平面解析几何-河北省部分市2023-2024学年高三下学期数学模拟试题分类汇编

河北省部分市2023-2024学年下学期高三模拟试题分类汇编 ----平面解析几何 一、单选题 1．（2024·河北衡水·三模）已知双曲线：，圆与圆的公共弦所在的直线是的一条渐近线，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 2．（2024·河北石家庄·三模）已知双曲线的实半轴长为，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北保定·二模）已知双曲线的离心率为方程的解，则的渐近线的斜率的绝对值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知双曲线：，O为坐标原点，、分别为的左、右焦点，点P在双曲线上，且轴，M在外角平分线上，且.若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 5．（2024·河北张家口·三模）已知双曲线的方程为，则该双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 6．（2024·河北保定·三模）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·河北保定·三模）已知是椭圆：上一点，，分别为的左、右焦点，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 8．（2024·河北沧州·三模）已知抛物线的焦点为，斜率为的直线经过点与抛物线交于两点，为坐标原点，若的面积为，则（    ） A．1 B． C． D．2 9．（2024·河北承德·二模）已知圆，圆与轴交于，斜率存在且过原点的直线与圆相交于两点，直线与直线相交于点，直线､直线､直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·河北唐山·二模）若一条双曲线的实轴及虚轴分别为另一条双曲线的虚轴及实轴，则它们互为共轭双曲线．已知双曲线的标准方程为，则的共轭双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 二、多选题 11．（2024·河北保定·三模）已知抛物线C：的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,O为坐标原点,直线过点A且与OA垂直,直线过点B且与OB垂直,直线与相交于点Q,则（    ） A．设AB的中点为H,则轴 B．点Q的轨迹为抛物线 C．点Q到直线l距离的最小值为 D．的面积的取值范围为 12．（2024·河北秦皇岛·三模）设，是双曲线的两条渐近线，若直线与直线关于直线对称，则双曲线的离心率的平方可能为（    ） A． B． C． D． 13．（2024·河北唐山·二模）设抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A． B．以为直径的圆与相切 C．以为直径的圆过坐标原点 D．为直角三角形 14．（2024·河北沧州·三模）已知椭圆的上顶点、左顶点为为椭圆上异于点的两个不同点，则下列结论正确的是（    ） A．若直线的斜率之和为，则直线恒过定点 B．若直线的斜率之积为，则直线恒过定点 C．若直线的斜率之和为，则直线恒过定点 D．若直线的斜率之积为.则直线恒过定点 15．（2024·河北承德·二模）已知直线与抛物线相交于两点，分别过作抛物线准线的垂线，垂足分别为，线段的中点到准线的距离为，焦点为为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若直线过抛物线的焦点，则 D．若，直线的斜率之积为4，则直线的斜率为 三、填空题 16．（2024·河北保定·三模）若双曲线C：的左、右焦点为，，P是其右支上的动点.若存在P，使得，，依次成等比数列，则t的取值范围为 . 17．（2024·河北衡水·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为6，点，直线与交于A，B两点，且为AB中点，则的周长为 ． 18．（2024·河北沧州·二模）已知为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率为 . 19．（2024·河北秦皇岛·二模）已知双曲线C：的左焦点为F，过坐标原点O的直线与C交于A，B两点，且，，则C的离心率为 . 20．（2024·河北张家口·三模）圆与圆的公切线的方程为 ． 四、解答题 21．（2024·河北石家庄·二模）已知为平面上一个动点，到定直线的距离与到定点距离的比等于，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由． 22．（2024·河北衡水·三模）已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与交于，两点．直线，与相切，切点分别为，，，与轴的交点分别为，两点，且． (1)求的方程； (2)若点为上一动点（与，及坐标原点均不重合），直线与相切，切点为，与，的交点分别为，．记，的面积分别为，． ①请问：以，为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由； ②证明：为定值． 23．（2024·河北秦皇岛·三模）已知椭圆：的离心率为，过点的直线交于点，，且当轴时，. (1)求的方程 (2)记的左焦点为，若过，，三点的圆的圆心恰好在轴上，求直线的斜率. 24．（2024·河北保定·三模）已知抛物线：上一点到坐标原点的距离为.过点且斜率为的直线与相交于，两点，分别过，两点作的垂线，并与轴相交于，两点. (1)求的方程； (2)若，求的值； (3)若，记，的面积分别为，，求的取值范围. 25．（2024·河北沧州·三模）已知双曲线的左焦点为，经过点的直线交双曲线于点，，当直线轴时，. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，直线与双曲线交于两点，且的面积为，证明：点在双曲线上. 26．（2024·河北邢台·二模）已知定点，轴于点H，F是直线OA上任意一点，轴于点D，于点E，OE与FD相交于点G． (1)求点G的轨迹方程C； (2)过的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率分别为和，证明：为定值； (3)在直线上任取一点，过点B分别作曲线C：的两条切线，切点分别为M和N，设的面积为S，求S的最小值. 参考答案： 1．C 【分析】两圆的方程相减可得双曲线的一条渐近线方程，据此可求双曲线的离心率. 【详解】因为，，所以两圆方程相减可得， 由题意知的一条渐近线为，即， 双曲线的离心率． 故选：C． 2．B 【分析】设双曲线的上焦点为，由题意可得，可求，由已知可求，可求渐近线方程. 【详解】设双曲线的上焦点为， 双曲线的渐近线方程为， 由点到直线的距离公式可得， 又双曲线的实半轴长为，所以， 所以双曲线的渐近线方程为，即. 故选：B. 3．D 【分析】求出方程的根得到离心率，再利用即可得到答案. 【详解】因为方程的解为或， 且双曲线的离心率大于1，所以．由，解得． 故选：D. 4．B 【分析】根据题意，由条件可得点的坐标，再结合条件可得垂直平分，从而可得，再结合可得，从而得到的关系，由双曲线离心率的计算公式即可得到结果. 【详解】如图所示，不妨设在第一象限，延长与交于点， 因为轴，，将代入双曲线中，可得， 解得，且在第一象限，则， 因为在的外角平分线上，且， 则，， 故垂直平分，为等腰三角形， 所以，为中点， 因为分别为，的中点， 则为的中位线，故， ， 由双曲线的定义可得，则， 所以， 又因为，则， 因为，所以，都是等腰三角形， 则， 故，则， 又因为， 则，整理可得， 因为，则， 整理可得，则，所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了双曲线的定义以及离心率的计算，难度较大，解答本题的关键在于结合条件得到，结合相似比以及双曲线的定义，从而得到结果. 5．C 【分析】根据关系求出，由离心率定义可得. 【详解】由可知，，所以， 所以该双曲线的离心率为. 故选：C 6．C 【分析】根据导数的几何意义求得曲线的切线方程，结合三角形面积公式计算即可. 【详解】由，得，则，， 所以曲线在点处的切线方程为. 令，得，令，得， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 故选：C 7．A 【分析】直接根据椭圆的定义可求得答案. 【详解】由椭圆的定义可知，. 故选：A. 8．C 【分析】联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表示，再根据面积求得的值. 【详解】设直线的方程为，设的坐标分别为 联立直线与抛物线的方程，得，消去，得. 则. ，. 故选：C. 9．A 【分析】直线和直线分别与圆联立方程组，求出两点的坐标，由，得，直线和直线联立方程组，求出点的坐标，由，得，验证各选项即可. 【详解】由题意得直线，与圆方程联立，得， 可求出点，同理得点， 由于在直线上，因此，化简后得， 显然，否则点在圆上，两点重合，与题意矛盾，则， 再联立直线与直线，则点， 因此， 则，即，A选项正确，BD选项错误 ， ，即，C选项错误. 故选：A. 10．A 【分析】根据题意结合双曲线求出共轭双曲线，并计算共轭双曲线离心率即可. 【详解】由题意可知，双曲线的标准方程为， 所以共轭双曲线为， 所以共轭双曲线的离心率为. 故选：A. 11．BD 【分析】通过设l：,设,,然后联立方程后结合韦达定理得到,然后求出直线与,进而求出Q点坐标,然后可以判断A,B选项,然后通过参数m表示点Q到直线l的距离和的面积,进而可以判断. 【详解】易知,设l：,设,, 将l与抛物线C的方程联立,则可得, 所以,,即,, 所以,因为,所以直线AQ：,有, 同理可知,直线BQ：,所以, 所以,所以,所以,即A错误； 又, 所以Q的轨迹方程为,即B正确； Q到l的距离, 因为,所以,即C错误； 因为, 所以,即D正确. 故选:BD. 12．CD 【分析】利用直线对称的夹角关系，分类讨论结合双曲线的性质计算即可. 【详解】由题可知经过第二、四象限，经过第一、三象限，设的倾斜角为. 当时，则，即，， 即，所以. 当时，，即，， 即，所以. 综上，双曲线的离心率的平方为. 故选：CD 13．AC 【分析】设过点的直线为，联立直线和抛物线的方程求出可判断A；以为直径的圆的圆心为和半径，再求出圆心到准线的距离为，即可判断B；求出圆心到坐标原点的距离为，可判断C；取特列可判断D. 【详解】设过点的直线为， 对于A，联立，得， ，， 所以，故A正确； 对于B，因为 ，， 所以，的中点为，所以以为直径的圆的圆心为， 又， 设圆的半径为，则， 所以， 又圆心到准线的距离为， 而，因为，所以， 所以以为直径的圆与相离，故B错误； 对于C，圆心到坐标原点的距离为， ， 所以，所以， 所以以为直径的圆过坐标原点，故C正确； 对于D，因为联立，得， 若，则上述方程为，解得：或， 取，则，则， 取，则，则， 又抛物线过焦点，所以，， ， 所以不为直角三角形，故D错误. 故选：AC. 14．ABC 【分析】A选项，设直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据得到方程，求出，得到直线恒过定点；B选项，在A选项基础上，得到方程，求出，得到恒过定点；C选项，根据斜率公式得到方程，求出或，求出恒过定点；D选项，根据斜率之积为-1得到方程，求出直线恒过定点. 【详解】A选项，易知，，设，. 依题意，设直线的方程为. ，，，. 联立得. ，. ， ， . 代入整理，得. ，， . 直线恒过定点，A正确； B选项，， 代入整理，得，解得或（舍去）. 直线恒过定点，B正确； C选项， ， 代入整理，得， 或，恒过定点或， 由于，故舍去，C正确； D选项，.代入整理，得， 解得或，恒过定点或. 由于，故舍去， 直线恒过定点，D错误. 故选：ABC. 【点睛】思路点睛：处理定点问题 （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 15．ACD 【分析】对A，利用梯形中位线公式即可判断；对B，采用设线法设直线，解出，再根据垂直得到，最后计算即可判断；对C，采用设线法联立抛物线方程得到，最后计算斜率之积即可；对D，也采用设线法联立抛物线得到韦达定理式，结合，计算代入韦达定理式，最后化简即可. 【详解】对A，因为，所以，即，故A正确； 对B，设直线，由可得点，由于， 则直线，同理求出点，因此，故B错误； 对C，设直线的方程为，由可得， 则，因此，故C正确； 对D，设直线的方程为，由 可得，则，且， 由于，因此 ， 因为直线，的斜率之积为4，则， 因此，满足，故直线的斜率为，故D正确， 故选：ACD. 16． 【分析】根据题意，设，由双曲线定义可得，则问题转化为在上有解，求出二次函数的值域得解. 【详解】由题意可知，，，，且，， 设，则，所以在上有解， 又在上单调递增，所以， 所以，且，解得. 故答案为：. 17． 【分析】设A，B两点坐标分别为，利用点差法可得，结合，即可求得a的值，再结合的周长为4a，即得答案. 【详解】由题意知， 设A，B两点坐标分别为， 两式相减得， 由题意为AB中点， 则，代入整理得． 即由题意知， 因此，所以，由焦距为6，解得． 由椭圆定义知的周长为． 故答案为： 18．/ 【分析】利用给定条件，结合椭圆的定义、余弦定理建立关于的等式，即可求出离心率. 【详解】由及，得，， 又，则，设， 在中，由余弦定理得，， 在中，由余弦定理得，， 于是，且， 整理得，且，因此， 所以的离心率为. 故答案为：    19． 【分析】记C的右焦点为，连接，，由双曲线的定义结合题意可得，，再由数量积的定义和余弦定理可得，即可求出答案. 【详解】记C的右焦点为，连接，，如图所示. 过坐标原点O的直线与C交于A，B两点， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为，， 所以，. 因为，所以. 在中，由余弦定理可得， 因为，所以， 即，即C的离心率为. 故答案为：. 20． 【分析】先判断两圆位置关系，然后将圆化为一般式，两式相减可得. 【详解】圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为6， 因为，所以两圆内切，只有一条公切线， 将圆化为一般式得： ，， 两式相减得，即， 所以圆的公切线的方程为. 故答案为： 21．(1) (2)在轴上存在点，使得为定值，定值为. 【分析】（1）根据题意，用点到直线和点到点的距离公式列出方程，整理得出方程即可. （2）假设存在，先考虑斜率不为0的情况，设其方程为，再与曲线联立后用韦达定理，表达出，若要上式为定值，则必须有，即，代入求出.再考虑斜率为0的时候，直接求出即可. 【详解】（1）设点的坐标为，则， 即，化简得：，所以双曲线的标准方程为； （2）如图 当直线的斜率不为0时，设其方程为. 由于直线与双曲线交点两个，则直线不能与渐近线平行，渐近线斜率为，则. 代入，整理得，，设，，，，， 则， 所以 ． 若要上式为定值，则必须有，即，，故存在点满足． 当直线的斜率为0时，，，此时点亦满足，故存在点满足． 综上所得，在轴上存在点，使得为定值，定值为. 22．(1) (2)①是过定点，，②证明见解析 【分析】（1）设，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，利用导数的几何意义表示出切线方程，即可求出、坐标，从而求出，即可得解； （2）①不妨设，由（1）求出切点横坐标及切线方程，设，则，分别求出，的坐标，即可得到圆的方程，再求出圆过定点坐标；②表示出，，，，再说明、为直角三角形，由面积公式得到面积之比. 【详解】（1）设，，，联立， 消去得，显然，所以，． 由，，故的方程为， 令得，解得，即， 同理，则． 由，知， 由，得，解得或（舍去）， 故的方程为； （2）①由（1）不妨设，由， 解得，， 所以，． 设，则． 联立，解得，所以， 同理， 以、为直径的圆的方程为， 整理得， 令，解得或， 故该圆恒过两个点． ②由于，，，，， 所以， ， ，， 直线的斜率为，显然直线与垂直，故为直角三角形， 同理也是直角三角形， 故，， 故（或）． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 23．(1) (2) 【分析】（1）由题意可得点在上，结合离心率可求椭圆的方程； （2）设圆心，，，：，由，可得，进而可得，分别是方程的两根，可得，联立直线与椭圆方程可得，可求直线的斜率. 【详解】（1）当轴时，， 所以点在上， 依题意，解得，，， 所以的方程为. （2）设圆心，，，， 显然直线的斜率存在，设：， 由，得， 又，代入得到， 同理可得， 则，分别是方程的两根， 由韦达定理可得. 又联立：与， 得，， 所以， 所以 故，解得， 故直线的斜率为. 24．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）设直线的方程为，联立方程组，得到，，结合，得到，即可求解； （3）令，由（2）得到直线的方程为，求得的坐标，求得，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】（1）解：由抛物线上一点到坐标原点的距离为， 可得，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）解：由题意，设直线的方程为，且，. 联立方程组，消去整理得， 则，所以，， 因为，，所以，所以， 又因为，所以，则， 因为，所以，则. （3）解：根据抛物线对称性，不妨令， 由（2）中，，得直线的方程为， 令，得，同理可得， 则，， 且，， 故 ， 令，则， 显然在上恒成立，所以在上单调递增， 由，，可得的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解决抛物线问题的方法与策略： 1、涉及抛物线的定义问题：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 2、涉及直线与抛物线的综合问题：通常设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用. 25．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）代入点的坐标即可求解； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理表示出的面积，再证明满足双曲线方程即可. 【详解】（1）依题意，双曲线过点， 代入双曲线解析式，得，解得， 所以双曲线的标准方程为； （2）证明：直线与双曲线方程联立得消去并整理可得， 所以，则， 设，，则，， 所以 ， 点到直线的距离为， 所以的面积为， 令，则，，，， 则，所以，则点在双曲线上. 26．(1) (2)证明见解析 (3)4 【分析】（1）设，进而得,由三点共线得点G的轨迹方程； （2）设过的直线为与抛物线联立，化简同理得，将韦达定理代入化简得为定值； （3）设，写出直线，的方程，点在直线上则得，，即可推出直线过定点，联立抛物线的方程与直线的方程，结合韦达定理可得，，再计算的面积，即可得出答案． 【详解】（1）设，易知直线，则，因为三点共线， 则；    （2）设，过的直线为 与联立得，则， 又，同理， 故；    （3）设，因为，所以， 所以处切线方程为方程为：，处切线方程为：， 整理得，和， 代入上述方程，得，，因此直线的方程为， 由，整理得， 易知，所以，， 所以 ， 点到直线的距离为， ， 当且仅当时，取得最小值4．    【点睛】关键点点睛:本题考查直线与抛物线位置关系，关键是利用导数求得切线方程，进而确定直线MN的方程并与抛物线联立求得面积表达式. 学科网（北京）股份有限公司 $$