21.1 一元二次方程 （原卷+解析卷）讲义2024-2025学年人教版 数学九年级上册

21.1 一元二次方程 题型1 判断是否为一元二次方程 4 题型2 根据一元二次方程的概念求字母的值 5 题型3 求一元二次方程的一般形式 6 题型4 求一元二次方程的某一项或系数 8 题型5 根据一元二次方程的解求字母的值 9 ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ◆ 知 识 清 单 ◆ 1．一元二次方程的概念 2．一元二次方程的一般形式 （1）二次项、二次项系数 （2）一次项、一次项系数 （3）常数项 3．一元二次方程的根 知识归纳 1．一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式为：，其中ax2，bx，c分别叫做二次项、一次项、常数项，a，b，c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项． 3．一元二次方程经过整理都可化成一般形式：． 4．使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根． 技巧总结 1．一元二次方程必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式．方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）． （2）只含有一个未知数． （3）未知数项的最高次数是2． 2．判断一个数值是不是一元二次方程的解的方法：将该数值代入一元二次方程，看是否能使等式成立． 3．（1）若a+b+c=0，则一元二次方程必有一根为x=1；若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0． （2）若a-b+c=0，则一元二次方程必有一根为x=﹣1； 若x=﹣1是一元二次方程的一个根，则a﹣b+c=0． （3）若一元二次方程有一个根为0，则c=0；若c=0，则一元二次方程有一个根为0． 4．若明确是关于的一元二次方程，则隐含． 拓展延伸 已知一元二次方程的一个根，求字母或代数式的值时，可以先将这个根代入原方程，得到一个关于所求字母的新方程，然后解这个新方程求出字母的值或整理该方程巧求代数式的值即可（求代数式的值时，经常用到整体代入法）． 题型突破 题型1 判断是否为一元二次方程 【典例1】　（2023秋•梁溪区期末）下列方程是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【典例2】　（2023秋•岳阳县期末）在下列方程中，是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【典例3】　（2024•青秀区校级开学）下列方程是关于的一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 题型2 根据一元二次方程的概念求字母的值 【典例4】　（2023秋•邹平市期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值是　　 A． B．2 C．或3 D．3 【典例5】　（2024•高新区校级开学）若是关于的一元二次方程，则的值为　　 A．1 B．3 C． D． 【典例6】　（2024•荔湾区校级开学）已知是关于的一元二次方程，则的值为 　　． 题型3 求一元二次方程的一般形式 【典例7】　（2024秋•花都区校级月考）把一元二次方程化成一般形式得　　 A． B． C． D． 【典例8】　（2023秋•成都期末）把一元二次方程化成一般形式，正确的是　　 A． B． C． D． 【典例9】　（2024•江西模拟）将一元二次方程化成一般形式正确的是　　 A． B． C． D． 题型4 求一元二次方程的某一项或系数 【典例10】　（2024•东城区校级开学）一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是　　 A．1，5，1 B．0，5， C．1，5， D．0，5，1 【典例11】　（2024•泗洪县一模）一元二次方程一次项的系数是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【典例12】　（2023秋•盐山县期末）一元二次方程化成一般形式后，二次项的系数是2，则常数项是　　 A．2 B． C．3 D． 题型5 根据一元二次方程的解求字母的值 【典例13】　（2024春•开福区校级月考）已知关于的一元二次方程的一个根为，则　　． 【典例14】（2024•昌平区校级开学）若是方程的一个解，则的值为　　 A． B．1 C．2 D．5 【典例15】（2023秋•东河区期末）如果关于的一元二次方程有一个解是0，那么的值是　　 A．3 B． C． D．0或 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.1 一元二次方程 题型1 判断是否为一元二次方程 4 题型2 根据一元二次方程的概念求字母的值 5 题型3 求一元二次方程的一般形式 6 题型4 求一元二次方程的某一项或系数 8 题型5 根据一元二次方程的解求字母的值 9 ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ◆ 知 识 清 单 ◆ 1．一元二次方程的概念 2．一元二次方程的一般形式 （1）二次项、二次项系数 （2）一次项、一次项系数 （3）常数项 3．一元二次方程的根 知识归纳 1．一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式为：，其中ax2，bx，c分别叫做二次项、一次项、常数项，a，b，c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项． 3．一元二次方程经过整理都可化成一般形式：． 4．使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根． 技巧总结 1．一元二次方程必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式．方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）． （2）只含有一个未知数． （3）未知数项的最高次数是2． 2．判断一个数值是不是一元二次方程的解的方法：将该数值代入一元二次方程，看是否能使等式成立． 3．（1）若a+b+c=0，则一元二次方程必有一根为x=1；若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0． （2）若a-b+c=0，则一元二次方程必有一根为x=﹣1； 若x=﹣1是一元二次方程的一个根，则a﹣b+c=0． （3）若一元二次方程有一个根为0，则c=0；若c=0，则一元二次方程有一个根为0． 4．若明确是关于的一元二次方程，则隐含． 拓展延伸 已知一元二次方程的一个根，求字母或代数式的值时，可以先将这个根代入原方程，得到一个关于所求字母的新方程，然后解这个新方程求出字母的值或整理该方程巧求代数式的值即可（求代数式的值时，经常用到整体代入法）． 题型突破 题型1 判断是否为一元二次方程 【典例1】　（2023秋•梁溪区期末）下列方程是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义对题目中给出的四个选项逐一进行甄别即可得出答案． 【解答】解：．方程，是一元一次方程，故本选项不符合题意； 、方程，是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； ．方程，是一元二次方程，故本选项符合题意； ．方程，是二元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：． 【典例2】　（2023秋•岳阳县期末）在下列方程中，是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可． 【解答】解：、是一元二次方程，故此选项符合题意； 、当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 、整理后不含二次项，是一元一次方程，故此选项不符合题意； 、不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 故选：． 【典例3】　（2024•青秀区校级开学）下列方程是关于的一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义即可解决问题． 【解答】解：根据一元二次方程的定义可知， 只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2， 故选项符合题意． 含有两个未知数， 故选项不符合题意． 只含有一个未知数，但未知数的最高次数为1， 故选项不符合题意． 只含有一个未知数，但不是整式方程， 故选项不符合题意． 故选：． 题型2 根据一元二次方程的概念求字母的值 【典例4】　（2023秋•邹平市期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值是　　 A． B．2 C．或3 D．3 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可． 【解答】解：关于的方程是一元二次方程， 且， 解得：， 故选：． 【典例5】　（2024•高新区校级开学）若是关于的一元二次方程，则的值为　　 A．1 B．3 C． D． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：， 解得：， 故选：． 【典例6】　（2024•荔湾区校级开学）已知是关于的一元二次方程，则的值为 　　． 【答案】． 【分析】根据一元二次方程的定义得出关于的等式及不等式，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， ，且， 解得． 故答案为：． 题型3 求一元二次方程的一般形式 【典例7】　（2024秋•花都区校级月考）把一元二次方程化成一般形式得　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用平方差公式展开、移项化成的形式即可． 【解答】解：由得：， 即：， 故选：． 【典例8】　（2023秋•成都期末）把一元二次方程化成一般形式，正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据平方差公式进行计算，再移项，最后得出选项即可． 【解答】解：， ， 即， 故选：． 【典例9】　（2024•江西模拟）将一元二次方程化成一般形式正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】一元二次方程的一般式为（其中、、是常数且，据此求解即可． 【解答】解： 即， 故选：． 题型4 求一元二次方程的某一项或系数 【典例10】　（2024•东城区校级开学）一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是　　 A．1，5，1 B．0，5， C．1，5， D．0，5，1 【答案】 【分析】根据一元二次方程的一般形式：，，是常数且中，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可． 【解答】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是1，5，． 故选：． 【典例11】　（2024•泗洪县一模）一元二次方程一次项的系数是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】 【分析】根据一元二次方程的一般形式，找出一元二次方程的一次项，即可得系数值，解题关键是在找一次项系数时，要带着前面的符号． 【解答】解：一元二次方程一次项是， 一次项的系数是4． 故选：． 【典例12】　（2023秋•盐山县期末）一元二次方程化成一般形式后，二次项的系数是2，则常数项是　　 A．2 B． C．3 D． 【答案】 【分析】．其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项．据此求解即可． 【解答】解：， ， 二次项的系数是2，则常数项是． 故选：． 题型5 根据一元二次方程的解求字母的值 【典例13】　（2024春•开福区校级月考）已知关于的一元二次方程的一个根为，则　　． 【答案】． 【分析】因为关于的一元二次方程的一个根为，所以把代入方程得，然后解关于的方程即可． 【解答】解：依题意，把代入方程 得， 解得． 故答案为：． 【典例14】　（2024•昌平区校级开学）若是方程的一个解，则的值为　　 A． B．1 C．2 D．5 【答案】 【分析】先把代入一元二次方程得到，然后解关于的一次方程即可． 【解答】解：把代入方程得， 解得． 故选：． 【典例15】　（2023秋•东河区期末）如果关于的一元二次方程有一个解是0，那么的值是　　 A．3 B． C． D．0或 【分析】把代入方程中，解关于的一元二次方程，注意的取值不能使原方程对二次项系数为0． 【解答】解：把代入方程中，得 ， 解得或3， 当时，原方程二次项系数，舍去， 故选：． 学科网（北京）股份有限公司 $$