黑龙江省鹤岗市第一中学2023-2024学年高三上学期第一次月考数学试卷

鹤岗一中2023-2024学年高三上学期9月考试 数学试题 分值：150 时间：120分钟 一、单选题（每题5分，40分） 1．用列举法表示集合，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．“a＝b＝1”是“直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．某引进的外来水生植物在水面的蔓延速度极快，对当地的生态造成极大的破坏．某科研部门在水域中投放一定面积的该植物，研究发现该植物在水面的覆盖面积（单位：）与经过的时间（单位：月）的关系式为，当投放一定面积的该植物后，经过1个月面积达到．那么要使该植物在水面的覆盖面积达到，至少要经过的时间约为（   ）（参考数据：．） A．16.54个月 B．17.54个月 C．18.54个月 D．19.54个月 4．已知是虚数单位，复数满足，则（    ） A． B．1 C． D． 5．已知函数的定义域为，且，当时，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．正四面体的棱长为1，现将正四面体绕着旋转，则所经过的区域构成的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 7．2024年3月12日植树节期间，某乡镇政府为了发展农村经济，根据当地的地理优势计划从A，B，C三种经济作物中选取两种进行种植推广.通过调研得到当地村民愿意种植的概率均分别为，若从当地村民中随机选取4人进行交流，则其中至少有2人愿意种值，且至少有1人愿意种植时概率为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数在处取极小值，且的极大值为4，则（    ） A．-1 B．2 C．-3 D．4 二、多选题（每题6分，24分） 9．年度国内生产总值为该年度第一、二、三产业增加值之和，观察下列两个图表，则      A．2014~2018年，国内生产总值增长率连续下滑 B．2014~2018年，第三产业对国内生产总值增长起到拉动作用 C．第三产业增长率与国内生产总值增长率的变化趋势保持一致 D．2018年第三产业增加值在国内生产总值的占比超过50% 10．设抛物线的焦点为F. 点M在y轴上，若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 11．已知圆，直线交圆C于点A，B，线段AB的中点为M，则以下各点在点M的轨迹上的有（    ） A． B． C． D． 12．已知正实数x，y，z满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题（每题5分，20分） 13．若，则的值为 14．平面向量与的夹角为60°，，，则 . 15．已知椭圆和双曲线有共同焦点是它们的一个交点，且，则双曲线的离心率为 . 16．已知直三棱柱的底面为正三角形，是侧棱上一点，且，则三棱锥外接球的体积为 ． 四、解答题 17．（10分）甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制（先赢局的学校获胜，比赛结束）．约定比赛规则如下：先进行两局男生排球比赛，后进行女生排球比赛．按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，设各局比赛相互之间没有影响且无平局． (1)求恰好比赛局，比赛结束的概率； (2)求甲校以获胜的概率． 18．（12分）如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，的中点. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的余弦值. 19．（11分）如图，已知椭圆，焦距为 ，其离心率为， ，分别为椭圆 的上、下顶点，过点的直线 分别交椭圆于 两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若的面积是的面积的倍，求的最大值． 20．（10分）设等差数列的前项和为，若，. （1）求； （2）设，求数列的前项和. 21．（10分） （1）化简:； （2）已知，，，求的值. 22．（13分）已知函数． (1)若且仅存在两个整数，使得，求的取值范围； (2)讨论零点的个数． 第 2 页 共 5 页 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学答案 1-5：BACBB；6-10：C D B BD BC；11．AC；12．BCD 13． 14． 15． 16． 17．(1)；(2) 【分析】（1）分甲校获胜和乙校获胜两种情况讨论，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）分两种情况讨论：①前两局男排比赛中甲全胜，第三局比赛甲负，第四局比赛甲胜；②前两局男排比赛中甲胜负，第三局比赛甲胜，第四局比赛甲胜，利用独立事件与互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】（1）解：恰好比赛局，比赛结束的情况有： 甲校获胜，概率为， 乙校获胜，概率为， 恰好比赛局，比赛结束的概率． （2）解：甲校以获胜的情况有： ①前两局男排比赛中甲全胜，第三局比赛甲负，第四局比赛甲胜， 概率为：； ②前两局男排比赛中甲胜负，第三局比赛甲胜，第四局比赛甲胜， 概率为， 甲校以获胜的概率． 18．(1)；(2)；(3) 【分析】（1）构建空间直角坐标系，然后根据向量的数量积求解直线夹角； （2）求解面的法向量，然后根据距离公式求解； （3）根据面与面的法向量，求解二面角的余弦值； 【详解】（1） 故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系, 则，,,,， ,, 所以异面直线与所成角的余弦值为. （2）设面的法向量为，, 则，解得： 令，可得， 因为,所以 所以点到平面的距离为. （3）面，所以面的法向量为， 设面的法向量为， 又， ， 则，解得：， 令，可得， 所以二面角的余弦值为. 19．（1）；（2）． 【分析】（1）由，联立求解即可； （2）联立直线，和椭圆可求解得到，，利用点到直线距离公式可得到的距离为，，，换元法求解的最大值即可 【详解】（1）由题意，解得， ，椭圆方程为 （2） 由题意，， ，故直线方程为：， ，故直线方程为： 联立，得 得两根，故 所以到的距离 由直线方程为，联立，得 得两根，故 , ， 令,则 当且仅当,即等号成立, 所以的最大值为． 20．（1）；（2）. 【详解】分析：⑴根据可以求出，再由可以求得，可以得到的值，从而求出等差数列的通项公式 ⑵求出的表达式，然后求和 详解：（1），，故， ∴； （2） . 21．（1）；（2）. 【分析】（1）先利用诱导公式化简，再结合同角三角函数的关系化简即可； （2）根据，可得，，结合同角三角函数的关系可得，的值，进而结合两角和的正弦公式求解即可. 【详解】（1）； （2）因为， 所以，， 所以， ， 所以. 22．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求函数的导函数确定函数的单调性，再结合函数的整数点列不等式求解即可； （2）把零点转化为两个函数的交点问题，分类讨论得出零点个数. 【详解】（1）令，其中， 则， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 且当时，；当时， 由可得，作出函数，的图象如下图所示： 因为有且只有两个整数，使得， 则满足不等式的整数只有两个， 所以即，解得． （2）考查当直线与函数相切时，实数的值， 设切点坐标为，则切线斜率为， 所求切线方程为，即， 所以，解得或 当时，；当时，． 当或时，直线与函数的图象有2个公共点； 当或时，直线与函数的图象只有1个公共点； 当时，直线与函数的图象无公共点． 综上所述，当时，函数无零点； 或时，函数f(x)有1个零点； 当或时，函数f(x)有2个零点． 第 2 页 共 6 页 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$