河北省部分市2023-2024学年下学期高三数学模拟试题分类汇编----函数与导数

河北省部分市2023-2024学年下学期高三模拟试题分类汇编 ----函数与导数 一、单选题 1．（2024·河北衡水·三模）已知函数，则“”是“函数是奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·河北沧州·模拟预测）已知，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北沧州·三模）已知函数的值域与函数的值域相同，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河北保定·三模）已知的值域为，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·河北保定·三模）已知二次函数（且）的图象与曲线交于点P，与x轴交于点A（异于点O），若曲线在点P处的切线为l，且l与AP垂直，则a的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·河北邢台·二模）已知函数的图象与直线，恰有三个公共点，这三个点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·河北邯郸·模拟预测）中国地震台网测定：2024年4月3日，中国台湾花莲县海域发生里氏7.3级地震.已知地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为，2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，则它所释放出来的能量约是中国台湾花莲县海域发生里氏7.3级地震的多少倍？（    ） A．98 B．105 C．355 D．463 8．（2024·河北秦皇岛·三模）已知0是函数的极大值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·河北承德·二模）已知函数，若满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·河北保定·二模）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．       D．       11．（2024·河北保定·二模）已知满足：①是图象上任意不同的两点，且直线的斜率恒小于1；②存在及无数个使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·河北邢台·二模）已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知定义在实数集R上的函数，其导函数为，且满足，，则（ ） A．的图像关于点成中心对称 B． C． D． 14．（2024·河北衡水·三模）已知函数，是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数在区间上单调递减 C．过点能作两条不同直线与相切 D．函数有5个零点 15．（2024·河北保定·三模）已知正实数，满足，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 16．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 17．（2024·河北邢台·二模）已知函数，的定义域均为，且，，若，且，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．是的对称中心 C．2是的周期 D． 三、填空题 18．（2024·河北衡水·模拟预测）已知是定义在上的函数，且对任意的，同时满足下列条件：①；②，其中是大于1的常数.记，且对任意的，存在常数，恒有，则的一个值是 ；若，则 .（用表示） 19．（2024·河北保定·三模）定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，且当时，.当时，函数与图象的交点个数为 . 20．（2024·河北沧州·三模）若不等式，对于恒成立，则的最大值为 . 21．（2024·河北秦皇岛·三模）已知奇函数的定义域为，，且，则在上的零点个数的最小值为 . 22．（2024·河北石家庄·三模）给定函数，用表示中的较大者，记．若函数的图象与有3个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 23．（2024·河北沧州·三模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若有两个极值点，证明：. 24．（2024·河北保定·三模）已知函数，为的极值点. (1)求a； (2)证明：. 25．（2024·河北衡水·三模）已知． (1)求的单调区间和最值； (2)定理：若函数在上可导，在上连续，则存在，使得．该定理称为“拉格朗日中值定理”，请利用该定理解决下面问题： 若，求证：． 26．（2024·河北石家庄·三模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若函数，求函数极值点的个数． 27．（2024·河北张家口·三模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：． 28．（2024·河北秦皇岛·二模）定义：如果函数和的图象上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有关系. (1)判断函数和是否具有C关系； (2)若函数和不具有C关系，求a的取值范围； (3)若函数和在区间上具有C关系，求m的取值范围. 参考答案： 1．B 【分析】由函数是奇函数，可求得，可得结论. 【详解】若函数是奇函数， 则恒成立，即， 而，得． 故“”是“函数是奇函数”的必要不充分条件． 故选：B． 2．C 【分析】根据函数的奇偶性，以及构造函数利用导数求解单调性即可. 【详解】当时，由得，所以为偶函数． 又， 当时，令，则， 所以在上单调递减，所以， 即，所以在上单调递减． ，， 所以， 令，，则， 因为，所以在上单调递增，所以， 即，所以，得． 故，从而，即. 故选：C． 3．D 【分析】先利用导数求出函数的值域，再根据条件列不等式，解得结果. 【详解】因为，，定义域为. 所以. 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以当时，取得最大值为. 当，所以函数的值域为. 令，则， 要使函数的值域为， 则，解得或，又， 所以，. 故选：D. 4．D 【分析】分段函数在两段上分别根据自变量范围求函数值的范围，跟值域对比求实数的取值范围. 【详解】①若， 当时，在上单调递减，此时， 当时，，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域D满足，则解得； ②若， 当时，在上单调递增，此时， 当时，，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域D满足，不合题意； ③当时，， 若，有（当且仅当时取等号）符合题意， 综上所述：. 故选：D. 5．B 【分析】利用导数求解直线l的斜率，即可根据垂直关系得，结合，即可求解. 【详解】易知，设， 联立与可得，故， 由得，所以，， 因为，所以，即， 又，所以. 故选：B. 6．D 【分析】先将原式化为，然后利用解在上的唯一性得到，即可得出结果. 【详解】， 联立可得，从而函数恰有三个零点. 由于是奇函数，故，从而. 根据题意，可知在上有唯一零点. 假设存在，使得，则，所以. 而，，， 从而在和上各有一个零点，故在上有两个零点，矛盾. 所以时必有，这表明在处取得最小值，故. 而，故，即. 所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用反证法证明是上的最小值，从而得到导数为零. 7．C 【分析】利用指对数的互化可得分别求两次地震的能量，再应用指数的运算性质求地震能量的倍数. 【详解】由题设， 日本东北部海域发生里氏9.0级地震所释放出来的能量， 中国台湾花莲县海域发生里氏7.3级地震所释放出来的能量， 所以. 故选：C. 8．A 【分析】分类讨论、与三种情况，结合导数与极值点的定义即可得解. 【详解】因为，所以， 令，可得或， 当，即时， 令，得或；令，得； 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极大值点，满足题意； 当，即时，恒成立， 则在上单调递增，没有极值点，不满足题意； 当，即时， 令，得或；令，得； 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极小值点，不满足题意； 综上，，即的取值范围为. 故选：A. 9．D 【分析】判断函数的奇偶性和单调性，结合函数性质将已知的不等式转化为，再利用奇偶性和单调性求解即可. 【详解】由题意可知，函数，定义域为， 又因为， 所以函数为偶函数， 所以， 故满足， 当时，， 因为在单调递增， 且， 所以， 因此在上单调递增， 在上单调递减， 注意到， 因此， 即， 解出的取值范围是. 故选：D. 10．A 【分析】根据函数的奇偶性判断即可. 【详解】设，则， 所以为奇函数， 设，可知为偶函数， 所以为奇函数，则B，C错误， 易知，所以A正确，D错误． 故选：A. 11．B 【分析】根据条件①得到在上单调递减，再利用导数与函数单调性间的关系，得到，根据条件②得到在上有零点，从而有，即可求出结果. 【详解】满足①：因为直线的斜率恒小于1，所以， 设，则，所以在上单调递减， 则时，，即， 因为，所以，所以， 满足②：存在及无数个使得，则在上有零点， 所以，得到，综上，的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于由条件②求的范围，根据条件，将问题转化成在上有零点，即可求解. 12．B 【分析】函数在两点处的切线平行，转化为函数在两点处的导数相等，得到的关系，在结合不等式求的取值范围即可. 【详解】因为，. 所以，. 由因为在，两个不同点处的切线相互平行， 所以，又，所以，故CD错误； 因为且，所以，故A不成立； 当时，.故B成立. 故选：B 13．BCD 【分析】对A、B，利用赋值法进行计算即可得；对C、D，利用赋值法后结合数列的性质进行相应的累加及等差数列公式法求和即可得. 【详解】对A：令，则有，即， 令，则有，又，故，不关于对称，故A错误； 对于B，令，则有， 两边同时求导，得， 令，则有，故B正确； 对C：令，则有，即， 则 ，故C正确； 对D：令，则有，即， 则，即， 又，故， 则，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题C、D选项关键在于利用赋值法，结合数列的性质进行相应的累加及等差数列公式法求和. 14．AD 【分析】求得，根据，可判定A正确；由，利用导数的符号求得函数的单调区间，可判定B错误；设过点且与函数相切的切点为，求得切线方程，列出方程求得的值，可判定C错误；令，作出函数的图象，得到，进而的函数零点的个数，可判定以D正确． 【详解】对于A中，由函数，可得， 因为 是函数的一个极值点，可得， 解得，经检验适合题意，所以A正确； 对于B中，由，令，解得或， 当时，；当时，；当时，， 故在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增，所以B错误； 对于C中，设过点且与函数相切的切点为， 则该切线方程为， 由于切点满足直线方程，则， 整理得，解得，所以只能作一条切线，所以C错误； 对于D中，令，则的根有三个，如图所示，， 所以方程有3个不同根，方程和均有1个根， 故有5个零点，所以D正确． 故选：AD． 15．AC 【分析】对于选项A，以为主元构造函数，作为参数处理，证明在上单调递增，得出，即，从而得解； 对于选项B，通过举反例的方法，判断选项B; 对于选项C，分与两种情况分别讨论，时，直接构造函数求得的范围，从而求得的范围，时，借助A选项的结论，和不等式的性质即可证明； 对于选项D，通过构造函数，利用单调性求得，但，从而得出的范围. 【详解】对于选项A，若，则，从而，则，即. 令，则，在上单调递增， 所以，即，则，即，故A正确； 对于选项B，① 若，，则，不符合题意， ② 若，，则，不符合题意， ③ 若，，则，， 所以，，，符合题意， 此时，故B不正确. 对于选项C，若，，则，即.令， 则，当时，，不符合题意， 当时，，单调递增， 由，，可得，则. 若，则不妨设， 若，则，此时，不符合题意， 若，则，此时，不符合题意， 若，则，此时，符合题意，则，故C正确. 对于选项D，若，则，则在上单调递增， 则，即. 令，显然在上单调递增， 因为，所以由， 可知，其中，且，故D不正确. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：在利用导数证明不等式的时候，需要根据题目需要选择对应的主元，比如说A选项以为主元构造了函数，而D选项以为主元构造了函数，同时举出适当的反例，对不等式的真假判断有时也起到关键性的作用. 16．AC 【分析】对A：借助赋值法令计算即可得；对B：令计算即可得；对C：令，则有，，，计算即可得；对D：结合等比数列求和公式计算即可得. 【详解】对A：令，得，即， 因为，所以，故A正确； 对B：令，得，得，故B错误； 对C：令，得，所以， 从而， 所以 ，故C正确； 对D：由可知是等比数列， 且首项为，公比为2，所以， 所以，故D错误. 故选：AC. 17．BD 【分析】利用已知恒等式证明，从而得到B正确；再推知及，从而计算出D的结果；利用反证法即可说明A和C错误. 【详解】对于A，由已知有，所以是偶函数. 假设是奇函数，那么必有，故，矛盾. 所以不是奇函数，A错误； 对于B，由已知有，故. 所以，故是的对称中心，B正确； 对于C，由已知有. 所以. 假设2是的周期，那么，从而. 但，故，矛盾. 所以不以2为周期，C错误； 对于D，由于，， 故. 所以，即. 再由可得，即. 这就得到 ， 故D正确. 故选：BD. 18． 2（答案不唯一） 【分析】由条件①得，再结合条件②得，从而可得，变形的得，从而可求出的一个值，利用累加法可求得，再结合可求出. 【详解】因为，所以， 因为， 所以， 所以， 所以. 由，得， 从而， 即， 所以，， ……， 所以，则， 所以的一个值是2. 当时，， 所以 . 由，得. 又当时，也满足上式，所以， 从而. 故答案为：2（答案不唯一）， 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的周期性的应用，考查函数的新定义，解题的关键是正确理解定义在上的函数满足的两个条件，再结合变形求解即可，考查推理能力和计算能力，属于难题. 19．4 【分析】根据题意，推出函数的对称性和周期性，再利用作图即得. 【详解】因为函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，所以，， 则的图象关于直线对称，也关于点对称，所以，， 故有，则，从而，，即函数是周期为8的周期函数. 根据函数的对称性和周期性，可以画出函数和在上的图象（如图）. 由图可知与的图象在上有4个交点. 故答案为：4. 【点睛】思路点睛：本题主要考查抽象函数的对称性和周期性应用，属于难题. 解题思路在于，根据函数的奇偶性，写出抽象函数满足的等式，据此推出函数的轴对称或中心对称特点，再利用条件推得函数的周期性，最后利用这些性质作图即得. 20． 【分析】令，利用导数求得的单调性和最小值，根据题意转化为，再令，利用导数求得的单调性和最大值，即可求解. 【详解】令函数，则， 由，解得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值， 也是最小值为， 由不等式，可得， 所以， 令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即，即，所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 21．9 【分析】由结合是奇函数可求出的周期为3，即可求出，再由的对称性和周期性可得. 【详解】由，可得的图象关于点对称， 又是奇函数，所以， 则的周期为3，所以， ， 而，则. 故在上的零点个数的最小值为9. 故答案为：9. 22． 【分析】在同一坐标系下画出的图象，求出交点坐标；结合图象再做出满足条件的直线，进而求出的取值范围即可. 【详解】 由，， 因为， 所以图象变为： 其中，当且仅当时取最大值； 且设两函数在第一象限的交点为，即当， ， 解得：， 由题意与函数的图象有3个不同的交点， 由数形结合易知：，或， 故答案为：. 23．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）当时，求得，利用导数的几何意义，求得切线方程，求得在坐标轴上的截距，进而求得围成三角形的面积； （3）根据题意，得到有两个不等正根，设，得到的单调性，求得，，令，求得为单调递增，结合，得到，令，求得函数在上单调递减，得到，即可得证. 【详解】（1）当时，函数，可得， 所以，，所以切线方程为， 当时，；当时，， 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为. （2）依题意，有两个不等正根，不妨设， 由得，设，则， 令，得；令，得； 所以在上单调递减，在上单调递增， 且当时，，可得，， 且，， 令，所以， 当时，，可得， 当时，，可得， 所以在上单调递增， 因为，所以，， 再令，可得， 当时，，在上单递减； 当时，，在上单递减， 所以，所以，所以， 令，，可得， 所以在上单调递减，所以，即， 所以，所以，， 所以. 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 24．(1)3； (2)证明见解析； 【分析】（1）求导，由求解； （2）转化为证，令，由证明. 【详解】（1）解：， 依题意，，解得， 经检验符合题意，所以； （2）由（1）可知，， 要证，即证， 设，则， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，取得极小值，也是最小值， 因为，， 所以. 【点睛】方法点睛：证明不等式，往往由证明. 25．(1)当时，单调递减； 当时，单调递增． 当时，取得最小值1，无最大值 (2)证明见解析 【分析】（1），令，求根，判断在其左右两侧的导数符号可得结论； （2）要证，需证，令，求导可得由拉格朗日中值定理知存在，使得， 进而利用（1）可证结论. 【详解】（1），令，解得， 当时，单调递减； 当时，单调递增． 当时，取得最小值1，无最大值； （2）要证，只需证，因为， 故只需证． 令，显然在上可导，在上连续， 故由拉格朗日中值定理知存在，使得， 而在上单调递增， 因为，故，即， 故只需证即可，因为，故只需证． 由（1）知恒成立，因此原命题得证． 26．(1)答案见解析 (2)2 【分析】（1）求导得，分类讨论当，，时分别确定导函数的符合从而得函数单调性即可； （2）求导得，令，求导确定其单调性与最值，从而可得的单调与极值情况. 【详解】（1）， 当时，当时，单调递增；当时，单调递减． 当时，当时，单调递增；当时，单调递减； 当时，在单调递增． （2）时，， 设在区间单调递增． 因为， 所以存在唯一使得， 当时，单调递减，即单调递减； 当时，单调递增，即单调递增． ，且在单调递减，所以，又 因此在区间存在唯一零点 当时，单调递增； 当时，单调递减；所以极值点为， 因此极值点个数为2. 27．(1)； (2)证明见详解. 【分析】（1）利用导数求斜率，由解析式求出切点纵坐标，然后可得切线方程； （2）将问题转化为，令，求导，利用零点存在性定理判断极值点，利用隐零点方程化简极小值可得，结合二次函数性质即可得证. 【详解】（1）的定义域为， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 又，所以切线方程为，即. （2）， 令，则， 因为， 所以存在，使得，即， 易知在上单调递增， 所以，当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以当时，取得最小值： ， 由二次函数性质可知，在上单调递减， 所以，即， 所以. 28．(1)与具有C关系，理由见解析 (2) (3). 【分析】（1）根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在x，使得，计算得解； （2）根据题意，在上的值恒为负或恒为正. 若在上恒成立，由，即，利用导数判断矛盾；若在上恒成立，转化为，令，利用导数求出的最大值，得解； （3）构造函数，将问题转化为在上存在零点，分类讨论与，利用导数与函数的关系证得时，在上有零点，从而得解. 【详解】（1）与具有C关系，理由如下： 根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在x，使得， 又，，，所以， 即，即得，解得，所以与具有C关系. （2）因为，， 令，， 因为与不具有C关系，又在上的图象连续不断，所以在上的值恒为负或恒为正. 若在上恒成立，则，即， 又当时，， 令，所以，令，所以， 令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 所以，与假设矛盾，所以不存在使得在上恒成立. 若在上恒成立，即， 令，所以， 又在上单调递减， 所以当时，，所以， 当时，，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，即的取值范围是. （3）因为，， 令，则， 因为与在上具有C关系，所以在上存在零点， 因为， 当且时， 因为，，所以， 所以在上单调递增，则，此时在上不存在零点，不满足题意； 当时，当时，，所以， 当时，令，则， 所以在上单调递增，且，， 故在上存在唯一零点，设为，使得， 所以当，；当，； 又当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上存在唯一极小值点， 因为，所以， 又因为，所以在上存在唯一零点， 所以函数与在上具有C关系. 综上，的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是理解新定义，得到与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在x，使得，从而得解. 学科网（北京）股份有限公司 $$