数列-广东省部分市2023-2024学年高三下学期数学模拟试题分类汇编

广东省部分市2023-2024学年下学期高三模拟试题分类汇编 ----数列 一、单选题 1．（2024·广东佛山·模拟预测）已知数列是等差数列，若，则（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 2．（2024·广东东莞·模拟预测）已知数列，则数列前9项的下四分位数是（    ） A．1 B． C．0 D． 3．（2024·广东汕头·三模）已知等差数列的前项和为，，，若，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．（2024·广东广州·三模）等比数列满足，，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．（2024·广东江门·一模）已知各项均为正数的等比数列中，若，则＝（ ） A．3 B．4 C．8 D．9 6．（2024·广东茂名·二模）设等差数列的前项和为，且，则的值是（    ） A．11 B．50 C．55 D．60 7．（2024·广东深圳·模拟预测）已知等比数列公比为，前项和为，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·广东茂名·一模）已知为正项数列的前项的乘积，且，则（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 9．（2024·广东广州·一模）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·广东佛山·二模）设数列的前项之积为，满足（），则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2024·广东梅州·二模）已知数列的通项公式为，，在中依次选取若干项（至少3项），，，，，，使成为一个等比数列，则下列说法正确的是（    ） A．若取，，则 B．满足题意的也必是一个等比数列 C．在的前100项中，的可能项数最多是6 D．如果把中满足等比的项一直取下去，总是无穷数列 12．（2024·广东·模拟预测）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数有两个不相等的实根，其中.在函数图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列.记，且，，下列说法正确的是（    ） A．（其中） B．数列是递减数列 C． D．数列的前项和 13．（23-24高三下·广东深圳·模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，正项等比数列 的前 项积为 ，则（    ） A．数列 是等差数列 B．数列 是等比数列 C．数列 是等差数列 D．数列 是等比数列 14．（23-24高三下·广东汕头·模拟预测）已知函数的定义域为，则下列命题正确的是（    ） A．为偶函数 B．为上减函数 C．若，则为定值 D．若，则 15．（2024·广东·模拟预测）设有正数列，其前项和为．则下列哪一个能使对任意的都有成立（    ） A． B． C． D． 三、填空题 16．（2024·广东江门·模拟预测）若数列满足，数列的前n项和为，则 ． 17．（2024·广东汕头·二模）已知数列：0，2，0，2，0，现按规则：每个0都变为“2，0，2”，每个2都变为“0，2，0”对该数列进行变换，得到一个新数列，记数列，，则数列的项数为 ，设的所有项的和为，则 . 18．（2024·广东梅州·二模）已知数列的通项公式（），则的最小值为 ． 19．（2024·广东广州·一模）已知数列的前项和，当取最小值时， . 20．（2024·广东深圳·模拟预测）设是等差数列的前n项和，若，则 ． 四、解答题 21．（2024·广东广州·三模）已知数列的各项均为正数，，记为的前n项和． (1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列是等差数列；②数列是等差数列；③． (2)若，在（1）的条件下，将在数列中，但不在数列中的项从小到大依次排列构成数列，求数列的前20项和． 22．（2024·广东茂名·一模）已知等差数列的前项和为，且，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 23．（2024·广东江门·二模）已知是公差为2的等差数列，数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)求； (3)[x]表示不超过的最大整数，当时，是定值，求正整数的最小值． 24．（2024·广东惠州·一模）约数，又称因数．它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数共有个正约数，记为，，…，，（）． (1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值； (2)当时，若，，…，构成等比数列，求证：； (3)记，求证：． 25．（2024·广东深圳·二模）无穷数列，，…，，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是﹔如果n是奇数，就对尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是． (1)写出这个数列的前7项； (2)如果且，求m，n的值； (3)记，，求一个正整数n，满足． 26．（2024·广东佛山·二模）已知数列和等差数列的前n项和分别为，，且，，. (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 参考答案： 1．B 【分析】根据等差数列的通项公式即可得解． 【详解】设公差为，则：， ． 故选：B． 2．B 【分析】根据题意，数列前9项从小到大排列后，下四分位数为第3项，可解. 【详解】根据题意，数列前9项为， 对其从小到大排列为， 因为，则下四分位数为第3项，为. 故选：B 3．B 【分析】根据给定条件，求出等差数列的首项及公差，再结合前项和及通项公式求解即得. 【详解】由，，得，解得，则等差数列的公差， 于是，由，得， 所以. 故选：B 4．B 【分析】由已知结合等比数列的性质及通项公式可求公比及首项，进而可求. 【详解】依题意有， . 故选：B 5．B 【分析】利用等比数列的性质可得，可求结论. 【详解】由各项为正数的等比数列，且， 可得，所以. 故选：B. 6．C 【分析】等差数列中，由求出，由求值即可. 【详解】由等差数列的性质，可得， 则. 故选：C 7．D 【分析】根据求出，再根据等比数列求和公式计算可得. 【详解】等比数列中，又，可得，解得，故C错误； 又，，故D正确； 又，，所以，故B错误； 又，，， 故不成立，故A错误． 故选：D． 8．B 【分析】利用给定的递推公式，结合对数运算变形，再构造常数列求出通项即可得解. 【详解】由，得，于是，则， 两边取对数得，因此，数列是常数列， 则，即，所以，. 故选：B 9．C 【分析】根据等比数列的性质可得，进而根据求和公式即可化简求解. 【详解】根据题意，设等比数列的公比为， 若，即， 故． 故选：C． 10．C 【分析】由已知递推式可得数列是等差数列，从而可得，进而可得的值． 【详解】因为， 所以，即，所以， 所以，显然， 所以， 所以数列是首项为，公差为2的等差数列， 所以， 即，所以． 故选：C． 11．AB 【分析】根据等比数列的性质判断A、B、D，利用反例说明C. 【详解】因为数列的通项公式为， 对于A，取，，则，， 由于为等比数列，则，则有，即，故A正确； 对于B，数列的通项公式为，则， 若为等比数列，即，，，，，是等比数列， 则，，，，，，是等比数列， 故满足题意的也必是一个等比数列，故B正确； 对于C，在的前项中，可以取，，，，，，， 可以使成为一个等比数列，此时为项，故C错误； 对于D，取，，则，则， 不是数列的项， 所以把中满足等比的项一直取下去，不总是无穷数列，故D错误． 故选：AB． 12．AD 【分析】根据可求的表达式，判断A的真假；利用导数求二次函数在处切线的斜率，进一步写出在处的切线方程，求出直线与轴的交点横坐标，得，进一步判断数列的结构特征，得到数列是等比数列，可判断BC的真假；利用公式法可求数列的前项和，判断D的真假. 【详解】对于A选项，由得，所以，故A正确. 二次函数有两个不等式实根，， 不妨设， 因为， 所以， 在横坐标为的点处的切线方程为：， 令，则， 因为 所以，即： 所以为公比是2，首项为1的等比数列. 所以故BC错. 对于D选项，，得故D正确. 故选：AD 13．ABD 【分析】根据题意，根据等差数列与等比数列的定义逐项判断即可． 【详解】根据题意，设的公差为，的公比为， 则， 依次分析选项： 对于A，是常数，故A正确； 对于B，易知是常数，故B正确； 对于C，因为，由， 当，不是常数列，不是常数，故C错误； 对于D，是常数，故D正确． 故选：ABD． 14．CD 【分析】令求出，令求出，再令即可得到函数的奇偶性，从而判断A、B，令即可判断C，令结合，即可得到，从而判断D. 【详解】因为，， 令，可得，则， 令，可得，则， 令，可得， 令，可得，所以，所以为奇函数，故A错误； 因为、，所以不可能为上减函数，故B错误； 令可得，所以，故C正确； 令可得，因为， 所以，所以，，， 所以， 所以，故D正确. 故选：CD 【点睛】方法点睛：抽象函数的性质处理方法主要是通过合理的赋值从而达到所需要的性质，通常可将变量赋为0，1，－1，或等. 15．BCD 【分析】首先当时，要满足，故可排除A，先证明两个引理，借助引理说明B选项符合题意；对于CD而言只需分别证明即可说明CD符合题意. 【详解】首先取，则有成立，其中（因为数列是正数列）， 从而需要满足，对比选项可知A不符合题意， 接下来我们证明如下引理1：， 证明：首先当时，左边等于， 其次假设结论已对成立，即（*）， 由于， 从而（**）， （*）与（**）相加有，故结论对也成立， 综上所述，引理1成立， 我们继续来证明引理2：， 证明：当时，左边右边，即此时引理2成立， 设结论已经对成立，即， 记，显然， 从而 ， 故结论对也成立， 综上，引理2成立， 现在我们回到原题，对于B，也就是， 则 ，故B符合题意， 对于C，当时，满足题意， 当时，我们来比较的大小， 令，从而，即单调递增从而，也就是当时，， 结合B选项分析可知C选项也符合题意； 对于D，当时，满足题意， 当时，我们来比较的大小， 显然此时，结合B选项分析可知D选项也符合题意. 故选；BCD. 【点睛】关键点点睛：关键是先证明上述两个引理，从而当时，有成立，由此即可顺利得解. 16． 【分析】根据递推公式求出数列的通项公式，再计算出数列的通项公式，即可计算出. 【详解】由，则， 当时，上式相加，得， 所以，又符合上式，可知， 所以． 故答案为： 17． 【分析】根据已知条件，分析出数列的项数成等比数列可求出数列的项数；根据变换规则，得出数列中与个数的规律，结合数列项数，即可求出的所有项的和，继而求得. 【详解】因为共5项，在f作用下，每个项都变为3个项， 所以的项数是首项为5，公比为3的等比数列，所以的项数为 根据变换规则，若数列的各项中，与0的个数相同， 则与之相邻的下一个数列中与0的个数也相同； 若比0多个，则与之相邻的下一个数列中比0的个数少个； 若比0少个，则与之相邻的下一个数列中比0的个数多个； 因为中有项，其中个，个0，比0少个， 所以的项中，比0的个数多个； 以此类推，若为奇数，则数列的各项中比0少个， 若为偶数，则数列的各项中比0多个； 所以数列中2比0多1个，所以 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则 (公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是数列求通项或求和. 18．/ 【分析】根据的奇偶性可得的最小值，只需要考虑为偶数时即可，根据作商法得，结合可得时，，即可判断时取最小值. 【详解】由于当为奇数时，，当为偶数时，， 要求的最小值，只需要考虑出现奇数个奇数项时即可， 又， 且当时，，因此时，， 当，， 当，， 综上，最小值为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：在处理涉及的数列问题，一般要考虑分为奇数和偶数来分类讨论，含参的恒成立，先分离参数，转化为求式子的最大值或最小值问题来处理． 19．3 【分析】根据求得，再结合对勾函数的单调性，即可求得结果. 【详解】因为，则当时，， 又当时，，满足，故； 则， 又在单调递减，在单调递增； 故当时，取得最小值，也即时，取得最小值. 故答案为：. 20． 【分析】由等差数列前项和公式计算的等量关系，代入所求即可求出结果. 【详解】设数列的公差为， ，， 则， 故答案为：. 21．(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）选①②作条件证明③：设，然后根据对应相等，讨论和时或即可得证；选①③作条件证明②：由①③可得，得，则，即可得证；选②③作条件证明①：由②③可得，则，则有，两式作差可得， ，然后用累乘法化简可得，则得，即可得证. （2）当时，由（1）可知，，则，，得到数列取20项时，数列中有25项，去掉数列中的5项，然后分别求和相减即可. 【详解】（1）选①②作条件证明③： 因为数列是等差数列，数列是等差数列， 设， 所以， 所以， 当时，， 当时，， 若，则，不合题意， 若，则， ， ，满足题意，，得证. 选①③作条件证明②： 设等差数列的公差为， 由得，则， 所以， 所以， 所以， 所以数列是等差数列，得证. 选②③作条件证明①： 因为数列是等差数列，， 所以公差为，首项为， 则，即，则有， 两式作差得，即， 所以， 即，即，又适合上式， 所以，则，所以数列是等差数列，得证. （2）当时，由（1）可知，，则，， 当数列取20项时，设数列中取项，去掉数列中的项， 则有，（其中取正整数）， 则当时，不等式组成立， 当时，，不等式组不成立， 所以取时，设数列的前20项和为， 则 ， 即数列的前20项和是. 22．(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列前项和公式和通项公式得到方程组，解出即可； （2）利用裂项求和得，再利用等差数列前项和公式即可. 【详解】（1）数列是等差数列，记其公差为， 由题意知 所以. （2），. ，. 23．(1) (2) (3)7 【分析】（1）先由是公差为2的等差数列，求得递推关系，再利用叠加法求得，进而得到的通项公式； （2）法一：两次利用错位相减法即可求得数列的前项和为；法二：构造得，再利用裂项相消法即可得解； （3）利用数列单调性结合题给条件即可求得正整数的最小值. 【详解】（1）设，则． 因为是公差为2的等差数列，所以． 设，则， 所以时， ． 所以，即， 又，满足上式，所以 （2）（方法一）因为， 所以 两式相减得． 设， 则， 两式相减得 ， 则． 所以，即． （方法二）因为， 所以． 所以 则， 即． （3）当时，，且，所以的定值为9． 所以当时，． 令，则， ， 所以单调递减． 因为，所以，即正整数的最小值为 【点睛】方法点睛：数列求和的方法技巧： （1）倒序相加法：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． （2）错位相减法：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． （3）分组求和法：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 24．(1)或（首项为1，公比为质数的等比数列的第四项均可） (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意即可写出的一个值；（首项为1，公比为质数的等比数列的第四项均可） （2）由题意知，，，，，结合，，…，构成等比数列，可推出是完全平方数，继而可得，由此可知，，…，为，，，，求得即可； （3）由题意知，，，，，从而可得，采用放缩法以及裂项求和的方法，即可证明结论． 【详解】（1）（1）当 时，正整数的4个正约数构成等比数列， 如1，2，4，8为8的所有正约数，即； 或1，3，9，27为27的所有正约数，即； 或1，5，25，125为125的所有正约数，即； （首项为1，公比为质数的等比数列的第四项均可） （2）由题意可知，，，且， 因为，，…，构成等比数列，不妨设其公比为， 则，所以， 化简得：，所以， 又因为，所以，所以公比， 所以， 又因为，，所以， 又因为，所以； （3）由题意知，，，，， 所以， 因为，，， 所以， 因为，，所以 所以，即． 【点睛】方法点睛：解决新定义题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景，找到解题的突破点，运算相关的数学公式、定理、性质进行解答. 25．(1)，，，，，，； (2)； (3)（答案不唯一，满足即可） 【分析】（1）根据数列的定义，逐一求解； （2）根据数列的定义，分和分别求解； （3）根据数列的定义，写出的值，即可求解. 【详解】（1）根据题意，，， ，，， ，． （2）由已知，m，n均为奇数，不妨设． 当时，因为，所以，故； 当时，因为，而n为奇数，，所以． 又m为奇数，，所以存在，使得为奇数． 所以． 而，所以，即，，无解． 所以． （3）显然，n不能为偶数，否则，不满足． 所以，n为正奇数． 又，所以． 设或，． 当时，，不满足； 当时，，即． 所以，取，时， 即． 【点睛】关键点点睛：第（3）问中，发现当时，满足，从而设，，验证满足条件. 26．(1)，； (2). 【分析】（1）根据给定的递推公式，由等差数列的前n项和公式求得公差，即得通项公式；由作差法得数列为等比数列，由等比数列的通项公式求解. （2）由（1）求出，运用错位相减法，结合等比数列的求和公式即可得到所求和． 【详解】（1）由，得，即，解得，则， 设等差数列的公差为，由，得，解得， 所以数列的通项公式为； 由，得当时，，两式相减得，即， 因此数列是首项为1，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）及，得， 令数列的前n项和为， 则， 于是， 两式相减得， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$