4.2.1 随机变量及其与事件的联系 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

人教B版 数学 选择性必修第二册 第四章　概率与统计 4.2.1　随机变量及其与事件的联系 课标定位素养阐释 1.通过实例,了解离散型随机变量的概念以及随机变量之间的关系. 2.体会数学抽象的过程,提升数学建模和数学运算素养. 自主预习 新知导学 一、随机变量的概念 1.抛掷一枚质地均匀的硬币,可能出现正面朝上、反面朝上两种结果.这种试验结果能用数字表示吗? 提示:可以,可用数字1和0分别表示正面朝上和反面朝上. 2.在一块地里种10棵树苗,设成活的树苗棵数为X,则X可取哪些数字? 提示:X=0,1,2,3,…,10. 3.(1)随机变量的概念:一般地,如果随机试验的样本空间为Ω,而且对于Ω中的每一个样本点,变量X都对应有唯一确定的 实数值 ,就称X为一个随机变量. (2)随机变量的表示方法:随机变量一般用大写英文字母 X,Y,Z,…或小写希腊字母ξ,η,ζ… 表示. (3)随机变量的取值范围:随机变量所有可能的取值组成的集合,称为这个随机变量的取值范围. (4)随机变量的性质:一般地,如果X是一个随机变量,a,b都是任意实数,那么X=a,X≤b,X>b等都表示事件,而且: ①当a≠b时,事件X=a与X=b 互斥 ; ②事件X≤a与X>a相互对立,因此P(X≤a)+P(X>a)= 1 . (5)离散型随机变量和连续型随机变量:所有可能的取值,都可以一一列举出来的随机变量,称为离散型随机变量,连续型随机变量可以在某个实数范围内连续取值. 4.(多选题)下列变量中,是随机变量的有(　　) A.一射击手射击一次命中的环数 B.标准状态下,水沸腾时的温度 C.抛掷两枚均匀骰子,所得点数之和 D.某电话总机在时间区间(0,T)内收到的呼叫次数 解析:ACD中的变量都是随机变量,B中水沸腾时的温度是一个确定的值,不是随机变量. 答案:ACD 二、随机变量之间的关系 1.某商店对顾客实行积分优惠制度,月末兑换积分每10分兑换1元钱. (1)本商店顾客的积分是不是一个随机变量? 提示:是一个随机变量. (2)该商店顾客利用积分所兑换的钱数是不是一个随机变量?如果是,它和问题(1)中的随机变量之间有什么关系? 2.随机变量之间的关系:一般地,如果X是一个随机变量,a,b都是实数且a≠0,则Y=aX+b也是一个随机变量.由于X=t的充要条件是Y=at+b,因此P(X=t)= P(Y=at+b) . 3.设X,Y都是随机变量,且Y=2X-3,则P(Y=7)=(　　) A.P(X=7) B.P(X=5) C.P(X=2) D.P(X=3) 解析:令Y=2X-3=7,解得X=5, 因此P(Y=7)=P(X=5). 答案:B 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)关于x的方程x2-ax+2=0的实数根的个数是随机变量.( √ ) (2)一个随机变量的取值范围可能是(-∞,+∞).( √ ) (3)若P(X≤0)=0.35,则P(X>0)的值为0.65.( √ ) 合作探究 释疑解惑 探究一 随机变量的概念 【例1】 (1)抛掷均匀硬币一次,下列变量是随机变量的是(　　) A.抛掷硬币的次数 B.出现正面朝上的次数 C.出现正面朝上的次数或反面朝上的次数 D.出现正面朝上的次数与反面朝上的次数之和 (2)(多选题)下面给出的随机变量是离散型随机变量的是(　　) A.某高速公路上某收费站在未来1小时内经过的车辆数X B.一个沿直线y=x进行随机运动的质点,它在该直线上的位置Y C.某网站未来1小时内的点击量Z D.一天内的温度η 探究一 探究二 探究三 易错辨析 解析:(1)抛掷一枚硬币,可能出现的结果是正面朝上或反面朝上,以一个标准如正面朝上的次数来描述这一随机试验,那么正面朝上的次数就是随机变量ξ,ξ的取值是0,1.A项中,抛掷硬币的次数就是1,不是随机变量;C项中的标准模糊不清;D项中,出现正面朝上的次数和反面朝上的次数的和必是1,对应的是必然事件,试验前便知是必然出现的结果,所以不是随机变量.故选B. (2)A是,1小时内经过该收费站的车辆可一一列出;B不是,质点在直线y=x上运动时的位置无法一一列出;C是,1小时内网站的访问次数可一一列出;D不是,1天内的温度η是该天最低温度和最高温度这一范围内的任意实数,无法一一列出.故选AC. 答案:(1)B　(2)AC 探究一 探究二 探究三 易错辨析 随机变量和离散型随机变量的判断方法 (1)若一个随机试验的结果对应的变量具有以下特点,则该变量即为随机变量. ①随机试验的结果具有可变性,即每次试验对应的结果不尽相同. ②随机试验的结果的不确定性,即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. (2)判断一个随机变量的取值能否一一列举出来,若能,则是离散型随机变量;否则,不是离散型随机变量. 反思感悟 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练1】 (多选题)下列变量是离散型随机变量的是(　　) A.某视频获得的点赞数ξ B.某餐厅的就餐人数ξ C.体积为1 000 cm3的球的半径长 D.射手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用ξ表示该射手在一次射击中的得分 解析:由题意知C中的球的半径是固定的,可以求出来,不是随机变量,而ABD是离散型随机变量. 答案:ABD 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究二 用随机变量表示试验结果 【例2】 写出下列各随机变量的可能取值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果. (1)抛掷甲、乙两枚均匀的骰子,所得点数之和Y; (2)盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔,从中任意取出3支,其中所含白粉笔的支数ξ,所含红粉笔的支数η; (3)一个袋中装有5个同样大小的球,编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3个球,被取出的球的最大号码数ξ. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 解:(1)Y的可能取值为2,3,4,…,12, 若以(i,j)表示抛掷甲、乙两枚骰子后骰子甲得i点,且骰子乙得j点,则Y=2表示(1,1);Y=3表示(1,2),(2,1);Y=4表示(1,3),(2,2),(3,1);…;Y=12表示(6,6). (2)ξ可取1,2,3. ξ=i表示取出i支白粉笔,(3-i)支红粉笔,其中i=1,2,3. η可取0,1,2. η=i表示取出i支红粉笔,(3-i)支白粉笔,其中i=0,1,2. (3)ξ可取3,4,5. ξ=3表示取出的3个球的编号为1,2,3; ξ=4表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4; ξ=5表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值,以及其取每一个值时对应的意义,即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果,解答过程中不要漏掉某些试验结果. 反思感悟 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练2】 某车间三天内每天生产10件某产品,其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品,而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查,若发现有次品,则当天的产品不能通过.若厂内对车间生产的产品采用记分制,两天全不通过检查得0分,通过一天、两天分别得1分、2分.设该车间在这两天内总得分为ξ,写出ξ的可能取值,并说明这些值所表示的随机试验的结果. 解:ξ的可能取值为0,1,2. ξ=0表示在两天检查中均发现了次品; ξ=1表示在两天检查中有1天没有检查到次品,1天检查到了次品; ξ=2表示在两天检查中都没有发现次品. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究三 随机变量之间的关系 【例3】 某工厂的机器每月都要进行检修,进行检修时,要从机器的生产厂家聘请专业维修人员,按照规定,每更换一个易损件,该工厂需支付20元,并且报销维修人员的来往费用2 000元.任意选取一次检修,设本次检修更换的易损件为X个,该工厂实际花费为Y元. (1)当X等于100时,求Y的值; (2)写出X与Y之间的关系式; (3)若P(X≤24)=0.32,求P(Y>2 480). 探究一 探究二 探究三 易错辨析 解:(1)当X=100时,表示更换了100个易损件,此时Y=100×20+2 000 =4 000(元). (2)根据题意有Y=20X+2 000. (3)因为X≤24⇔20X≤480⇔20X+2 000≤2 480⇔Y≤2 480, 所以P(Y≤2 480)=P(X≤24)=0.32, 从而P(Y>2 480)=1-P(Y≤2 480)=1-0.32=0.68. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 延伸探究 1.在例3中,若P(Y=4 800)=0.23,求P(X=140). 解:由Y=20X+2 000=4 800,解得X=140,因此P(X=140)=P(Y=4 800)=0.23. 2.在例3中,若该工厂检修时需要更换易损件的个数的取值范围是{9,12,24,30,80,100},求该工厂实际花费的取值范围. 解:由题意可得X∈{9,12,24,30,80,100},且Y=20X+2 000, 因此Y∈{2 180,2 240,2 480,2 600,3 600,4 000}. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 实际上两个随机变量X,Y之间的关系是一种函数关系,只要知道其中一个变量的值或取值范围,就可以求出另外一个变量的值或取值范围,同样也可以利用这种函数关系求出相关概率的值. 反思感悟 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练3】 (多选题)已知随机变量X和Y的关系为Y=2X-1,下列说法正确的是(　　) A.P(X=2)=P(Y=3) B.P(X<4)=P(Y>3) C.P(X>5)+P(Y≤9)=1 D.P(X>3)-P(Y>1)≤0 探究一 探究二 探究三 易错辨析 解析:当X=2时,Y=2×2-1=3, 即P(X=2)=P(Y=3),A正确; 当X<4时,Y=2X-1<7, 即P(X<4)=P(Y<7),B不正确; 当P(X>5)=P(Y>9)时, 即P(X>5)+P(Y≤9)=1,C正确; 因为P(X>3)=P(Y>5), 又“Y>5”是“Y>1”的子事件, 所以P(X>3)≤P(Y>1), 所以P(X>3)-P(Y>1)≤0,D正确. 故选ACD. 答案:ACD 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【易错辨析】 【典例】 甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题,比赛规定:对于每一个题,没有抢到题的队伍得0分,抢到题并回答正确的得1分,抢到题但回答错误的扣1分(即得-1分).若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜),则X的所有可能取值是 . 错解:(1)X=0:表示甲没抢到题,乙抢到的题答错至少2个题或甲抢到2题,但答时1对1错,而乙答错1个题; (2)X=1:表示甲抢到1题且答对或甲抢到3题,且2对1错; (3)X=2:表示甲抢到2题均答对; (4)X=3:表示甲抢到3题均答对. 答案:0,1,2,3 探究一 探究二 探究三 易错辨析 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 提示:错误的根本原因是对题意分析不准确,漏掉“甲抢1题但答错了,而乙抢到2题都答错”.即X=-1. 正解:(1)X=-1:表示甲抢到1题但答错了,而乙抢到2题都答错了; (2)X=0:表示甲没抢到题,乙抢到的题答错至少2个题或甲抢到2题,但答时1对1错,而乙答错1题; (3)X=1:表示甲抢到1题且答对或甲抢到3题,且2对1错; (4)X=2:表示甲抢到2题均答对; (5)X=3:表示甲抢到3题均答对. 答案:-1,0,1,2,3 探究一 探究二 探究三 易错辨析 对于随机变量的所有可能值,一定要理解透题意,把各种情况列全. 防范措施 探究一 探究二 探究三 易错辨析 随堂练习 1.(多选题)一个袋子中有质量相等的红、黄、绿、白四种小球各若干个,一次倒出三个小球,下列变量不是离散型随机变量的是(　　) A.小球滚出的最大距离 B.倒出小球所需的时间 C.倒出的三个小球的质量之和 D.倒出的三个小球的颜色的种数 解析:A项,因为不能明确滚动的范围,所以小球滚出的最大距离不是一个随机变量;B项,因为不能明确所需时间的范围,所以倒出小球所需的时间不是一个随机变量;C项,三个小球的质量之和是一个定值,不是随机变量,就更不是离散型随机变量;D项,颜色的种数是一个离散型随机变量. 答案:ABC 2.抛掷2枚质地均匀的骰子,所得点数之和记为ξ,那么“ξ=4”表示的随机试验的结果是(　　) A.2枚都是4点 B.1枚是1点,另1枚是3点 C.2枚都是2点 D.1枚是1点,另1枚是3点或者2枚都是2点 解析:抛掷2枚骰子,其中1枚是x点,另1枚是y点,x,y=1,2,…,6. 而ξ=x+y,ξ=4⇔ 答案:D 3.设随机变量X,Y满足Y=2X+7,若P(X=2)=0.23,则P(Y=11)=　　　　　.  解析:P(Y=11)=P(X=2)=0.23. 答案:0.23 4.从标有数字1~10的10支竹签中任取2支,设所得2支竹签上的数字之和为X,则随机变量X可能取得的值有　　　　　个.  解析:X的可能取值为3,4,5,…,19,共17个. 答案:17 5.甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛,规定采用“七局四胜制”.用ξ表示需要比赛的局数,写出“ξ=6”时表示的试验结果. 解:根据题意可知,ξ=6表示甲在前5局比赛中胜3局,且在第6局中胜出或乙在前5局比赛中胜3局,且在第6局中胜出. 提示:钱数也是一个随机变量.设积分为X,其兑换的钱数为Y,则Y=X. $$