广东省部分市2023-2024学年下学期高三数学模拟试题分类汇编----函数与导数

广东省部分市2023-2024学年下学期高三模拟试题分类汇编 ----函数与导数 一、单选题 1．（2024·广东肇庆·模拟预测）已知函数，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 2．（2024·广东佛山·模拟预测）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东江门·模拟预测）已知函数部分图像如图所示，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数在上恰有两个极值点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（2024·广东东莞·模拟预测）已知函数的零点从小到大分别为．若，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．（2024·广东广州·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，且.对于任意的实数，均有成立，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·广东江门·二模）若函数的图象与圆恰有4个公共点，则的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·广东茂名·二模）若为上的偶函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和是（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 9．（2024·广东广州·二模）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2024·广东广州·二模）若是方程的实数解，则称是函数与的“复合稳定点”．若函数且与有且仅有两个不同的“复合稳定点”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2024·广东佛山·模拟预测）已知定义域为的函数对任意实数x，y，都有成立，则下列说法正确的是（    ） A． B．一定不是奇函数 C．若是偶函数，则 D．若，则 12．（2024·广东江门·模拟预测）关于函数，下列说法正确的有（    ） A． B． C．的最小值为4 D．在区间上递增 13．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，，则下列说法中正确的是（　　） A．为偶函数 B． C． D． 14．（2024·广东东莞·模拟预测）已知函数，则正确的是（    ） A．的定义域为R B．是非奇非偶函数 C．函数的零点为0 D．当时，的最大值为 15．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数，及导函数，的定义域均为.若是奇函数，且，，则（    ） A． B．是偶函数 C． D． 三、填空题 16．（2024·广东佛山·模拟预测）函数定义域为D，若对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数．根据上述定义，已知函数，那么函数在上 （填“是”或“不是”）2阶无穷递降函数；若函数在上是3阶无穷递降函数，则a的最大值为 ． 17．（2024·广东深圳·三模）函数的单调递增区间是 ． 18．（2024·广东江门·模拟预测）已知函数是上的增函数，则实数a的可以是 ．（写出一个满足题意的a即可） 19．（2024·广东东莞·三模）若，则的大小关系为 ． 20．（2024·广东广州·模拟预测）若，关于的不等式恒成立，则正实数的最大值为 . 四、解答题 21．（2024·广东佛山·模拟预测）已知． (1)若，证明：在上单调递增； (2)若， ①证明：存在唯一的实数，对成立； ②记①中，证明：当时，． 22．（2024·广东汕头·三模）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的最小值． 23．（2024·广东江门·模拟预测）已知函数． (1)直线l为曲线的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标． (2)证明：时，． 24．（2024·广东东莞·模拟预测）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，求函数在区间上的最大值． 25．（2024·广东茂名·二模）已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求实数的值； (2)若，求函数在区间上的最大值. 26．（2024·广东广州·三模）已知函数． (1)求的极值； (2)已知，证明：． 参考答案： 1．A 【分析】根据分段函数解析式求得. 【详解】依题意，. 故选：A 2．A 【分析】先求出函数的定义域，再由复合函数的单调性法则即可得解． 【详解】解：由，可得， 则函数的定义域为， 又，在上单调递减， 在上单调递减， 则由复合函数的单调性法则可知，所求函数的单调递增区间为． 故选：A． 3．D 【分析】利用排除法，结合奇偶性和零点分析判断. 【详解】对于选项A：因为，可知为偶函数， 但函数的图象关于原点对称，不合题意，故A错误； 对于选项BC：若，则， 即，， 可知函数在上没有零点，不合题意，故B，C错误， 检验可知选项D符合题意，故D正确． 故选：D. 4．D 【分析】根据函数有两个极值点的个数，转化为导数在上有两个变号零点，再进行参数的讨论即可. 【详解】由题意得． 因为函数在上恰有两个极值点，则在上有两个变号零点． 当时，在上恒成立，不符合题意． 当时，令，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 又，， 所以，则，即实数的取值范围是. 故选：D． 【点睛】方法点睛：本题考查已知函数极值点个数求参数范围.对于函数零点个数的相关问题，常常利用导数和数形结合思想来求解．求解这类问题的步骤： （1）构造函数，并求其定义域，这是解决此类题的关键点和难点； （2）求导，得函数的单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与轴的交点情况，进而求解． 5．C 【分析】令可得，根据题意结合正弦函数性质分析求解. 【详解】令，可得， 且，则，则， 可得，即，则. 故选：C. 6．D 【分析】构造函数，然后由已知可得的单调性，最后将不等式转化为，即可得到答案. 【详解】，令， 则，则在上单调递增. 由，为奇函数，得，则， 从而原不等式可化为，即，此即为. 由于在上单调递增，故这等价于，所以不等式的解集为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于构造新的函数并利用已知条件. 7．D 【分析】利用绝对值函数的图象特征，分别作出选项中的函数图象，观察即可判断. 【详解】作出的图象，如图1所示， 作出的图象，如图2所示，由图可知，满足题意． 故选：D. 8．A 【分析】数形结合，函数与在区间上的交点横坐标即为的零点，根据对称性即可求零点之和. 【详解】若为上的偶函数，则，且， 则的周期， 当时，， 则当时，，即可画出函数的图象； 函数周期是2，最大值为3，把函数在下方图象翻折到轴上方。 与在区间上一共有10个交点， 且这10个交点的横坐标关于直线对称， 所以在区间的的有零点的和是20. 故选：A 9．A 【分析】根据题意分析可知为偶函数，结合偶函数可得，进而可知6为的周期，赋值可知，结合周期性运算求解. 【详解】由题意可知：函数的定义域为R， 因为，则， 可得，所以为偶函数， 由可得， 即，整理得， 可得， 则，可得， 所以6为的周期， 由， 令，可得，可得； 令，可得，可得； 所以． 故选：A． 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 10．D 【分析】即有两个不同实根，令，则在上有两个不同实根，利用二次方程根的分布即可． 【详解】且与有且仅有两个不同的“复合稳定点”， ，即有两个不同实根， 令，则在上有两个不同实根， ， 则的取值范围为． 故选：D． 11．ABD 【分析】在中，令，求出，再令，，即可判断A；根据即可判断B；假设函数是偶函数，推出即可判断C；利用累加法得到，再表示出，利用放缩法即可证明D． 【详解】对于选项A：在中， 令，则，① 再令，，则，A正确； 对于选项B：由①得：， 故一定不是奇函数，B正确； 对于选项C：若是偶函数，则， 所以， 整理得：，故，C错误； 对于选项D：在中， 令，， 可得， 所以，又， 所以， ， ， ， 以上各式累加，得， 故 ，D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：选项D的关键是通过对的适当赋值、对的放缩，裂项求和来求解． 12．BCD 【分析】利用特殊函数值可判断A；化简可判断B；利用基本不等式可判断C；利用函数的单调性与导数的关系可判断D. 【详解】对于A，，所以A选项错误； 对于B，，所以B选项正确； ， 当且仅当即当时，取到等号，所以C选项正确； 时，， 令，则， 所以在上单调递减，又，所以 所以，所以在区间上递增，D选项正确． 故选：BCD． 【点睛】思路点睛：求出，令，求出可得在区间的单调性可判断D. 13．BC 【分析】根据所给条件，利用赋值法和递推法进行推导判断即可. 【详解】对于A，因为的定义域为，且， 令，则，故，则， 令，则， 又令,结合得，所以不是偶函数，故A错误． 对于B，令，则． 而，，所以，故B正确． 对于C，由选项B可知，， 令，则，所以． 又因为为奇函数，所以，所以，故C正确． 对于D，由选项B以及，可得， 所以，， 令得 , 结合递推可得，． 因为，故，故D错误． 故选：BC 【点睛】抽象函数问题，常常要取恰当的特殊值并结合递推关系得到进一步的结论. 14．AD 【分析】利用函数的性质研究，可以判断A、B、C选项，对于D选项，利用基本不等式来求最值即可． 【详解】由可得：函数的定义域为R，故A正确； 由，结合定义域为R，可知是奇函数，故B错误； 由解得，，所以零点为，故C错误； 当时，，取等号条件为，故D正确； 故选：AD. 15．CD 【分析】由可知，. 结合,可得，且是奇函数就可以判断A项.根据, 可知是周期为4的函数，以及和图象得对称点，可以判断B选项不正确. 利用赋值法，找到规律，即可判断C项正确. 根据，及周期性可以知道，，即可判断D项正确. 【详解】因为，所以（，）. 又因为，所以，. 则，所以. 于是可得，令， 则，所以. 所以，所以， 又因为，所以，即① 因为是奇函数，所以②， ，，所以A错误. 由①②得，所以函数是周期为4的周期函数. 因为，因此函数也是周期为4的函数. 又的图像关于点对称，所以的图像关于点对称，所以B选项不正确.因为，令，得， 即，所以； 令，得，所以， 所以，所以，所以C选项正确. 因为，所以， ，， ， 则有， 可得，所以D选项正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于通过导数的关系和奇函数的性质推导函数间的关系.采用赋值法，找到周期函数的周期，再借助图象关于某点对称推出另一个函数的对此点再根据平移变换进行解答. 16． 不是 【分析】根据函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义，先检验时，是否恒成立即可，举反例即可判断；再根据函数在上是3阶无穷递降函数可得恒成立，推理得到，结合图象即得a的最大值 【详解】由，，，满足， 由， 若取，则， 即时，，故函数在上不是2阶无穷递降函数； 若在上是3阶无穷递降函数， 则在上恒成立， 即，即，也即， 因时，恒成立，故只需使在上恒成立即可， 结合余弦函数的图象知，，即a的最大值为. 故答案为：不是；. 【点睛】思路点睛：本题主要考查函数新定义问题，属于难题. 解题思路即是，根据新定义规定一一检测，对于判断结论时，一般看能否推理结论成立，或者是否存在反例；对于由满足条件的函数求参问题，常常将其转化成函数不等式恒（能）成立问题解决. 17． 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求出结果. 【详解】函数， 由，解得或， 函数的图象如图所示， 由图可知，函数的单调递增区间为. 故答案为：. 18．2（答案不唯一，只要在区间） 【分析】根据分段函数的单调性，根据每段函数的单调性，以及分界点处的函数值的大小，即可列不等式求实数的范围. 【详解】由条件得，解得：． 故答案为：2（答案不唯一，只要在区间） 19． 【分析】构造函数，利用导数研究其单调性，即可求解. 【详解】，，， 令，则， 由，得，由，得． 在上单调递增，在上单调递减． 最大， 而， ， 则． 故答案为：． 20． 【分析】先将不等式同构变形为，构造函数，求导判单调性转化为解不等式0或，令，求导求得最大值小于等于0即可求解. 【详解】，即， 令，则. 设，其中， 则，令，得， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，又， 所以存在，使得， 所以若，则或，即0或恒成立， 当，故不可能， ， 所以在上，单调递增， 在上，单调递减， 所以，所以只有才能满足要求， 即，又，解得，所以正实数的最大值为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：函数隐零点的处理思路： 第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数. 第二步：虚设零点并确定取值范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次. 21．(1)见解析 (2)①证明见解答；②证明见解答 【分析】（1）根据，得出在上单调递增，再结合，，即可得证； （2）①分别判断函数的单调性，当时，得出所以单调递减；当时，得出存在唯一的实数，使得，且为函数在区间上的唯一极小值点，当时，通过构造函数，即证恒成立，得出时，函数单调递增，进而为区间内的唯一最小值点．②任取，，其中，通过作差法得出，即可得出当时，． 【详解】（1）由题可知， 令， ， 因为，所以， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 又因为，， 所以函数在上单调递增． （2）①当时，由于，， ，所以，所以单调递减； 当时，令，，单调递增，又， ，所以在上存在唯一的实数，使得， 且当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故为函数在区间上的唯一极小值点， 当时，可证当时，单调递增， 即证恒成立，证明如下： 要使恒成立，只需证恒成立， 令，即证恒成立， 由于，结合与的图象可得，    存在使得， 则，所以在上的最小值， 显然，，， 由于，所以， 所以有，， 综上可证成立，故时，函数单调递增， 故为区间内的唯一最小值点． ②证明：由①知，当时，在上单调递增．故有成立， 任取，，其中， 则， 因为，，， 所以，所以， 故当时，， 综上可证，当时，． 【点睛】利用导数求解函数的单调区间及最值问题，关键是研究清楚导函数在具体区间上的符号，对于导函数比较复杂的情况，可借助二次求导来进行研究．如本题中，可再次求导判断与0的大小关系，结合导数来研究． 22．(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）求导后，利用导数与函数单调性的关系，对与分类讨论即可得； （2）结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解. 【详解】（1）（）， 当时，由于，所以恒成立，从而在上递增； 当时，，；，， 从而在上递增，在递减； 综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）令，要使恒成立， 只要使恒成立，也只要使. ， 若，，所以恒成立， 当时，，当时，， 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以，解得：， 可知的最小值为； 若，，所以恒成立， 当时，，当时，， 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以在内无最大值，且当趋近于时，趋近于，不合题意； 综上所述：的最小值为. 23．(1)，切点坐标为 (2)证明见解析 【分析】(1)设切点为，对求导，得到斜率，代入点斜式即求得直线，过原点代入即可求得切点坐标； (2)构造新函数，对其求导，判断定义域内的单调区间和极值，即可证明. 【详解】（1）设切点为，则直线l的斜率为， 所以直线l的方程为． 又直线l过点， 则， 整理得，解得， 所以，直线l的斜率， 所以直线l的方程为，切点坐标为. （2）令 ，解得： 1 0 单调递减 极小值 单调递增 ，所以 则 24．(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数，分类讨论求区间； （2）结合（1）得到的函数单调性，分类讨论函数最大值. 【详解】（1）的定义域为 ， 求导数，得 ， 若，则，此时在上单调递增， 若，则由得，当时，，在上单调递减， 当时， ，在上单调递增， 综上，当，的增区间为，无减区间， 若，减区间为，增区间为. （2）由（1）知，当时，在区间上为增函数， 函数的最大值为， 当时，在区间上为减函数， 函数的最大值为， 当时，在区间上为减函数，在上为增函数， 函数的最大值为， 由，得， 若时，函数的最大值为， 若时，函数的最大值为， 综上，当时，函数的最大值为， 当时，函数的最大值为. 25．(1)； (2). 【分析】（1）先求函数的导函数，只需保证，求解即可； （2）构造函数，借助函数导函数分析函数的单调性，应用零点存在性定理求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 因为曲线在点处的切线方程为，切线的斜率为， 所以，得，解得：. （2）当时，令， ， 当时，，单调递增， 又，， 所以至少存在唯一的实数，使得. 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 又 所以. 26．(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导后，分别在和的情况下得到单调性，结合极值定义可得结果； （2）令，结合（1）中结论，采用赋值方式可得到；令，利用导数可证得，采用放缩的方式可证得不等式. 【详解】（1）由题意知：定义域为，； ①当时，，， 在上单调递增，无极值； ②当时，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 的极小值为，无极大值； 综上所述：当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值. （2）令，则， 由（1）知：，，即， 令，则且，，， 取，则，即， 令，则， 在上单调递增，，即， ， 即. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数极值、证明不等式的问题；本题证明不等式的关键是能够对于灵活应用（1）中所求结论，并通过构造函数的方式对所证不等式进行合理放缩，从而整理得到结果. 学科网（北京）股份有限公司 $$