第二章复习课（第1课时 排列、组合与二项式定理）课件-2024-2025学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第二册

人教B版 数学 选择性必修第二册 复习课 第1课时　排列、组合与二项式定理 知识梳理 构建体系 知识网络 要点梳理 1.两个基本计数原理的内容是什么? 提示:(1)分类加法计数原理:完成一件事,如果有n类办法,且:第一类办法中有m1种不同的方法,第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法. (2)分步乘法计数原理:完成一件事,如果需要分成n个步骤,且:做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法. 2.排列数与组合数公式是什么?各有什么性质?请完成下表. 3.二项式定理的内容是什么?二项展开式的通项公式是什么? 4.二项式系数有哪些性质?二项式系数的和是什么? 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.( × ) (2)在分步乘法计数原理中,事情是分两步完成的,其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.( × ) (3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( × ) (4)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( × ) (9)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.( × ) (10)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.( √ ) (11)(a+b)n的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分,包括符号等,与该项的二项式系数不同.( √ ) 专题归纳 核心突破 【专题整合】 专题一　基本计数原理的应用 【例1】 (1)用0,1,…,7这八个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　) A.122 B.135 C.154 D.165 (2)如图,给矩形A,B,C,D涂色,要求相邻的矩形涂色不同,现有4种不同的颜色可供选择,则不同的涂法有(　　) A.72种 B.48种 C.24种 D.12种 解析:(1)可以组成7×8×8=448个三位数, 其中无重复数字的三位数有7×7×6=294个, 故有重复数字的三位数有448-294=154个. (2)先涂A有4种涂法,再涂B有3种涂法,C与A,B相邻,则C有2种涂法,D只与C相邻,则D有3种涂法,因此共有4×3×2×3=72种涂法. 答案:(1)C　(2)A 1.应用基本计数原理解决问题时应注意: (1)针对问题,要分清是分类还是分步; (2)对于较复杂的问题,可恰当地画出示意图或列出表格,使问题形象化、直观化. 2.解决涂色问题,可按颜色的种数分类,也可按不同的区域分步完成. 反思感悟 【变式训练1】 如图,在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有　　　　　个.(用数字作答)  解析:把与正八边形有公共边的三角形分为两类: 第一类,有一条公共边的三角形共有8×4=32个. 第二类,有两条公共边的三角形共有8个. 根据分类加法计数原理,共有32+8=40个. 答案:40 专题二　排列组合的应用 【例2】 6名女生(其中有1个领唱)和2名男生分成两排表演. (1)每排4人,共有多少种不同的排法? (2)领唱站在前排,男学生站在后排,每排4人,有多少种不同的排法? 反思感悟 解决排列组合应用题的常用方法: (1)合理分类,准确分步; (2)特殊优先,一般在后; (3)先取后排,间接排除; (4)相邻捆绑,间隔插空; (5)抽象问题,构造模型; (6)均分除序,定序除序. 【变式训练2】 7名师生站成一排照相留念,其中老师1人,男生4人,女生2人,在下列情况下,各有多少种不同的站法? (1)两名女生必须相邻而站; (2)4名男生互不相邻; (3)老师不站中间,女生甲不站左端. 专题三　求二项展开式中特定项 A.5 B.-10 C.-32 D.-42 答案:D 求二项展开式中的特定项,一般是化简通项公式后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出参数,代回通项公式即可. 反思感悟 答案:2 专题四　项的系数和问题 【例4】 (1)若(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次项的系数之和为32,则a=　　　　　.  (2)若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=39,则实数m的值为　　　　　.  解析:(1)设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5, 令x=1,得16(a+1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5,① 令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.② ①-②,得16(a+1)=2(a1+a3+a5), 即展开式中x的奇数次项的系数之和为a1+a3+a5=8(a+1), 故8(a+1)=32,解得a=3. (2)令x=0,得(2+m)9=a0+a1+a2+…+a9, 令x=-2,得m9=a0-a1+a2-a3+…-a9, 又(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=(a0+a1+a2+…+a9)(a0-a1+a2-a3+…+a8-a9)=39, 所以(2+m)9m9=39, 即m(2+m)=3, 解得m=-3或m=1. 答案:(1)3　(2)1或-3 反思感悟 1.“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N+)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法. 2.若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项 【变式训练4】 已知 的展开式的各项系数和为243,则展开式中x7的系数为(　　) A.5 B.40 C.20 D.10 答案:B 【高考体验】 考点一　排列组合 1.(2022·新高考Ⅱ)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同排列方式有(　　) A.12种 B.24种 C.36种 D.48种 答案:B 2.(2021·全国 Ⅰ 高考)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有(　　) A.60种 B.120种 C.240种 D.480种 答案:C 3.(2020·山东高考)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有(　　) A.120种 B.90种 C.60种 D.30种 答案:C 4.(2023·新高考Ⅰ)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有　　　　　种(用数字作答).  答案:64 5.(2018·浙江高考)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成　　　　　个没有重复数字的四位数.(用数字作答)  解析:分两类: 第一类,从0,2,4,6中取到0, 答案:1 260 考点二　二项式定理 A.5 B.10 C.15 D.20 答案:C 7.(2019·全国Ⅲ高考)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为(　　) A.12 B.16 C.20 D.24 答案:A 答案:ABC 9.(2022·浙江高考)已知(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a2=　　　　　,a1+a2+a3+a4+a5=　　　　　.  令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0.令x=0,得a0=2.所以a1+a2+a3+a4+a5=-2. 答案:8　-2 10.(2021·浙江高考)已知(x-1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则a1=　　　　　,a2+a3+a4=　　　　　.  答案:5　10 答案:240 内容 排列与排列数 组合与组合数 公式 排列数公式=n(n-1)…[n-(m-1)] = 组合数公式 性质 当m=n时,为全排列;=n!; 0!= 1 =1; ; 备注 n,m∈N+,且m≤n 提示:(1)二项式定理的内容:当n是正整数时,有(a+b)n=an+an-1b+…+an-kbk+…+bn. (2)通项公式:Tk+1=an-kbk,其中n是正整数,k是满足0≤k≤n的自然数. 提示:二项式系数的性质:(1)与首末两端等距离的两个二项式系数相等. (2)当n是偶数时,中间一项的二项式系数最大; 当n是奇数时,中间两项(第项和第+1项)的二项式系数相等且最大. 二项式系数的和:+…+=2n. (5)若组合式,则x=m成立.( × ) (6)(n+1)!-n!=n·n!.( √ ) (7)k=n.( √ ) (8)an-kbk是二项展开式的第k项.( × ) 解:(1)要完成这件事,可以分为三步: 第一步,从8人中选4人站在前排,另4人站在后排,共有种不同的排法; 第二步,前排4人进行全排列,有种不同的排法; 第三步,后排4人进行全排列,有种不同的排法. 依据分步乘法计数原理,有=40 320种不同的排法. (2)要完成这件事,可以分为三步: 第一步,从其余5名女生中选3人站在前排,其他人站在后排,则前后各有4人,共有种不同的排法;第二步,前排4人进行全排列,有种不同的排法;第三步,后排4人进行全排列,有种不同的排法. 依据分步乘法计数原理,有=5 760种不同的排法. 解:(1)分成两步来完成:第一步,先让2名女生站好,有种方法;第二步,把2名女生当成一个整体,与其他5人站成一排,有种方法.根据分步乘法计数原理,可知共有=1 440种不同的站法. (2)分成两步来完成:第一步,先确定2名女生和老师的顺序,有种方法;第二步,利用插空法,将4名男生安排在2名女生和老师形成的4个空里,共有种方法.根据分步乘法计数原理,共有=144种不同的站法. (3)分成两类:第一类,当老师站左端时,其余6个位置可以进行全排列,共有=720种站法;第二类,当老师不站左端时,老师有5种站法,女生甲有5种站法,余下的5人在5个位置进行全排列,共有×5×5=3 000种站法.根据分类加法计数原理,知共有720+3 000=3 720种不同的站法. 【例3】 (x2+1)的展开式中常数项是(　　) 解析:由于的通项公式为Tk+1=(-2)k=·(-2)k, 因此(x2+1)(-2)5的展开式中常数项是(-2)+(-2)5=-42. 【变式训练3】 在(1-)7+的展开式中,若x2的系数为19,则a=　　　　　.  解析:(1-)7+的展开式中含x2的项为(-)6+)5x2+ax2,则a=19,解得a=2. 系数之和为a0+a2+a4+…=,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=. 解析:由的展开式的各项系数和为243, 令x=1,得3n=243,解得n=5. 则的展开式的通项公式为Tk+1=(x3)5-k·=2k·x15-4k, 令15-4k=7,得k=2,因此展开式中x7的系数为22=40. 解析:第一步,将丙、丁看成一个整体,与乙、戊排列,有=12种排法; 第二步,排甲,因为甲不站在两端,所以甲有=2种排法. 依据分步乘法计数原理,不同排列方式有12×2=24种. 解析:先分组,再分配,共有=240种方案. 解析:甲场馆安排1名有种方法,乙场馆安排2名有种方法,丙场馆安排3名有种方法, 所以共有=60种方法,故选C. 解析:(方法一:直接法)若选2门课,只需体育类和艺术类各选1门,有=16(种)不同的选课方案; 若选3门课,分两类.体育类选1门、艺术类选2门,体育类选2门、艺术类选1门,有=48(种)不同的选课方案.综上,共有16+48=64(种)不同的选课方案. (方法二:间接法)由题意可知,从8门课中选择2门或者3门共有=84(种)不同的选课方案,只选择体育类或艺术类的有2()=20(种),则符合题意的共有84-20=64(种)不同的选课方案. 则没有重复数字的四位数有=540; 第二类,从0,2,4,6中不取0, 则没有重复数字的四位数有=720. 因此没有重复数字的四位数共有540+720=1 260种. 6.(2020·全国Ⅰ高考)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为(　　) 解析:(x+)(x+y)5的展开式中含x3y3的项为xx2y3+x4y=15x3y3,所以x3y3的系数为15. 解析:(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为+2=4+8=12.故选A. 8.（多选题）下列关于的说法正确的是(　　) A.常数项为5 B.通项公式为 C.所有项的系数和为32 D.所有项的系数和为16 解析:展开式的通项公式为Tk+1=()5-k()k=,故B选项正确;令=0,解得k=1,故展开式中的常数项为T2==5,A选项正确;令x=1,得到所有项的系数和为25=32,C选项正确,D选项错误.综上所述,ABC说法正确. 解析:由已知得a2=(-1)3+2(-1)2=8. 解析:因为a1为展开式中x3的系数,所以a1=(-1)0+=5.令x=1,则有1+a1+a2+a3+a4=(1-1)3+(1+1)4=16,所以a2+a3+a4=16-5-1=10. 11.(2020·全国Ⅲ高考)(x2+)6的展开式中常数项是　　　　　.(用数字作答)  解析:∵(x2+)6展开式的通项公式为Tk+1=(x2)6-kx12-3k2k, ∴当且仅当12-3k=0,即k=4时,Tk+1为常数项,即T5=·24=240. $$