专题10.5 随机变量及其分布（考点精讲）-【中职专用】2025年春季高考数学一轮复习讲练测（山东专用）

专题10.5 随机变量及其分布 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 3 考点一：离散型随机变量分布列的性质 3 考点二：离散型随机变量的均值与方差 4 考点三：二项分布 6 考点四：正态分布 7 【考纲要求】 1. 了解离散型随机变量，会求离散型随机变量的分布列； 2. 理解n重伯努利试验的概念，掌握随机变量服从二项分布的有关计算，会求服从二项分布的随机变量的均值和方差； 3. 了解正态曲线的特征的特征和正态曲线所表示的意义，能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义，会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率. 【考向预测】 1.离散型随机变量分布列的性质 2.离散型随机变量的均值和方差 3.二项分布 4.正态分布 【知识导图】 【知识清单】 1.随机变量 (1)随机变量：表示随机试验结果的变量称为随机变量，常用符号ξ，X，Y等表示． (2)离散型随机变量：所有可能的取值都能一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量． 2.概率分布 (1)概率分布：离散型随机变量的取值及其相对应的概率值的全体称为离散型随机变量的概率分布． (2)分布列 一般地，设随机变量ξ， ①所有可能取的值为x1，x2，…，xn； ②取每一个值的对应概率为p1，p2，…，pn，可列出表： ξ x1 x2 … xi … P p1 p2 … pi … 这个表示了离散型随机变量ξ的概率分布，通常称为分布列．(ξ可取的值也可能为无穷多个：x1，x2，…，xn，…) (3)分布列的两条性质 ①pi≥0，i＝1，2，3，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝＝1． 3.均值（期望） 离散型随机变量X的均值为E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝． 4.方差 离散型随机变量X的方差为D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝． 特别提醒：①E(aX+b)=aE(X)+b；②D(aX+b)=a2D(X) 5.独立试验 (1)在相同的条件下，重复做试验，如果每一次试验结果出现的概率都不依赖其他各次试验的结果，那么就把这种试验称为独立试验． (2)如果在n次独立试验的每一次试验中，我们只考察事件A发生或不发生这两个结果，并且在每次试验中事件A发生的概率不变，那么这样的n次独立试验，就称为n次独立重复试验．一般地，如果在一次试验中事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n). 6．二项分布 在独立重复试验中，若将事件A发生的次数设为X，事件A发生的概率是p，事件A不发生的概率是q＝1-p，那么X的分布列见表 X 0 1 … k … n P              … …      由于表中的第二行恰好是二项展开式(q＋p)n＝p0qn＋p1qn－1＋…＋pkqn－k＋…＋pnq0各对应项的值，所以称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n,p). E(X)=np，D(X)=np(1-p) 7．正态分布 (1)正态曲线(如图所示) (2)正态曲线的特点 ①曲线在x轴的上方，并且关于直线x＝μ对称． ②曲线在x＝μ时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状． ③曲线的形状由正参数σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“高瘦”． 当μ＝0且σ＝1时的正态分布称为标准正态分布． 【考点分类剖析】 考点一：离散型随机变量分布列的性质 例1．已知随机变量X的分布列如下表，则（    ） X 1 2 3 P m A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据随机变量的分布列的概率之和为即可求解. 【详解】由题意得，，解得. 故选：C. 【变式探究】随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 则 . 【答案】0.3 【分析】根据分布列的性质解出m的值，结合表格即可求出的值. 【详解】由分布列的性质得，，解得， 所以. 故答案为：0.3. 考点二：离散型随机变量的均值与方差 例2．已知离散型随机变量的分布列如表所示，则实数 ， . 0 1 P a 【答案】 /0.25 /0.25 【分析】根据分布列的性质与由随机变量的分布列均值公式求解均值即可. 【详解】由分布列的性质可知，解得. 则. 故答案为： 【变式探究】已知随机变量的分布列如表所示，则的均值为（    ） 0 1 2 P A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据随机变量的分布列即可求解. 【详解】. 故选：D. 例3.随机变量的概率分布为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据离散型随机变量的均值公式，求出的值，再根据方差公式计算. 【详解】由题意可知，且，可得, 因此，. 故选：D. 【变式探究】已知随机变量的分布列如表所示，则（    ） 0 1 P 0.4 m A．0.5 B．0.42 C．0.24 D．0.16 【答案】C 【分析】根据分布列中概率和为1，得到m的值，然后利用公式求出. 【详解】解：根据概率的性质可得， 所以， 所以. 故选：C. 考点三：二项分布 例4．“五一”劳动节放假期间，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据独立事件及对立事件的概念公式求解即可. 【详解】∵甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为． ∴他们不去北京旅游的概率分别为． ∵至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人去北京旅游， ∴至少有1人去北京旅游的概率为：． 故选：B． 【变式探究】某单位举行知识竞赛，给每位参赛选手设计了两道题目，已知某单位参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完两道题目后至少答对一题的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据独立重复试验的概率公式及对立事件的概率公式求解． 【详解】因为参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相互独立， 所以该参赛者答完两道题目后全部答错的概率为． 则该参赛者答完两道题目后至少答对一题的概率为． 故选：D． 2.把一枚硬币连续抛掷3次，恰好有两次正面向上的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概型的概率得到抛掷硬币时正面和反面的概率，再计算恰好两次正面朝上的概率. 【详解】一枚硬币连续抛掷有正面和反面两种情况， 所以正面朝上的概率是，反面朝上的概率也是， 抛掷3次，恰好有3次正面朝上的概率. 故选：A. 例5.已知随机变量,,,则的值依次为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】由二项分布求均值和方差公式即可得解. 【详解】由题意得. 解得 故选:. 【变式探究】设随机变量，如果，，则 ， . 【答案】 4 0.6/ 【分析】由均值和方差公式计算即可. 【详解】因为随机变量，，， 可得，解得. 故答案为: 4，0.6. 考点四：正态分布 例6.某工厂生产的自主研发的芯片元件的质量指标X服从正态分布N，若，则（    ） A．0.12 B．0.14 C．0.36 D．0.48 【答案】C 【分析】利用正态分布的对称性求解即可. 【详解】由正态分布可知：， 所以， 故选：C. 【变式探究】已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态曲线的特征求解. 【详解】由于正态曲线的对称轴是，所以. 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10.5 随机变量及其分布 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 3 考点一：离散型随机变量分布列的性质 3 考点二：离散型随机变量的均值与方差 4 考点三：二项分布 4 考点四：正态分布 5 【考纲要求】 1. 了解离散型随机变量，会求离散型随机变量的分布列； 2. 理解n重伯努利试验的概念，掌握随机变量服从二项分布的有关计算，会求服从二项分布的随机变量的均值和方差； 3. 了解正态曲线的特征的特征和正态曲线所表示的意义，能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义，会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率. 【考向预测】 1.离散型随机变量分布列的性质 2.离散型随机变量的均值和方差 3.二项分布 4.正态分布 【知识导图】 【知识清单】 1.随机变量 (1)随机变量：表示随机试验结果的变量称为随机变量，常用符号ξ，X，Y等表示． (2)离散型随机变量：所有可能的取值都能一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量． 2.概率分布 (1)概率分布：离散型随机变量的取值及其相对应的概率值的全体称为离散型随机变量的概率分布． (2)分布列 一般地，设随机变量ξ， ①所有可能取的值为x1，x2，…，xn； ②取每一个值的对应概率为p1，p2，…，pn，可列出表： ξ x1 x2 … xi … P p1 p2 … pi … 这个表示了离散型随机变量ξ的概率分布，通常称为分布列．(ξ可取的值也可能为无穷多个：x1，x2，…，xn，…) (3)分布列的两条性质 ①pi≥0，i＝1，2，3，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝＝1． 3.均值（期望） 离散型随机变量X的均值为E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝． 4.方差 离散型随机变量X的方差为D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝． 特别提醒：①E(aX+b)=aE(X)+b；②D(aX+b)=a2D(X) 5.独立试验 (1)在相同的条件下，重复做试验，如果每一次试验结果出现的概率都不依赖其他各次试验的结果，那么就把这种试验称为独立试验． (2)如果在n次独立试验的每一次试验中，我们只考察事件A发生或不发生这两个结果，并且在每次试验中事件A发生的概率不变，那么这样的n次独立试验，就称为n次独立重复试验．一般地，如果在一次试验中事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n). 6．二项分布 在独立重复试验中，若将事件A发生的次数设为X，事件A发生的概率是p，事件A不发生的概率是q＝1-p，那么X的分布列见表 X 0 1 … k … n P              … …      由于表中的第二行恰好是二项展开式(q＋p)n＝p0qn＋p1qn－1＋…＋pkqn－k＋…＋pnq0各对应项的值，所以称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n,p). E(X)=np，D(X)=np(1-p) 7．正态分布 (1)正态曲线(如图所示) (2)正态曲线的特点 ①曲线在x轴的上方，并且关于直线x＝μ对称． ②曲线在x＝μ时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状． ③曲线的形状由正参数σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“高瘦”． 当μ＝0且σ＝1时的正态分布称为标准正态分布． 【考点分类剖析】 考点一：离散型随机变量分布列的性质 例1．已知随机变量X的分布列如下表，则（    ） X 1 2 3 P m A．1 B． C． D． 【变式探究】随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 则 . 考点二：离散型随机变量的均值与方差 例2．已知离散型随机变量的分布列如表所示，则实数 ， . 0 1 P a 【变式探究】已知随机变量的分布列如表所示，则的均值为（    ） 0 1 2 P A．0 B． C． D． 例3.随机变量的概率分布为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】已知随机变量的分布列如表所示，则（    ） 0 1 P 0.4 m A．0.5 B．0.42 C．0.24 D．0.16 考点三：二项分布 例4．“五一”劳动节放假期间，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（ ） A． B． C． D． 【变式探究】某单位举行知识竞赛，给每位参赛选手设计了两道题目，已知某单位参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完两道题目后至少答对一题的概率为（ ） A． B． C． D． 2.把一枚硬币连续抛掷3次，恰好有两次正面向上的概率为（    ）． A． B． C． D． 例5.已知随机变量,,,则的值依次为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式探究】设随机变量，如果，，则 ， . 考点四：正态分布 例6.某工厂生产的自主研发的芯片元件的质量指标X服从正态分布N，若，则（    ） A．0.12 B．0.14 C．0.36 D．0.48 【变式探究】已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$