精品解析：山东省临沂市2023-2024学年中职高一下学期期末数学试题

2023—2024学年23级第二学期期末考试 数学试题 1．本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟．考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01． 卷一（选择题60分） 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上） 1. 下列不是随机事件的是（ ） A. 买彩票中奖 B. 射箭正中靶心 C. 掷一枚骰子，出现的点数为7 D. 在下一个路口遇到红灯 2. 已知直线，则两直线的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交不垂直 C. 重合 D. 相交且垂直 3. 圆的圆心坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 连续抛掷两枚质地均匀的硬币，均是正面向上的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一边长为的正方形水平放置，则用斜二测画法画出该正方形的直观图的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线l与直线垂直，则直线l的斜率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知事件，则“事件、互斥”是“事件、对立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 下列选项中说法错误的是（ ） A. 正方体是正四棱柱 B. 底面是正多边形的棱柱是正棱柱 C. 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点三角形的多面体是棱锥 D. 有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 9. 已知某中职学校共有师生2500人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为120的样本，已知学生中被抽取的人数为96人，那么该学校的教师人数是（ ） A. 100 B. 200 C. 250 D. 500 10. 已知圆锥的轴截面面积为54，底面面积为，则圆锥的高为（ ） A. 6 B. 9 C. 18 D. 11. 已知点，则线段的垂直平分线方程是（ ） A. B. C. D. 12. 在绘制某样本数据的频率分布直方图时，将该组数据分为了12组，组距是0.25，已知其中一组的频数和该组在频率分布直方图中小长方形的高分别是2和0.02，则样本容量是（ ） A. 200 B. 300 C. 400 D. 500 13. 已知一个长方体有公共顶点的三个面的面积分别是，则这个长方体的体对角线长为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 14. 圆心为，且与x轴相切的圆的半径是（ ） A. 3 B. 1 C. 4 D. 5 15. 已知圆柱的轴截面面积为36，母线长和底面直径之和为20，则圆柱的表面积为（ ） A. B. C. 或 D. 或 16. 已知点A是圆上的动点，则点A到直线的最小距离是（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 17. 已知正方体的体积是，且它内切球的球心到该球小圆圆心的距离为，则小圆的周长为（ ） A. B. C. D. 18. （人教版）已知甲、乙两名同学在10次语文测试中成绩如图所示，则甲、乙两名同学语文成绩的方差分别是（ ） A. B. C. D. 19. 已知点及圆，则过点M的圆的切线方程是（ ） A. B. C. D. 20. 已知圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为1的扇形，则这个圆锥的侧面积与底面积之比是（ ） A. B. C. D. 卷二（非选择题60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 已知产品A的合格率是，在某次常规检测中，共检测出件该产品的合格品，那么这次共检测产品A的数量为_______． 22. 已知正四棱锥的底面边长为，斜高为，则它的高为_______. 23. 已知一长方体的主视图与左视图如图所示（单位：），则该长方体的体积是_______． 24. 已知圆，则过点的圆的切线方程是_______． 25. 已知圆上恰有两个点到直线的距离为，则直线l倾斜角的范围是_______． 三、解答题（本大题5个小题，共40分） 26. 已知盒子中有包括红球、黑球和黄球在内的若干不同颜色的小球，从中任取一球，若取到红球的概率是0.13，取到黑球的概率是0.34，取到黄球的概率是0.22，求： （1）“取到红球、黑球或黄球”的概率； （2）“取到的不是红球不是黑球也不是黄球”的概率． 27. 已知圆C经过坐标原点和点，且圆心在x轴上． （1）求圆C的标准方程； （2）已知直线与圆C交于两点，求弦长． 28. 如图，公路和公路在点P处交汇，且，点A处有一所学校，，一辆拖拉机从P沿公路向N前行，假设拖拉机行驶时周围以内会受到噪声影响． （1）该所学校是否会受到噪声影响？请说明理由； （2）已知拖拉机的速度为每小时，如果受影响，影响学校的时间为多少？ 29. 已知某几何体的三视图如图所示（单位：）． （1）求该几何体的表面积； （2）求该几何体的体积． 30. 已知圆经过点． （1）求圆C的标准方程； （2）若直线与圆C交于两点，是否存在直线l，使得（O为坐标原点）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年23级第二学期期末考试 数学试题 1．本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟．考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01． 卷一（选择题60分） 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上） 1. 下列不是随机事件的是（ ） A. 买彩票中奖 B. 射箭正中靶心 C. 掷一枚骰子，出现的点数为7 D. 在下一个路口遇到红灯 【答案】C 【解析】 【分析】由随机事件、必然事件、不可能事件的定义即可判断. 【详解】对于A，因为购买彩票可能中奖，也可能不中奖，所以购买彩票中奖是随机事件； 对于B，射箭可能正中靶心，也可能没有正中靶心，所以射箭正中靶心是随机事件； 对于C，因为掷一枚骰子，可能出现的点数最大为6，所以出现的点数为7是不可能事件； 对于D，在下一个路口可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，所以在下一个路口遇到红灯是随机事件. 故选：C 2. 已知直线，则两直线的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交不垂直 C. 重合 D. 相交且垂直 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线方程确定斜率，截距，由斜率，截距的关系来判断直线的位置关系即可. 【详解】已知直线， 则， ， 可知， 所以直线与直线平行. 故选：A. 3. 圆的圆心坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的一般式中圆心坐标的公式求值即可. 【详解】由圆， 可得，所以圆心坐标为， 即圆心坐标是. 故选：C. 4. 连续抛掷两枚质地均匀的硬币，均是正面向上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型的计算公式可求解． 【详解】因为连续抛掷两枚质地均匀的硬币，所有的结果情况为： （正，反）、（反，正）、（正，正）、（反，反），共有4个基本事件， 其中均是正面向上只包含1个基本事件， 所以均是正面向上的概率为：. 故选：D 5. 已知一边长为的正方形水平放置，则用斜二测画法画出该正方形的直观图的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法所得的直观图是一个平行四边形，由面积公式即可求出直观图的面积. 【详解】根据斜二测画法的规则可知道正方形直观图为平行四边形， 则平行四边形面积为. 故选：A. 6. 已知直线l与直线垂直，则直线l的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线垂直的条件可求解. 【详解】由直线可知，其斜率， 因为直线l与直线垂直， 所以直线l的斜率为. 故选：C 7. 已知事件，则“事件、互斥”是“事件、对立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，即可判断． 【详解】“事件A与事件B互斥”不能推出“事件A与事件B对立”， 但是“事件A与事件B对立”，能推出“事件A与事件B互斥”， 故命题“事件A与事件B互斥”是命题“事件A与事件B对立”的必要不充分条件． 故选：B. 8. 下列选项中说法错误的是（ ） A. 正方体是正四棱柱 B. 底面是正多边形的棱柱是正棱柱 C. 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点三角形的多面体是棱锥 D. 有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 【答案】B 【解析】 【分析】根据棱柱、棱锥的定义即可求解. 【详解】对A：正方体的底面是正多边形，且所有侧棱与底面垂直， 所以正方体是正四棱柱，故A项正确； 对B：底面是正多边形，并且所有侧棱与底面垂直的棱柱是正棱柱，故B项错误； 对C：由棱锥的定义可知：有一个面是多边形， 其余各面是有一个公共顶点三角形的多面体是棱锥，故C项正确； 对D：因为如果棱柱有两个相邻侧面是矩形，那么这两个侧面的公共棱一定垂直于底面， 则棱柱一定是直棱柱，故D项正确. 故选：B. 9. 已知某中职学校共有师生2500人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为120的样本，已知学生中被抽取的人数为96人，那么该学校的教师人数是（ ） A. 100 B. 200 C. 250 D. 500 【答案】D 【解析】 【分析】设该校教师人数为x，则学生人数为，用分层抽样的方法列出方程，能求出该学校的教师人数． 【详解】设该校教师人数为x，则学生人数为， 因为用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为120的样本，从学生中抽取的人数为96人， 所以，解得， 所以该学校的教师人数是. 故选：D. 10. 已知圆锥的轴截面面积为54，底面面积为，则圆锥的高为（ ） A. 6 B. 9 C. 18 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥的结构，列方程组可得到圆锥底面半径和高． 【详解】设圆锥的底面半径为，圆锥的高为，由题可得 ，解得. 故选：C 11. 已知点，则线段的垂直平分线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出垂直平分线的斜率，再求出中点的坐标，利用点斜式写出线段AB的垂直平分线的方程，再化为一般式． 【详解】因为直线AB的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为， 又点的中点坐标为， 所以线段的垂直平分线方程是，即. 故选：D. 12. 在绘制某样本数据的频率分布直方图时，将该组数据分为了12组，组距是0.25，已知其中一组的频数和该组在频率分布直方图中小长方形的高分别是2和0.02，则样本容量是（ ） A. 200 B. 300 C. 400 D. 500 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据已知可得该小组相应的小长方形的频率为，然后利用频数、频率、数据总数的关系来求出该组的样本容量即可解答． 【详解】设样本容量为x，在频率分布直方图中， 组距为0.25，一组频率分布直方图中小长方形的高是0.02， 所以该组数据的频率为， 又该一组的频数为2，则，解得. 故选：C. 13. 已知一个长方体有公共顶点的三个面的面积分别是，则这个长方体的体对角线长为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设长方体有公共顶点的三条棱长分别为，由题意，列方程组可求得三条棱长，再利用长方体体对角线长公式可求解. 【详解】设长方体有公共顶点的三条棱长分别为，由题意可得 ，解得， 所以这个长方体的体对角线长为： . 故选：D 14. 圆心为，且与x轴相切的圆的半径是（ ） A. 3 B. 1 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，求出圆心到x轴的距离即可得解. 【详解】由于圆心到x轴的距离，且圆与x轴相切， 所以圆的半径为3. 故选：A 15. 已知圆柱的轴截面面积为36，母线长和底面直径之和为20，则圆柱的表面积为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，列方程组可求出母线长和底面直径，再根据圆柱表面积公式可求解． 【详解】设圆柱的母线长为，底面直径为，由题意可得 ，解得或. ①当时，圆柱的表面积为； ②当时，圆柱的表面积为. 综上所述，圆柱的表面积为或. 故选：C 16. 已知点A是圆上的动点，则点A到直线的最小距离是（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，可知直线与圆相离，再利用点到直线的距离的最小值为，即可得解. 【详解】圆的方程可化为， 所以圆心为，半径， 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，点A到直线的最小距离是. 故选：B 17. 已知正方体的体积是，且它内切球的球心到该球小圆圆心的距离为，则小圆的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体的体积公式可求出棱长，再由内切球的几何特征结合圆的周长公式求值即可. 【详解】设棱长为，小圆半径为，内切球的半径为， 已知正方体的体积是，则有， 即，内切球的半径， 由内切球的球心到该球小圆圆心的距离为可得， ，解得， 所以小圆的周长为. 故选：B. 18. （人教版）已知甲、乙两名同学在10次语文测试中成绩如图所示，则甲、乙两名同学语文成绩的方差分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数和方差的计算公式即可求解. 【详解】解法一：（对应人教版）： 由图可知：甲同学的平均数为， 乙同学的平均数为， 则甲同学的方差为：， 乙同学的方差为：. 故选：D. 解法二：（对应高教版）： 由图可知：甲同学的平均数为， 乙同学的平均数为， 则甲同学的方差为：， 乙同学的方差为：. 19. 已知点及圆，则过点M的圆的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心与半径，再判断点与圆的位置关系，并讨论斜率不存在时是否成立，由此便可得出结论. 【详解】已知圆， 圆心为，半径， 则点到圆心的距离为， 所以点在圆上，过点M仅有一条切线. 则若斜率不存在时，过点的直线方程为， 则圆心到的距离，符合题意. 所以圆的切线方程为. 故选：B. 20. 已知圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为1的扇形，则这个圆锥的侧面积与底面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求侧面展开图扇形的面积，即为圆锥的侧面积，再根据展开图扇形的弧长与底面圆周长相等，求出半径，据此可求解. 【详解】由题意，圆锥的侧面积即为侧面展开图扇形的面积， 所以侧面积； 设底面半径为，则有 ，解得. 所以底面积， 所以圆锥的侧面积与底面积之比是. 故选：A 卷二（非选择题60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 已知产品A的合格率是，在某次常规检测中，共检测出件该产品的合格品，那么这次共检测产品A的数量为_______． 【答案】 【解析】 【分析】运用合格品的数量除以合格率即可得出结果. 【详解】已知产品A的合格率是， 共检测出件该产品的合格品， 所以这次共检测产品A的数量为. 故答案为：. 22. 已知正四棱锥的底面边长为，斜高为，则它的高为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正棱锥的高、斜高、斜高在底面的投影构成直角三角形，在直角三角形中可求解. 【详解】如图，在正四棱锥中，底面边长，斜高， 作垂直底面于，连接， 在中. 故答案为： 23. 已知一长方体的主视图与左视图如图所示（单位：），则该长方体的体积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由主视图与左视图还原的长方体，再根据长方体的体积公式即可求解. 【详解】由主视图与左视图还原的长方体如下图所示： 在长方体中，， 则长方体的体积为. 故答案为：. 24. 已知圆，则过点的圆的切线方程是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】当切线的斜率存在时，利用点斜式设出方程，根据圆心到切线的距离等于半径，可得切线方程；当切线的斜率不存在时，也符合题意. 【详解】①当切线的斜率存在时，由题可设其方程为，即， 由圆可知，圆心为，半径， 则圆心为到切线的距离，解得， 所以切线方程是，即； ②当切线的斜率不存在时，也符合题意. 综上所述，圆的切线方程是或. 故答案为：或 25. 已知圆上恰有两个点到直线的距离为，则直线l倾斜角的范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意根据点到直线的距离求解的范围，转化为倾斜角即可. 【详解】直线过定点，则圆心到直线距离的最大值为1. 原点到直线的距离， 要使圆上恰有两个点到直线的距离为， 则可得， 解得. 所以直线的倾斜角的取值范围为. 故答案为:. 三、解答题（本大题5个小题，共40分） 26. 已知盒子中有包括红球、黑球和黄球在内的若干不同颜色的小球，从中任取一球，若取到红球的概率是0.13，取到黑球的概率是0.34，取到黄球的概率是0.22，求： （1）“取到红球、黑球或黄球”的概率； （2）“取到的不是红球不是黑球也不是黄球”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据互斥事件的概率公式可求解； （2）根据对立事件的概率公式可求解. 【小问1详解】 从袋中任取一球，记事件“取到红球”、“取到黑球”、“取到黄球”分别为事件、、， 则这三个事件彼此互斥，所以“取到红球、黑球或黄球”的概率为 ； 【小问2详解】 设“取到的不是红球不是黑球也不是黄球”为，则 . 27. 已知圆C经过坐标原点和点，且圆心在x轴上． （1）求圆C的标准方程； （2）已知直线与圆C交于两点，求弦长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可确定圆心和半径，据此可求解； （2）先求圆心到已知直线的距离，再根据圆的弦长公式可求解. 【小问1详解】 由题意，圆心为坐标原点与点的中点，即，半径为2， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为，则 ， 所以. 28. 如图，公路和公路在点P处交汇，且，点A处有一所学校，，一辆拖拉机从P沿公路向N前行，假设拖拉机行驶时周围以内会受到噪声影响． （1）该所学校是否会受到噪声影响？请说明理由； （2）已知拖拉机的速度为每小时，如果受影响，影响学校的时间为多少？ 【答案】（1）会受到噪声影响，理由见解析. （2）受，秒 【解析】 【分析】（1）过点作于，根据直角三角形中所对的直角边为斜边的一半，求出的长，即可得知该所学校是否会受到噪声影响. （2）首先以点为圆心，为半径作圆交于点，再由勾股定理即可求出的值，继而求得的值，则可求得影响学校的时间. 【小问1详解】 过点作于， 因为，， 所以. 因为， 所以该所学校是会受到噪声影响. 【小问2详解】 以点为圆心，为半径作圆交于点， 则，， 所以， 因为，， 所以， 因为拖拉机的速度为每小时，即， 则影响学校的时间为秒. 29. 已知某几何体的三视图如图所示（单位：）． （1）求该几何体的表面积； （2）求该几何体的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意根据三视图判断该几何体是一个半球和一个长方体组成，运用面积公式求解即可. （2）根据球的体积公式和正方体体积公式求解. 【小问1详解】 由题意可知表面积等于半球面积加上长方体表面积减去上面圆的面积即可， 则. 【小问2详解】 由题意可知体积为半球体积加上长方体体积， 则. 30. 已知圆经过点． （1）求圆C的标准方程； （2）若直线与圆C交于两点，是否存在直线l，使得（O为坐标原点）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将点代入圆的方程中求解方程组得出的值，再将圆的一般式方程转化为标准式即可. （2）设，联立直线和圆的方程消去运用韦达定理表示出，代入斜率公式中化简求值即可. 【小问1详解】 已知圆，经过点， 将点代入得，即， 解得， 则圆的一般方程为， 整理为标准式为. 所以圆C的标准方程为. 【小问2详解】 设，已知直线， 圆的方程为， 联立得，消去得， 即， 整理得，则有， ， ， 已知，则，即， 可得， 因为，所以有，整理得， 解得或， 因为直线过定点在圆内， 所以或均满足. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $