精品解析：黑龙江省哈尔滨市哈尔滨工业大学附属中学校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学测试卷

2024—2025学年度九年级上学期数学练习卷 一、选择题（共10小题，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称轴图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，则的值是（） A. B. C. D. 3. 如图，内接于圆，为圆的直径，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若米，则点到直线距离为（ ） A. 米 B. 300米 C. 200米 D. 100米 5. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且三点在同一直线上，若米，则这棵树的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 如图，O为跷跷板AB的中点．支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°，测得AB=1.6m，则OC的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是弦，半径于点C，为直径，，线段长为（ ） A. B. 8 C. D. 8. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点、分别为点、的对应顶点，若，且于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，、分别为、边上的点，点为边上一点，连接交于点．则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共10小题，共30分） 11. 四边形和四边形是位似图形，点A与点对应，点B与点对应，点O是位似中心，如果，那么_____________． 12. 若，若的面积为20，则的面积为________． 13. 如图，△AED∽△ABC，点E为AC的中点，AC=6，AD=2，则BD= ________． 14. 如图，是平面镜，光线从A点出发经上点O反射后照射到B点，若入射角为，反射角为(反射角等于入射角)，于点C，于点D，且，则线段的长为_______． 15. 一个扇形的弧长为，圆心角为，则扇形的半径为________． 16. 如图，在中，，，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若，则BC的长是__________cm． 17. 如图，为的切线，经过圆心O，且，则________度． 18. 如图，与相切于点A，交于点B，点C在上，且．若，，则的长为______． 19. 如图，在△ABC中，AB=2，AC=，以A为圆心，1为半径的圆与边BC相切，则∠BAC的度数是_______度． 20. 矩形对角线交于点O，点G在延长线上，连接，E为中点，连接交于点F，，若，，则线段的长为________． 三、解答题（共7小题，共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，网格中的每个小正方形的边长均为，线段的端点均在小正方形的顶点上． （1）在图中，画以线段为边的平行四边形，使点、均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为； （2）在图中，画以为边的钝角三角形，且，的面积为，点在小正方形的顶点上，请直接写出线段的长． 23. 如图，AB是⊙O的弦，半径OA=20cm,∠AOB=120°,求△AOB的面积. 24. 如图，点E，F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，AE与DF交于点G，∠AGD＝90°． （1）求证：AE＝DF； （2）若AG＝4GE，在不添加任何辅助线的情况下，请写出图中所有长度等于AB一半的线段． 25. 某文教用品商店购进甲、乙两种文具进行销售，一个甲种文具的进价比一个乙种文具的进价多5元，用元购进甲种文具的数量是用元购进乙种文具的数量的2倍． （1）求每个甲种文具的进价是多少元？ （2）该商店将每个甲种文具的售价定为元，每个乙种文具的售价定为元，商店根据市场需求，决定向文具厂再购进一批文具，且购进乙种文具的数量比购进甲种文具的数量的2倍还多6个，若本次购进的两种文具全部售出后，总获利不低于元．求该商店本次购进甲种文具至少是多少个？ 26. 如图，为的直径，与切于点，连接，交于点， ． （1）如图，求的正切值； （2）如图，弦，连接，求证：为的切线； （3）如图，在（）的条件下，点在弧上，连接，，，求的长． 27. 平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点A，C为x轴正半轴上一点，且． （1）如图1，求直线的解析式： （2）如图2，过点C作于E，交y轴于点D，动点P从点A出发，沿y轴，以每秒1个单位的速度向终点O运动，设点P的运动时间为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式：（不要求写出自变量t的取值范围） （3）如图3，在（2）的条件下，在上取一点Q，使，当时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度九年级上学期数学练习卷 一、选择题（共10小题，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称轴图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称轴图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称轴图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称轴图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称轴图形，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键． 2. 在中，，则的值是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．先根据正弦函数的定义确定的表达式，再结合已知条件得出结果． 【详解】解：在中，，的对边是，斜边是，所以， 已知，将其代入可得， 所以答案选． 3. 如图，内接于圆，为圆的直径，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理及其推论，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理及其推论是解题的关键．先由直径所对圆周角等于度，求出，从而由圆周角定理得，最后由圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4. 如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若米，则点到直线距离为（ ） A. 米 B. 300米 C. 200米 D. 100米 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到，结合平行线性质得到和等腰三角形性质得到，再推出，进而得到，最后利用勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：如图，由题可知，，，， ，， ， 米， 米， ， ， 米， 米． 故选：A． 【点睛】本题考查的是方向角，平行线性质，等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形性质，正确理解方向角是解题的关键． 5. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且三点在同一直线上，若米，则这棵树的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三角函数的应用，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键．设，首先根据得到，然后利用得到，利用列方程求出，即可求出的高度． 【详解】解：由题意得：， 设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴这棵树的高度约为． 故选：B． 6. 如图，O为跷跷板AB的中点．支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°，测得AB=1.6m，则OC的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：∵O为AB的中点，AB=1.6， ∴OB=AB=0.8， 在Rt△OCB中，sin∠OBC=， ∴OC=OB•sin∠OBC=0.8sin20°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 7. 如图，是弦，半径于点C，为直径，，线段长为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了勾股定理、圆周角定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．先根据垂径定理求出的长，设的半径为，在中利用勾股定理求出的值，易得，连接，由是直径，根据圆周角定理得到，利用是的中位线得到，然后在中利用勾股定理可计算出． 【详解】解：连接，如图， 弦，， ， 设的半径， ， 在中， ， 解得：， ； ，， ， 是直径， ， 是的中位线， ， 在中，． 故选：D 8. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点、分别为点、的对应顶点，若，且于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质和直角三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ． 故选：B． 9. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟记相关判定定理即可求解． 【详解】解：∵与中，， A. ，∴能判定； B. ，∴不能判定； C. ，∴，∴能判定； D. ，∴能判定． 故选：B． 10. 如图，在中，、分别为、边上的点，点为边上一点，连接交于点．则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，推论1：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；推论2：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．由此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：在中，， ， 故选项A结论错误，不合题意； 在中，， ， 不一定等于， 不一定正确， 故选项B结论错误，不合题意； 在中，， ， 故选项C结论正确，符合题意； 在中，， ， 故选项D结论错误，不合题意； 故选C． 二、填空题（共10小题，共30分） 11. 四边形和四边形是位似图形，点A与点对应，点B与点对应，点O是位似中心，如果，那么_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由四边形与四边形位似，得四边形与四边形相似，可知，，进而可求出的比值． 【详解】解：四边形与四边形位似， 四边形四边形， ∴， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似的相关知识，解题关键是掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比． 12. 若，若的面积为20，则的面积为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．根据相似三角形的性质可直接得出结论． 【详解】解：，， 的面积为20， 的面积为． 故答案为：5． 13. 如图，△AED∽△ABC，点E为AC的中点，AC=6，AD=2，则BD= ________． 【答案】7 【解析】 【分析】依据相似三角形对应边的比相等，即可得到，进而求出AB的长，即可得到BD． 【详解】解：∵△AED∽△ABC， ∴， ∵点E为AC的中点，AC＝6，AD＝2， ∴， ∴AB＝9， ∴BD＝9−2＝7， 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题时注意：相似三角形对应边的比相等． 14. 如图，是平面镜，光线从A点出发经上点O反射后照射到B点，若入射角为，反射角为(反射角等于入射角)，于点C，于点D，且，则线段的长为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形相似． 如图(见解析)，先根据平行线的判定与性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得的长． 【详解】解：如图，由题意得：， ， ， ， 同理可得：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 故答案为：4． 15. 一个扇形的弧长为，圆心角为，则扇形的半径为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确计算的前提．圆心角为，半径为的扇形的弧长为，根据弧长计算公式列方程求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为，由题意得， ， 解得， 故答案为：6． 16. 如图，在中，，，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若，则BC的长是__________cm． 【答案】4 【解析】 【分析】由线段垂直平分线、勾股定理结合即可求解； 【详解】解：∵的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线、勾股定理、锐角三角函数，掌握相关知识是解题的关键． 17. 如图，为的切线，经过圆心O，且，则________度． 【答案】63 【解析】 【分析】本题主要考查圆的切线的性质、圆周角定理、三角形内角和定理，连接，可知，进而可求得的度数． 【详解】如图所示，连接． ∵为的切线， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 18. 如图，与相切于点A，交于点B，点C在上，且．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明，设，则，再证明，列出比例式计算即可． 【详解】如图，连接， ∵与相切于点A， ∴； ∵, ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴， 解得， 故的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判断和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 19. 如图，在△ABC中，AB=2，AC=，以A为圆心，1为半径的圆与边BC相切，则∠BAC的度数是_______度． 【答案】105 【解析】 【分析】首先通过作辅助线构建直角三角形，然后解直角三角形即可. 【详解】设圆A与BC切于点D，连接AD，则AD⊥BC， 在直角△ABD中，AB=2，AD=1，则sinB=， ∴∠B=30°， ∴∠BAD=60°， 同理，在直角△ACD中，sinC=， ∴∠C=45°， ∴∠CAD=45°， ∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+45°=105°． 【点睛】运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题． 20. 矩形对角线交于点O，点G在延长线上，连接，E为中点，连接交于点F，，若，，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，可推出为的中位线，为的中位线，进一步可证得；求得即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为中点，E为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴为的中位线， ∴，． ∵，E为中点， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 解得：（舍去负值） ∴ 故答案为： 【点睛】本题综合考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的中位线定理以及直角三角形斜边的中线，综合性较强，需要学生具备扎实的几何基础以及严密的逻辑思维． 三、解答题（共7小题，共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，分母有理化，先根据分式的运算法则把所给分式化简，然后把x化简后代入计算． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴原式． 22. 如图，网格中的每个小正方形的边长均为，线段的端点均在小正方形的顶点上． （1）在图中，画以线段为边的平行四边形，使点、均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为； （2）在图中，画以为边的钝角三角形，且，的面积为，点在小正方形的顶点上，请直接写出线段的长． 【答案】（1） 如图所示，平行四边形所求作的图形； （2）．，． 【解析】 【分析】（）由图可知间的垂直方向长为，要使构建平行四边形的面积为，则可以在的水平方向取一条长为的线段，可得点， 同理确定即可； （）由图可知间的垂直方向长为，要使构建的钝角三角形面积为，则可以在的水平方向取一条长为的线段，可得点，且，的长可以根据勾股定理求得； 本题考查了平行四边形的判定与作图，利用直角三角形的性质与锐角三角函数作符合条件的钝角三角形，掌握以上知识是解题的关键． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：在的水平方向取一条长为的线段，则， 为钝角，过点作于，则，故所求作的图形，此时，． 23. 如图，AB是⊙O的弦，半径OA=20cm,∠AOB=120°,求△AOB的面积. 【答案】100cm2． 【解析】 【详解】试题分析：过O作OC垂直于AB，由垂径定理得到C为AB的中点，再利用等腰三角形的两底角相等，由∠AOB=120°，求出∠A为30°，在直角三角形AOC中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半由OA的长求出OC的长，再利用勾股定理求出AC的长，由AB=2AC求出AB的长，利用三角形的面积公式即可求出三角形AOB的面积． 试题解析：如图,过O作OC⊥AB，交AB于点C， 则C为AB的中点，即AC=BC， ∵OA=OB，∠AOB=120°， ∴∠A=∠B=30°， 在Rt△AOC中，OA=20cm，∠A=30°， ∴OC=OA=10cm， 根据勾股定理得：AC2=OA2−OC2=300， ∴AB=2AC=20cm， 则S△AOB=AB•OC= ×20 ×10=100 cm2． 考点：1.垂径定理；2.含30度角的直角三角形． 24. 如图，点E，F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，AE与DF交于点G，∠AGD＝90°． （1）求证：AE＝DF； （2）若AG＝4GE，在不添加任何辅助线的情况下，请写出图中所有长度等于AB一半的线段． 【答案】（1）∵正方形ABCD， ∴AD＝CD，∠ADC＝∠DCF＝90°， ∵∠AGD＝90° ∴∠FDC+∠DEA＝90°， ∵∠FDC+∠DFC＝90°， ∴∠DEA＝∠DFC， ∴△AED≌△DFC（AAS）， ∴AE＝DF； （2）DE、CE、CF、BF． 【解析】 【分析】（1）证明△AED≌△DFC（AAS）即可； （2）设GE＝a，则AG＝4a，可证△ADE∽△AGD，则正方形的边长为AD＝2a，所以DE＝FC＝BF＝CE＝a，即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵AG＝4GE， 设GE＝a，则AG＝4a， ∵∠DGA＝∠ADE， ∴△ADE∽△AGD， ∴， ∴AD＝2a， 在Rt△ADE中，DE＝a， ∵△AED≌△DFC， ∴FC＝a， ∵CD＝BC＝2a， ∴BF＝CE＝a， ∴长度等于AB一半的线段有DE、CE、CF、BF． 【点睛】本题考查正方形的性质，掌握正方形的性质，灵活应用三角形全等、三角形相似、勾股定理是解题的关键． 25. 某文教用品商店购进甲、乙两种文具进行销售，一个甲种文具的进价比一个乙种文具的进价多5元，用元购进甲种文具的数量是用元购进乙种文具的数量的2倍． （1）求每个甲种文具的进价是多少元？ （2）该商店将每个甲种文具的售价定为元，每个乙种文具的售价定为元，商店根据市场需求，决定向文具厂再购进一批文具，且购进乙种文具的数量比购进甲种文具的数量的2倍还多6个，若本次购进的两种文具全部售出后，总获利不低于元．求该商店本次购进甲种文具至少是多少个？ 【答案】（1）元 （2）该商店本次刚进甲种文具至少是个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，注意求解分式方程后检验． （1）设一个乙种文具的进价是元，则甲种文具的进价是元，根据题意即可建立分式方程求解； （2）设购进甲种文具个，则购进乙种文具个，根据题意即可建一元一次不等式求解． 【小问1详解】 解：设一个乙种文具的进价是元，则甲种文具的进价是元 ， 解得， 检验：是原分式方程的解． ∴（元） 答：每个甲种文具的进价元 【小问2详解】 解：设购进甲种文具个，则购进乙种文具个， ，解得 答：该商店本次刚进甲种文具至少是个． 26. 如图，为的直径，与切于点，连接，交于点， ． （1）如图，求的正切值； （2）如图，弦，连接，求证：为的切线； （3）如图，在（）的条件下，点在弧上，连接，，，求的长． 【答案】（1）； （2）证明： 如图，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （3）长为. 【解析】 【分析】（）设的半径是，由，则，，再由切线的性质得，通过勾股定理可得，最后由正切的定义即可求解； （）连接，证明，再根据全等三角形的性质即可求证； （）由切线长定理得，则可求出的半径为，，作于，则， 由三角函数得，则，连接交于，连接，由，，可得垂直平分，得是的中位线，设，则，，最后由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 设的半径是， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵是的切线， ∴， 由（）知， ∴， ∴的半径为，， 如图，作于， 则， 在中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 连接交于，连接， 由，，可得垂直平分， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴， 设，则，， ∵是的直径， ∴ ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴ ∴， ， ， ∴ 即长为. 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，垂径定理，切线的判定与性质，垂径定理，中位线性质定理，垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 27. 平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点A，C为x轴正半轴上一点，且． （1）如图1，求直线的解析式： （2）如图2，过点C作于E，交y轴于点D，动点P从点A出发，沿y轴，以每秒1个单位的速度向终点O运动，设点P的运动时间为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式：（不要求写出自变量t的取值范围） （3）如图3，在（2）的条件下，在上取一点Q，使，当时，求线段的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，，设，根据，得出，求出，得出点，然后用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据中点坐标公式求出，用待定系数法求出直线的解析式为：，求出，根据点P运动速度得出；分两种情况：当点P在上，即时，当点P在上，即时，分别画出图形求出结果即可； （3）连接，作，射线交y轴负半轴于点，以点为圆心，的长为半径作圆，交的延长线于点M，证明，得出，求出，证明，得出，根据中位线的性质求出即可． 【小问1详解】 解：把代入得， ∴， 把代入得， 解得：， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 即点E为的中点， ∵，， ∴根据中点坐标公式可得：， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， ∴， 根据题意可知：； 当点P在上，即时，过点E作于点F，如图所示： 此时， ∴； 当点P在上，即时，过点E作于点F，如图所示： 此时， ∴； 综上分析可知：； 【小问3详解】 解：如图，连接，作，射线交y轴负半轴于点，以点为圆心，的长为半径作圆，交的延长线于点M， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴点E为的中点，即垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，即点P是的中点， ∴是的中位线， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，线段垂直平分线的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，求函数解析式，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质，注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $