5.2.1 任意角三角函数的定义（一）课件-2024-2025学年高一上学期中职数学人教版(2021)基础模块上册

5.2.1 任意角三角函数的定义（一） 1 思 维 导 图 任意角三角函数的定义 任意角三角函数的定义 sinα cosα tanα 现实世界中，许多运动、变化有着循环往复、周而复始的现象，例如：昼夜交替、四季变化、月亮圆缺，这种规律称为周期性。“三角函数”正是刻画这种变化的重要数学模型。 “月亮圆缺变化”示意图 三角函数是一种怎样的函数?它具有哪些性质?在解决具有周期性变化规律的问题时到底能发挥哪些作用呢? 背景引入 复习回顾 α 斜边 对边 斜边 思考与探究：如何将锐角三角函数推广到任意角？ 回顾：锐角三角函数的定义 4 问题探究 思考1：为了研究方便，我们把锐角α放到直角坐标系中，并使角α的顶点与坐标原点O重合，始边与X轴的非负半轴重合，在角α的终边上任取一点P，坐标为（a，b），设点 P 到原点的距离为 r，那么 、 、 的值分别如何表示呢？ X D O Y P(a,b) 思考2：对于确定的锐角α，上述三个比值是否随点P在角α终边上的位置的改变而改变呢？为什么？ r B C A 5 问题探究 已知  是任意角，P(x，y)，P' (x'，y')是角  的终边与两个半径不同的同心圆的交点，则由相似三角形对应边成比例得： P' P y x O x' y' r' y x r 由于点 P，P 在同一象限内，所以它们的坐标符号相同，因此得 结论： 所以当角  不变时，不论点 P 在角  的终边上的位置如何，这三个比值都是定值，只依赖于  的大小，与点 P 在 角  终边上的位置无关. 6 问题探究 任意角三角函数的定义： 已知任意角 ，设角的终边上的任意一点P（x，y），点 P 到原点的距离为 r，则： 比值 称为角 的余弦.记作 cos  比值 称为角 的正弦.记作 sin  比值 称为角 的正切.记作 tan  X M O Y P(x,y) 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.以上三种函数，统称为三角函数. 7 问题探究 03 在弧度制下三角函数的定义域: 三角函数 定义域 即:使比值有意义的角的集合,即为三角函数的定义域. 8 LENOVO (L) - 实例剖析 例1：已知角α的终边经过点P（2，-3），求角α的正弦、余弦和正切值。 解： O y x P（2，-3） 9 S3 求值 根据三角函数定义，求出角  的三角函数值． 三角函数求值 实例剖析 计算三角函数值的步骤： S1 画角 在直角坐标系中，作转角  ； S2 找点 在角的终边上任找一点P，并量出该点的横坐标和纵坐标； 实例剖析 例2：求下列各角的正弦、余弦和正切值。 （1） （2） (1)解：角 的终边在x轴正半轴上， 故我们可以在其终边上取点P（1，0） 这时 ,根据三角函数定义： O x y P(1,0) 11 实例剖析 例2：求下列各角的正弦、余弦和正切值。 （1） （2） (2)解：角 的终边在y轴负半轴上， 故我们可以在其终边上取点P（0，-1） 这时 ,根据三角函数定义： O x y P(0,-1) 12 归纳总结 05 1.任意角的三角函数 2.三角函数的定义域 三角函数 定义域 类比思想 数形结合思想 13 LENOVO (L) - $$