4.2.3 二项分布与超几何分布（第2课时 超几何分布） 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

人教B版 数学 选择性必修第二册 第四章　概率与统计 4.2.3　二项分布与超几何分布 第2课时　超几何分布 课标定位素养阐释 1.通过实例,了解超几何分布,并能解决简单的实际问题. 2.体会数学抽象的过程,提升数学建模和数学运算素养. 自主预习 新知导学 超几何分布的概念 1.从有5名男生的100名学生中任选3人. (1)其中恰有1名男生的概率是多少? (2)其中恰有2名男生的概率是多少? 2.一般地,若有总数为N件的甲、乙两类物品,其中甲类有M件(M<N),从所有物品中随机取出n件(n≤N),则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量,X能取不小于t且不大于s的所有自然数,其中s是M与n中的较小者,t在n不大于乙类物品件数(即n≤N-M)时取0,否则t取n减乙类物品件数之差(即t=n-(N-M)),而且P(X=k)= ,k=t,t+1,…,s, 这里称X服从参数为N,n,M的超几何分布,记作 X~H(N,n,M) . 特别地,如果X~H(N,n,M)且n+M-N≤0,则X能取所有不大于s的自然数,此时X的分布列如下表所示. 3.已知从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛,则所选3人中,女生不超过1人的概率为　　　　　.  解析:设所选女生的人数为X,则X~H(6,3,2), 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)从4名男演员和3名女演员中选出4人,其中女演员的人数X服从超几何分布.( √ ) (2)袋中有3个白球、4个黑球,每次从中取出1个球,有放回地取3次,则白球的个数X服从超几何分布.( × ) 合作探究 释疑解惑 探究一 超几何分布 【例1】 一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球,其中红球有3个,编号为1,2,3;黑球有2个,编号为1,2;白球有1个,编号为1.现从袋中一次随机取出3个球. (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率; (2)记取出编号为1的球的个数为X,求X的分布列. 探究一 探究二 易错辨析 探究一 探究二 易错辨析 延伸探究 1.例1的条件不变,若记取出白球的个数为η,求η的分布列. 解:由题意可知,η的取值范围为{0,1},故η服从两点分布.因为 探究一 探究二 易错辨析 2.把例1的条件“一次随机取出3个球”改为“有放回地抽取3次,每次取出1个球”,其他条件不变,结果又如何? 探究一 探究二 易错辨析 探究一 探究二 易错辨析 超几何分布的求解步骤 (1)辨模型:根据超几何分布的定义,判断所求概率分布问题是超几何分布. (2)算概率:可以直接利用公式P(X=k)= 求解,也可以利用排列组合及概率的知识求解.利用公式求解时应理解参数M,N,n,k的含义. (3)列分布列:把求得的概率的值用表格形式表示出来. 反思感悟 探究一 探究二 易错辨析 【变式训练1】 一批产品中有13件正品、2件次品,从这批产品中不放回地任取3件,求取得次品数X的分布列. 探究一 探究二 易错辨析 探究二 分布列的应用 【例2】 某高二数学兴趣小组有7名同学,其中有4名同学参加过高一数学竞赛.若从该小组中任选3名同学参加高二数学竞赛,求这3名同学中参加过高一数学竞赛的人数ξ的分布列及P(ξ<2). 探究一 探究二 易错辨析 故ξ的分布列为 探究一 探究二 易错辨析 1.在求超几何分布的分布列时,明确随机变量所取的每个值表示的意义是关键. 2.求与分布列有关的概率问题,一般是先把所求概率的事件分解为几个互斥的事件,再利用概率的加法公式计算. 反思感悟 探究一 探究二 易错辨析 【变式训练2】 袋中装有除颜色外其他都相同的2个白球和3个黑球.现采取不放回抽样方式,从中依次摸出两个球,记ξ为摸出的两球中白球的个数,求ξ的分布列,并求至少有一个白球的概率. 探究一 探究二 易错辨析 【规范解答】 超几何分布的应用 【典例】 某摸奖活动规定如下:袋中装有10个同样大小的小球,其中8个小球上标有1元,2个小球上标有5元,摸奖者从中任意摸取2个小球,将小球上标有的钱数相加即为该摸奖者所得的钱数.某人参加一次该摸奖活动,求他所得钱数的分布列. 审题策略　根据题意,找出所得钱数与摸取标有5元的小球的个数之间的关系及所得钱数的所有可能取值,发现摸取标有5元的小球的个数服从超几何分布,利用超几何分布的概率计算公式求出所得钱数取每个值时对应的概率,进而得到所得钱数的分布列. 探究一 探究二 易错辨析 探究一 探究二 易错辨析 答题模板　第1步:设所得钱数为X,找出X与摸取标有5元的小球的个数之间的关系,进而得到X的所有可能取值. 第2步:利用超几何分布的概率计算公式求出X取每个值时对应的概率. 第3步:列出X的分布列. 探究一 探究二 易错辨析 失误警示 1.所得钱数X的可能取值没有全部得出或得出错误的取值. 2.超几何分布的概率计算公式记错. 3.计算错误. 探究一 探究二 易错辨析 【变式训练】 甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6道试题,乙能答对其中的8道试题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,答对一题得5分,答错一题得0分.求: (1)甲答对试题数X的分布列; (2)乙所得分数Y的分布列; (3)乙的得分不低于10分的概率. 探究一 探究二 易错辨析 探究一 探究二 易错辨析 探究一 探究二 易错辨析 随堂练习 1.已知在15个村庄中,有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X表示10个村庄中交通不方便的村庄的个数,则概率为 的是(　　) A.P(X=2) B.P(X≤2) C.P(X=4) D.P(X≤4) 答案:C 2.一个箱子内有9张票,其编号分别为1,2,3,…,9,从中任取2张,其中编号为奇数的票至少有一张的概率是(　　) 答案:D 3.今有电子元件50个,其中一级品45个,二级品5个,从中任取3个,出现二级品的概率为(　　) 答案:C 4.（多选题）下列关系中,具有相关关系的是(　　) A.人的年龄与自身身高的关系 B.曲线上的点与该点的坐标之间的关系 C.苹果的产量与气候之间的关系 D.森林中的同一种树木,其横断面直径与高度之间的关系 答案:ACD 5.某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动,这20人中,年龄低于30岁的有5人.现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机,记X为选取的年龄低于30岁的人数,则P(X=1)= . 6.设10件产品中有3件次品、7件正品,现从中抽取5件,求抽得次品件数ξ的分布列. 故ξ的分布列为 提示:. 提示:. X 0 1 … k … s P … … 故P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=. 答案: 解:(1)从袋中一次随机取出3个球,取法总数为=20,取出的3个球的颜色都不相同的取法种数为=6,故取出的3个球的颜色都不相同的概率为P=. (2)由题意可知,X~H(6,3,3), 则P(X=0)=,P(X=1)=, P(X=2)=,P(X=3)=. 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P P(η=1)=,所以η的分布列为 η 0 1 P 解:(1)由题意可知,任取1个球,取出红球的概率为,取出黑球的概率为,取出白球的概率为,故取出的3个球颜色都不相同的概率P=. (2)由题意可知,任取1个球,取出编号为1的球的概率为,故X~B. 故P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=, P(X=3)=. 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 解:由题意可知,X~H(15,3,2), 则P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=. 故X的分布列为 X 0 1 2 P 解:由题意可知,ξ~H(7,3,4),则 P(ξ=0)=,P(ξ=1)=, P(ξ=2)=,P(ξ=3)=. ξ 0 1 2 3 P P(ξ<2)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=. 解:ξ的取值可能为0,1,2,则P(ξ=0)=,P(ξ=1)=, P(ξ=2)=. 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 至少有一个白球的概率为P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-. 规范展示　设所得钱数为X.由题意可知,当摸取的2个小球中标有5元的小球的个数分别为0,1,2时,X的取值分别为2,6,10,故P(X=2)=,P(X=6)=,P(X=10)=. 故所得钱数X的分布列为 X 2 6 10 P 解:(1)由题意可知,X~H(10,3,6), 则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=. 故甲答对试题数X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)因为乙答对试题数可能为1,2,3,所以乙所得分数Y的值可能为5,10,15. 所以P(Y=5)=,P(Y=10)=,P(Y=15)=. 所以乙所得分数Y的分布列为 Y 5 10 15 P (3)由(2)可知,乙的得分不低于10分的概率为P(Y≥10)=P(Y=10)+P(Y=15)=. 解析:由题意可知,X服从超几何分布, 故P(X=4)=. A. B. C. D. 解析:由已知得,编号都为偶数的概率为, 故所求概率为1-. A. B. C.1- D. 解析:出现二级品的对立事件为3个都是一级品,其概率为,故所求概率为1-. 解析:由已知得,P(X=1)=. 答案: 解:由题意可知,ξ~H(10,5,3), 则P(ξ=0)=, P(ξ=1)=, P(ξ=2)=, P(ξ=3)=. ξ 0 1 2 3 P $$