1.2 子集、全集、补集9题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 1.2 子集、全集、补集9题型分类 知识点1：子集 1、一般地如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A为集合B的子集，记作（或），读作“A包含于B”（或“B包含A”）． 2、规定：空集是任何集合的子集，即． 3、子集的性质： （1）任何一个子集都是它本身的子集，即． （2）若，且，则． 知识点2：韦恩图 韦恩（Venn）图：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩图．A是B的子集，可用下图表示： B A 知识点3：真子集 1、如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作（或），读作：A真包含于B（或B真包含A）． 2、真子集的性质 （1）空集是任何非空集合的子集． （2）若，，则． 知识点4：集合的相等与子集的关系 1、如果A⊆B且B⊆A，则A=B． 2、如果A=B，则A⊆B且B⊆A． 知识点5：有限集合的子集个数 若集合A中有n个元素，则集合A的所有子集的个数为2n，真子集个数为2n－1，非空子集个数2n－1，非空真子集个数为2n－2． 知识点6：补集 1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用表示． 2、如果集合A是全集的一个子集，则由中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在中的补集，记作． 3、数学表达式：． 4、用Venn图表示（阴影部分）如图所示： U A 5、给定全集的子集及其任意一个子集A，则 ①； ②； ③． （一） （1）分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏． （2）若集合A中有n个元素，则集合A有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集，该结论可在选择题或填空题中直接使用． 题型1：确定集合的子集和真子集 1-1．（2024高一上·安徽芜湖·阶段练习）符合的集合的个数为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 1-2．（2024高一上·辽宁沈阳·期末）已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 1-3．（江苏省常州市新桥高级中学2023-2024学年高一上学期10月段考数学试题）已知集合，，定义，则集合的所有真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．30 D．29 1-4．（2024高一上·全国·课后作业）集合，则的子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．15 D．16 1-5．（2024高一上·江苏扬州·阶段练习）已知集合，则集合的真子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 （二） 是集合的又一种表示方法，使用方便，表达直观，可迅速帮助我们分析问题、解决问题，但它不能作为严密的数学工具使用． 题型2：韦恩图及其应用 2-1．（2024高一上·北京·期末）已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（    ） A． B． C． D． 2--2．（2024高一·全国·课后作业）已知集合和的关系如图所示，则（    ） A． B． C． D． 2-3．（2024高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知全集U=R，那么正确表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}关系的韦恩(Venn)图是（    ） A． B． C． D． （三） 判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的．这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）． 题型3：集合间的基本关系 3-1．（2024高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3-2．（2024高一上·福建厦门·期末）若集合是与的公倍数，，，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 3-3．（2024高一上·江苏盐城·期中）若集合，，则集合A与B的关系是（    ） A． B． C． D．不确定 3-4．（2024高一上·福建福州·期中）已知集合，则下列关系中，正确的是（     ）. A． B． C． D． 3-5．（河南省郑州市回民高级中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题）若，，，则这三个集合间的关系是（    ） A． B． C． D． （四） 根据集合之间关系，求参数的值或范围 （1）求解此类问题通常是借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，同时还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示． （2）涉及“A⊆B”或“A⫋B，且B≠⌀”的问题，一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论，其中A=⌀的情况容易被忽略，应引起足够的重视． 题型4：由集合间的关系求参数的范围 4-1．（2024高一上·安徽合肥·阶段练习）已知集合，或，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4-2．（2024高一·上海·课后作业）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 4-3．（2024高一上·内蒙古兴安盟·阶段练习）已知集合，，若，则实数组成的集合为（    ） A． B． C． D． 4-4．（2024高一上·全国·课后作业）已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 4-5．（2024高一上·江苏南京·阶段练习）已知集合，集合. (1)求； (2)若，求实数的取值集合. （五） 1.判断两个集合间是否相等的关键在于：元素是否相同． 2.两集合相等则元素相同，注意满足集合元素的三大性质． 题型5：判断两集合是否相等 5-1．（2024高一上·全国·课后作业）已知集合，则（　　） A． B． C． D． 5-2．（2024高一上·贵州安顺·期末）下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 5-3．（2024高一下·湖南长沙·阶段练习）下列与集合表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 5-4．（2024高一上·全国·课后作业）下列集合的表示方法中，不同于其他三个的是（    ） A． B． C． D． 题型6：根据两集合相等求参数 6-1．（2024高一上·青海西宁·期末）设，，，若，则（   ）. A． B． C．.0 D．1 6-2．（2024高二下·浙江宁波·学业考试）已知集合， 若， 则 （    ） A．3 B．4 C． D． 6-3．（2024高一上·四川内江·阶段练习）设，若集合，则 ． 6-4．（2024高一上·湖北武汉·阶段练习）已知集合，若，则（    ） A．1 B．0 C． D．无法确定 6-5．（2024高一·全国·课后作业）已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C． D． （六） 空集不含任何元素的集合． 题型7：空集的性质 7-1．（2024高一上·广西河池·阶段练习）已知集合，表示空集，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 7-2．（2024高一上·湖南益阳·阶段练习）下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 7-3．（2024高一上·湖北咸宁·阶段练习）给出下列说法： ①空集没有子集； ②任何集合至少有两个子集； ③空集是任何集合的真子集； ④若，则． 其中正确的说法有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 （七） 补集的求解步骤及方法 （1）步骤：①确定全集：在进行补集的简单运算时，应首先明确全集； ②紧扣定义求解补集． （2）方法：①借助Venn图或数轴求解； ②借助补集性质求解． 题型8：补集及其运算 8-1．（2024高一上·重庆北碚·期末）已知全集，，则（    ） A． B．或 C． D．或 8-2．（2024高一上·四川眉山·期末）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 8-3．（2024高一·江苏·假期作业）已知全集，.用列举法表示集合 . 题型9：利用补集求参数 9-1．（2024高一·全国·专题练习）已知全集为U，集合A={1，3，5，7}， ={2，4，6}，={1，4，6}，则集合B= ； 9-2．（2024高一上·江苏连云港·阶段练习）设全集，集合，，则的值为（    ） A． B． C． D． 9-3．（2024高一·江苏·假期作业）已知.若，则实数m的取值范围为 . 一、单选题 1．（2024高一上·江苏南通·阶段练习）已知a，，若，则的值为（   ） A．1 B．0 C．－1 D．±1 2．（2024高一上·陕西榆林·阶段练习）若，则实数a的值为（    ） A．-1 B．0 C．1 D．-1或1 3．（2024高一·全国·课后作业）设集合，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一·江苏·假期作业）设集合，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高一上·福建漳州·期末）已知集合则（    ） A． B． C． D． 6．（2024高一上·浙江绍兴·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·辽宁朝阳·模拟预测）已知集合，若，则由实数的所有可能的取值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 8．（2024高一上·全国·课后作业）已知全集，那么正确表示集合和的关系的韦恩图是（    ） A． B． C． D． 9．（2024高一·全国·假期作业）已知集合和，那么（    ） A． B． C． D． 10．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合和集合，若，则中的运算“⊕”是（    ） A．加法 B．除法 C．乘法 D．减法 11．（2024高一上·上海浦东新·阶段练习），那么下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 12．（2024高一·全国·课后作业）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 13．（2024高一·江苏·假期作业）集合，集合，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．集合间没有包含关系 14．（2024·全国）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 15．（2024高一·全国·课后作业）已知集合U、S、T、F的关系如图所示，则下列关系正确的是(　　) ①S∈U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊆F；⑤S∈F；⑥F⊆U. A．①③ B．②③ C．③④ D．③⑥ 16．（2024高一上·安徽安庆·期末）集合的子集个数为（    ）． A．4 B．7 C．8 D．16 17．（2024高一·江苏·专题练习）已知集合，.则集合M，P之间的关系为（    ） A．M=P B． C． D． 18．（2024高一上·河北沧州·阶段练习）已知集合，，则之间的关系是（    ） A． B． C． D． 19．（2024高一上·重庆九龙坡·阶段练习）若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（    ） A． B． C． D．与互不包含 二、多选题 20．（2024高一·全国·课后作业）下列四个选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（2024高一上·福建泉州·阶段练习）下列各组中表示相同集合的是（    ） A． B． C． D． 22．（2024高一上·广西钦州·期中）下列关系式正确的为(    ) A． B． C． D． 23．（2024高一上·四川巴中·期中）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 24．（2024高一·全国·课后作业）已知集合，，若，则的可能取值为（    ） A．1 B． C．0 D．2 25．（2024高一上·浙江·阶段练习）设集合，，若，则实数a的值可以是（    ） A．0 B． C． D．2 26．（2024高一上·广东广州·期末）设集合，若，则a的可能取值为（    ） A． B． C． D． 27．（2024高一·江苏·假期作业）设集合，集合，则集合中的元素可能是（    ） A． B．2 C． D．3 28．（2024高一上·贵州遵义·期末）（多选题）设全集U＝{x|x2－8x＋15＝0，x∈R}．＝{x|ax－1＝0}，则实数a的值为（    ） A．0 B． C． D．2 29．（2024高一上·江西南昌·阶段练习）下列集合是空集的是（    ） A． B． C． D． 30．（2024高一上·四川眉山·阶段练习）若集合 ， 则的值可能为（    ） A． B． C．0 D． 31．（2024高一上·福建三明·期中）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 32．（2024高一上·新疆乌鲁木齐·期中）下列关系中正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 33．（2024高一上·广西贺州·阶段练习）已知全集U={x∈Z|-1≤x≤3}，集合A={x∈Z|0≤x≤3}，则 = 34．（2024高一上·四川·期中）已知全集，集合，，则 . 35．（2024高二下·北京·阶段练习）给定集合，对于，如果，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有 个． 36．（2024高一·江苏·假期作业）（1）集合与 相等集合．（填“是”或“不是”） （2）若集合，集合 且，则 ， ． 37．（2024高一·全国·课后作业）已知集合，且，则实数m的取值范围是 . 38．（2024高一·江苏·假期作业）集合，则集合的子集的个数为 . 39．（2024高一·全国·课后作业）已知全集U=R,集合，，则 ． 四、解答题 40．（2024高一上·江苏连云港·阶段练习）设，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 41．（2024高一·全国·专题练习）已知AB，且B＝{0，1，2}写出满足条件A的所有集合． 42．（2024高一·江苏·专题练习）写出集合的所有子集. 43．（2024高一·全国·课后作业）设集合，，且． (1)若，求实数的值； (2)若，且，求实数的值． 44．（2024高一·全国·课后作业）已知集合，，若，求a的取值范围． 45．（2024高一·江苏·假期作业）由三个数a， ，1组成的集合与由，，0组成的集合相等，求的值． 46．（2024高一·江苏·假期作业）指出下列各对集合之间的关系. (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}； (5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}. 47．（2024高一上·江西宜春·期中）已知集合，，若，求实数的取值范围． 48．（2024高一上·全国·课后作业）已知集合. (1)若，则实数a的值是多少? (2)若，则实数a的取值范围是多少? (3)若B⫋A，则实数a的取值范围是多少? 49．（2024高一上·河北沧州·期中）已知集合. (1)若集合，且，求的值； (2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围. 50．（2024高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，且. (1)求实数的取值的集合； (2)写出（1）中集合的所有子集. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 1.2 子集、全集、补集9题型分类 知识点1：子集 1、一般地如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A为集合B的子集，记作（或），读作“A包含于B”（或“B包含A”）． 2、规定：空集是任何集合的子集，即． 3、子集的性质： （1）任何一个子集都是它本身的子集，即． （2）若，且，则． 知识点2：韦恩图 韦恩（Venn）图：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩图．A是B的子集，可用下图表示： B A 知识点3：真子集 1、如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作（或），读作：A真包含于B（或B真包含A）． 2、真子集的性质 （1）空集是任何非空集合的子集． （2）若，，则． 知识点4：集合的相等与子集的关系 1、如果A⊆B且B⊆A，则A=B． 2、如果A=B，则A⊆B且B⊆A． 知识点5：有限集合的子集个数 若集合A中有n个元素，则集合A的所有子集的个数为2n，真子集个数为2n－1，非空子集个数2n－1，非空真子集个数为2n－2． 知识点6：补集 1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用表示． 2、如果集合A是全集的一个子集，则由中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在中的补集，记作． 3、数学表达式：． 4、用Venn图表示（阴影部分）如图所示： U A 5、给定全集的子集及其任意一个子集A，则 ①； ②； ③． （一） （1）分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏． （2）若集合A中有n个元素，则集合A有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集，该结论可在选择题或填空题中直接使用． 题型1：确定集合的子集和真子集 1-1．（2024高一上·安徽芜湖·阶段练习）符合的集合的个数为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】根据元素个数求子集的个数，可得答案. 【详解】由，设，，故有个. 故选：A. 1-2．（2024高一上·辽宁沈阳·期末）已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系一一列举出来即可. 【详解】因为， 所以集合可以为：， 共8个， 故选：C. 1-3．（江苏省常州市新桥高级中学2023-2024学年高一上学期10月段考数学试题）已知集合，，定义，则集合的所有真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．30 D．29 【答案】B 【分析】先根据题意得到，从而根据元素个数得到真子集个数. 【详解】集合，，定义， 则，元素个数为5， 故集合的所有真子集的个数为 故选：B 1-4．（2024高一上·全国·课后作业）集合，则的子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．15 D．16 【答案】D 【分析】先求出，再找出中6的正约数，可确定集合，进而得到答案． 【详解】集合，, ， 故有个子集. 故选：D． 1-5．（2024高一上·江苏扬州·阶段练习）已知集合，则集合的真子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】先求出集合中包含的元素个数，再求真子集个数. 【详解】集合， 所以集合的真子集个数为：. 故选：B. （二） 是集合的又一种表示方法，使用方便，表达直观，可迅速帮助我们分析问题、解决问题，但它不能作为严密的数学工具使用． 题型2：韦恩图及其应用 2-1．（2024高一上·北京·期末）已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图可得，由选项即可判断. 【详解】解：由图可知：， ， 由选项可知：， 故选：D. 2--2．（2024高一·全国·课后作业）已知集合和的关系如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合间的包含关系可得. 【详解】根据集合间的包含关系可得B选项正确. 【点睛】本题考查集合间的关系，用韦恩图来判断非常直观，属于基础题． 2-3．（2024高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知全集U=R，那么正确表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}关系的韦恩(Venn)图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】化简集合，判断集合没有包含关系，即可得出答案. 【详解】，集合没有包含关系 故选：A （三） 判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的．这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）． 题型3：集合间的基本关系 3-1．（2024高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用集合与集合的包含关系分析即可. 【详解】由题意知，， 所以. 故选：B. 3-2．（2024高一上·福建厦门·期末）若集合是与的公倍数，，，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 【答案】C 【分析】根据集合的描述法，对两个集合中描述元素的语言和等式进行分析即可. 【详解】对于集合，当时，是与的公倍数，因此是的正整数倍， 即是与的公倍数，，且， ∴由集合中元素的互异性，集合中元素有，，，，，， 对于集合，当时，是的正整数倍， ∴集合中元素有，，，，，， ∴. 故选：C. 3-3．（2024高一上·江苏盐城·期中）若集合，，则集合A与B的关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】根据子集和真子集的定义即可判断. 【详解】因为集合A中的元素，都在集合B中，而B中的元素不一定都在A中， 所以， 故选：. 3-4．（2024高一上·福建福州·期中）已知集合，则下列关系中，正确的是（     ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题意写出集合中的具体元素，然后利用元素与集合、集合与集合之间的关系逐项进行验证即可求解. 【详解】因为集合， 对于A，因为，故选项A错误； 对于B，是一个集合，且，故选项B错误； 对于C，因为集合，所以集合与集合不存在包含关系，故选项C错误； 对于D，因为集合，任何集合都是它本身的子集，所以，故选项D正确， 故选：D. 3-5．（河南省郑州市回民高级中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题）若，，，则这三个集合间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析给定的三个集合的约束条件，探讨它们的关系即可判断作答. 【详解】依题意，，， ，而，{偶数}， 因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即， 所以. 故选：C （四） 根据集合之间关系，求参数的值或范围 （1）求解此类问题通常是借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，同时还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示． （2）涉及“A⊆B”或“A⫋B，且B≠⌀”的问题，一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论，其中A=⌀的情况容易被忽略，应引起足够的重视． 题型4：由集合间的关系求参数的范围 4-1．（2024高一上·安徽合肥·阶段练习）已知集合，或，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的包含关系列出不等式，求出的取值范围. 【详解】，或，， ， ． 故选：D 4-2．（2024高一·上海·课后作业）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)不存在 【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，结合，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：①当时，即，解得，此时满足； ②当时，要使得， 则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. （2）解：由题意，要使得，则满足，此时不等式组无解， 所以实数不存在，即不存在实数使得. 4-3．（2024高一上·内蒙古兴安盟·阶段练习）已知集合，，若，则实数组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系得集合之间元素的关系，列方程求解即可. 【详解】，，， 或， 解得或或， 故实数组成的集合为. 故选：C. 4-4．（2024高一上·全国·课后作业）已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)或或. 【分析】（1）先求出集合，再利用条件，根据集合与集合间的包含关系，即可求出值； （2）对集合进行分类讨论：和，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出的范围； 【详解】（1）由方程，解得或 所以，又，， 所以，即方程的两根为或， 利用韦达定理得到：，即； （2）由已知得，又， 所以时，则，即，解得或； 当时， 若B中仅有一个元素，则，即，解得， 当时，，满足条件；当时，，不满足条件； 若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件. 综上，实数a的取值范围是或或. 4-5．（2024高一上·江苏南京·阶段练习）已知集合，集合. (1)求； (2)若，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解中的一元二次方程即可； （2）分和，即分和讨论即可. 【详解】（1），解得或， 故. （2）①当时，符合； ②当即时， 则，由可得或，解得或 综上的取值集合为. （五） 1.判断两个集合间是否相等的关键在于：元素是否相同． 2.两集合相等则元素相同，注意满足集合元素的三大性质． 题型5：判断两集合是否相等 5-1．（2024高一上·全国·课后作业）已知集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，知集合与集合都是奇数集，利用集合与集合间的关系，即可求出结果. 【详解】因为集合，集合， 所以集合与集合都是奇数集，所以， 故选：C. 5-2．（2024高一上·贵州安顺·期末）下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质及集合相等定义判断即可. 【详解】对AD，两集合的元素类型不一致，则，AD错； 对B，由集合元素的无序性可知，，B对； 对C，两集合的唯一元素不相等，则，C错； 故选：B 5-3．（2024高一下·湖南长沙·阶段练习）下列与集合表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的定义及表示方法求解即可. 【详解】由解得或， 所以，C正确； 选项A不是集合，选项D是两条直线构成的集合，选项B表示点集， 故选：C 5-4．（2024高一上·全国·课后作业）下列集合的表示方法中，不同于其他三个的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合的概念及集合的表示即可判断. 【详解】选项A，B，D对应的集合中只有一个元素2018，故它们是相同的集合， 而C中虽只有一个元素，但该元素是用等式作为元素，而不是实数2018， 故选项C与其他三个选项不同. 故选：C. 题型6：根据两集合相等求参数 6-1．（2024高一上·青海西宁·期末）设，，，若，则（   ）. A． B． C．.0 D．1 【答案】A 【分析】利用两个集合相等，元素相同，得到，进而求出答案. 【详解】由题意得：，所以 故选：A 6-2．（2024高二下·浙江宁波·学业考试）已知集合， 若， 则 （    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，且，即可得到和为方程的两个实数根，从而得解； 【详解】解：因为且， 所以，且， 又， 所以和为方程的两个实数根， 所以； 故选：D 6-3．（2024高一上·四川内江·阶段练习）设，若集合，则 ． 【答案】 【分析】由集合中元素知，再利用集合中元素的互异性可求出，进而可得到答案. 【详解】因为集合，所以，得，所以，则，所以. 故答案为：. 6-4．（2024高一上·湖北武汉·阶段练习）已知集合，若，则（    ） A．1 B．0 C． D．无法确定 【答案】B 【分析】分两种情况讨论：①，②，结合集合中元素的互异性以及集合相等的定义可求出结果. 【详解】由可知，， 因为，所以或， ①当时，得或（舍），则，解得或（舍）， 此时，符合题意， 此时； ②当时，得或（舍），则，解得或（舍）， 此时，符合题意， 此时. 综上所述：. 故选：B 6-5．（2024高一·全国·课后作业）已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由两集合相等，元素完全一样，则可列出等式，结合集合中元素满足互异性即可解出答案. 【详解】因为，所以或，解得或或， 又集合中的元素需满足互异性，所以， 则． 故选：C. （六） 空集不含任何元素的集合． 题型7：空集的性质 7-1．（2024高一上·广西河池·阶段练习）已知集合，表示空集，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合与集合间的关系，元素与集合的关系判断即可. 【详解】，，，，A，B，D正确，∵表示以为元素的集合，而集合A中不含元素， ∴不是A的子集。故C不对， 故选：C. 7-2．（2024高一上·湖南益阳·阶段练习）下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空集、集合与集合之间的关系即可判断. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 7-3．（2024高一上·湖北咸宁·阶段练习）给出下列说法： ①空集没有子集； ②任何集合至少有两个子集； ③空集是任何集合的真子集； ④若，则． 其中正确的说法有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据空集的定义和子集和真子集的定义即可得出结论. 【详解】由于任何一个集合都是它本身的子集，空集的子集还是空集，故①不正确； 由于空集的子集还是空集，所以空集的子集只有一个，故②不正确； 由于空集的子集还是空集，但不是真子集，故③不正确； 由于，则或，故④不正确； 综上，正确的说法有0个. 故选：A. （七） 补集的求解步骤及方法 （1）步骤：①确定全集：在进行补集的简单运算时，应首先明确全集； ②紧扣定义求解补集． （2）方法：①借助Venn图或数轴求解； ②借助补集性质求解． 题型8：补集及其运算 8-1．（2024高一上·重庆北碚·期末）已知全集，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据补集的定义计算可得. 【详解】解：因为全集，， 所以或. 故选：B 8-2．（2024高一上·四川眉山·期末）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据补集的定义计算即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：C. 8-3．（2024高一·江苏·假期作业）已知全集，.用列举法表示集合 . 【答案】 【分析】根据补集的定义运算可得. 【详解】因为全集，所以. 故答案为：. 题型9：利用补集求参数 9-1．（2024高一·全国·专题练习）已知全集为U，集合A={1，3，5，7}， ={2，4，6}，={1，4，6}，则集合B= ； 【答案】{2，3，5，7} 【分析】直接先求出集合U，即可得到集合B. 【详解】因为A={1，3，5，7}，={2，4，6}，所以U={1，2，3，4，5，6，7}. 又={1，4，6}， 所以B={2，3，5，7}. 故答案为：{2，3，5，7} 9-2．（2024高一上·江苏连云港·阶段练习）设全集，集合，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合及其补集情况分情况讨论即可. 【详解】由已知得， 所以或， 解得， 故选：D. 9-3．（2024高一·江苏·假期作业）已知.若，则实数m的取值范围为 . 【答案】或. 【分析】根据，分和两种情况讨论求解. 【详解】已知集合，且， 或 当时，，解得，符合题意； 当时，且， 则或，解得， 综上：实数的取值范围为或. 故答案为：或. 一、单选题 1．（2024高一上·江苏南通·阶段练习）已知a，，若，则的值为（   ） A．1 B．0 C．－1 D．±1 【答案】C 【分析】根据集合相等及要有意义，得到，，进而得到，求出，舍去不合题意的值，再计算的值. 【详解】，因为要有意义，所以，所以， 求得：，故， 所以，解得：， 根据元素互异性，舍去， 故， 所以. 故选：C 2．（2024高一上·陕西榆林·阶段练习）若，则实数a的值为（    ） A．-1 B．0 C．1 D．-1或1 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用两个集合相等列式计算作答. 【详解】在中，且，而，则有，解得， 所以实数a的值为-1. 故选：A 3．（2024高一·全国·课后作业）设集合，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将集合化简，即可由集合间的关系求解. 【详解】由，所以， 故选：B 4．（2024高一·江苏·假期作业）设集合，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合与集合间的关系可得出结论. 【详解】因为，，则. 故选：D. 5．（2024高一上·福建漳州·期末）已知集合则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合并集和补集概念求解. 【详解】因为,所以， 故选:A. 6．（2024高一上·浙江绍兴·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定集合中元素，然后由补集定义求解． 【详解】，又， ∴． 故选：C． 7．（2024·辽宁朝阳·模拟预测）已知集合，若，则由实数的所有可能的取值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论，当时满足题意，当，解出，由，解得或 【详解】当时，,满足题意. 当时，， 若，则或，即或 综上所述，的所有取值为 故选：D 8．（2024高一上·全国·课后作业）已知全集，那么正确表示集合和的关系的韦恩图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据之间的关系进行判断即可. 【详解】因为，所以⫋. 故选：B. 9．（2024高一·全国·假期作业）已知集合和，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用不等式的性质化简集合，再利用集合与集合间的关系可知，，从而得解. 【详解】由，得到， 所以， 又，所以， 故选：C. 10．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合和集合，若，则中的运算“⊕”是（    ） A．加法 B．除法 C．乘法 D．减法 【答案】C 【分析】用特殊值，根据四则运算检验． 【详解】若，则，，，因此排除ABD． 故选：C． 11．（2024高一上·上海浦东新·阶段练习），那么下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用元素与集合、集合与集合之间的关系即可判断，切记：空集是任何集合的子集. 【详解】对于， 是任何集合的子集，也即，故选项错误； 对于，因为，所以成立，故选项正确； 对于，因为，所以成立，故选项正确； 对于，因为是任何集合的子集，所以成立，故选项正确， 所以结论错误的是， 故选：. 12．（2024高一·全国·课后作业）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的特性，结合韦达定理即可求解. 【详解】由于表示一元二次方程的解的集合， 而最多有两个不相等的实数根， 由于，所以 故由韦达定理可得， 故选：C 13．（2024高一·江苏·假期作业）集合，集合，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．集合间没有包含关系 【答案】D 【分析】根据结合所表示点的几何意义，以及原点与集合的关系，即可求解. 【详解】由集合表示函数图象上所有的点的集合， 又由结合表示轴上方所有点的集合， 因为，但，所以集合与之间没有包含关系. 故选：D. 14．（2024·全国）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 15．（2024高一·全国·课后作业）已知集合U、S、T、F的关系如图所示，则下列关系正确的是(　　) ①S∈U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊆F；⑤S∈F；⑥F⊆U. A．①③ B．②③ C．③④ D．③⑥ 【答案】D 【分析】观察Venn图中集合U，S，T，F的关系，分别进行判断，能够得到正确答案． 【详解】观察Venn图中集合U，S，T，F的关系， ①S∈U，故错误； ②F⊆T，故错误， ③S⊆T，故正确； ④S⊆F；故错误， ⑤S∈F；故错误， ⑥F⊆U故正确 故选D． 【点睛】本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算．Venn图：也叫文氏图，用于显示元素集合重叠区域的图示． 16．（2024高一上·安徽安庆·期末）集合的子集个数为（    ）． A．4 B．7 C．8 D．16 【答案】C 【分析】解出集合，再计算集合的子集个数. 【详解】因为， 所以该集合的子集的个数为， 故选：C． 17．（2024高一·江苏·专题练习）已知集合，.则集合M，P之间的关系为（    ） A．M=P B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，根据集合的关系即得. 【详解】因为， ， 所以. 故选：B. 18．（2024高一上·河北沧州·阶段练习）已知集合，，则之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简，从而可得，排除，，考虑元素5与集合的关系再可排除，从而得到结果. 【详解】∵，， ∴，故排除选项，， 又∵，，∴排除， 故选：. 【点睛】本题主要考查了利用描述法表示集合以及集合的化简与集合包含关系的判断，属于中档题. 19．（2024高一上·重庆九龙坡·阶段练习）若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（    ） A． B． C． D．与互不包含 【答案】C 【分析】对分奇偶进行讨论，即可判断集合，之间的关系. 【详解】对于集合，当时，，当时，，所以. 故选：C. 二、多选题 20．（2024高一·全国·课后作业）下列四个选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】注意到空集和由空集构成的集合的不同，可以判定AD；注意到集合元素的无序性，可以判定C；注意到集合的元素的属性不同，可以否定B. 【详解】对于A选项，集合的元素是，集合的元素是，故没有包含关系，A选项错误； 对于B选项，集合的元素是点，集合的元素是，故两个集合不相等，B选项错误； 对于C选项，由集合的元素的无序性可知两个集合是相等的集合，故C选项正确； 对于D选项，空集是任何集合的子集，故D选项正确. 故选：CD. 21．（2024高一上·福建泉州·阶段练习）下列各组中表示相同集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据相同集合的意义，逐项分析判断作答. 【详解】对于A，集合M，P含有的元素相同，只是顺序不同，由于集合的元素具有无序性，因此它们是相同集合，A是； 对于B，因为，则，因此集合M，P都表示所有偶数组成的集合，B是； 对于C，，即，C是； 对于D，因为集合M的元素是实数，集合P中元素是有序实数对，因此集合M，P是不同集合，D不是. 故选：ABC 22．（2024高一上·广西钦州·期中）下列关系式正确的为(    ) A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据集合相关的基本概念逐项判断即可﹒ 【详解】A：集合里面的元素没有顺序，且一个集合是其本身的子集，故A正确； B：空集里面没有元素，故B错误； C：元素与集合是属于或不属于的关系，故C错误； D：空集是任何集合的子集，故D正确﹒ 故选：AD﹒ 23．（2024高一上·四川巴中·期中）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据空集、子集、真子集的定义即可求解. 【详解】解：对A：因为空集是任何非空集合的真子集，所以，故选项A正确； 对B：因为空集没有任何元素，所以错误，故选项B错误； 对C：由子集的定义可得，故选项C正确； 对D：因为不一定等于，所以错误，故选项D错误. 故选：AC. 24．（2024高一·全国·课后作业）已知集合，，若，则的可能取值为（    ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】ABC 【分析】求出集合，分别讨论和时的情况即可求出的值. 【详解】解：由已知， 当时，，满足， 当时，，则或，得或， 所以. 故选：ABC. 【点睛】本题考查集合的包含关系，考查分类讨论的思想，注意解题中不要忽略的情况，是基础题. 25．（2024高一上·浙江·阶段练习）设集合，，若，则实数a的值可以是（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】ABC 【分析】先得到，再根据，分，，讨论即可. 【详解】由题得，，则 当时，有，，故C正确； 当时，有，，故B正确； 当时，，故A正确； 故选：ABC. 26．（2024高一上·广东广州·期末）设集合，若，则a的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由求出a的范围，确定a的可能取值. 【详解】因为，如图： 所以，所以， 故a的可能取值为，. 故选：CD. 27．（2024高一·江苏·假期作业）设集合，集合，则集合中的元素可能是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】AC 【分析】由补集的定义求出，即可判断出答案． 【详解】因为， 所以， 故选：AC． 28．（2024高一上·贵州遵义·期末）（多选题）设全集U＝{x|x2－8x＋15＝0，x∈R}．＝{x|ax－1＝0}，则实数a的值为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】ABC 【分析】首先求集合，再结合补集的定义，讨论和两种情况，求实数的取值范围. 【详解】U＝{3，5}，若a＝0，则，此时A＝U； 若a≠0，则＝. 此时＝3或＝5， ∴a＝或a＝. 综上a的值为0或或. 故选：ABC 29．（2024高一上·江西南昌·阶段练习）下列集合是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据方程有解的条件逐项判断即可． 【详解】解：， 无解，为空集，A符合题意； ，， ∴ 方程解为空集，B符合题意； 由得，故C不符合题意； 由得 ，即， 故D不符合题意． 故选：AB． 30．（2024高一上·四川眉山·阶段练习）若集合 ， 则的值可能为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】AB 【分析】本题应用集合之间的关系,分二次项系数是否为0两种情况,分别根据判别式和一次方程的根,解出. 【详解】根据题意， 只有一个实数根， 当 时，化为， 所以； 当 时，， 则， 又是方程的解， 所以， 得． 故答案为: 31．（2024高一上·福建三明·期中）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于A：由空集的定义判断； 对于B：Q为有理数集直接判断； 对于C：是任何集合的子集.，即可判断； 对于D：由集合中代表元素进行判断. 【详解】对于A：空集没有任何元素，故不正确.故A错误； 对于B：Q为有理数集，而是无理数.故B正确； 对于C：是任何集合的子集.故C正确； 对于D：是由0和1构成的数集，而是由构成的点集.故D错误. 故选：BC 32．（2024高一上·新疆乌鲁木齐·期中）下列关系中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系及空集的性质、集合相等的定义判断各项的正误. 【详解】A：是集合中的元素，故，正确； B：是任意非空集合的真子集，故，正确； C：是的真子集，故，正确； D：研究数值，而研究有序数对，故它们不相等，错误. 故选：ABC 三、填空题 33．（2024高一上·广西贺州·阶段练习）已知全集U={x∈Z|-1≤x≤3}，集合A={x∈Z|0≤x≤3}，则 = 【答案】 【分析】先化简集合，在算即可. 【详解】因为， ， 所以， 故答案为：. 34．（2024高一上·四川·期中）已知全集，集合，，则 . 【答案】8 【分析】由题可得，进而即得. 【详解】因为全集，集合，， 所以，即， 所以. 故答案为：8. 35．（2024高二下·北京·阶段练习）给定集合，对于，如果，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有 个． 【答案】6 【分析】根据题意，要使S的三个元素构成的集合中不含好元素，只要这三个元素相连即可，所以找出相连的三个数构成的集合即可． 【详解】若不含好元素，则集合S中的3个元素必须为连续的三个数， 故不含好元素的集合共有， 共有6个. 故答案为：6． 36．（2024高一·江苏·假期作业）（1）集合与 相等集合．（填“是”或“不是”） （2）若集合，集合 且，则 ， ． 【答案】 是 1 【分析】（1）解出集合A，并判断与B是否相等； （2）找到相等的对应情况，解方程即可． 【详解】（1）因为，所以或． 又，所以． （2）由题意知，，故， ∴，则，此时， 由于，∴. 37．（2024高一·全国·课后作业）已知集合，且，则实数m的取值范围是 . 【答案】. 【分析】根据集合间的包含关系，分和，两种情况讨论，即可求解. 【详解】由集合， 若时，可得，此时满足； 若时，要是得到，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为：. 38．（2024高一·江苏·假期作业）集合，则集合的子集的个数为 . 【答案】4 【分析】根据题意求得集合，结合集合中子集的定义，即可求解. 【详解】由方程，解得或，即集合， 所以集合的子集为，共有4个子集. 故答案为：4. 39．（2024高一·全国·课后作业）已知全集U=R,集合，，则 ． 【答案】或 【分析】根据集合A可求得集合B，根据补集的运算即可求得答案. 【详解】由集合可知,所以， 故，所以或, 故答案为：或 四、解答题 40．（2024高一上·江苏连云港·阶段练习）设，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由全集，求出A的补集，根据A补集为B的子集，确定出m的范围即可； （2）根据B为A的补集的子集，确定出m的范围即可. 【详解】（1）解：已知，，则， 因为，，所以，即实数的取值范围为. （2）解：由题意可知，因为， 所以，即实数的取值范围为. 41．（2024高一·全国·专题练习）已知AB，且B＝{0，1，2}写出满足条件A的所有集合． 【答案】∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}． 【分析】结合已知和真子集的定义得解. 【详解】解：AB，且B＝{0，1，2}； ∴满足条件A的所有集合为：∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}． 42．（2024高一·江苏·专题练习）写出集合的所有子集. 【答案】答案见解析 【分析】根据子集的定义写出所有子集即可. 【详解】集合的子集为B，则， 故所有子集为. 43．（2024高一·全国·课后作业）设集合，，且． (1)若，求实数的值； (2)若，且，求实数的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先化简集合，再利用集合交集的定义求解即可； （2）利用集合交集的定义结合集合元素的互异性求解即可. 【详解】（1）由解得，所以， 因为，所以是集合中元素， 所以将代入得，解得，. （2）因为，由（1）得是集合中元素， 当即时，此时符合题意； 当时，①，此时符合题意； ②，此时不满足集合元素的互异性，舍去； 综上或. 44．（2024高一·全国·课后作业）已知集合，，若，求a的取值范围． 【答案】 【分析】分和两种情况讨论，当时，利用数轴列出不等式组即可. 【详解】当时，，解得， 当时，因为，则，解得， 综上. 45．（2024高一·江苏·假期作业）由三个数a， ，1组成的集合与由，，0组成的集合相等，求的值． 【答案】1 【分析】由题意可得或，从而可求出的值，再检验3个数是否能组成集合，然后代入计算即可. 【详解】由a，，1组成一个集合，可知且，， 由题意可得或，综上可得， 当时，三个数为，可以组成一个集合，符合题意， 所以. 46．（2024高一·江苏·假期作业）指出下列各对集合之间的关系. (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}； (5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}. 【答案】(1)无包含关系 (2) (3) (4) (5)A＝B 【分析】（1）由集合A和集合B的代表元素判断； （2）利用数轴求解判断； （3）由等边三角形和等腰三角形的关系判断； （4）由n∈N*判断； （5）由任意k∈Z是否符合集合元素的公共属性判断. 【详解】（1）集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系. （2）集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB. （3）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. （4）两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM. （5）A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，因为任意k∈Z，k＝2×(－k)＋3k∈A，所以A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}＝Z， 因为任意k∈Z，k＝4k－3k∈B，所以B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}＝Z，所以A＝B＝Z. 47．（2024高一上·江西宜春·期中）已知集合，，若，求实数的取值范围． 【答案】或或 【分析】首先求出集合，根据，则，或，或，分别求出参数的值，即可得解； 【详解】解：由，解得或 所以 ∵，且中元素至多一个， ∴，或，或 (1)当时，由，得； (2)当时，由，得； (3)当时，由无解，得； ∴或或 【点睛】本题考查集合的包含关系求参数的取值，考查分类讨论思想，属于基础题. 48．（2024高一上·全国·课后作业）已知集合. (1)若，则实数a的值是多少? (2)若，则实数a的取值范围是多少? (3)若B⫋A，则实数a的取值范围是多少? 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用集合相等的性质及集合的包含关系，结合数轴法求解即可. 【详解】（1）因为集合，， 所以. （2）因为，如图，    由图可知，即实数a的取值范围是. （3）因为B⫋A，如图，    由图可知，即实数a的取值范围是. 49．（2024高一上·河北沧州·期中）已知集合. (1)若集合，且，求的值； (2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围. 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）利用集合相等的条件求的值； （2）由与有包含关系得，再利用集合子集的元素关系分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为，且， 所以或， 解得或， 故. （2）因为A与C有包含关系，，至多只有两个元素， 所以. 当时，，满足题意； 当时， 当时，，解得，满足题意； 当时，且，此时无解； 当时，且，此时无解； 当时，且，此时无解； 综上，a的取值范围为. 50．（2024高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，且. (1)求实数的取值的集合； (2)写出（1）中集合的所有子集. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用可求出，再验证合理性，进一步确定值； （2）利用子集的概念作答即可 【详解】（1）因为，且， 所以或，解得或或， 当时，，集合中出现两个0，故舍去； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； ∴实数的取值的集合 （2）因为，所以集合的子集有： 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$