4.3.2 独立性检验 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

人教B版 数学 选择性必修第二册 第四章　概率与统计 4.3.2　独立性检验 课标定位素养阐释 1.通过实例,理解2×2列联表的统计意义. 2.通过实例,理解独立性检验及其应用. 3.体会数学抽象的过程,提升数学建模和数学运算素养. 自主预习 新知导学 独立性检验 1.某省教育厅大力推行素质教育,增加了高中生的课外活动时间,某校调查了学生的课外活动方式,结果整理成下表: 单位:人 性别 课外活动 总计 体育 文娱 男生 210 230 440 女生 60 290 350 总计 270 520 790 如何判定“喜欢体育还是文娱与性别是否有联系”? 提示:可通过表格与图形进行直观分析,也可通过统计分析定量判断. 2.(1)如果随机事件A与B的样本数据的2×2列联表如下.   A 总计 B a b a+b c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d 任意给定一个α(称为显著性水平,通常取为0.05,0.01等),可以找到满足条件P(χ2≥k)=α的数k(称为显著性水平α对应的分位数).如果根据样本数据算出χ2的值后,发现χ2≥k成立,就称在犯错误的概率不超过α的前提下,可以认为A与B不独立(也称为A与B有关);或说有1-α的把握认为A与B有关.若χ2<k成立,就称不能得到前述结论.这一过程通常称为独立性检验. (2)独立性检验通常得到的结果,或者是有1-α的把握认为A与B有关,或者没有1-α的把握认为A与B有关. 3.对甲、乙两个班的学生在某次考试中的数学成绩优秀和及格的人数进行统计,得到如下2×2列联表. 单位:人 班级 数学成绩 总计 优秀 及格 甲班 11 34 45 乙班 8 37 45 总计 19 71 90 则随机变量χ2的值约为(　　) A.0.600 B.0.828 C.2.712 D.6.004 答案:A 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)2×2列联表中的数据是两个事件的频数.( √ ) (2)事件A与B无关,即两个事件互不影响.( √ ) (3)χ2的大小是判断事件A与B是否相关的统计量.( √ ) 合作探究 释疑解惑 探究一 有把握认为两个事件有关的独立性检验 【例1】 某校对学生课外活动进行调查,结果如下表所示. 单位:人 性别 课外活动 总计 体育 文娱 男生 21 23 44 女生 6 29 35 总计 27 52 79 用你所学过的知识进行分析,能否在犯错误的概率不超过0.5%的前提下,认为喜欢体育还是文娱与性别有关系? 探究一 探究二 规范解答 又因为查表可得P(χ2≥7.879)=0.005, 因为8.106>7.879,所以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下,可认为喜欢体育还是文娱与性别有关. 反思感悟 求出χ2的值,再利用显著性水平α以及对应的分位数k来判断有多大的把握判断两个事件有关. 探究一 探究二 规范解答 【变式训练1】 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示. 单位:人 学生 是否喜欢甜品 总计 喜欢甜品 不喜欢甜品 南方学生 60 20 80 北方学生 10 10 20 总计 70 30 100 根据表中数据,是否在犯错误的概率不超过5%的前提下,可认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异? 探究一 探究二 规范解答 又因为查表可得P(χ2≥3.841)=0.05, 因为4.762>3.841,所以在犯错误的概率不超过5%的前提下,可认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异. 探究一 探究二 规范解答 探究二 没有把握认为两个事件有关的独立性检验 【例2】 为了探究学生选修某外语专业课与对外语的兴趣是否有关,某同学调查了361名大二在校学生,调查结果如下:选修该外语专业课的学生中对外语有兴趣的有138人,没有兴趣的有98人,没有选修该外语专业课的学生中对外语有兴趣的有73人,没有兴趣的有52人.根据调查数据回答:有90%的把握认为学生选修该外语专业课与是否喜欢外语有关吗? 探究一 探究二 规范解答 解:列出2×2列联表 单位:人 是否有兴趣 是否选修该外语专业课 总计 是 否 有兴趣 138 73 211 没有兴趣 98 52 150 总计 236 125 361 又因为1-90%=0.1,而且查表可得P(χ2≥2.706)=0.1,由于1.871×10-4<2.706,因此没有90%的把握认为学生选修该外语专业课与是否喜欢外语有关. 探究一 探究二 规范解答 利用χ2进行独立性检验时,若没有给出2×2列联表,则应先列出2×2列联表,避免计算χ2时出错. 反思感悟 探究一 探究二 规范解答 【变式训练2】 为了解教师对新课程教学模式的赞同情况,某教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的赞同情况进行了问卷调查,共调查了50人,其中有老教师20人,青年教师30人.老教师对新课程教学模式赞同的有10人,不赞同的有10人;青年教师对新课程教学模式赞同的有24人,不赞同的有6人. (1)根据以上数据建立一个2×2列联表; (2)判断是否有99.9%的把握认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关. 探究一 探究二 规范解答 解:(1)2×2列联表如下表所示. 单位:人 教师年龄 是否赞同 总计 赞同 不赞同 老教师 10 10 20 青年教师 24 6 30 总计 34 16 50 又因为1-99.9%=0.001, 而且查表可得P(χ2≥10.828)=0.001, 由于4.963<10.828, 因此没有99.9%的把握认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关. 探究一 探究二 规范解答 【规范解答】 独立性检验与概率统计的综合应用 【典例】 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如图. 旧养殖法 新养殖法 探究一 探究二 规范解答 (1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg,新养殖法的箱产量不低于50 kg”,估计A的概率; (2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关. 单位:箱 养殖法 箱产量 总计 低于50 kg 不低于50 kg 旧养殖法       新养殖法       总计       探究一 探究二 规范解答 审题策略　(1)根据频率与概率的关系及相互独立事件的概率公式求出A的概率的估计值. (2)先利用统计知识完成列联表,再求出χ2,最后查表得出结论. 规范展示　(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”,C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”,则P(A)=P(BC)=P(B)P(C).旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62,故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66,故P(C)的估计值为0.66. 故事件A的概率估计值为0.62×0.66=0.409 2. 探究一 探究二 规范解答 (2)根据箱产量的频率分布直方图得到列联表如下. 单位:箱 养殖法 箱产量 总计 低于50 kg 不低于50 kg 旧养殖法 62 38 100 新养殖法 34 66 100 总计 96 104 200 由于15.705>6.635,因此有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关. 探究一 探究二 规范解答 答题模板　第1步:根据频率分布直方图求出相关的频率,进而求出概率的估计值. 第2步:根据频率分布直方图求出相关的频数,进而完成列联表. 第3步:根据列联表求出χ2. 第4步:查表得出结论. 1.频率、频数计算错误. 2.χ2的值计算错误. 3.不理解α与k的含义,不会作出判断. 失误警示 探究一 探究二 规范解答 【变式训练】 某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关,随机抽取了55名市民,得到数据如下表所示. 单位:人 年龄 是否喜欢“人文景观” 总计 喜欢 不喜欢 大于40岁 20 5 25 20岁至40岁 10 20 30 总计 30 25 55 (1)判断是否有99.5%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关; (2)用分层随机抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6人做进一步调查,将这6名市民作为一个样本,从中任选2人,求恰有1名大于40岁的市民和1名20岁至40岁的市民的概率. 探究一 探究二 规范解答 为喜欢“人文景观”景点与年龄有关. (2)由题意知,抽取的6人中,大于40岁的市民有4名,20岁至40岁的市民有2名, 探究一 探究二 规范解答 随堂练习 1.下面是一个2×2列联表, X Y 总计 y1 y2 x1 a 21 73 x2 2 25 27 总计 b 46 100 则表中a,b处的值分别为(　　) A.94,96 B.52,50 C.52,54 D.54,52 解析:a=73-21=52,b=100-46=54. 答案:C 2.下列关于χ2的说法正确的是(　　) A.χ2越大,“事件A与B有关系”的可信程度越小 B.χ2越小,“事件A与B有关系”的可信程度越小 C.χ2越接近于0,“事件A与B没有关系”的可信程度越小 D.χ2越大,“事件A与B没有关系”的可信程度越大 答案:B 3.对于事件A与B,经计算得到χ2>3.841,则(　　) A.在犯错误的概率不超过5%的前提下,可认为事件A与B有关 B.在犯错误的概率不超过5%的前提下,可认为事件A与B无关 C.在犯错误的概率不超过1%的前提下,可认为事件A与B有关 D.没有充分理由说明事件A与B有关系 解析:因为P(χ2≥3.841)=0.05,所以在犯错误的概率不超过5%的前提下,可认为事件A与B有关. 答案:A 4.（多选题）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表. 单位:人 是否爱好某项运动 性别 总计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 则下列结论正确的是(　　) A.有99%的把握认为爱好该项运动与性别有关 B.有99%的把握认为爱好该项运动与性别无关 C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为爱好该项运动与性别有关 D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为爱好该项运动与性别无关 答案:AC 5.根据下表计算: 单位:人 性别 是否看电视 不看电视 看电视 男 37 85 女 35 143 χ2≈　　　　　.(精确到0.001)  答案:4.514 6.为了调查某生产线上质量监督员甲是否在现场对产品质量好坏有无影响,现统计数据如下:质量监督员甲在生产现场时,990件产品中合格品有982件,次品有8件;甲不在生产现场时,510件产品中合格品有493件,次品有17件.根据以上数据,在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,可以认为质量监督员甲是否在现场与产品质量有关系吗? 解:2×2列联表如下. 单位:件 甲是否在现场 产品情况 总计 合格品数 次品数 甲在生产现场 982 8 990 甲不在生产现场 493 17 510 总计 1 475 25 1 500 又因为查表可得P(χ2≥10.828)=0.001, 且13.097>10.828, 所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,可以认为质量监督员甲是否在现场与产品质量有关系. 记n=a+b+c+d,设χ2=. 解析:根据2×2列联表中的数据,可得χ2=≈0.600.故选A. 解:由题意可知,χ2=≈8.106. 解决此类问题,先利用χ2= 解:由题意可知,χ2=≈4.762. 则χ2=≈1.871×10-4. (2)由题意可知,χ2=≈4.963. 则χ2=≈15.705, 解:(1)由题意可知,χ2=≈11.978>7.879,故有99.5%的把握认 则恰有1名大于40岁的市民和1名20岁至40岁的市民的概率P=. 解析:χ2=≈4.514. 则χ2=≈13.097. $$