB，∠FCB＝∠A+∠ABC， ∵BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线， ∴， ∴∠P＝180°﹣123°＝57°． （3）∠D+∠P的值不变，理由如下： 由（2）可知：，， ∴∠D+∠P＝180°，即当∠A的大小变化时，∠D+∠P的值不变． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/16 15:27:50；用户：CC；邮箱：orFmNt_mkzYuKZJ2kqOAqAaA9O3w@weixin.jyeoo.com；学号：27850974 【综合达标训练】 一．选择题（共6小题） 1．（2023秋•桂平市期末）将一副三角板按照如图方式摆放，则∠CBE的度数为（　　） A．90° B．100° C．105° D．110° 【答案】C 【解答】解：由题意可得： ∠ACB＝60°，∠BAC＝45°， ∴∠CBE＝∠ACB+∠BAC＝60°+45°＝105°， 故选：C． 2．（2023秋•新疆期末）如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B＝30°，∠DAE＝55°，则∠ACB的度数是（　　） A．80° B．85° C．100° D．110° 【答案】A 【解答】解：∵AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠DAE＝55°， ∴∠EAC＝2∠DAE＝110°， ∴∠ACB＝∠EAC﹣∠B＝80°， 故选：A． 3．（2024春•浦江县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝Rt∠，∠A＝30°，CE、CD分别是△ACB的角平分线和高线，交AB于点E、D．则∠DCE的值为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】A 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝90°﹣30°＝60°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCE∠ACB＝45°， ∵CD是高线， ∴CD⊥AB， 即∠CDB＝90°，在Rt△BCD中， ∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DCE＝45°﹣30°＝15°， 故选：A． 4．（2022春•龙华区期中）将一副普通的直角三角尺ADE和ABC如图放置，点D恰好落在BC边上，三角尺中∠ABC＝60°，较长的边AE∥BC，则∠FAD的度数是（　　） A．30° B．25° C．10° D．15° 【答案】D 【解答】解：∵AE∥BC，∠ABC＝60°， ∴∠BAE＝180°﹣∠ABC＝120°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝30°， ∴∠E＝45°，∠ADE＝90° ∴∠EAD＝180°﹣∠ADE﹣∠E＝45°， ∴∠FAD＝∠EAD﹣∠CAE＝15°． 故选：D． 5．（2023秋•谷城县期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，∠B＝30°，∠ACD＝100°，则∠E的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【答案】C 【解答】解：∵OE是△ABC的外角∠ACD的平分线， ∴∠DCE＝∠ACE∠ACD＝50°， ∵∠DCE是△BCE的外角， ∴∠DCE＝∠B+∠E＝50°， ∴∠E＝50°﹣30°＝20°． 故选：C． 6．（2023秋•德城区校级月考）如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，CE平分∠ACB交AB于点E，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，则∠CDF的度数为（　　） A．20° B．60° C．70° D．80° 【答案】C 【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝70°， ∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）＝80°． 又∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE40°． ∴∠CED＝∠A+∠ACE＝30°+40°＝70°． ∵CD⊥AB于点D， ∴∠CDB＝90°． ∴∠CDB＝∠CED+∠ECD． ∴∠ECD＝∠CDB﹣∠CED＝90°﹣70°＝20°． ∵DF⊥CE于点F， ∴∠DFC＝90°． ∴∠CDF＝180°﹣∠DFC﹣∠ECD＝180°﹣90°﹣20°＝70°． 故选：C． 二．填空题（共7小题） 7．（2022秋•路桥区期末）如图是一副三角尺拼成的图案，其中∠C＝30°，∠D＝45°，则∠EFC＝　15　°． 【答案】15． 【解答】解：由题意得：∠DBE＝90°， ∵∠D＝45°， ∴∠DEB＝45°， ∵∠DEB＝∠EFC+∠C＝45°，∠C＝30°， ∴∠EFC＝∠DEB﹣∠C＝45°﹣30°＝15°， 故答案为：15． 8．（2024春•东台市月考）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，若∠B＝60°，∠DAE＝16°，则∠C＝　28°　． 【答案】28°． 【解答】解：∵AD是高， ∴∠ADB＝90°， ∵∠B＝60°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝30°． ∵∠DAE＝16°， ∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝46°． ∵AE是角平分线， ∴∠CAE＝∠BAE＝46°， ∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝92°， 在△ABC中，∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣60°﹣92°＝28°． 故答案为：28°． 9．在△ABC中，∠A∠B∠C，则∠A＝　30°　，∠B＝　60°　，∠C＝　90°　．此三角形为　直角　三角形． 【答案】30°，60°，90°，直角． 【解答】解：∵，∠A∠B∠C， ∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴6∠A＝180°， ∴∠A＝30°， ∴∠B＝2∠A＝60°，∠C＝3∠A＝90°， ∴此三角形为直角三角形． 故答案为：30°，60°，90°，直角． 10．（2023秋•秦皇岛期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ACD沿CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处．若∠B＝26°，则∠BDE＝　38°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵将△ACD沿CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处， ∴∠CED＝∠A， ∵∠ACB＝90°，∠B＝26°， ∴∠A＝180°﹣90°﹣26°＝64°， ∴∠CED＝64°， ∴∠BDE＝64°﹣26°＝38°． 故答案为：38°． 11．（2023秋•石河子校级期末）如图，∠B＝60°，∠A＝50°，则∠ACD＝　110°　． 【答案】110°． 【解答】解：∵∠B＝60°，∠A＝50°， ∴∠ACD＝∠B+∠A＝60°+50°＝110°， 故答案为：110°． 12．（2023秋•榆次区校级月考）将一副三角尺叠放在一起： A：如图①，若∠CAD＝4∠BAD，则∠CAE的度数为 　18　°． B：如图②，若∠ACE＝2∠BCD，则∠ACD的度数为 　120　°． 【答案】18，120． 【解答】解：A：∵∠BAC＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵∠1＝4∠2， ∴4∠2+∠2＝90°， ∴．∠2＝18°， 又∵∠DAE＝90°， ∴∠1+∠CAE＝∠2+∠1＝90°， ∠CAE＝∠2＝18°． 故答案为：18； B：∵∠ACE+∠BCE＝90°，∠BCD+∠BCE＝60°， ∴∠ACE﹣∠BCD＝30°， 又∵∠ACE＝2∠BCD， ∴2∠BCD﹣∠BCD＝30°，∠BCD＝30°， ∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝90°+30°＝120°， 故答案为：120． 13．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的度数之比是5：4：3，则∠A＝　75　°，∠B＝　60　°，∠C＝　45　°． 【答案】75，60，45． 【解答】解：∵在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝5：4：3， ∴设∠A＝5x，则∠B＝4x，∠C＝3x， ∵∠A+∠B+∠C＝180°，即5x+4x+3x＝180°，解得x＝15°， ∴∠A＝5x＝75°，∠B＝4x＝60°，∠C＝3x＝45°． 故答案为：75，60，45． 三．解答题（共7小题） 14．（2024春•宿城区校级期末）已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，∠EAD＝∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F． （1）说明：DE∥AC； （2）若∠DEF＝40°，∠B＝36°，求∠BAC的度数． 【答案】（1）见解析； （2）∠BAC＝94°． 【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠EAD＝∠EDA， ∴∠EDA＝∠CAD， ∴DE∥AC； （2）解：∵EF⊥BD， ∴∠EFD＝90°， ∴∠EDF＝180°﹣∠DEF﹣∠EFD＝50°， ∴∠BED＝180°﹣∠B﹣∠BDE＝94°， ∵DE∥AC， ∴∠BAC＝∠BED＝94°． 15．（2023秋•莲湖区期末）如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，且BO，CO交于点O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E．记∠BAC＝∠1，∠E＝∠2，已知∠2＝25°．求∠1与∠BOC的度数． 【答案】50°，115°． 【解答】解：∵CE为∠ACD的平分线，BE平分∠ABC， ∴，． ∵∠DCE是△BCE的外角，∠ACD是△ABC的外角， ∴， ∴∠1＝2∠2＝2×25°＝50°． ∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD， ∴，， ∴， ∵∠BOC是△COE的外角， ∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2＝90°+25°＝115°． 16．（2023秋•思明区校级期中）如图，在△ABC中， （1）CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且交BA的延长线于点E（依题意补出图形）． （2）∠B＝40°，∠AEC＝30°，求∠BAC的度数． 【答案】（1）图形见解答； （2）100°． 【解答】解：（1）如图所示： （2）∵∠B＝40°，∠AEC＝30°， ∴∠DCE＝∠B+∠AEC＝40°+30°＝70°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACD＝2∠DCE＝140°， ∴∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝140°﹣40°＝100°． 17．（2023秋•兰山区校级月考）如图，AD，AE为△ABC的高线，角平分线，DP⊥AB于点P，当∠DAC＝21°，∠B＝25°，求∠DAF的度数． 【答案】22°． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， 又∵∠B＝25°， ∴∠BAD＝90°﹣25°＝65°， 又∵∠CAD＝21°， ∴∠BAC＝65°+21°＝86°， 又∵AE平分∠BAC， ∴， ∴∠DAF＝∠BAD﹣∠BAE＝65°﹣43°＝22°． 18．（2023秋•南陵县期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝40°，∠C＝70°，求∠DAE的度数． 【答案】15°． 【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠EAC＝35°， ∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝75°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADE＝90°， ∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝15°． 19．（2024春•宿豫区期末）如图，在△ABC中，DE∥BC．EF平分∠AED，交AB于点F． （1）若∠A＝52°，∠B＝60°，求∠AED的度数； （2）在（1）的条件下，判断EF与AB是否垂直，并说明理由； （3）直接写出当∠A与∠B满足怎样的数量关系时，EF⊥AB． 【答案】（1）68°； （2）EF与AB不垂直，理由见解答过程； （3）当∠A＝∠B时，EF⊥AB，理由见解答过程． 【解答】解：（1）∵∠A＝52°，∠B＝60°， ∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣（52°+60°）＝68°， ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠C＝68°； （2）EF与AB不垂直，理由如下： 依题意得：∠AED＝68°， ∵EF平分∠AED， ∴∠AEF∠AED＝34°， ∴∠AFE＝180°﹣（∠A+∠AEF）＝180°﹣（52°+34°）＝94°， ∴EF与AB不垂直． （3）当∠A＝∠B时，EF⊥AB，理由如下： ∵∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣2∠A， ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠C＝180°﹣2∠A， ∵EF平分∠AED， ∴∠AEF∠AED＝90°﹣∠A， 在△AEF中，∠A+∠AEF＝∠A+90°﹣∠A＝90°， ∴∠AFE＝180°﹣（∠A+∠AEF）＝90°， ∴EF⊥AB． 20．（2022秋•章贡区校级期中）如图，∠BAC＝68°，△ABC的外角∠ACD＝116°，AE是∠BAC的平分线，求∠AEC的度数． 【答案】82°． 【解答】解：∵∠BAC＝68°，AE是∠BAC的平分线， ∴∠CAE∠BAC＝34°， ∵∠ACD＝116°，∠ACD＝∠CAE+∠AEC， ∴∠AEC＝116°﹣34°＝82°． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/16 15:32:18；用户：CC；邮箱：orFmNt_mkzYuKZJ2kqOAqAaA9O3w@weixin.jyeoo.com；学号：27850974 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$