两个计数原理的综合应用课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

人教B版 数学 选择性必修第二册 第三章　排列、组合与二项式定理 习题课——两个计数原理的综合应用 课标定位素养阐释 1.了解分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系. 2.能综合运用两个计数原理解决一些实际问题. 3.提升逻辑推理和数学运算素养. 自主预习 新知导学 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别 1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别 联系与区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 联系 分类加法计数原理和分步乘法计数原理,解决的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题 区别一 分类加法计数原理针对的是“分类”问题 分步乘法计数原理针对的是“分步”问题 区别二 各种方法相互独立 各个步骤互相依存 区别三 任何一种方法都可以完成这件事 只有各个步骤都完成才算完成这件事 2.某单位职工开展无偿献血活动,在体检合格的员工中,O型血的有18人,A型血的有10人,B型血的有8人,AB型血的有3人.若完成下面两件事:①从中任选1人去献血;②从四种血型的人中各选1人去献血.则不同选法的种数分别是(　　) A.4 320,39 B.39,39 C.39,4 320 D.4 320,4 320 解析:①根据分类加法计数原理,共有18+10+8+3=39种不同选法.②根据分步乘法计数原理,共有18×10×8×3=4 320种不同的选法. 答案:C 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)如果完成一件事有两类办法,第一类办法中有m种不同的方法,第二类办法中有n种不同的方法,那么完成这件事有mn种方法.( × ) (2)在分步乘法计数原理中,只有所有步骤都完成,才能完成这件事.( √ ) 合作探究 释疑解惑 探究一 组数问题 【例1】 用0,1,2,3,4这五个数字, (1)可以排成多少个三位数字的号码?(数字允许重复) (2)可以排成多少个三位数?(各位上的数字允许重复) (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数? 解:(1)三位数字的号码,首位可以是0,数字可以重复,故每个位置都有5种排法,依据分步乘法计数原理,可以排成5×5×5=125个三位数字的号码. (2)排成一个三位数,可以分为三步:第一步,确定百位上的数字,百位上的数字不能为0,共有4种方法; 第二步,确定十位上的数字,共有5种方法; 第三步,确定个位上的数字,共有5种方法. 依据分步乘法计数原理,可以排成4×5×5=100个三位数. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 (3)能被2整除的数为偶数,末位数字可取0,2,4,因此,可以分两类:一类是末位数字是0,分两步,第一步,首位有4种排法,第二步,十位有3种排法,依据分步乘法计数原理,有4×3=12种排法;一类是末位数字不是0,分三步,第一步,末位有2种排法,即2或4,第二步,排首位,因为0不能在首位,所以有3种排法,第三步,十位有3种排法,依据分步乘法计数原理,有2×3×3=18种排法. 依据分类加法计数原理,有12+18=30种排法.故可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 延伸探究 用本例中的五个数字可排成多少个无重复数字的四位奇数? 解:分四步:第一步定个位,只能从1,3中任取一个,有2种方法;第二步定千位,有3种方法;第三步定百位,有3种方法;第四步定十位,有2种方法. 依据分步乘法计数原理,共有2×3×3×2=36个无重复数字的四位奇数. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 反思感悟 对于组数问题,应掌握以下原则: (1)明确特殊位置或特殊数字,是采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类,分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成.如果正面分类较多,那么可采用间接法求解; (2)要注意数字“0”不能排在多位数的最高位. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练1】 从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,排成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为　　　　　,奇数的个数为　　　　　.  解析:若是偶数,则分三步完成:第一步,从0和2中任选一个数字放在个位,有2种选法;第二步,从1,3,5中选1个数字放在百位,有3种选法;第三步,从1,3,5中剩下的2个数字中选1个数字放在十位,有2种选法. 依据分步乘法计数原理,偶数共有2×3×2=12个. 若是奇数,则此三位数可以分成两种情况,即奇偶奇,偶奇奇.若是奇偶奇的情况,则可以分三步完成:第一步,从1,3,5中选1个数字放在个位,有3种选法;第二步,从0,2中选1个数字放在十位,有2种选法;第三步,从1,3,5中剩下的2个数字中选1个数字放在百位,有2种选法. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 依据分步乘法计数原理,不同的选法有3×2×2=12种. 若是偶奇奇的情况,则可以分三步完成:第一步,从1,3,5中选1个数字放在个位,有3种选法;第二步,从1,3,5中剩下的2个数字中选1个数字放在十位,有2种选法;第三步,百位上的数字不能为0,故只能为2,只有1种选法. 依据分步乘法计数原理,不同的选法共有3×2×1=6种. 故奇数共有12+6=18个. 答案:12　18 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究二 选(抽)取与分配问题 【例2】 现有3名医生、5名护士、2名麻醉师. (1)从中选派1名去参加外出学习,有多少种不同的选法? (2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组,有多少种不同的选法? 解:(1)从中选派1名去参加外出学习,共有三类不同的选法: 第一类,选出的是医生,有3种选法; 第二类,选出的是护士,有5种选法; 第三类,选出的是麻醉师,有2种选法. 根据分类加法计数原理,共有3+5+2=10种选法. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 (2)组成1个医疗小组,分三步: 第一步,选1名医生,有3种选法; 第二步,选1名护士,有5种选法; 第三步,选1名麻醉师,有2种选法. 根据分步乘法计数原理,共有3×5×2=30种选法. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 反思感悟 解决选(抽)取与分配问题的方法 (1)当涉及对象数目不大时,一般选用列举法、树状图法或者图表法等. (2)当涉及对象数目很大时,一般有两种方法: ①直接法.直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地,若抽取是有顺序的,则按分步进行;若是按对象特征抽取的,则按分类进行. ②间接法.先去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,再减去所有不符合条件的抽取方法数即可. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练2】 有一项活动,需在3名教师、8名男学生和5名女学生中选人参加. (1)若只需1人参加,有多少种不同选法? (2)若需教师、男学生、女学生各1人参加,有多少种不同选法? (3)若需1名教师、1名学生参加,有多少种不同选法? 解:(1)只需1人参加共有三类选人的方法:第一类,从3名教师中选1人,有3种方法;第二类,从8名男学生中选1人,有8种方法;第三类,从5名女学生中选1人,有5种方法. 依据分类加法计数原理,共有3+8+5=16种选法. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 (2)分三步选人:第一步选教师,有3种方法;第二步选男学生,有8种方法;第三步选女学生,有5种方法. 依据分步乘法计数原理,共有3×8×5=120种选法. (3)可分两类.第一类:先选1名教师,再选1名男学生,共有3×8=24种选法;第二类:先选1名教师,再选1名女学生,共有3×5=15种选法. 依据分类加法计数原理,共有24+15=39种选法. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究三 涂色与种植问题 【例3】 (1)如图,用五种不同的颜色分别给A,B,C,D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂法种数为(　　) A.280 B.180 C.96 D.60 (2)如图,将3种作物全部种植在这5块试验田中,每块种植一种作物,且相邻的试验田不能种同一种作物,则不同的种植方法共有　　　　　种.  探究一 探究二 探究三 易错辨析 解析:(1)按区域分四步:第一步,A区域有5种颜色可选;第二步,B区域有4种颜色可选;第三步,C区域有3种颜色可选;第四步,由于可重复使用区域A中已用过的颜色,因此D区域也有3种颜色可选. 依据分步乘法计数原理,共有5×4×3×3=180种涂法. (2)分别用a,b,c代表3种作物,先安排第一块田,有3种方法,不妨设种植a,再安排第二块田,有2种方法b或c,不妨设种植b,第三块田也有2种方法a或c. 若第三块田种植c, 则第四、五块田分别有2种方法,共有2×2=4种方法. 若第三块田种植a,则第四块田有b或c 2种方法, ①若第四块田种植c,则第五块田有2种方法; ②若第四块田种植b,则第五块田只能种植c,共1种方法. 依据基本计数原理,共有3×2×(2×2+2+1)=42种方法. 答案:(1)B　(2)42 探究一 探究二 探究三 易错辨析 反思感悟 解决涂色(种植)问题的一般思路 涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解,有几种常用方法: (1)按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析; (2)以颜色为主分类讨论,适用于“区域、点、线段”等问题,用分类加法计数原理分析; (3)将空间问题平面化,转化为平面区域的涂色问题. 种植问题按种植的顺序分步进行,用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类,用分类加法计数原理计数. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练3】 如图,用红、黄、绿、黑4种不同的颜色分别给5个区域涂色,要求相邻的两个区域的颜色不相同,有多少种不同的涂色方法? 探究一 探究二 探究三 易错辨析 解:如图,将5个区域分别标记为A,B,C,D,E,则A区域有4种不同的涂色方法,B区域有3种,C区域有2种,D区域有2种,但E区域的涂色依赖于B区域与D区域涂的颜色.若B区域与D区域涂的颜色相同,则E区域有2种涂色方法;若B区域与D区域涂的颜色不相同,则E区域只有1种涂色方法. (1)当B区域与D区域同色时,依据分步乘法计数原理,有4×3×2×2=48种涂色方法; (2)当B区域与D区域不同色时,依据分步乘法计数原理,有4×3×2×1×1=24种涂色方法. 依据分类加法计数原理,共有48+24=72种不同的涂色方法. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【易错辨析】 因计数时出现遗漏而致误 【典例】 有红、黄、蓝旗各3面,每次升1面、2面或3面旗纵向排列在某一旗杆上,表示不同的信号,顺序不同也表示不同的信号,一共可以组成多少种不同的信号? 错解:每次升1面旗可组成1种不同的信号;每次升2面旗可组成2种不同的信号;每次升3面旗可组成3种不同的信号.根据分类加法计数原理,一共可以组成1+2+3=6种不同的信号. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 提示:错解中忽略了不同的旗的颜色表示不同的信号,顺序不同也表示不同的信号. 正解:每次升1面旗可组成3种不同的信号;每次升2面旗可组成3×3=9种不同的信号;每次升3面旗可组成3×3×3=27种不同的信号.根据分类加法计数原理,共可组成3+9+27=39种不同的信号. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 防范措施 解决此类问题要仔细审题,正确理解题意.一般是先分类再分步,分类时要设计好标准,设计好分类方案,防止重复和遗漏,分步时要注意步与步之间的连续性. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 随堂练习 1.已知x∈{1,2,3,4},y∈{5,6,7,8},则xy的不同值的个数为(　　) A.2 B.4 C.8 D.15 解析:第一步,从集合{1,2,3,4}中选一个数,共有4种选法; 第二步,从集合{5,6,7,8}中选一个数,共有4种选法. 依据分步乘法计数原理,共有4×4=16种选法. 其中3×8=4×6,所以xy的不同值的个数为15. 答案:D 2.有A,B两种类型的车床各一台,现有甲、乙、丙三名工人,其中甲、乙都会操作A,B两种车床,丙只会操作A种车床,要从这三名工人中选两名分别去操作这两种车床,则不同的选派方法有(　　) A.6种 B.5种 C.4种 D.3种 解析:若选甲、乙,则有2种方法;若选甲、丙,则有1种方法;若选乙、丙,则有1种方法.根据分类加法计数原理,不同的选派方法有2+1+1=4种. 答案:C 3.（多选题）下列说法中正确的是(　　) A.4封信投入到3个不同的信箱共有43种不同的投法 B.从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除,得到不同的结果是排列问题 C.若(2-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则a0+a2+a4=122 D.连接正三棱柱的6个顶点,可以组成15个四面体 答案:BC 4.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有　　　　　个.  解析:根据题意,个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9共8种情况,分为8类,在每一类中满足题目要求的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个. 根据分类加法计数原理,符合题意的两位数共有1+2+3+4+5+6+7+8=36个. 答案:36 5.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,求有多少种不同的种植方法. 解:(方法一:直接法)若黄瓜种在第一块土地上,则有3×2×1=6种不同的种植方法. 同理,黄瓜种在第二块、第三块土地上,均有3×2×1=6种不同的种植方法. 依据分类加法计数原理,不同的种植方法共有6+6+6=18种. (方法二:间接法)从4种蔬菜中选出3种,种在三块土地上,种植方法有4×3×2=24种,其中不种黄瓜的种植方法有3×2×1=6种,故不同的种植方法共有24-6=18种. $$