精品解析：山东省菏泽市中职学校2023-2024学年高二下学期期末数学试题

2023-2024学年22级第二学期期末考试 数学试题 1．本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟.考生请在答是卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2．本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01． 卷一（选择题60分） 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上） 1. 下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素和集合的关系，可判断A错误、C正确；根据空集的概念，可判断B错误；根据常见数集的关系可判断D错误. 【详解】根据元素和集合的关系，可得，故A错误、C正确； 根据空集的概念可知与不相等，故B错误； 根据常见数集的关系可判断，故D错误. 故选：C 2. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质或举特例即可判断. 【详解】对A：当时，不等式不成立，故A选项错误； 对B：若时，B选项错误； 对C：若时，C选项错误; 对D：由不等式的同向可加性，可知D选项正确. 故选：D. 3. 已知，若，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的实部与虚部对应相等列方程组求解即可. 【详解】由可得， ，解得， 所以. 故选：A. 4. 已知不等式的解集是，则实数的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值不等式的解集求解即可解得. 【详解】由题，不等式，即，解得， 又知不等式解集为，即，解得， 故选：B 5. 由数字可以组成无重复数字的三位奇数的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步计数原理，先排个位，再排十位和百位并运用排列数进行计算即可. 【详解】首先排个位，在三个数中任选一个，共有3种选法. 再排十位与百位，在余下的4个数中， 任选2个进行排列，共有种排法， 所以由数字可以组成无重复数字的三位奇数的个数为个， 故选：C. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 垂直于同一直线的两平面一定平行 B. 垂直于同一直线的两直线一定平行 C. 平行于同一直线的两平面一定平行 D. 垂直于同一平面的两平面一定平行 【答案】A 【解析】 【分析】对每个选项进行分析，找出反例即可排除，进而得出最终结果. 【详解】对于A选项：垂直于同一直线的两平面一定平行，正确， 对于B选项：垂直于同一直线的两直线也可能相交，错误， 对于C选项：平行于同一直线的两平面也可能相交，错误， 对于D选项：垂直于同一平面的两平面也可能相交，错误. 故选：A. 7. “”是“恒成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】先求出“恒成立”时的范围，再根据充分条件和必要条件的概念进行分析，即可求解. 【详解】时,不等式，即恒成立，因此满足条件. 时,不等式恒成立”,有， 解得， 综上不等式恒成立的解为， ∴“”是“不等式恒成立”既不充分不必要条件. 故选：D. 8. 将4名医生安排到3个社区进行义诊，要求每个社区至少一名医生，每位医生只能到一个社区，则不同的安排种数是（ ） A. 24 B. 36 C. 64 D. 81 【答案】B 【解析】 【分析】分两步，先将4名医生分成三组，再安排到3个社区，据此可求解. 【详解】从4名医生分成2，1，1三组，有种方法， 再将这三组安排到3个社区，共有种方法， 所以不同的安排种数为：（种）. 故选：B. 9. 已知复数，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义及复数的运算法则求出，然后根据复数模的计算公式即可求解. 【详解】因为复数， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 10. 李明五一假期骑行去A地旅游，因路途遥远，骑行一段时间后中途休息，然后再继续骑行到达A地，假设李明骑行过程中始终保持匀速（不考虑其他因素），则李明距离A地的路程关于出行时间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的表示方法即可求解. 【详解】由题可知，每个选项的图象表示距离A地的路程关于出行时间的函数， 第一段：往A地匀速骑行了一段时间， 所以开始（）出发的时候等于到A地的距离，所以不可能为，故排除ACD. 第二段：休息了一段时间，故此段时间离A地的距离不变， 第三段：再继续匀速到达A地，离A地越来越接近，最后到达A地，即此时. 综上，根据变化趋势选项B符合题意. 故选：B. 11. 已知直线平面，直线平面，则下列选项中结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系即可解得. 【详解】选项A：若，则，又，则，错误， 选项B：若，则两直线位置关系不确定，错误， 选项C：若，则，又，则，正确， 选项D：若，则两平面位置关系不确定，错误. 故选：C 12. 6名同学分成两组，每组3人，进行知识竞赛，则不同的分组种数是（ ） A. 20 B. 10 C. 60 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均分组的方法求解. 【详解】将6名同学平均分成两组，不同的分组种数是（种）. 故选：B 13. 已知函数在定义域上单调递减，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单调性并结合题干信息列出关系式，即可求解. 【详解】因为在上单调递减，， 所以. 故选：A. 14. 已知，若复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. 3 B. 或3 C. D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念列方程求解即可得出实数的值. 【详解】已知复数是纯虚数， 所以，解得. 故选：C. 15. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.3 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性可求解. 【详解】由题意可知， . 故选：D 16. 已知长方体中，，点分别是和的中点，则直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，在长方体中，可得四边形是平行四边形，从而，即（或其补角）为所求，在中，根据余弦定理可求解. 【详解】 如图，连接， 在长方体中，点分别是、的中点， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以，即直线与所成角就是直线与所成角，（或其补角）为所求. 在中，， 所以； 在中，， 所以； 在长方体中，平面，平面， 所以. 在中，， 所以. 在中，， 所以直线与所成角的余弦值是. 故选：A 17. 已知实系数一元二次方程的一个根为，则的值是（ ） A. B. C. 16 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】由实系数一元二次方程两根的特点和韦达定理可求解. 【详解】因为实系数一元二次方程的一个根为， 所以另一根为. 由韦达定理可得， ，， 解得，所以. 故选：C 18. 已知二面角的平面角大小为，点在半平面内，已知点到半平面的距离为，则点到棱的距离是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作半平面的垂线，垂足为，作直线的垂线，垂足为，连接，根据线面垂直的判定定理证明出平面，再根据二面角的概念得出为二面角的平面角，最后根据题意结合三角函数的定义即可求值. 【详解】如图，过点作半平面的垂线，垂足为， 作直线的垂线，垂足为，连接， 因为平面，所以，又， 且为平面中的两条相交直线， 所以平面，因为平面， 所以，则为二面角的平面角， 所以，由点到半平面的距离为， 可得，则点到棱的距离即. 故选：C. 19. 已知变量的观察数据如下表，且关于的回归直线方程为，则实数等于（ ） 1 2 3 4 1.2 2.3 3.1 3.8 A. 2 B. 2.1 C. 2.5 D. 2.6 【答案】B 【解析】 【分析】根据表中数据可求出和，然后代入回归方程，即可求解. 【详解】由表中数据可知：，， 将这两个数据代入回归直线方程可得：，所以. 故选：B. 20. 某会议室的第二排个座位，现有3名与会人员被安排在第二排就坐，可在个座位中自主选择就坐，则至少有2名与会人员坐在相邻位置的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出个座位坐3名与会人员的总的基本事件的个数，再求得这3名与会人员互不相邻的基本事件的个数，从而利用间接法与古典概型的概率公式即可得解. 【详解】已知共有个座位，有3名与会人员， 则从个座位选3个坐共有个基本事件， 当这3名与会人员互不相邻时，相当于将3个元素插到8个空中，共有个基本事件， 所以至少有2名与会人员坐在相邻位置的基本事件有个， 则所求概率为. 故选：A. 卷二（非选择题60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 函数的定义域是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，在中，列不等式组可求解. 【详解】要使函数有意义，则有 ，解得且. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 22. 在复平面内，是原点，向量，若点关于虚轴的对称点为点，则向量对应的复数为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，先得点坐标，再求出坐标，据此可得出结果. 【详解】因为向量对应的复数是，即， 所以点关于虚轴的对称点为， 所以向量对应的复数是． 故答案为： 23. 已知随机变量，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项分布概率公式计算即可. 【详解】已知随机变量服从二项分布，则. 故答案为：. 24. 已知一组容量为8的样本数据的平均数是5，且样本数据的平方和是280，则这组数据的方差是______. 【答案】（高教版）；10（人教版） 【解析】 【分析】利用样本方差的计算公式即可求解. 【详解】解法一（对应高教版）：根据题意，结合高教版样本标准差的计算公式 ， . 解法二（对应人教版）：根据题意，结合人教版样本标准差的计算公式 ， . 故答案为：（高教版）；10（人教版）. 25. 已知二项式的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的常数项是______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用二项式系数的性质求得，再利用二项式展开式的通项公式即可得解. 【详解】由题，二项式展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则，故， 则二项式的展开式的通项公式为， 令，解得，则. 故答案为：. 三、解答题（本大题5个小题，共40分） 26. 已知函数是偶函数，且． （1）若，求值； （2）若，求函数的解集． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知及偶函数的性质可得，据此可求解； （2）根据一元二次不等式的解法可得结果. 【小问1详解】 因为，则，所以， 因为函数是偶函数，则， 所以； 【小问2详解】 若，则， 则，即， 不等式可化为，解得， 所以函数的解集是. 27. 已知袋中有10个球，其中7个红球，3个黑球，从中任取3球． （1）写出取到红球个数的分布列； （2）求出红球个数的数学期望． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先列出取到红球个数的所有可能情况，依次计算出其概率，最后列出分布列. （2）根据分布列中的数据计算出数学期望即可. 【小问1详解】 由题意可知，可以为0，1，2，3， 所以，， ， ，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 【小问2详解】 X的数学期望． 28. 如图所示，在直三棱柱中，分别为的中点，. （1）证明：平面. （2）求与平面所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）做辅助线构造平行四边形，根据线面平行的判定证明即可； （2）根据已知条件先找出与平面所成的角，再计算其正切值. 【小问1详解】 取AB的中点为F点，连接，DF，如图， 在中，D，F分别为的中点， 所以为的中位线，即，， 因为在直三棱柱中，E是的中点，且， 所以 所以有且， 故四边形为平行四边形，有， 又因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）得：， 所以与平面所成的角，即为与平面所成的角， 因为平面， 所以是在平面上的射影， 所以是与平面所成的角， 在中，， 因为，，所以， 所以， 即与平面所成角的正切值为2. 29. 已知二次函数的图像在轴上的截距是5，若对于任意的实数，都有，且过点． （1）求二次函数解析式； （2）求函数的增区间、减区间、顶点坐标和最值． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据二次函数对称轴和函数图像上的点即可解得. （2）根据二次函数的单调性和最值即可解得. 【小问1详解】 由题意得，函数图像在y轴上的截距是5，则函数过点， 由，可知函数图像的对称轴是，即， 又因为过点，则，解得， 所以，函数解析式为． 【小问2详解】 由（1）得函数解析式为，且函数图像的对称轴是，且函数图像开口向下， 所以函数的增区间是， 减区间是， 时，，所以顶点坐标为， 函数有最大值，无最小值. 30. 如图所示，正方体的棱长为1． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直证明线线垂直，再由线线垂直证明线面垂直即可证得. （2）根据线面垂直证明线线垂直，找出二面角的平面角解三角形即可解得. 【小问1详解】 证明：连接，则在正方体中，， 因为平面，平面，所以， 又，平面，平面，所以平面， 因为平面，所以， 同理，连接，可证得平面，因为平面， 所以， 又，面，面， 所以平面． 【小问2详解】 连接交于点O，连接，则． 又，O为的中点，所以，． 所以即为二面角的平面角． 因为平面，平面，所以． 因为正方体的棱长为1，则， 在中，， 所以二面角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年22级第二学期期末考试 数学试题 1．本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟.考生请在答是卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2．本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01． 卷一（选择题60分） 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上） 1. 下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，若，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 4 4. 已知不等式的解集是，则实数的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 由数字可以组成无重复数字的三位奇数的个数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 垂直于同一直线的两平面一定平行 B. 垂直于同一直线的两直线一定平行 C. 平行于同一直线的两平面一定平行 D. 垂直于同一平面的两平面一定平行 7. “”是“恒成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 将4名医生安排到3个社区进行义诊，要求每个社区至少一名医生，每位医生只能到一个社区，则不同的安排种数是（ ） A. 24 B. 36 C. 64 D. 81 9. 已知复数，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 李明五一假期骑行去A地旅游，因路途遥远，骑行一段时间后中途休息，然后再继续骑行到达A地，假设李明骑行过程中始终保持匀速（不考虑其他因素），则李明距离A地的路程关于出行时间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 11. 已知直线平面，直线平面，则下列选项中结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 12. 6名同学分成两组，每组3人，进行知识竞赛，则不同的分组种数是（ ） A. 20 B. 10 C. 60 D. 120 13. 已知函数在定义域上单调递减，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 14. 已知，若复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. 3 B. 或3 C. D. 2或 15. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.3 16. 已知长方体中，，点分别是和的中点，则直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 17. 已知实系数一元二次方程的一个根为，则的值是（ ） A. B. C. 16 D. 24 18. 已知二面角的平面角大小为，点在半平面内，已知点到半平面的距离为，则点到棱的距离是（ ） A. B. C. 2 D. 19. 已知变量的观察数据如下表，且关于的回归直线方程为，则实数等于（ ） 1 2 3 4 1.2 2.3 3.1 3.8 A. 2 B. 2.1 C. 2.5 D. 2.6 20. 某会议室的第二排个座位，现有3名与会人员被安排在第二排就坐，可在个座位中自主选择就坐，则至少有2名与会人员坐在相邻位置的概率是（ ） A. B. C. D. 卷二（非选择题60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 函数的定义域是______． 22. 在复平面内，是原点，向量，若点关于虚轴的对称点为点，则向量对应的复数为________． 23. 已知随机变量，则______． 24. 已知一组容量为8的样本数据的平均数是5，且样本数据的平方和是280，则这组数据的方差是______. 25. 已知二项式的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的常数项是______． 三、解答题（本大题5个小题，共40分） 26. 已知函数是偶函数，且． （1）若，求值； （2）若，求函数的解集． 27. 已知袋中有10个球，其中7个红球，3个黑球，从中任取3球． （1）写出取到红球个数的分布列； （2）求出红球个数的数学期望． 28. 如图所示，在直三棱柱中，分别为的中点，. （1）证明：平面. （2）求与平面所成角的正切值. 29. 已知二次函数的图像在轴上的截距是5，若对于任意的实数，都有，且过点． （1）求二次函数解析式； （2）求函数的增区间、减区间、顶点坐标和最值． 30. 如图所示，正方体的棱长为1． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $