3.1.1 基本计数原理课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

人教B版 数学 选择性必修第二册 第三章　排列、组合与二项式定理 3.1.1　基本计数原理 课标定位素养阐释 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题. 3.体会数学抽象的过程,提升数学建模和数学运算素养. 自主预习 新知导学 一、分类加法计数原理 1.一名游客某天从A地出发到B地游玩,已知从A地到B地每天飞机有7班,火车有6班. (1)该游客这一天从A地到B地的方法可分几类? 提示:两类,即乘飞机、坐火车. (2)这几类中各有几种方法? 提示:第一类(乘飞机)有7种方法,第二类(坐火车)有6种方法. (3)该游客这一天从A地到B地共有多少种不同的方法? 提示:共有7+6=13种不同的方法. 2.分类加法计数原理:完成一件事,如果有n类办法,且:第一类办法中有m1种不同的方法,第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N= m1+m2+…+mn 种不同的方法. 3.从甲地到乙地每天汽车有8班,火车有2班,轮船有3班,某人某天从甲地到乙地,不同方法的种数为(　　) A.13 B.16 C.24 D.48 解析:由分类加法计数原理,可知不同方法的种数为8+2+3=13. 答案:A 二、分步乘法计数原理 1.一名游客某天从A地出发到B地游玩,但中途需在C地停留,已知从A地到C地每天飞机有7班,从C地到B地每天火车有6班. (1)该游客这一天从A地到B地需要经历几个步骤? 提示:两个步骤,即第一步,从A地乘飞机到C地;第二步,从C地坐火车到B地. (2)完成每一步各有几种方法? 提示:第一步有7种方法,第二步有6种方法. (3)该游客这一天从A地到B地共有多少种不同的方法? 提示:共有7×6=42种不同的方法. 不同的方法,做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N= m1×m2×…×mn 种不同的方法. 基本计数原理:分类加法计数原理和分步乘法计数原理合称为基本计数原理. 3.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤,若1件上衣与1条长裤配成一套,则不同的搭配种数为(　　) A.7 B.12 C.64 D.81 解析:分两步:第一步,选上衣,从4件上衣中任选1件,有4种不同的选法;第二步,选长裤,从3条长裤中任选1条,有3种不同的选法. 依据分步乘法计数原理,共有4×3=12种不同的搭配. 答案:B 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)在分类加法计数原理中,每一类方案中的每一种方法都能完成这件事.( √ ) (2)分步乘法计数原理中的每个步骤都能完成这件事.( × ) (3)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.( × ) 合作探究 释疑解惑 探究一 分类加法计数原理的应用 【例1】 某校高三共有三个班,各班人数如下表. 班级 男生人数 女生人数 总人数 高三(1)班 30 20 50 高三(2)班 20 30 50 高三(3)班 35 15 50 (1)从三个班的学生中选1名学生任学生会主席,有多少种不同的选法? (2)从高三(1)班、(2)班的男生中或从高三(3)班的女生中选1名学生任学生会生活部部长,有多少种不同的选法? 探究一 探究二 探究三 易错辨析 解:(1)从三个班的学生中选1名学生任学生会主席,共有三类不同的方案: 第一类,从高三(1)班的学生中选1名学生,有50种不同的选法; 第二类,从高三(2)班的学生中选1名学生,有50种不同的选法; 第三类,从高三(3)班的学生中选1名学生,有50种不同的选法. 根据分类加法计数原理,从三个班的学生中选1名学生任学生会主席,共有50+50+50=150种不同的选法. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 (2)从高三(1)班、(2)班的男生中或从高三(3)班的女生中选1名学生任学生会生活部部长,共有三类不同的方案: 第一类,从高三(1)班的男生中选1名学生,有30种不同的选法; 第二类,从高三(2)班的男生中选1名学生,有20种不同的选法; 第三类,从高三(3)班的女生中选1名学生,有15种不同的选法. 根据分类加法计数原理,从高三(1)班、(2)班的男生中或从高三(3)班的女生中选1名学生任学生会生活部部长,共有30+20+15=65种不同的选法. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 利用分类加法计数原理计数时的解题流程 反思感悟 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练1】 已知a,b∈{-1,0,1,2},则使关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为(　　) A.14 B.13 C.12 D.10 解析:当a=0时,b取任意实数,关于x的方程都有实数解;当a≠0时,要使关于x的方程有实数解,需满足Δ≥0,即4-4ab≥0,整理得ab≤1. 故当a=-1时,b=-1,0,1,2; 当a=0时,b=-1,0,1,2; 当a=1时,b=-1,0,1; 当a=2时,b=-1,0. 故满足题意的有序数对(a,b)的个数为4+4+3+2=13. 答案:B 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究二 分步乘法计数原理的应用 【例2】 一种号码锁从左到右有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个不同的号码?(各拨号盘上的数字允许重复) 解:按从左到右的顺序拨号可以分四步: 第一步,有10种拨号方式; 第二步,有10种拨号方式; 第三步,有10种拨号方式; 第四步,有10种拨号方式. 根据分步乘法计数原理,可以组成10×10×10×10=10 000个不同的号码. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 延伸探究 在例2中,若各拨号盘上的数字不允许重复,则这4个拨号盘可以组成多少个不同的号码? 解:按从左到右的顺序拨号,可以分四步: 第一步,有10种拨号方式; 第二步,去掉第一步拨的数字,有9种拨号方式; 第三步,去掉前两步拨的数字,有8种拨号方式; 第四步,去掉前三步拨的数字,有7种拨号方式. 根据分步乘法计数原理,可以组成10×9×8×7=5 040个不同的号码. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 反思感悟 利用分步乘法计数原理解决问题的特点和注意点 (1)能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点: ①完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可; ②完成每一步都有若干种方法; ③把完成各个步骤的方法数相乘,就可以得到完成这件事的所有方法数. (2)利用分步乘法计数原理应注意: ①要按事情发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的; ②“步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的,但也不能重复、交叉; ③若完成某件事情需n步,则必须依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练2】 用1,2,3,4,5可以排成 个数字不重复且为偶数的三位数. 解析:第一步,确定个位上的数字,有2种方法; 第二步,确定十位上的数字,去掉个位上已选的数字,有4种方法; 第三步,确定百位上的数字,去掉个位和十位上已选的数字,有3种方法. 根据分步乘法计数原理,可以排成数字不重复且为偶数的三位数的个数为2×4×3=24. 答案:24 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究三 基本计数原理的应用 【例3】 小华同学有课外参考书若干本,其中有5本不同的外语书,4本不同的数学书,3本不同的物理书,他欲带参考书到图书馆阅读. (1)若他从这些参考书中带1本去图书馆,有多少种不同的带法? (2)若他带外语、数学、物理参考书各1本,有多少种不同的带法? (3)若他从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆,有多少种不同的带法? 探究一 探究二 探究三 易错辨析 解:(1)分三类:第一类,带1本外语书,有5种带法;第二类,带1本数学书,有4种带法;第三类,带1本物理书,有3种带法.根据分类加法计数原理,不同的带法共有5+4+3=12种. (2)分三步:第一步,带1本外语书,有5种带法;第二步,带1本数学书,有4种带法;第三步,带1本物理书,有3种带法.根据分步乘法计数原理,不同的带法共有5×4×3=60种. (3)带外语书、数学书各1本,有5×4=20种带法;带外语书、物理书各1本,有5×3=15种带法;带数学书、物理书各1本,有4×3=12种带法.根据分类加法计数原理,不同的带法共有20+15+12=47种. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 反思感悟 1.解题之前,可以先考虑要完成的这件事是什么,怎样做才算完成这件事,再给出完成这件事的一种或几种方法,从这几种方法中归纳出解题方法. 2.分类时标准要明确,做到不重不漏,有时还可以恰当地画出示意图,使问题的分析更直观、清楚,便于探索规律. 3.综合问题要分清是先分类再分步,还是先分步再分类. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练3】 在7名学生中,有3名只会下象棋,有2名只会下围棋,另2名既会下象棋又会下围棋.现在从这7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛,共有多少种不同的选法? 解:选参加象棋比赛的学生有两类方法,在只会下象棋的3人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选;选参加围棋比赛的学生也有两类选法,在只会下围棋的2人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选.互相搭配,可得四类不同的选法. 第一类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,有3×2=6种选法; 第二类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,有3×2=6种选法; 探究一 探究二 探究三 易错辨析 第三类,从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛,有2×2=4种选法; 第四类,2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛,有2种选法. 依据分类加法计数原理,共有6+6+4+2=18种选法. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【易错辨析】 分不清“分类”还是“分步”而致误 【典例】 某体育场南侧有4个大门,北侧有3个大门,小李到该体育场看比赛,则他进、出该体育场的方案有(　　) A.12种 B.7种 C.14种 D.49种 错解:由题意知,小李进该体育场有7种不同的方案,出该体育场有7种不同的方案,故依据分类加法计数原理,他进、出该体育场共有7+7=14种不同的方案. 答案:C 探究一 探究二 探究三 易错辨析 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 提示:错误的根本原因是没有分清小李完成进、出该体育场的过程是分类还是分步,实际上小李到该体育场看比赛,他进、出该体育场的过程分两步:第一步,进该体育场,第二步,出该体育场. 正解:完成进、出该体育场这件事,需要分两步: 第一步,进该体育场,共有4+3=7种方法; 第二步,出该体育场,共有4+3=7种方法. 依据分步乘法计数原理,小李进、出该体育场的方案有7×7=49种. 答案:D 探究一 探究二 探究三 易错辨析 防范措施 利用基本计数原理解决问题时,首先要弄清是“分类”还是“分步”,其次要做到分类时不重不漏,分步时步骤完整. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 随堂练习 1.已知a∈{3,4,6},b∈{1,2},r∈{1,4,9,16},则方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示的不同圆的个数是(　　) A.6 B.9 C.16 D.24 解析:确定圆的方程可分为三步:第一步,确定a,有3种选法;第二步,确定b,有2种选法;第三步,确定r,有4种选法.由分步乘法计数原理,得不同圆的个数为3×2×4=24. 答案:D 2.若x,y∈N+,且x+y≤5,则有序数对(x,y)的个数为(　　) A.6 B.8 C.9 D.10 解析:当x=1时,y=1,2,3,4,共构成4个有序数对; 当x=2时,y=1,2,3,共构成3个有序数对; 当x=3时,y=1,2,共构成2个有序数对; 当x=4时,y=1,共构成1个有序数对. 根据分类加法计数原理,有序数对共有4+3+2+1=10个. 答案:D 答案:ABC 4.某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明,有7名学生只会用综合法证明,有5名学生只会用分析法证明,现任选1名学生证明这个问题,不同的选法种数为　　　　　.  解析:选1名学生证明这个问题,共有两类不同的方案: 第一类,从7名只会用综合法证明的学生中选出1名学生,有7种不同的选法; 第二类,从5名只会用分析法证明的学生中选出1名学生,有5种不同的选法. 依据分类加法计数原理,共有7+5=12种不同的选法. 答案:12 5.从0,1,2,3,4,5,6这七个数中任取两个不同的数a,b组成复数a+bi,其中纯虚数有　　　　　个,虚数有　　　　　个.  解析:第一步取a,只有1种方法;第二步取b,有6种方法. 根据分步乘法计数原理,纯虚数有1×6=6个. 第一步取b,有6种方法;第二步取a,也有6种方法. 根据分步乘法计数原理,虚数有6×6=36个. 答案:6　36 6.有不同的红球8个,不同的白球7个. (1)从中任意取出1个球,有多少种不同的方法? (2)从中任意取出2个不同颜色的球,有多少种不同的方法? 解:(1)依据分类加法计数原理,从中任意取出1个球,有8+7=15种不同的方法. (2)依据分步乘法计数原理,从中任意取出2个不同颜色的球,有8×7=56种不同的方法. 3.（多选题）对于m,n∈N+,下列排列组合数结论正确的是(　　) A. B. C. D.=(m+1) $$