22.1二次函数的图像和性质预习讲义-2024-2025学年人教版数学九年级上册

22.1二次函数的图像和性质预习讲义-数学九年级上册人教版 【高频考点】+【典型例题】+【跟踪训练】 ( 目录导航 ) 第一部分：高频考点 第二部分：典型例题 第三部分：跟踪训练 【第一部分】 ( 高频考点 ) 二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 【第二部分】 ( 典型例题 ) 1．在平面直角坐标系中，点（1，m）和（3，n）都在二次函数y＝ax2+bx（a≠0，a，b是常数）的图象上． （1）若m＝n＝﹣6，求该二次函数的表达式和函数图象的对称轴． （2）若a＝﹣1，m＜n，求b的取值范围． （3）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）也都在该二次函数图象上，若mn＜0且a＜0，试比较y1，y2，y3的大小，并说明理由． 【解答】解：（1）当m＝n＝﹣6时，把（1，﹣6）和（3，﹣6）代入y＝ax2+bx得： ， 解得， ∴二次函数的表达式为y＝2x2﹣8x； ∵y＝2x2﹣8x＝2（x﹣2）2﹣8， ∴函数图象的对称轴为直线x＝2； （2）当a＝﹣1时，y＝﹣x2+bx， 把（1，m）和（3，n）代入得： ， ∵m＜n， ∴﹣1+b＜﹣9+3b， 解得b＞4， ∴b的取值范围是b＞4； （3）把（1，m）和（3，n）代入y＝ax2+bx得： ， ∵mn＜0， ∴（a+b）（9a+3b）＜0， ∴或， ∵a＜0， ∴，即无解； ∴a+b＞0且3a+b＜0； 把（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）代入y＝ax2+bx得： y1＝a﹣b，y2＝4a+2b，y3＝16a+4b， ∴y1﹣y2＝a﹣b﹣（4a+2b）＝﹣3（a+b）＜0，y1﹣y3＝a﹣b﹣（16a+4b）＝﹣5（3a+b）＞0， ∴y1＜y2，y1＞y3， ∴y3＜y1＜y2． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为E．点D在二次函数的图象上，CD∥x轴，CD＝2． （1）求这条抛物线的函数解析式及顶点E的坐标； （2）在x轴上有一点F，若以点F、B、C为顶点的三角形与△BCD相似，求点F坐标； （3）点Q是二次函数图象上一点，过点Q向抛物线的对称轴作垂线，垂足为H，若HE＝3HQ，求点Q的坐标． 【解答】解：（1）由题意可知：y＝x2+bx﹣3， ∴当x＝0时，y＝﹣3，即点C的坐标为（0，﹣3）， ∵CD∥x轴，CD＝2， ∴点D的坐标为（2，﹣3），代入抛物线得：4+2b﹣3＝﹣3， ∴b＝﹣2， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点E的坐标为（1，﹣4）； （2）由（1）得y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，即x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∴，CD＝2，， ∴设点F（x，0）， ①当BC为△BCF的最长边时，得， ∴， 解得：x＝1， ∴点F（1，0）； ②当BF为△BCF的最长边时，得， ∴， ∴BF＝9， ∴点F（﹣6，0）； ③当CF为△BCF的最长边时，得， 解得：x无解，所以这个点F不存在， 综上所述点F的坐标为（1，0）或（﹣6，0）； （3）点Q在函数图象上，则设点Q（x，x2﹣2x﹣3）， ∵二次函数对称轴为x＝1， ∴HE＝x2﹣2x﹣3+4，HQ＝|x﹣1|， ∵HE＝3HQ， ∴x2﹣2x﹣3+4＝3|x﹣1|， ∴x2﹣5x+4＝0或x2+x﹣2＝0， 解得：x1＝1，x2＝4或x1＝1，x2＝﹣2， 当x＝1时不符合题意， 故x＝4或x＝﹣2， 故点Q的坐标为（﹣2，5），（4，5）． ( 目录导航 ) ( 高频考点 ) ( 典型例题 ) ( 跟踪训练 ) 【第三部分】 ( 跟踪训练 ) 一．选择题（共7小题） 1．下列y关于x的函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝5x2 B．y＝22﹣2x C．y＝（x+2）2﹣x2 D． 2．若二次函数y＝x2﹣2x+3a﹣1的图象恰好只经过三个象限，则a的取值范围为（　　） A．a＜0 B． C． D． 3．将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（　　） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 4．已知y是关于x的二次函数，部分y与x的对应值如表所示： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 1 ﹣1 1 7 17 … 则关于该二次函数，下列说法错误的是（　　） A．有最小值 B．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小 C．图象对称轴是直线x＝2 D．图象开口向上 5．一次函数y＝ax+c（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数）在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　） A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3 7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论： ①abc＞0； ②b2＜4ac； ③2c＜3b； ④a+b＞m（am+b）（m≠1）； ⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2． 其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二．填空题（共7小题） 8．二次函数y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是 　 　． 9．抛物线y＝2x2﹣3x+6的对称轴是 　 　． 10．点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y＝（x﹣1）2+k上，则y1，y2，y3的大小关系是 　 　（用“＜”连接）． 11．已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与y轴交于点C，点P是抛物线上的动点，D（0，1），若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为 　 　． 12．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则bc＝　 　． 13．定义：若x，y满足x2＝﹣3y+k，y2＝3x+k（k为常数），且x+y≠0，则称点P（x，y）为“优点”．若M（m，9）是“优点”，则m＝　 　；若抛物线上至少存在一个“优点”，则c的取值范围为 　 　． 14．如图，菱形OABC的边长为2，点C在y轴的负半轴上，抛物线y＝ax2过点B．若∠AOC＝60°，则a＝　 　． 三．解答题（共5小题） 15．已知二次函数y＝2x2﹣8x﹣6． （1）用配方法化成顶点式； （2）求出顶点坐标、对称轴、最小值； （3）求出抛物线与x轴、y轴交点坐标． 16．二次函数的图象顶点坐标为（﹣2，﹣2），且过（1，0）． （1）求该二次函数解析式； （2）当﹣5≤x＜4时，求函数值y的取值范围． 17．在平面直角坐标系中，点（1，m）和（3，n）都在二次函数y＝ax2+bx（a≠0，a，b是常数）的图象上． （1）若m＝n＝﹣6，求该二次函数的表达式和函数图象的对称轴． （2）若a＝﹣1，m＜n，求b的取值范围． （3）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）也都在该二次函数图象上，若mn＜0且a＜0，试比较y1，y2，y3的大小，并说明理由． 18．在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象经过点（3，0），且当x＝1时，函数的最小值为﹣4． （1）求该二次函数的解析式； （2）直线x＝m与该二次函数的图象和直线y＝2x﹣3的交点分别为C，D．若点C位于点D的上方，结合函数的图象，直接写出m的取值范围． 19．如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴交于点B（5，0），C（﹣1，0）． （1）求该抛物线的表达式； （2）将抛物线沿x轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线y′，Q是新抛物线y′与x轴的交点（靠近y轴），N是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点M，使得以BQ为边，且以M、N、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点M的坐标． 22.1二次函数的图像和性质预习讲义-数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．下列y关于x的函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝5x2 B．y＝22﹣2x C．y＝（x+2）2﹣x2 D． 【解答】解：A、y＝5x2，是二次函数，故A符合题意； B、y＝22﹣2x＝4﹣2x，是一次函数，故B不符合题意； C、y＝（x+2）2﹣x2＝x2+4x+4﹣x2＝4x+4不是二次函数，故C不符合题意； D、y＝，不是二次函数，故D不符合题意； 故选：A． 2．若二次函数y＝x2﹣2x+3a﹣1的图象恰好只经过三个象限，则a的取值范围为（　　） A．a＜0 B． C． D． 【解答】解：在y＝x2﹣2x+3a﹣1中，当x＝0时，y＝3a﹣1， ∴二次函数与y轴的交点为（0，3a﹣1）， ∵y＝x2﹣2x+3a﹣1＝（x﹣1）2+3a﹣2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，顶点坐标为（1，3a﹣2）， ∵二次函数y＝x2﹣2x+3a﹣1的图象恰好只经过三个象限， ∴二次函数图象经过一、二、四象限， ∴3a﹣2＜0，3a﹣1≥0， 解得：， 故选：C． 3．将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（　　） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【解答】解：∵y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣2）， ∴将抛物线y＝﹣3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2． 故选：D． 4．已知y是关于x的二次函数，部分y与x的对应值如表所示： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 1 ﹣1 1 7 17 … 则关于该二次函数，下列说法错误的是（　　） A．有最小值 B．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小 C．图象对称轴是直线x＝2 D．图象开口向上 【解答】解：∵当x＝﹣2时，y＝1，当x＝0时，y＝1， ∴对称轴直线为x＝﹣1，故C说法错误，符合题意； ∵x＝﹣1，y＝﹣1， ∴函数有最小值，开口向上，故A、D选项说法正确，不符合题意； ∴当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故B选项说法正确，不符合题意． 故选：C． 5．一次函数y＝ax+c（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在y＝ax+c中，当x＝0时，y＝c， ∴y＝ax+c与y轴的交点为（0，c）； 在y＝ax2+bx+c中，当x＝0时，y＝c， ∴y＝ax2+bx+c与y轴的交点为（0，c）， 则y＝ax+c与y＝ax2+bx+c与y轴交于同一点（0，c）， 故选：D． 6．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数）在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　） A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3 【解答】解：h的值不可能在1到3之间， 当h＜1≤x≤3时， 当x＝1时，y取得最小值5， （1﹣h）2+1＝5， h＝﹣1或h＝3（不合题意，舍去）， 当1≤x≤3＜h， 当x＝3时，y取得最小值5， （3﹣h）2+1＝5， h＝5或h＝1（不合题意，舍去）， 故选：B． 7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论： ①abc＞0； ②b2＜4ac； ③2c＜3b； ④a+b＞m（am+b）（m≠1）； ⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2． 其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：∵图象开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴在y轴的右侧，a与b异号， ∴b＞0， ∵与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0， 故①错误； ∵二次函数图象与x轴交于不同两点，则Δ＝b2﹣4ac＞0． ∴b2＞4ac． 故②错误； ∵＝1， ∴b＝﹣2a． 又∵当x＝﹣1时，y＜0． 即a﹣b+c＜0． ∴2a﹣2b+2c＜0． ∴﹣3b+2c＜0． ∴2c＜3b． 故③正确； ∵x＝1时函数有最大值， ∴当x＝1时的y值大于当x＝m（m≠1）时的y值， 即a+b+c＞m（am+b）+c ∴a+b＞m（am+b）（m≠1）成立， 故④正确． 将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y＝1有四个交点即可， 由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4， 故⑤错误． 综上：③④正确， 故选：A． 二．填空题（共7小题） 8．二次函数y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是 　（3，2）　． 【解答】解：二次函数y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（3，2）． 故答案为：（3，2）． 9．抛物线y＝2x2﹣3x+6的对称轴是 　直线x＝　． 【解答】解：∵抛物线解析式为y＝2x2﹣3x+6， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝， 故答案为：直线x＝． 10．点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y＝（x﹣1）2+k上，则y1，y2，y3的大小关系是 　y2＜y3＜y1　（用“＜”连接）． 【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+k的开口向上，且对称轴为直线x＝1， ∵B、C点在抛物线右侧，2＜3， ∴y2＜y3， ∵x＝﹣3离对称轴最远，y值最大，x＝2离对称轴最近，y值最小， ∴y2＜y3＜y1 故答案为：y2＜y3＜y1． 11．已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与y轴交于点C，点P是抛物线上的动点，D（0，1），若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为 　（﹣1+，2）或（﹣1﹣，2）　． 【解答】解：当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，则C（0，3）， ∵△PCD是以CD为底的等腰三角形， ∴点P为直线y＝2与抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的交点， 当y＝2时，﹣x2+2x+3＝2，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣， ∴P点坐标为（﹣1+，2）或（﹣1﹣，2）． 故答案为：（﹣1+，2）或（﹣1﹣，2）． 12．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则bc＝　﹣6　． 【解答】解：二次函数y＝﹣x2+bx+c与y轴交点为（0，3）， 即c＝3， 对称轴为直线x＝﹣1，即， 解得：b＝﹣2， ∴bc＝﹣6 故答案为：﹣6． 13．定义：若x，y满足x2＝﹣3y+k，y2＝3x+k（k为常数），且x+y≠0，则称点P（x，y）为“优点”．若M（m，9）是“优点”，则m＝　6　；若抛物线上至少存在一个“优点”，则c的取值范围为 　　． 【解答】解：由“优点”定义可知，， 解得m＝﹣9或6． 由题意可知，m+9≠0． ∴m≠﹣9． ∴m＝6． ∴x2＝﹣3y+k，y2＝3x+k， ∴x2﹣y2＝﹣3y﹣3x． ∴（x+y）（x﹣y）+3（x+y）＝0． ∴（x+y）（x﹣y+3）＝0． ∵x+y≠0， ∴x﹣y+3＝0． ∴y＝x+3． ∴直线y＝x+3上的点都是“优点”． 对于直线y＝x+3，当x＝﹣2时，y＝1；当x＝3时，y＝6． 设A（﹣2，1），B（3，6）． 由题意可知，抛物线上至少存在一个“优点”，即转化为抛物线与直线y＝x+3至少有一个交点． 如图1，当抛物线与y＝x+3有且只有一个交点时，联立， 整理，得x2﹣2x﹣2c+6＝0． ∴Δ＝4﹣4（﹣2c+6）＝0． 解得， 此时c取得最小值． 如图2，当抛物线过点A时，． 解得c＝7， 此时c取得最大值． ∴c的取值范围为． 故答案为6，． ． 14．如图，菱形OABC的边长为2，点C在y轴的负半轴上，抛物线y＝ax2过点B．若∠AOC＝60°，则a＝　﹣1　． 【解答】解：过点D作BD⊥y轴交y轴于点D， ∵菱形OABC的边长为2， ∴OC＝BC＝2， ∵∠AOC＝60°， ∴∠BCD＝60°， ∴BD＝BCsin∠BCD＝2×＝，CD＝BCcos∠BCD＝2cos60°＝2×＝1， ∴OD＝OC+CD＝3， ∴B（﹣，﹣3）， 把B（﹣，﹣3）代入y＝ax2， ∴﹣3＝3a ∴a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 三．解答题（共5小题） 15．已知二次函数y＝2x2﹣8x﹣6． （1）用配方法化成顶点式； （2）求出顶点坐标、对称轴、最小值； （3）求出抛物线与x轴、y轴交点坐标． 【解答】解：（1）y＝2x2﹣8x﹣6＝2（x﹣2）2﹣14； （2）函数图象的顶点坐标（2，﹣14）， 对称轴为直线x＝2， ∵a＝2＞0， ∴当x＝2时，函数有最小值，最小值为﹣14； （3）令x＝0，则y＝﹣6， ∴函数图象与y轴交点坐标为（0，﹣6）， 令y＝0，则2x2﹣8x﹣6＝0， 解得：x1＝2+，x2＝2﹣， ∴函数图象与x轴交点坐标为（2+，0）和（2﹣，0）． 16．二次函数的图象顶点坐标为（﹣2，﹣2），且过（1，0）． （1）求该二次函数解析式； （2）当﹣5≤x＜4时，求函数值y的取值范围． 【解答】解：（1）由抛物线顶点式表达式得：y＝a（x+2）2﹣2， x＝1时，y＝a（1+2）2﹣2＝0，解得：a＝， 故抛物线的表达式为：y＝（x+2）2﹣2； （2）当x＝﹣2时，y＝﹣2， 当x＝4时，y＝6， ∴当﹣5≤x＜4时，函数值y的取值范围是﹣2≤y＜6， 故答案为：﹣2≤y＜6． 17．在平面直角坐标系中，点（1，m）和（3，n）都在二次函数y＝ax2+bx（a≠0，a，b是常数）的图象上． （1）若m＝n＝﹣6，求该二次函数的表达式和函数图象的对称轴． （2）若a＝﹣1，m＜n，求b的取值范围． （3）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）也都在该二次函数图象上，若mn＜0且a＜0，试比较y1，y2，y3的大小，并说明理由． 【解答】解：（1）当m＝n＝﹣6时，把（1，﹣6）和（3，﹣6）代入y＝ax2+bx得： ， 解得， ∴二次函数的表达式为y＝2x2﹣8x； ∵y＝2x2﹣8x＝2（x﹣2）2﹣8， ∴函数图象的对称轴为直线x＝2； （2）当a＝﹣1时，y＝﹣x2+bx， 把（1，m）和（3，n）代入得： ， ∵m＜n， ∴﹣1+b＜﹣9+3b， 解得b＞4， ∴b的取值范围是b＞4； （3）把（1，m）和（3，n）代入y＝ax2+bx得： ， ∵mn＜0， ∴（a+b）（9a+3b）＜0， ∴或， ∵a＜0， ∴，即无解； ∴a+b＞0且3a+b＜0； 把（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）代入y＝ax2+bx得： y1＝a﹣b，y2＝4a+2b，y3＝16a+4b， ∴y1﹣y2＝a﹣b﹣（4a+2b）＝﹣3（a+b）＜0，y1﹣y3＝a﹣b﹣（16a+4b）＝﹣5（3a+b）＞0， ∴y1＜y2，y1＞y3， ∴y3＜y1＜y2． 18．在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象经过点（3，0），且当x＝1时，函数的最小值为﹣4． （1）求该二次函数的解析式； （2）直线x＝m与该二次函数的图象和直线y＝2x﹣3的交点分别为C，D．若点C位于点D的上方，结合函数的图象，直接写出m的取值范围． 【解答】解：（1）由题意，∵当x＝1时，二次函数的最小值为﹣4， ∴二次函数的图象的顶点为（1，﹣4）． ∴二次函数的解析式可设为y＝a（x﹣1）2﹣4（a＞0）， ∵二次函数的图象经过点（3，0）， ∴a（3﹣1）2﹣4＝0． 解得a＝1． ∴该二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4； （2）如图， 由图象可得m＜0或m＞4． 19．如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴交于点B（5，0），C（﹣1，0）． （1）求该抛物线的表达式； （2）将抛物线沿x轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线y′，Q是新抛物线y′与x轴的交点（靠近y轴），N是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点M，使得以BQ为边，且以M、N、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点M的坐标． 【解答】解：（1）将点B（5，0），C（﹣1，0）代入抛物线表达式， 得， 解得， ∴该抛物线的表达式为y＝x2﹣4x﹣5． （2）∵y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9， ∴抛物线y的对称轴为直线x＝2，平移后的抛物线表达式为y′＝（x﹣4）2﹣9＝x2﹣8x+7， 把y＝0代入：y′＝x2﹣8x+7得x2﹣8x+7＝0， 解得x1＝1，x2＝7， ∴Q（1，0）． ∵N是原抛物线对称轴上一动点，点M在新抛物线上， ∴设N（2，n），M（t，t2﹣8t+7）． 当BQ为平行四边形的一边时， ∴BQ∥MN且BQ＝MN． 由题可知BQ＝5﹣1＝4． ∴MN＝4． 即t±4＝2，解得t＝﹣2或6． ∴点M的坐标为（6，﹣5）或（﹣2，27）． 综上所述，满足条件的点M的坐标为（6，﹣5）或（﹣2，27）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$