数列-河北省部分市2023-2024学年高三下学期数学模拟试题分类汇编

河北省部分市2023-2024学年下学期高三模拟试题分类汇编 ----数列 一、单选题 1．（2024·河北衡水·三模）已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 2．（2024·河北张家口·三模）已知数列为等比数列，，则（    ） A．28 B．32 C．36 D．40 3．（2024·河北保定·三模）已知在等差数列中，，公差.若数列也是等差数列，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024·河北石家庄·三模）已知等差数列的前项和为，则（    ） A．25 B．27 C．30 D．35 5．（2024·河北唐山·二模）已知数列满足，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024·河北秦皇岛·二模）将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，则的前30项的和为（    ） A．3255 B．5250 C．5430 D．6235 7．（2024·河北邢台·二模）某统计数据共有13个样本，它们依次成公差的等差数列，若第60百分位数为30，则它们的平均数为（    ） A．19 B．25 C．21 D．23 8．（2024·河北邢台·二模）已知等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则的第5项为（    ） A． B． C．或1 D．或1 9．（2024·河北沧州·一模）在等比数列中，，，则（    ） A．36 B．32 C．16 D．12 10．（2024·河北廊坊·模拟预测）已知，且数列是等比数列，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 11．（2024·河北邯郸·三模）已知等比数列的各项互不相等，且，，成等差数列，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 12．（2024·河北衡水·模拟预测）已知数列是公差为的等差数列，若它的前项的和，则下列结论正确的是（    ） A．若，使的最大的值为 B．是的最小值 C． D． 13．（2024·河北沧州·模拟预测）设等差数列的前n项和为，e是自然对数的底数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，，，是等差数列 B．数列是等比数列 C．数列是等差数列 D．当p，q均为正整数且时， 14．（2024·河北承德·二模）对于给定的数列，如果存在实数，使得对任意成立，我们称数列是“线性数列”，则下列说法正确的是（    ） A．等差数列是“线性数列” B．等比数列是“线性数列” C．若且，则 D．若且，则是等比数列的前项和 15．（2024·河北石家庄·二模）已知数列的通项公式为，前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．数列有最小项，且有最大项 B．使的项共有项 C．满足的的值共有个 D．使取得最小值的为4 三、填空题 16．（2024·河北邢台·二模）已知数列为等比数列，，，则 ． 17．（2024·河北衡水·模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，若有，使得，则数列的公比为 . 18．（2024·河北邯郸·模拟预测）记为等比数列的前项的和，若，，则 . 19．（2024·河北石家庄·三模）已知数列满足：，定义：表示整数除以4的余数与整数除以4的余数相同，例：．设，其中，数列的前项和为，则 ；满足的最小值为 ． 四、解答题 20．（2024·河北张家口·二模）如果项数相同的数列满足，且为奇数时，；为偶数时，，其中，那么就称为“互补交叉数列”，记为的“互补交叉数列对”，为的前项和. (1)若，且，写出所有满足条件的“互补交叉数列对"； (2)当为“互补交叉数列”时， （i）证明：取最大值时，存在； （ii）当为偶数时，求的最大值. 21．（2024·河北秦皇岛·三模）“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍.寻找“完全数”需要用到函数，记函数，为的所有正因数之和. (1)判断28是否为完全数，并说明理由. (2)已知，若为质数，证明：为完全数. (3)已知，求，的值. 22．（2024·河北邢台·二模）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 23．（2024·河北衡水·三模）已知数列满足：． (1)请写出的值，给出一个你的猜想，并证明； (2)设，求数列的前项和． 24．（2024·河北沧州·三模）已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 25．（2024·河北承德·二模）已知正项数列的前项和为，满足，数列满足，. (1)写出，并求数列的通项公式； (2)记为数列在区间中的项的个数，求数列的前项和. 参考答案： 1．A 【分析】根据题意，利用得出数列的性质和得出数列的求和公式，准确计算，即可求解. 【详解】因为数列均为等差数列，可得， 且，又由，可得． 因此. 故选：A． 2．C 【分析】根据已知求得，然后利用下标和性质化简，结合对数恒等式可得. 【详解】记数列的公比为，由题知， 则， 所以. 故选：C 3．C 【分析】依题意可得，即可表示出，根据数列为等差数列得到，解得即可. 【详解】依题意，则， 则， 又是等差数列，所以，解得或（舍去）. 故选：C. 4．A 【分析】借助等差数列及其前项和的性质计算可得公差，结合等差数列求和公式计算即可得. 【详解】设等差数列的公差为，则有， 又，则，解得， 则. 故选：A. 5．D 【分析】由题意可得，由累加法可得，进而可求. 【详解】由题意可得， 则可得， ， ， 将以上等式左右两边分别相加得， ，即， 又，所以. 故选：D. 6．C 【分析】根据等差数列的特点得到数列和数列均为等差数列，然后令，得到，然后通过列举得到数列为等差数列，最后利用等差数列求和公式计算即可. 【详解】显然数列和数列均为等差数列， 令，其中， 可得，则， 则数列为等差数列，且，公差为， 所以的前30项的和为. 故选：C. 7．B 【分析】先确定第60百分位数是从小到大的第个数，然后利用及等差数列性质即得答案. 【详解】解关于整数的不等式组可得，所以. 由于，故由已知有. 由于成等差数列，所以. 故选：B. 8．B 【分析】设等差数列的公差为，根据题意列出方程，求得，结合等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列， 所以， 又，所以， 解得或（舍） ， 所以. 故选：B 9．A 【分析】利用等比数列的通项公式化简，解得，即可求出数列的通项公式，进而求出. 【详解】因为数列为等比数列，所以化为， 解得，又因为，所以，所以， 所以. 故选：A 10．B 【分析】利用充分必要条件的判定及等比数列通项公式验证即可. 【详解】设等比数列的公比为， 若，则，因为不等于0， 所以，若时，无法得出， 所以“”不是“”的充分条件； 若“”，则， 所以“”是“”的必要条件. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 11．D 【分析】设等比数列的公比为，根据等差中项的性质及等比数列通项公式得到方程求出，即可得解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，成等差数列，所以，即， 所以，解得或（舍去）， 所以． 故选：D 12．ACD 【分析】由题设可推得，对于A，由，推断即得，对于B，利用A结论，举反例可排除B，对于C，D两项，采用作差法，利用和等差数列的基本量运算即可判断. 【详解】由题意，，因，则（*）， 对于A，因，则，由（*）知， 故使的最大的值为，即A正确； 对于B，若，由A项知，， 即数列的前项都是正数项，第项起都是负数项， 即此时是的最大值，即B错误； 对于C，由 ， 因，， 故上式的值为0，即，故C正确； 对于D，由 ， 由C分析知，且， 故上式的值也为0，即，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键，是要注意弄清等差数列的前项和与项的转化关系，如此题中由推出，再结合数列的公差、首项信息进行分析判断即可，在推理时，还要灵活运用等差数列的项之间的关系替换转化解题. 13．BCD 【分析】利用等差数列和等比数列的定义可判定A,B,C选项，利用等差数列的求和可判定D选项. 【详解】对于A，令，则，， 当时，，即， 所以，，不是等差数列，故A错误； 对于B，设的公差为d，则（定值）， 所以是公比为的等比数列，故B正确； 对于C，，故是公差为的等差数列，故C正确； 对于D，， ， 所以，故D正确． 故选：BCD． 14．AB 【分析】对A，B根据“线性数列”的定义进行判断；由构造法，根据数列递推公式求出通项公式可判断C; 设且，可判断D错误. 【详解】数列为等差数列，则，即， 满足“线性数列”的定义，故A正确； 数列为等比数列，则，即， 满足“线性数列”的定义，故B正确； 设，则，解出， 则，因此，故错误； 若且，则， 数列的前项和为0，显然D错误. 故选：. 15．ABD 【分析】首先利用作差法判断单调性，列出数列的前几项，再结合各选项一一判断即可. 【详解】因为，所以， 令，即，解得， 又，所以当时， 则当或时， 令，解得， 所以，， 所以数列有最小项，且有最大项，故A正确； 由，则又，所以或或或或， 所以使的项共有项，故B正确； 要使，又，所以、、中有个负数或个负数， 所以或或，故满足的的值共有个，故C错误； 因为时，时， 所以当为时取得最小值，故D正确. 故选：ABD 16．/ 【分析】由已知条件求出数列的公比，再将代入原式即可得解. 【详解】设公比为，则，所以，从而. 故答案为：. 17．/ 【分析】依题意可得，依题意可判断且，从而得到，即可得解. 【详解】因为，， 所以， 即. 依题意且，且， 所以，故. 故答案为： 18． 【分析】由等比数列的求和公式和等比数列的性质进行计算即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，由题意可得， 由，可得，解得， 又，即，所以， 同理，，，， 因为， 所以. 故答案为： 19． 2 40 【分析】由，可得当为的倍数时，也是的倍数， 当不为的倍数时，也不是的倍数，则得当是4的倍数时，，当不是4的倍数时，，即可得，取，计算出后，再计算及即可得解. 【详解】由，则，， 则、、都不是的倍数，是的倍数， ，不是的倍数，，不是的倍数， ，不是的倍数， ，是的倍数， 依次可得当为的倍数时，也是的倍数， 当不为的倍数时，也不是的倍数， 由， 则有当是4的倍数时，，当不是4的倍数时，，则； 当， ， 当，即时，有， ， 故满足的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助题意，得到当是4的倍数时，，当不是4的倍数时，，从而可通过计算当时的. 20．(1)答案见解析 (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据所给定义列出符合题意的“互补交叉数列对"； （2）（i）假设存在，使且为奇数，不妨设，当存在为偶数），使得，对其进行一次变换，推出矛盾；若对任意的为偶数），都有，还是进行一次变换得到与上一种情况相同的问题，即可得证；（ii）令，记为的前项和，推导出，又，可得，再列出符合题意的“互补交叉数列对"，使得，即可得解. 【详解】（1）因为，且时， 则满足条件的“互补交叉数列对”分别为. （2）（i）证明：若取最大值时，存在，使， 由题意知为奇数，不妨设. ①若存在为偶数），使得，则让的值变为初始的值，让的值变为， 这样所得到的新数列也是“互补交叉数列”， 但调整后的的前项和，与题设取最大值矛盾，所以存在； ②若对任意的为偶数），都有，交换让的值变为初始的值， 再让的值变为初始的值，所得到的新数列和也是“互补交叉数列”，此时转化为①的情况； 综上可知，存在正整数，使得. （ii）当为偶数时，令，对任意满足条件的“互补交叉数列对”， 一方面，， 因此①， 另一方面，， 因此， 即②， 记为的前项和，由①②得； 又，可得； 又“数列对”是“互补交叉数列对”， 且， 综上可知，当为偶数时，的最大值为. 【点睛】关键点点睛：对于新定义型问题，解答的关键是理解所给定义，第二问关键是推导出，从而得到. 21．(1)28是完全数，理由见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）根据完全数的概念求解即可； （2）根据完全数的概念结合等比数列求和公式计算证明即可； （3）根据完全数的概念结合等比数列求和公式计算求解即可. 【详解】（1）28的所有正因数为1，2，4，7，14，28， 因为，所以28是完全数. （2）的正因数为，，，，，，，，，， ， 所以为完全数. （3）的正因数为，，，，，，，，，，，，，，，， 所以. 因为， 所以 . 22．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先根据，探索的结构特点，再根据等比数列的通项公式求； （2）由（1）可知，再利用放缩法证明结论. 【详解】（1）当时，. 当时，，，两式相减得： . 所以是以为首项，以为公比的等比数列. 所以. （2）由（1）知： 所以. 当时，， 当时，，故， 所以. 23．(1)，，猜想是以1为首项，为公比的等比数列，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，求得的值，猜想得到为等比数列，结合等比数列的定义，作出证明即可； （2）由（1），结合累加法求得，得到，利用等差数列的求和公式和乘公比错位相减法求和，即可求解. 【详解】（1）解：因为，可得，，， 因此猜想是以1为首项，为公比的等比数列； 下面证明： 因为，即， 又因为，故是以1为首项，为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为． （2）解：由（1）知，当时，， 累加得， 所以， 当时，满足题意，所以对成立； 故，可得 其中， 设，则， 两式相减得，即， 综上可得，数列的前项和． 24．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由数列的递推公式，利用累乘法即可求解； （2）对进行不等式放缩，即可证明不等式. 【详解】（1），，， ，两式相除，得， 当，时，，，即； 当，时，，，即， 综上所述，数列的通项公式为； （2）， ， 又， . 25．(1) (2) 【分析】（1）由题可得，根据结合条件可得，然后根据等差数列的概念及通项公式即得； （2）根据条件可得，进而可得，然后根据等比数列求和公式即得. 【详解】（1）由可得， 又，， 所以， 当为偶数时，令，则， 所以数列是以为首项，以2为公差的等差数列， 所以； 当为奇数时，令，则， 所以数列是以为首项，以2为公差的等差数列， 所以； 综上所述，； （2）由（1）得，则， 由，可得， 因为是一个递增数列，所以， 故，， 故数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$