1.1 集合的概念与表示6题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 1.1集合的概念6题型分类 知识点1：集合的有关概念 1、一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合． 知识点诠释： （1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体． （2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合的元素． 2、关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立． （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素． （3）无序性：集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合． 注：集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据． 解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”． 3、元素与集合的关系： （1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 4、常用数集及其表示 非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+ 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 知识点2：集合的表示方法 1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内．如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…． 2、描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 注：（1）用描述表示集合时应注意：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数，还是有序实数对（点）还是其他形式？②元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑． （2）用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑联结词“且”与“或”等连接；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围． 知识点3：集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集．我们把不含任何元素的集合称为空集，记作．例如，集合就是空集． （一） 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性． 题型1：集合的含义 1-1．（2024高一上·云南·阶段练习）下列各选项中能构成集合的是（    ） A．学生中的跑步能手 B．中国科技创新人才 C．地球周围的行星 D．唐宋散文八大家 1-2．（2024高一上·江苏南通·开学考试）下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．上课迟到的学生 B．小于π的正整数 C．2022年高考数学试卷上的难题 D．所有有理数 1-3．（2024高一·全国·课后作业）下面给出的各组对象中，能构成集合的是（    ） A．所有的高楼 B．，，，1 C．的所有近似值 D．倒数等于它本身的实数 （二） 判断元素与集合关系的两种方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可。 （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征。 题型2：元素与集合的关系 2-1．（2024高一上·湖南岳阳·期末）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2-2．（西藏林芝市第二高级中学2023-2024学年高一上学期第一学段考试（期中）数学试题）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．2 C．3 D．5 2-3．（海南华侨中学2023-2024学年高一上学期第一次段考（期中）数学试题）已知集合，，，若，，则必有（        ） A． B． C． D．不属于集合A、B、C中的任何一个 2-4．（2024高一上·湖北·阶段练习）给出下列关系：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （三） 题型3：集合中元素的特性及应用 3-1．（2024高一·全国·专题练习）由实数，，，，所组成的集合，最多含元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3-2．（2024高三上·上海浦东新·阶段练习）集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 3-3．（2024高三上·上海）已知集合，，则（ ） A． B．或 C． D． 3-4．（2024高一上·浙江·期中）若，则的可能值为（    ） A．0，2 B．0，1 C．1，2 D．0，1，2 3-5．（2024高一上·江苏常州·期中）已知集合，若，则实数的值为（    ）． A． B． C．或 D．或 （四） 用列举法表示集合的三个步骤 （1）求出集合的元素； （2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； （3）用花括号括起来。 题型4：用列举法表示集合 4-1．（2024高一·全国·课后作业）用列举法表示下列集合. （1）不大于10的非负偶数组成的集合； （2）方程x3＝x的所有实数解组成的集合； （3）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合. 4-2．（2024高一·全国·课后作业）用列举法表示 ． 4-3．（2024高一上·山西运城·阶段练习）集合，用列举法表示为（    ） A．1 B．2 C． D． （五） 1.描述法表示集合的2个步骤 2.集合表示法中元素与集合的关系 （1）若已知集合是用描述法表示的，理解集合的代表元素和集合属性是关键； （2）若已知集合是用列举法表示的，把握元素的共同特征是关键； 题型5：用描述法表示集合 5-1．（2024高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： （1）被3除余1的正整数的集合． （2）坐标平面内第一象限内的点的集合． （3）大于4的所有偶数． 5-2．（2024高一·湖南·课后作业）用描述法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数组成的集合； (2)不等式的解集； (3)方程的所有实数解组成的集合； (4)抛物线上所有点组成的集合； (5)集合. 5-3．（2024高一·全国·专题练习）在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合是（    ） A．或B． C． D． （六） 集合的创新定义 一看代表元素，是数集还是点集，二看元素满足什么条件即有什么公共特性。 题型6：集合的创新定义 6-1．（2024高一上·河南·阶段练习）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有.若且，则用列举法表示的 . 6-2．（2024高一上·江苏南京·期中）已知集合，，用符号表示非空集合A中元素的个数，定义，若，则实数a的所有可能取值构成集合P，则______．（请用列举法表示） 6-3．（2024高一上·江苏）设是整数集的一个非空子集，对于，如果，，那么称是的一个“孤立元”.给定，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个. 一、单选题 1．（2024高一上·安徽六安·期中）下列四组对象能构成集合的是（    ） A．高一年级跑步很快的同学 B．晓天中学足球队的同学 C．晓天镇的大河 D．著名的数学家 2．（陕西省榆林市府谷中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题）下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．上课迟到的学生 B．2022年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于x的正整数 3．（2024高一·全国·课后作业）下列各组对象的全体能构成集合的有（    ） （1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（2024高一上·江苏宿迁·期中）已知，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高一上·江苏扬州·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024高一上·重庆万州·期中）下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．参加运动会的学生 B．小于的正整数 C．年高考数学试卷上的难题 D．所有有理数 7．（2024高一上·重庆北碚·期末）定义若则中元素个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 8．（2024高二下·内蒙古通辽·期末）已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（2024高一·全国·专题练习）下列集合与区间表示的集合相等的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024高一·全国·课后作业）已知关于x的方程的解集只有一个元素，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．不存在 11．（2024高一·全国·课后作业）下列语句中，正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）由3、4、5、5、6构成的集合含有5个元素；（4）数轴上由1到1.01间的线段的点集是有限集；（5）方程的解能构成集合. A．2 B．3 C．4 D．5 12．（2024高一下·广西河池·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 13．（2024高一上·全国·课后作业）下列说法：①集合用列举法可表示为{－1，0，1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或；③一次函数y＝x＋2和y＝－2x＋8的图像象交点组的集合为{x＝2，y＝4}，正确的个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 14．（2024高一·全国·课后作业）由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（    ） A． B．1 C． D．2 二、多选题 15．（2024高一上·湖北十堰·阶段练习）给出下列说法，其中正确的是（    ） A．集合用列举法表示为{0，1} B．实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R} C．方程组的解组成的集合为 D．方程的所有解组成的集合为 16．（2024高一上·陕西咸阳·阶段练习）下列选项中能构成集合的是（    ） A．高一年级跑得快的同学 B．中国的大河 C．3的倍数 D．大于6的有理数 17．（2024高一下·湖南邵阳·开学考试）若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 18．（2024高一上·湖南长沙·期末）已知集合，且，则实数的取值不可以为（    ） A． B． C． D． 19．（2024高一·江苏·假期作业）方程组的解集可表示为（　　） A． B． C．{1，2} D． 20．（2024高一·江苏·假期作业）下列说法错误的是　　 A．在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为 B．方程的解集为 C．集合与是同一个集合 D．若，则 三、填空题 21．（2024高三·全国·课后作业）已知集合，用列举法表示M＝ ． 22．（2024高一上·河南·阶段练习）已知集合，写出一个满足中有 8 个元素的的值 . 23．（2024高一上·天津南开·期中）已知集合，，则集合中的元素个数为 ． 24．（2024高一上·浙江杭州·期中）集合，若，则 25．（2024高一·全国·单元测试）设集合，集合，若已知，且，则的值为 ． 26．（2024高一·全国·课后作业）数集中的元素a不能取的值是 . 27．（2024高一上·浙江·期中）以下是面点师制作兰州拉面的一个数学模型：如图所示，在数轴上截取与闭区间对应的线段，该线段长度为个单位．将该线段对折后（坐标对应的点与原点重合），线段数目翻倍，再将每根线段都均匀地拉成长度为个单位的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标和对应的点被拉到坐标，原来的坐标对应的点被拉到坐标，等等）．接下来的每次操作都在上一次操作的基础上进行同样的流程．在第次操作完成后，原闭区间上恰好被拉到坐标的点有若干个，这若干个点在第一次操作之前所对应的坐标形成一个集合，记为，例如．则集合可以用列举法表示为 ． 28．（2024高一上·全国·课后作业）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则 . 29．（2024高一上·上海长宁·阶段练习）用描述法表示被3除余2的所有自然数组成的集合 . 30．（2024高一·全国·课后作业）集合表示的是 . 31．（2024高一上·上海浦东新·阶段练习）若集合中只含有一个元素，则用列举法表示 . 32．（2024高一·江苏·专题练习）下列说法正确的是 ①与集合相等 ②方程的所有实数根组成的集合可记为 ③全体偶数组成的集合为 ④集合表示一条过原点的直线 33．（2024高一上·辽宁沈阳·阶段练习）集合为单元素集合，则 . 34．（2024高一上·河南南阳·期中）已知集合，，若，，则 . 35．（2024高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，若，则实数a的值为 ． 36．（2024高一·全国·课后作业）给出下列说法： ①平面直角坐标系中，第一象限内的点组成的集合为； ②方程的解集为； ③集合与是不相等的． 其中正确的是 （填序号）． 37．（2024高一上·河南驻马店·期中）已知集合A＝{1，2}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B中所含元素的个数为 ． 38．（2024高一上·河北·期中）若集合恰有8个整数元素，写出a的一个值： ． 39．（2024高一上·北京·阶段练习）已知集合是单元素集，用列举法表示的取值集合 . 四、解答题 40．（2024高一·全国·课后作业）用描述法表示下列集合： （1）函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合； （2）不等式2x－3<5的解组成的集合； （3）如图中阴影部分的点(含边界)的集合；    （4）3和4的所有正的公倍数构成的集合． 41．（2024高一上·安徽滁州·阶段练习）已知集合中的元素1，4，，且实数满足，求实数的值. 42．（2024高一·江苏·假期作业）用适当的方法表示下列集合． (1)方程组 的解集； (2)由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合； (3)方程的实数根组成的集合； (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合； (5)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 43．（2024高一·全国·课后作业）用列举法表示下列给定的集合： （1）大于1且小于6的整数组成的集合A. （2）方程x2－9＝0的实数根组成的集合B. （3）一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D. 44．（2024高一上·福建三明·阶段练习）已知A为方程的所有实数解构成的集合，其中a为实数. (1)若A是空集，求a的范围； (2)若A是单元素集合，求a的范围： (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 1.1集合的概念6题型分类 知识点1：集合的有关概念 1、一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合． 知识点诠释： （1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体． （2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合的元素． 2、关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立． （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素． （3）无序性：集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合． 注：集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据． 解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”． 3、元素与集合的关系： （1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 4、常用数集及其表示 非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+ 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 知识点2：集合的表示方法 1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内．如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…． 2、描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 注：（1）用描述表示集合时应注意：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数，还是有序实数对（点）还是其他形式？②元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑． （2）用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑联结词“且”与“或”等连接；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围． 知识点3：集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集．我们把不含任何元素的集合称为空集，记作．例如，集合就是空集． （一） 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性． 题型1：集合的含义 1-1．（2024高一上·云南·阶段练习）下列各选项中能构成集合的是（    ） A．学生中的跑步能手 B．中国科技创新人才 C．地球周围的行星 D．唐宋散文八大家 【答案】D 【分析】根据集合的定义和集合中元素的特征分析判断. 【详解】对于A，学生中的跑步能手不具有确定性，所以不能构成集合，所以A错误， 对于B，中国科技创新人才不具有确定性，所以不能构成集合，所以B错误， 对于C，地球周围的行星不具有确定性，所以不能构成集合，所以C错误， 对于D，唐宋散文八大家分别为唐代柳宗元、韩愈和宋代欧阳修、苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩八位，研究的对象是确定的，可能构成集合，所以D正确， 故选：D 1-2．（2024高一上·江苏南通·开学考试）下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．上课迟到的学生 B．小于π的正整数 C．2022年高考数学试卷上的难题 D．所有有理数 【答案】C 【分析】根据集合中元素的性质即得． 【详解】上课迟到的学生属于确定的互异的对象，所以能构成集合； 小于的正整数分别为，所以能够组成集合； 2022年高考数学试卷上的难题界定不明确，所以不能构成集合； 任意给一个数都能判断是否为有理数，所以能构成集合. 故选：C. 1-3．（2024高一·全国·课后作业）下面给出的各组对象中，能构成集合的是（    ） A．所有的高楼 B．，，，1 C．的所有近似值 D．倒数等于它本身的实数 【答案】D 【分析】利用集合中元素的确定性、互异性依次判断即可 【详解】选项A，由集合中元素的确定性，高楼不是确定的元素，不能构成集合，故A错； 选项B，，不满足集合中元素的互异性，故B错； 选项C，某个数能不能作为的近似值，不是确定的，故C错； 选项D，倒数等于它本身的数，即，只有两个元素，故D对. 故选：D （二） 判断元素与集合关系的两种方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可。 （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征。 题型2：元素与集合的关系 2-1．（2024高一上·湖南岳阳·期末）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据常用数集的范围判断即可. 【详解】N表示自然数集，-1不是自然数，故A错； 表示正整数集，0不是正整数，故B正确； Q表示有理数集，不是有理数，故C错； R表示实数集，是实数，故D错. 故选：B. 2-2．（西藏林芝市第二高级中学2023-2024学年高一上学期第一学段考试（期中）数学试题）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据数的分类一一判断即可. 【详解】为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 是无理数，所以，所以②错误； 不是正整数，所以，所以③正确； ，所以④正确； 是无理数，所以，所以⑤正确； ，所以⑥错误. 故选:A. 2-3．（海南华侨中学2023-2024学年高一上学期第一次段考（期中）数学试题）已知集合，，，若，，则必有（        ） A． B． C． D．不属于集合A、B、C中的任何一个 【答案】B 【分析】设出的表示形式，计算后比较各集合的代表元形式可得． 【详解】由题意设，，其中都是整数， 则，其中是整数，可以是奇数也可以是偶数， ∴， 故选：B． 2-4．（2024高一上·湖北·阶段练习）给出下列关系：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】依次判断出各数所属于的数域范围，进而判断出正误. 【详解】是实数，①正确；是无理数，②错误；是整数，③错误；是自然数，④错误；0是有理数，⑤错误，所以正确的个数为1． 故选：A． （三） 题型3：集合中元素的特性及应用 3-1．（2024高一·全国·专题练习）由实数，，，，所组成的集合，最多含元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】化简根式，再按x值的正负0，分类讨论即可判断作答. 【详解】显然，， 当时，集合中有1个元素0； 当时，，集合中有2个元素，； 当时，，集合中有2个元素，， 所以集合中最多含2个元素. 故选：A 3-2．（2024高三上·上海浦东新·阶段练习）集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】根据集合中元素的互异性可得答案. 【详解】根据集合中元素的互异性得， 故三角形一定不是等腰三角形. 故选：A. 3-3．（2024高三上·上海）已知集合，，则（ ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】由元素与集合关系分类讨论，结合元素的互异性判断即可. 【详解】∵，∴或． 若，解得或． 当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当时，集合，满足题意，故成立． 若，解得，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去． 综上所述，． 故选：D． 3-4．（2024高一上·浙江·期中）若，则的可能值为（    ） A．0，2 B．0，1 C．1，2 D．0，1，2 【答案】A 【分析】根据，分，，讨论求解. 【详解】因为， 当时，集合为，不成立； 当时，集合为，成立； 当时，则（舍去）或，当时，集合为，成立； ∴或. 故选：A 3-5．（2024高一上·江苏常州·期中）已知集合，若，则实数的值为（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据元素与集合之间的关系，及集合元素的互异性即可求出的值. 【详解】，且，或 ⑴、当即或， ①、当时，，，此时，不满足集合元素的互异性，故舍去； ②、当时，，，此时，符合题意； ⑵、当即时，此时，不满足集合元素的互异性，故舍去； 综上所述：实数的值为1. 故选：B （四） 用列举法表示集合的三个步骤 （1）求出集合的元素； （2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； （3）用花括号括起来。 题型4：用列举法表示集合 4-1．（2024高一·全国·课后作业）用列举法表示下列集合. （1）不大于10的非负偶数组成的集合； （2）方程x3＝x的所有实数解组成的集合； （3）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合. 【答案】答案见解析 【分析】根据题意求得元素，在用列举法即可表示（1）（2）（3）. 【详解】（1）因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思， 所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}. （2）方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1， 所以方程的解组成的集合为{0，1，－1}. （3）将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)， 故两直线的交点组成的集合是{(0，1)}. 【点睛】本题考查用列举法表示集合，属简单题. 4-2．（2024高一·全国·课后作业）用列举法表示 ． 【答案】 【分析】根据且求出的值，即可求出，从而列举即可. 【详解】解：因为且，所以或或或， 解得或或或， 所以对应的分别为、、、， 即； 故答案为： 4-3．（2024高一上·山西运城·阶段练习）集合，用列举法表示为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】解一元二次方程，再利用集合列举法表示即可得解. 【详解】 故选：C （五） 1.描述法表示集合的2个步骤 2.集合表示法中元素与集合的关系 （1）若已知集合是用描述法表示的，理解集合的代表元素和集合属性是关键； （2）若已知集合是用列举法表示的，把握元素的共同特征是关键； 题型5：用描述法表示集合 5-1．（2024高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： （1）被3除余1的正整数的集合． （2）坐标平面内第一象限内的点的集合． （3）大于4的所有偶数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】集合用描述法表示，根据条件写代表元具有的性质. 【详解】（1）因为集合中的元素除以3余数为1，所以集合表示为：； （2）第一象限内的点，其横坐标、纵坐标均大于0，所以集合表示为：； （3）大于4的所有偶数都是正整数，所以集合表示为：． 【点睛】集合用描述法表示时，注意代表元的元素特征，如果是点集，则代表元要用数对表示. 5-2．（2024高一·湖南·课后作业）用描述法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数组成的集合； (2)不等式的解集； (3)方程的所有实数解组成的集合； (4)抛物线上所有点组成的集合； (5)集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)且 【分析】根据题设中的集合和集合的表示方法，逐项表示，即可求解. 【详解】（1）解：所有被3整除的整数组成的集合，用描述法可表示为： （2）解：不等式的解集，用描述法可表示为：. （3）解：方程的所有实数解组成的集合， 用描述法可表示为：. （4）解：抛物线上所有点组成的集合， 用描述法可表示为：. （5）解：集合，用描述法可表示为：且. 5-3．（2024高一·全国·专题练习）在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合是（    ） A．或B． C． D． 【答案】B 【分析】在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合为|x|≤3的集合． 【详解】由题意，满足|x|≤3的集合，可得：， 故选：B （六） 集合的创新定义 一看代表元素，是数集还是点集，二看元素满足什么条件即有什么公共特性。 题型6：集合的创新定义 6-1．（2024高一上·河南·阶段练习）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有.若且，则用列举法表示的 . 【答案】 【分析】由题意可得，，或，，或，，然后根据新运算求解即可. 【详解】当时，； 当时，； 当，时，， 所以. 故答案为： 6-2．（2024高一上·江苏南京·期中）已知集合，，用符号表示非空集合A中元素的个数，定义，若，则实数a的所有可能取值构成集合P，则______．（请用列举法表示） 【答案】 【分析】由集合的新定义结合题意求出的值，再用列举法表示即可 【详解】∵，， ∴或， 当时，或. 当时，有3个解， 所以只有一个解不为1和， 则，解得， 当时，，则此时，不符合题意； 当时，，则此时，符合题意； 所以，， 故. 故答案为：． 6-3．（2024高一上·江苏）设是整数集的一个非空子集，对于，如果，，那么称是的一个“孤立元”.给定，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个. 【答案】 【解析】由题意可知，不含“孤立元”的个元素的集合中，集合中的个元素一定是连续的个自然数，列举出符合条件的集合，即可得出结果. 【详解】由题意可知，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数， 故这样的集合有：、、、、、，共个. 故答案为：. 【点睛】本题考查集合中的新定义，列举出符合条件的集合是解题的关键，属于中等题. 一、单选题 1．（2024高一上·安徽六安·期中）下列四组对象能构成集合的是（    ） A．高一年级跑步很快的同学 B．晓天中学足球队的同学 C．晓天镇的大河 D．著名的数学家 【答案】B 【分析】根据集合元素的确定性判断出正确答案. 【详解】集合元素具有确定性， 高一年级跑步很快的同学、晓天镇的大河、著名的数学家，这三组对象不确定，不能构成集合. “晓天中学足球队的同学”满足集合元素的：确定性、互异性、无序性， 所以“晓天中学足球队的同学”能够构成集合. 故选：B 2．（陕西省榆林市府谷中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题）下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．上课迟到的学生 B．2022年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于x的正整数 【答案】B 【分析】集合中元素具有确定性，对于每一个元素要么属于集合，要么不属于集合，构成集合的元素必要是确定的. 【详解】对于B中难题没有一个确定的标准，对同一题有人觉得难，但有人觉得不难，故2022年高考数学难题不能构成集合，组成它的元素是不确定的. 其它选项的对象都可以构成集合. 故选：B 3．（2024高一·全国·课后作业）下列各组对象的全体能构成集合的有（    ） （1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据集合中元素的确定性判断可得答案. 【详解】（1）（3）（4）（5）中的对象是确定的，可以组成集合，（2）中的对象是不确定的，不能组成集合. 故选：C. 4．（2024高一上·江苏宿迁·期中）已知，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由元素与集合关系的判断， 【详解】对于A，令，得，则，故A错误， 对于B，令，得，则，故B错误， 对于C，令，得，则，故C错误， 对于D，令，得，则，故D正确， 故选：D 5．（2024高一上·江苏扬州·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系即可求解. 【详解】解：因为，集合， 所以， 故选：B. 6．（2024高一上·重庆万州·期中）下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．参加运动会的学生 B．小于的正整数 C．年高考数学试卷上的难题 D．所有有理数 【答案】C 【分析】根据集合的基本概念辨析即可. 【详解】解：对于A选项，参加运动会的学生，是确定的，没有重复的，所以能构成集合； 对于B选项，小于的正整数，所研究的正整数，是确定的，没有重复的，所以能构成集合； 对于C选项，年高考数学试卷上的难题，多难的题才算是难题，有一定的不确定性，不符合集合中元素的确定性，故不能构成集合； 对于D选项，所有有理数，所研究的有理数，是确定的，没有重复的，所以能构成集合； 故选：C. 7．（2024高一上·重庆北碚·期末）定义若则中元素个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据新定义中运算的性质，求出集合中的元素即可. 【详解】因为且， 当时，可能为，此时的取值为：； 当时，可能为，此时的取值为：； 当时，可能为，此时的取值为：； 综上可知：，所以集合中元素个数为5， 故选：D. 8．（2024高二下·内蒙古通辽·期末）已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】讨论取相同数和不同数时, 的取值即可得出答案. 【详解】当取相同数时，；当取不同数时，的取值可能为1或2, 故中共有3个元素. 故选:B . 9．（2024高一·全国·专题练习）下列集合与区间表示的集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解一元二次不等式的方法，结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可 【详解】区间表示的集合为， A.集合表示点集，只有一个元素，故A错误； B. ，故B正确； C. ，表示数集，其中只有2个元素，故C错误； D. ，故D错误. 故选：B 10．（2024高一·全国·课后作业）已知关于x的方程的解集只有一个元素，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】根据一元二次方程解的个数与判别式的关系求解即可. 【详解】因为关于x的方程的解集只有一个元素， 所以，解得. 故选：C 11．（2024高一·全国·课后作业）下列语句中，正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）由3、4、5、5、6构成的集合含有5个元素；（4）数轴上由1到1.01间的线段的点集是有限集；（5）方程的解能构成集合. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据集合的概念和性质判断即可. 【详解】是自然数，故，（1）正确； 是无理数，故，（2）错误； 由3、4、5、5、6构成的集合为有4个元素，故（3）错误； 数轴上由1到1.01间的线段的点集是无限集，（4）错误； 方程的解为，可以构成集合，（5）正确； 故选：A 12．（2024高一下·广西河池·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合，逐个元素判定，即可求解. 【详解】由集合，因为，所以． 故选：B． 13．（2024高一上·全国·课后作业）下列说法：①集合用列举法可表示为{－1，0，1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或；③一次函数y＝x＋2和y＝－2x＋8的图像象交点组的集合为{x＝2，y＝4}，正确的个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】对于①，通过解方程求出的值，即可判断出结果的正误；对于②，根据集合的表示方法即可判断出结果的正误；对于③，通过联立方程，得出交点坐标，从而判断结果的正误. 【详解】由，得，解得x＝0或x＝1或x＝－1，又因为，故集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{0，1}，故①不正确． 集合表示中的“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而“”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确表示应为{x|x为实数}或，故②不正确． 联立，解得，∴一次函数与y＝－2x＋8的图像交点为（2，4）， ∴所求集合为且，故③不正确． 故选：D. 14．（2024高一·全国·课后作业）由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】由题意判断集合的元素个数，根据集合元素的互异性，可求得a的不可能取值，即得答案. 【详解】由题意由，，3组成的一个集合A，A中元素个数不是2， 因为无解，故由，，3组成的集合A的元素个数为3， 故，即，即a可取2， 即A，B，C错误，D正确， 故选：D 二、多选题 15．（2024高一上·湖北十堰·阶段练习）给出下列说法，其中正确的是（    ） A．集合用列举法表示为{0，1} B．实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R} C．方程组的解组成的集合为 D．方程的所有解组成的集合为 【答案】AD 【分析】化简集合判断A；利用集合的意义及集合的表示法判断B，C，D作答. 【详解】对于A，由，得或或，而， 因此集合用列举法表示为{0，1}，A正确； 对于B，集合表示中的符号“{}”已包含“所有”、“全体”等含义，而符号“R”已表示所有的实数构成的集合， 所以实数集可以表示为{x|x为实数}或R，B不正确； 对于C，方程组的解是有序实数对，而集合表示两个等式组成的集合，C不正确； 对于D，由，得且，则所有解组成的集合为，D正确. 故选：AD 16．（2024高一上·陕西咸阳·阶段练习）下列选项中能构成集合的是（    ） A．高一年级跑得快的同学 B．中国的大河 C．3的倍数 D．大于6的有理数 【答案】CD 【分析】根据集合的概念确定正确答案. 【详解】集合的元素要满足“确定性”，所以AB选项不符合，CD选项符合. 故选：CD 17．（2024高一下·湖南邵阳·开学考试）若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据“影子关系”集合的定义逐项分析即可. 【详解】根据“影子关系”集合的定义， 可知，，为“影子关系”集合， 由，得或，当时，，故不是“影子关系”集合． 故选：ABD 18．（2024高一上·湖南长沙·期末）已知集合，且，则实数的取值不可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据可得出或，解出的值，然后对集合中的元素是否满足互异性进行检验，综合可得结果. 【详解】因为集合，且，则或，解得. 当时，集合中的元素不满足互异性； 当时，，集合中的元素不满足互异性； 当时，，合乎题意. 综上所述，. 故选：ACD. 19．（2024高一·江苏·假期作业）方程组的解集可表示为（　　） A． B． C．{1，2} D． 【答案】ABD 【分析】求出方程组的解，再结合选项判断即可． 【详解】方程组的解为， 方程组的解集中只有一个元素，且此元素是有序数对， ∴、、均符合题意． 故选：ABD． 20．（2024高一·江苏·假期作业）下列说法错误的是　　 A．在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为 B．方程的解集为 C．集合与是同一个集合 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据集合的定义与表示逐项分析判断． 【详解】对于：因为等价于或， 如果，则点在第一象限，如果，则点在第三象限， 所以在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为，故正确； 对于：由于方程的解集等价于，解得， 故解集为，故错误； 对于C：集合表示的函数值的取值范围，是数集， 集合表示抛物线的图象，是点集，所以两个集合不相同，故C错误； 对于：因为，则，故错误， 故选：BCD． 三、填空题 21．（2024高三·全国·课后作业）已知集合，用列举法表示M＝ ． 【答案】 【分析】由直接求解. 【详解】根据题意，应该为6 的因数，故可能取值为1，2，3，6，其对应的值分别为：4，3，2，. 又，所以的值分别为：4，3，2. 故集合. 故答案为： 22．（2024高一上·河南·阶段练习）已知集合，写出一个满足中有 8 个元素的的值 . 【答案】 【分析】给取值，再检验的值是否满足题意即得解. 【详解】解：的值可以是，满足. 要,所以 所以集合中有 8 个元素. 故答案为：6 23．（2024高一上·天津南开·期中）已知集合，，则集合中的元素个数为 ． 【答案】 【分析】根据元素特征，采用列举法表示出集合，由此可得元素个数. 【详解】由题意得：， 中元素个数为. 故答案为：. 24．（2024高一上·浙江杭州·期中）集合，若，则 【答案】 【分析】分和，并结合集合元素的互异性求解即可. 【详解】解：因为， 所以，若，则可得或2， 当时，，不满足互异性，舍去， 当时，，满足题意; 若，则，此时，不满足互异性，舍去； 综上 故答案为： 25．（2024高一·全国·单元测试）设集合，集合，若已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系求解即可. 【详解】由可知，解得或， 又因为当时，，不满足题意， 所以，此时， 故答案为： 26．（2024高一·全国·课后作业）数集中的元素a不能取的值是 . 【答案】0，1，2， 【分析】根据集合中的元素满足互异性即可列不等式求解. 【详解】由集合中的元素满足互异性可知，解得且且且 故答案为：0，1，2， 27．（2024高一上·浙江·期中）以下是面点师制作兰州拉面的一个数学模型：如图所示，在数轴上截取与闭区间对应的线段，该线段长度为个单位．将该线段对折后（坐标对应的点与原点重合），线段数目翻倍，再将每根线段都均匀地拉成长度为个单位的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标和对应的点被拉到坐标，原来的坐标对应的点被拉到坐标，等等）．接下来的每次操作都在上一次操作的基础上进行同样的流程．在第次操作完成后，原闭区间上恰好被拉到坐标的点有若干个，这若干个点在第一次操作之前所对应的坐标形成一个集合，记为，例如．则集合可以用列举法表示为 ． 【答案】 【分析】根据题中所给的数学模型进行求解即可. 【详解】第一次操作后，每一部分的中点在操作之后对应的坐标都是2，与对应点的坐标为2，只有一个，因此； 第二次操作后，与4对应的点应取0和2的中点1，2和4的中点3，共2个，因此； 第三次操作后，与4对应的点应取0和1的中点，1和2的中点，2和3的中点， 3和4的中点， 故答案为： 28．（2024高一上·全国·课后作业）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则 . 【答案】 【分析】根据题意，由的符号，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求解 【详解】当都为正数时，可得； 当都为负数时，可得； 当两正一负时，可得； 当一正两负时，可得， 所以集合. 故答案为：. 29．（2024高一上·上海长宁·阶段练习）用描述法表示被3除余2的所有自然数组成的集合 . 【答案】 【解析】根据被3除余2的自然数为，结合集合的表示方法，即可求解. 【详解】由题意，设备3除的商为，余数为2， 这个数可表示为， 所以设被3除余2的自然数组成的集合为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了集合的定义，以及集合的描述法表示集合的形式，其中解答中熟记集合的表示方法是解答的关键，属于基础题. 30．（2024高一·全国·课后作业）集合表示的是 . 【答案】第三象限内点的集合 【分析】由集合中的不等式，解出的取值范围，确定点所在的区域. 【详解】由，解得，则集合表示的是第三象限内点的集合. 故答案为：第三象限内点的集合 31．（2024高一上·上海浦东新·阶段练习）若集合中只含有一个元素，则用列举法表示 . 【答案】或 【分析】分和，当时，先利用判别式等于0求a，然后解方程可得. 【详解】当时，由方程解得，； 当时，由解得， 方程为，解得，. 故答案为：或 32．（2024高一·江苏·专题练习）下列说法正确的是 ①与集合相等 ②方程的所有实数根组成的集合可记为 ③全体偶数组成的集合为 ④集合表示一条过原点的直线 【答案】④ 【分析】根据集合的元素特征，集合的表示方法，以及性质，即可判断选项. 【详解】方程，得和，所以集合，与集合不相等，故①错误； 当时，方程的解为，所以方程的所有实数根组成的集合为，故②错误； 全体偶数组成的集合为,故③错误； 集合表示直线上的所有点组成的集合，所以集合表示一条过原点的直线；故④正确． 故答案为：④． 33．（2024高一上·辽宁沈阳·阶段练习）集合为单元素集合，则 . 【答案】或 【分析】结合单元素集合的意义，分类讨论与两种情况即可得解. 【详解】因为集合为单元素集合， 所以有且只有一个解， 当，即时，方程可化为，解得，满足题意； 当，即时，，解得， 经检验：当，方程的解为，满足题意； 综上：或. 故答案为：或. 34．（2024高一上·河南南阳·期中）已知集合，，若，，则 . 【答案】 【分析】首先利用集合与元素的关系和集合元素的特征得到或，即可得到答案. 【详解】解：因为，所以或或， 解得或或， 因为，所以或或， 解得或或， 又因为，所以或，即. 故答案为： 35．（2024高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，若，则实数a的值为 ． 【答案】 【分析】根据集合中元素的特征，用集合元素互异性分析即可. 【详解】由集合中元素的互异性得，故，则，又，所以，解得． 故答案为： 36．（2024高一·全国·课后作业）给出下列说法： ①平面直角坐标系中，第一象限内的点组成的集合为； ②方程的解集为； ③集合与是不相等的． 其中正确的是 （填序号）． 【答案】①③ 【分析】根据题意，结合集合的表示方法，逐项判定，即可求解，得到答案． 【详解】对于①中，在平面直角坐标系中，第一象限内的点的横、纵坐标均大于0，且集合中的代表元素为点，所以①正确； 对于②中，方程的解为，解集为或，所以②不正确； 对于③中，集合，集合，这两个集合不相等，所以③正确． 【点睛】本题主要考查了集合的表示方法及其应用，其中解答中熟记集合的表示方法——列举法、描述法，以及集合表示方法的改写是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 37．（2024高一上·河南驻马店·期中）已知集合A＝{1，2}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B中所含元素的个数为 ． 【答案】1 【分析】首先根据题中的条件，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，结合A＝{1，2}，写出集合B，并且找到集合B的元素个数. 【详解】因为A＝{1，2}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}， 所以，所以集合B中只有一个元素， 故答案是1. 【点睛】该题考查的是有关集合中元素的个数问题，解题的关键是根据题中所给的集合中元素的特征，将集合中的元素列出来，从而得到结果. 38．（2024高一上·河北·期中）若集合恰有8个整数元素，写出a的一个值： ． 【答案】7（答案不唯一，实数a满足即可） 【分析】由题意知区间长度大于7不大于9，据此求出集合中最小整数，得到集合中最大整数为10，建立不等式求解. 【详解】依题意可得，解得， 则． 所以集合的整数元素的最小值为3，从而最大值为10， 所以，解得． 故答案为：7（答案不唯一）. 39．（2024高一上·北京·阶段练习）已知集合是单元素集，用列举法表示的取值集合 . 【答案】 【分析】由题意，方程有唯一解，由于分母，所以先讨论与时分式可约分的情况，此时只有唯一解，符合题意；再讨论时，将方程转化为有唯一解，即求解值. 【详解】由题意，集合是单元素集， 即方程有唯一解， ， 当时，原式等于，符合题意； 当时，原式等于，符合题意； 当时，方程转化为有唯一解， ，得， 所以的取值集合为. 故答案为： 四、解答题 40．（2024高一·全国·课后作业）用描述法表示下列集合： （1）函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合； （2）不等式2x－3<5的解组成的集合； （3）如图中阴影部分的点(含边界)的集合；    （4）3和4的所有正的公倍数构成的集合． 【答案】（1）{(x，y)|y＝－2x2＋x}；（2）{x|x<4}；（3）；（4）{x|x＝12n，n∈N*}. 【分析】根据描述法的表示形式，（1），（3）表示的是点集，都用表示元素，再根据条件写出满足的条件，从而可表示出集合，对于（2），（4）都用表示元素，再根据条件写出满足的条件，从而表示出这个集合 【详解】（1）函数y＝－2x2＋x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x2＋x}． （2）不等式2x－3<5的解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}． （3）图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为. （4）3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}． 41．（2024高一上·安徽滁州·阶段练习）已知集合中的元素1，4，，且实数满足，求实数的值. 【答案】，2，0. 【解析】由实数满足：，4，，得到或，或，结合互异性能求出实数的取值． 【详解】因为实数满足， 所以或或， 解得或或或或， 当时，集合中含有1，4，1，不合题意；当或或时，满足题意.所以实数的值为，2，0. 【点睛】本题主要考查已知集合与元素的关系求参数，解题时要认真审题，注意集合中元素互异性的合理运用，是基础题． 42．（2024高一·江苏·假期作业）用适当的方法表示下列集合． (1)方程组 的解集； (2)由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合； (3)方程的实数根组成的集合； (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合； (5)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) (5) 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据描述法和列举法的使用特点，即可求解. 【详解】（1）解方程组得，故解集可用描述法表示为，也可用列举法表示为． （2）小于13的既是奇数又是质数的自然数有4个，分别为3，5，7，11，故可用列举法表示为． （3）方程的实数根为2，因此可用列举法表示为，也可用描述法表示为. （4）二次函数的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对，其中x，y满足， 由于点有无数个，则用描述法表示为． （5）二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，是实数，故可用描述法表示为． 43．（2024高一·全国·课后作业）用列举法表示下列给定的集合： （1）大于1且小于6的整数组成的集合A. （2）方程x2－9＝0的实数根组成的集合B. （3）一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D. 【答案】（1）A＝{2，3，4，5}；（2）B＝{－3，3}；（3）{(1，4)} 【分析】（1）直接将大于1且小于6的整数，写出集合； （2）求得方程x2－9＝0的实数根，得到集合； （3）联立y＝x＋3与y＝－2x＋6，求得交点，得到集合. 【详解】（1）因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以A＝{2，3，4，5}. （2）方程x2－9＝0的实数根为－3，3，所以B＝{－3，3}. （3）由,得 所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1，4)， 所以D＝{(1，4)}. 【点睛】本题考查了用列举法表示集合，特别注意元素为点集的表示方法，属于基础题. 44．（2024高一上·福建三明·阶段练习）已知A为方程的所有实数解构成的集合，其中a为实数. (1)若A是空集，求a的范围； (2)若A是单元素集合，求a的范围： (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或； (3)或. 【分析】（1）讨论，根据可得结果； （2）讨论，根据可得结果； （3）转化为方程至多有一个解，由（1）（2）可得结果. 【详解】（1）若A是空集，则方程无解， 当时，方程有解，不符合题意； 当时，，得. 综上所述：. （2）若A是单元素集合，则方程有唯一实根， 当时，方程有唯一解，符合题意； 当时，，得. 综上所述：或. （3）若A中至多有一个元素，则方程至多有一个解， 当方程无解时，由（1）知，； 方程有唯一实根时，由（2）知，或. 综上所述：或. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$